第二章 文獻探討
第四節 國小高年級數與計算的學習
欲達成有效率的學習，引起學生學習興趣的教材是不可或缺的。
數、小數、百分比和測量有相當困難。而對於數與計算部份的課程，
計算技巧的精熟程度，往往掌握解題成功與否的最大關鍵。
本研究主要以五年級上學期課程為主軸，選用的版本為康軒版數 學第九冊，就其課程中的教學單元、能力指標、學習目標、學習主題 整理如下表 2-1。
表 2-1 國小五上康軒版數學課程內容 單元名稱
（授課節數）
分 段
能力指標 學習目標 學習主題
一、乘法和除法（6）
N-2-02
1.能做乘數是三位數的乘法直式計算。
2.熟悉大數乘法的簡便算法。
3.能做除數是三位數的除法直式計算。
4.熟悉大數除法的簡便算法。
5.能做乘除的估算。
數與量
二、因數與倍數（9）
N-2-04
1.了解整除的意義與因數的關係。
2.認識正整數的因數、公因數。
3.認識正整數的倍數公倍數。
4.理解因數與倍數的關係。
5.觀察並理解倍數關係的模式規律（2、3、5、10 的 倍數）。
數與量
三、整數四則（7）
A-2-02 N-2-14 N-2-16
1.能知道整數四則運算的併式約定，並用來列式。
2.能利用整數四則運算的併式約定，來簡化計算式 子，並解決生活情境中的問題。
3.在生活情境中，理解加法和乘法的結合率、分配率。
4.熟練整數四則運算性質，來簡化計算。
數與量 代數
四、容量（5）
N-2-10 N-2-12
N-2-16
1.能以相同單位做形式計算。
2.能使用二階單位描述容量並做整數化聚。
3.能使用公升、毫公升為度量單位，進行實測和估測 活動，並培養量感。
4.能做容量單位的四則計算。
數與量
五、數列與圖形序列
（6）
A-2-03 N-2-17
1.透過具體觀察及探索，察覺簡易數量樣式。
2.描述簡易數量樣式的特性。
3.認識數線。
數與量 代數
六、數的十進位結構
（6）
N-2-10
1.認識兆以內數的概念、位值、化聚及大小關係。
2.認識三位以上小數的意義、位值、化聚及大小關係。
3.認識數的十進結構（包含小數）
4.了解小數的加減直式算則。
數與量
七、小數的乘法（6） N-2-07
1.能解決依、二位小數的乘法問題（小數的整數倍）。
2.能解決多位小數乘以整數的直式計算。
3.能做小數乘法的應用。
數與量
八、時間的計算（4）
N-2-11 N-2-12 N-2-18
1.能做時間的乘除計算。
2.能做時間（距離）的長短，描述物體在固定距離（時
間）內的運動速率。 數與量
九、等值分數（4） N-2-05
1.在整體「1」能明顯出現之具體情境中，認識等值分 數。
2.了解擴分的意義、方法及其應用。
3.了解約分的意義、方法及其應用。
4.認識最簡分數。
數與量
十、體積與表面積（5） A-2-04 N-2-13
1.能以個別單位（立方公分）複製指定的形體。
2.能以個別單位使用乘法簡化點算的方式描述體積。
3.能使用中文簡記式描述長方體和正方體的體積。
4.能算出簡單複合形體的體積
5.認識並算出長方體和正方體的表面積。
數與量 代數
十一、三角形（6） S-2-2 S-2-3
1.認識銳角和鈍角。
2.認識直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形及其分 類
3.認識等腰直角三角形。
4.認識全等三角形（對應點、對應邊、對應角）。
5.能知道三角形的邊角關係（三角形兩邊長的和大於 第三邊，大角對大邊）。
圖形與空間
指標對照
A-2-02 能透過具體表徵，解決從生活情境問題中列出的算式填充題。
A-2-03 能透過具體觀察及探索，察覺簡易數量模式，並能描述模式的一些特性。
A-2-04 能使用中文簡記式(簡字式)描述長方形、長方體之長度、面積、體積等 幾何量。
N-2-5 在等分好、整體 1 能明顯出現之具體情境中，能以真分數來描述單位分數 內容物為多個個物的幾份，進行同分母真分數的合成、分解活動，並理解 等值分數的意義。
N-2-07 能以二位小數描述具體的量，並解決二位小數的合成、分解及簡單整數 倍問題。
N-2-10 能認識各種量的普遍單位，應用在生活中的實測和估測活動，並培養出量 感(普遍單位：千米、毫米、公升、毫公升、時、分、秒)。
N-2-11 能理解生活中，各種量的測量工具上刻度間的結構，進而對已同單位表達 的量作形式計算。
N-2-12 能知道同類量中二階單位之間的關係及使用二階單位作描述，並利用此關 係作整數化聚。
N-2-13 能以個別單位的方式(利用等物合成複製後)描述面積、體積，並能用乘 法簡化長方形面積、長方體體積之點算。
N-2-14 能在情境中，理解乘法交換律、等號的對稱性、「＜、＝、＞」的遞移性、
加法和乘法的結合律與分配律，以及乘法和除法的相互關係。
N-2-16 能知道先乘除後加減的約定，並能用來列式及簡化計算式子。
N-2-17 能察覺簡單數列之規律。
N-2-18 能用時間的長短，描述一物體在固定距離內的運動速率；能用距離，描 述衣物體在固定時間內的運動速率。
N-2-02 能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。
N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。
N-2-10 能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、減與整數倍的計算，
並解決生活中的問題。
N-2-16 能理解普遍單位間的關係，並在描述一個量時，作不同單位間的換算。
S-2-2 能依基本形體的組成要素之間的關係比較兩形體的異同。
S-2-3 能透過實測察覺形體的性質。
說明：本研究課程的實施，正處於九年一貫暫行綱要及正式綱要的交錯時期，上表在分 段能力指標部分亦採用暫行綱要（正體字）及正式綱要（粗斜體字）交錯書寫，
本研究僅以「數與計算」單元進行課程設計，以下分別就本研究 數學遊戲設計的四個單元，乘除法概念、因數與倍數概念、整數四則 運算概念以及等值分數概念的學習困難部分進行分析。
一、乘除法概念學習困難之分析
數學學習障礙者在解文字題時，常常不了解題意的內涵，且以往 國小教育較強調程序性的知識，而近年來建構主義的盛行，陳述性知 識的重要性也慢慢被人所重視，因此要幫助學習障礙者有效的學習，
則需對乘除法在解題的迷思加以探討，因此以下整理幾位學者的研 究，歸納重點如下：（孟瑛如、陳麗如，2000；許清楊，2001；甯自 強，1996）
（一）乘法就是累加的錯覺：
許多學生都認為乘法的結果其積會越來越大，然而在啟蒙教材中 介紹乘法就是累加的結果是正確的，但乘法並不一定是累加，如整數 乘以小數，其結果並不會變大，這個迷思會造成學生學習乘數為小數 或分數時的障礙。
（二）認為乘法、除法為較高級的解題方法：
學習障礙學生常常會依數字來判斷應用問題該用乘法或除法，而 沒有對應用問題的陳述性知識加以了解，通常是大數除以小數或看見 兩數值相當時，則以乘法表示，且不了解被乘數、乘數之間的關係，
只認為答案一樣就可以。
（三）關鍵字的使用：
傳統的教學方式，老師會教導小朋友使用關鍵字解題，學生從文 字呈現的方式來解決應用問題，如「分」就用除或減，「總共」就用 加或乘，然在處理二步驟應用問題時，其關鍵字解題就無法發揮其功 能，反而會阻礙學生的思考。
在國小課程標準中對於乘除算則的教材處理，從二年級引入乘法 情境問題，教導小朋友使用畫圖來表徵問題，進而解決問題。在三年 級時，擴展乘數的範圍，但不鼓勵學生使用直式紀錄解決問題，到四 年級才引入直式算式，到五年級才正式使用直式紀錄的格式。而除法 方面則在二年級時，使用累進性合成運思來解決包含除問題，而等分 除則還屬於嘗試錯誤階段；三年級時預期學生可以發展出使用累加或 累減的算式紀錄解題過程；四年級時，引入除號來解題；五年級時則 重新探討除法的直式紀錄格式。在五年級乘除法學習困難的學生，常 常因為計算技巧不夠熟練，導致解題的效率不佳，而產生解題錯誤的 情形。根據九年一貫課程暫行綱要對於國小數學領域並不要求「精熟」
學習，而學生只要能解題，就能達到學習目的。不過，2003年頒布的 九年一貫課程綱要，要求學生除了會解題之外，還要達到精熟。所以，
國小高年級學生在乘除法的計算方面，常常會遇上學習障礙，尤其是
多位數乘/除以多位數，因為數字龐大，學生在解題時較沒耐心所致。
二、因數與倍數概念學習困難之分析
因數、倍數的概念需有整數的乘法、除法的先備概念，以及還會 影響到後面課程，如：分數的約分、擴分、通分以及分數的四則運算 的學習。所以，只要能擁有正確的因數與倍數之數學知識及概念，將 有助於學習分數的約分、擴分、通分以及分數的四則運算。以下就因 數倍數概念學習困難之處做三點探討：
（一） 從先備知識來看
從教材的地位來看，在學習因數概念之前學生必須先學會乘除法 的運算。林珮如（2002年）指出：學生在學習因數概念時，往往先備 知識便已不足，而又要在舊經驗上建構一個新的概念， 對學生來說 真是一件「不可能的任務」。例如：因數是要求學生要能找出一個數 的所有因數，對於先備乘除法知識不足的學童而言，是一個困難點。
（二） 從生活經驗來看
因數概念的學習不像倍數在生活經驗裡隨處可見，尤其是要找到 因數概念的生活實際應用較為少見。因此，當學生從教材中學到因數 概念後，卻與實際的生活經驗脫節，無法應用在日常生活中，所以容 易造成學習的遺忘。
（三） 從名詞的理解來看
學生在學習因數概念的時候，往往會將因數與倍數的名詞給搞混 了，有許多研究（黃耀興及邱易斌，1999；周文忠，2002；林珮如，
2002）可以看得出來。而Mayer（1982）也認為：語意知識與事實知 識不足或錯誤，對數學名詞字彙瞭解不清，會影響問題轉譯而導致解 題錯誤。所以如何讓學生對於因數名詞能有正確且清楚的認識，是因 數教學的一大挑戰。
三、整數四則概念學習困難之分析
整數四則問題，是指以整數四則運算為範圍，採用文字題的形式 來描述問題情境的數學問題。在國小五年級數學課程中關於整數四則 運算的學習目標如下：
1.能知道整數四則運算的併式約定，並用來列式。
2.能利用整數四則運算的併式約定，來簡化計算式子，並解決生活 情境中的問題。
3.在生活情境中，理解加法和乘法的結合率、分配率。
4.熟練整數四則運算性質，來簡化計算。
謝堅（2000）對四則混合運算的產生和解題形成的 共識，曾做以下的說明：
（一）四則運算混合計算問題，是用來記錄多步驟文字題的題意