第四章 研究結果與分析
第四節 等值分數
一、課程設計
(一)等值分數之教學
國小階段在「量」的情境下，透過「一樣長或一樣大」的關係，
引入等值分數的等價關係。高年級學童已能將分數視為有理數，可以 直接透過數的比較活動（約分或擴分），直接引入等值分數的等價關 係。
一般而言，等值分數雖是透過「量」的等價關係而來，不過在五 年級的學習及運算上，而需要透過分數的約分及擴分。但在，學習等 值分數上，可以藉由直觀判定「量」的等價關係來輔助學習。等值分 數抽鬼牌遊戲就是利用約擴分的方式及圖形直觀判定「量」的方式設 計而來。
(二)設計理念
等值分數抽鬼牌遊戲是周士傑(2005)所設計，運用在六年級的數 學教學上。而本研究則是將遊戲運用在五年級的數學延伸教學上。遊 戲設計是將兩張相同的等值分數的配對，進行抽鬼牌遊戲。
4 2
2 1
兩張等值的分數撲克牌
等值分數抽鬼牌遊戲規則是採用學生熟悉的「抽鬼牌」活動，而 且不需進行紀錄，所以廣獲學生好評。在遊戲設計上「機遇性」佔整 個遊戲勝利很大比重。此外，學生為了享受遊戲過程，而不想進行等 值分數的運算，常常會使用透明牌進行遊戲，此時老師可鼓勵學生使 用紙牌。
周士傑(2005)設計此套撲克牌，亦可進行湊 1 的異分母加法的運 算，及異分母分數比較大小的遊戲。不過課程上尚未進行到此階段，
故僅利用等值分數的遊戲功能。
(三)遊戲難易度之調整
本研究將全班學生 31 人依能力分為 2 組，分別是基礎組及進階 組，其易難度區分為利用紙牌和透明牌的區別。基礎組除了加強基本 約分擴分成為等值分數的概念之外，還可配合透明牌疊合的方式來輔 助等值分數的判定。而進階組則僅從紙牌上分數的約分擴分及不透明 紙牌上的分數圖形輔助，來判斷等值分數。
組 別 基礎組(n=14) 進階組(n=17)
遊戲難易
以分數約分擴分化為等值 分數為主，配合透明牌疊 合來輔助等值分數的判定 為輔。
僅從紙牌上分數的約分擴 分及不透明紙牌上的分數 圖形輔助，來判斷等值分 數。
活動流程
1.複習約分擴分概念。
2.說明遊戲規則及注意事 項。
3.師生大對抗。
4.學生分 2 組團體對抗。
(教師巡視鼓勵學生參與 團體對抗及問題解答) 5.個人互相對抗開始。
1.複習約分擴分概念。
2.說明遊戲規則及注意事 項。
3.師生大對抗。
4.個人互相對抗開始。
(三)遊戲活動之進行
參與遊戲者先於牌堆中任一抽取一張當作鬼牌。接著決定好輪流
順序。再將牌堆中的牌依序分給所有玩家，最後一位拿到牌的玩家先 開始。若抽牌後的牌跟自己手牌中任一張牌為等值分數時，即可將此 兩張牌都放於桌面上。反之，若抽牌後的牌跟自己手牌中任一張牌皆 不為等值分數時，即換下家。依序進行，直到某位玩家手中牌組無兩 張等值分數可丟於桌面時，此為玩家即為輸家。
遊戲活動進行之目的，主要在於學生普遍感到學習困難的分數單 元，利用遊戲的方式呈現，而等值分數也可採用直觀二張透明片疊合 的方式來判斷，難度大大減少。
二、學生接受度
1.遊戲紀錄單方面(見附錄二-4)
題目
今天和同學玩了等值分數抽鬼牌遊戲，我覺得：
選 項 非常好玩 好 玩
普
通
不好玩 非常不好玩
選取次數
14 12 4 0 1
原 因
基礎組(4)：
無(1) 很簡單(1) 就像真的抽 鬼牌 (1) 可以和很多 人玩(1)
進階組(10)：
無(2) 有挑戰性(1) 非常好玩(1) 喜歡玩數學(2) 更了解等值分 數(1) 簡單又可跟同 學玩(1) 可以跟爸媽玩 得很高興(1) 可以讓我的腦
基礎組(8)：
無(4) 很有趣(1) 遊戲很好玩(1) 簡單又有趣(1) 就像真的抽鬼 牌 (1)
進階組(4)：
可以碰運氣(1) 使腦筋變靈光 (1)
增加數學能力 (1)
增加解題信心 (1)
基礎組(1)：
無(2)
進階組(2)：
每次都輸 (1) 有時解不了 題(1)
基礎組(1)：
不喜歡分 數(1)
進階組(0)：
從上表可知，學生對於等值分數抽鬼牌遊戲的進行，大部分皆採
正面的回應，45%(14/31)的學生覺得非常好玩，39%(12/31)的學生 覺得好玩，13%(4/31)的學生覺得普通，3%(1/31)的學生覺得非常不 好玩。
在原因部分，大多數的同學都是正向的答覆，例如：很簡單又好 玩、就像真的抽鬼牌遊戲、可以和同學或家人玩、具有挑戰性、喜歡 玩數學、更了解等值分數、使腦筋轉得更快、腦筋變靈光增加數學能 力及解題信心…等等。此外，有位學生覺得等值分數抽鬼牌遊戲「非 常不好玩」原因是不喜歡分數，後續將進行訪談以了解原因。
若以學生分組的角度去觀察其原因，進階組的學生對於本遊戲的
接受度較高，有 10 人填「非常好玩」，而基礎組僅有 4 人。不過二 組間填「非常好玩」及「好玩」的相去不遠，各有 12 人及 14 人。
有位進階組的學生因為「每次都輸」，而影響其對遊戲的接受度。
2.學生訪談紀錄方面
本遊戲針對上述遊戲接受度覺得「非常不好玩」的一位學生(S05)
進行訪談，學生 S05 是班上的學習較困難的學生，但是在幾個遊戲 活動的進行中，研究觀察該生的表現均良好。況且，前三個遊戲除了
「四則賓果遊戲」之外，「乘除法攻城戰」及「因倍數迷宮遊戲」均
不喜歡分數的原因，應該進行訪談予以釐清，以下便是節錄關於學生 接受度的部分。在訪談過程中，學生 S05 表示因為分數都不會而討 厭本遊戲。(S05 的訪談記錄件附錄三-4)
T：上禮拜玩了等值分數抽鬼牌遊戲，你覺得好不好玩？
S05：我覺得不好玩。
T：為什麼？
S05：就不好玩。
T：是什麼原因呢？
S05：我覺得分數我都不會。
接著研究者針對學生 S05 的分數概念進一步探究，雖然上數學課 時，有上過分數的概念，但是學生 S05 卻不太熟悉，所以趁著訪談過 程中，將學生的分數概念釐清。
T：為什麼都不會？老師在上數學課時你聽得懂嗎？
S05：聽得懂啊！但是有一點點聽不懂。
T：你知道什麼是分數嗎？
S05：就一個披薩切成很多份中的一份。
T：然後哩？
S05：如果切成 3 份，就是 3 1。
T：可以再說明確一點嗎？比如說要不要等分切、或者切完幾分是 3 1。
S05：喔…一個披薩等分切成 3 份，其中的一塊就是 3 1。
T：只有3
1嗎？有沒有單位？
S05： 喔…是 3
1個披薩。
T：答對了！這就是分數最基本的概念。
T：對於小於 1 的部分，我們可以用小數及分數來代表。所以你剛剛切出來的三 塊中的一小塊披薩，才稱為
3
1，也就是把整個披薩當作 1 中的 3
1(塊披薩)。
三、學生學習成效
研究者分別從遊戲所得到的數學概念及學生得到的幫助方面，加 以探討如下：
1.使用數學概念方面 題
目 在這個遊戲我使用到了什麼數學概念？(可複選)
選 項
加 法 減 法 乘 法 除 法 先乘除後加減 因 數 倍 數 公 因 數
公
倍 數
分數的約分 分數的擴分 其 他
選取
次數 2 2 7 8 5 13 8 15 16 30 31 0
在遊戲所使用的數學概念，依據統計表顯示大部分的學生都可以 利用分數的約分及分數的擴分方式進行等值分數的遊戲。但是從學生 S05 的訪談過程中，不免懷疑是否有些學生會直觀從圖形的大小疊 合，去判斷等值分數。在遊戲過程中只享受遊戲的樂趣，但是無法達 到練習等值分數的目的。不過，經調查班上除了 3 個學生之外，其餘 均有嘗試使用不透明紙牌去進行遊戲，所以基礎組在接遊戲接受度部
分，勾選最「非常好玩的」僅有 4 人，而進階組有 10 人。以下為學 生 S05 訪談內容。
T：在玩遊戲的過程中，使用到了什麼數學概念？
S05：沒有耶！我將透明牌疊合，找出一樣的分數圖形擺在桌上就好了。
2.學生得到的幫助方面 題
目 你認為這個遊戲帶給你哪些幫助？（可複選）
選 項
學習與同學相處，相互尊重 等值分數的運算更熟練 更了解等值分數的概念 改變學習態度，不再恐懼數學 增加自己的解題信心 相信自己的成績一定會進步 完全沒有幫助 更喜歡數學(2) 其他：讓我的腦筋動快一點(1
) 、
選取
次數 19 13 11 17 18 18 0 3
在遊戲帶給學生的幫助方面，學生大多勾選正向的選項，最多人
勾選的則是「學習與同學相處，相互尊重」，此外「增加自己的解題 信心」、「相信自己的成績一定會進步」、「改變學習態度，不再恐 懼數學」等選項也相差不遠。這種結果顯示學生對於數學學習的信念 有增強的現象。經歷了四次數學遊戲教學，本遊戲有 2 位學生填寫「更 加喜歡數學」及 1 位學生填寫「讓腦筋動快一點」，學生更加能夠表 達自己的想法。「讓學生更加喜歡數學」是現今數學教育上應該要著 重的論點。
以上資料來源是等值分數抽鬼牌遊戲紀錄單。除此之外，研究者 並於遊戲後訪談學生 S05，根據學生訪談記錄得知，學生 S05 當初 並不喜歡本遊戲，但在訪談過程中，將整個等值分數的概念澄清，學 生 S05 有種豁然開朗的感覺，相信在往後的分數課程中，該生應該 不會再「討厭分數」了。
T：那如果不看圖形，你可不可以說一說為什麼相等？
S05：就 3
1上下都乘以 2，就會等於 6 2。 T：那這個步驟叫麼呢？
S05：我知道，叫擴分。
T：嗯…那如果把 6 2變成
3
1，要怎麼做？
S05：嘿嘿…就約分就可以了。
T：那麼你知道為什麼在教等值分數前要先上因數與倍數了吧？
S05：不知道耶！
T：等值分數是將一個分數分子分母，同乘以一個數或同除以一個數，雖然數字 變大，但是數值不變。而同除以的這個數，就叫做分子跟分母的公因數。
S05：喔…我終於知道了！
在訪談中學生 S05 表示，因為不懂等值分數的概念，所以在遊
戲過程中僅用透明牌的圖形疊合進行遊戲，經研究者說明後後，學生 S05 也答應要嘗試進行不透明紙牌的遊戲。
S05：嗯嗯…現在我知道了，老師設計遊戲的目的是要我們先從圖形去認識等值 分數，而我只是去對圖形就判斷出來了。
T：對啊！所以老師鼓勵你們可以嘗試進行不透明紙牌的遊戲，這樣就可以憑自 己的能力將等值分數找出來。
T：在遊戲過程中你有沒有遇到困難的地方？
S05：沒有耶！我都玩得很高興，只是當時不知道老師設計遊戲的用意。
T：那你會嘗試進行不透明紙牌的遊戲嗎？
S05：我會了，謝謝老師！
在遊戲的過程中，學生大多認為多做數學遊戲數學成績就會進
步，不過，從做遊戲的過程中去學習數學，是本遊戲教學最大的目的。
以下為學生 S05 的訪談字稿，知道遊戲設計的目的再去進行遊戲，
並且認為自己的成績會進步。
T：在遊戲的問卷中，你有提到相信你的數學成績會進步，是為什麼呢？
S05：不知道耶！當時就這麼覺得。不過現在我覺得我的數學成績一定會進步，
因為我知道怎麼去玩遊戲了。
遊戲與課本是不相同的，遊戲首重在遊戲過程中學生能運用到課
程概念，而課本則是要將數學概念完整教給學生。在訪談過程中，學 生從「討厭分數」到「認識分數」最後「嘗試進行等值分數遊戲」，
相信這也是學生 S05 最大的收穫吧！
四、檢討及建議 1.使用數學概念方面