二步驟乘除文字題的教材分析與相關研究

第三節 二步驟乘除文字題的教材分析與相關研究

壹、二步驟文字題教材分析

依據國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域課程綱要 (教育部，2008) ，將九 年國民教育區分為四個階段，國小一到六年級分為三個學習階段，國中一到三年級為第 四階段。學習內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」，前四項 主題的能力指標編碼，分別以 N、S、A、D 表示，以 1、2、3、4 表示第一、二、三、

四階段習，最後一碼為流水編號。在小學階段有關乘除法與二步驟問題的能力指標如下：

第一階段(一、二年級)：

N-1-04 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。

N-1-05 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。

N-1-06 能理解九九乘法。

N-1-07 能在具體情境中，解決加、減、乘之兩步驟問題(不含連乘)。

第二階段(三、四年級)：

N-2-04 能理解除法的意義，解決生活中的問題，並理解整除、商與餘數的概念。

N-2-05 能理解乘、除直式計算。

N-2-06 能在具體情境中，解決兩步驟問題(含除法步驟)。

N-2-07 能做整數四則混合運算，理解併式，並解決生活中的問題。

A-2-01 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。

A-2-02 能在具體情境中，理解乘法結合律，並運用於簡化計算。

第三階段(五、六年級)：

N-3-01 能熟練整數乘、除的直式計算。

N-3-02 能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的三步驟問題。

A-3-01 能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律與其他乘除混合計算之性質，並運用

於簡化計算。

根據九年一貫課程綱要數學領域分年能力指標中，將有關乘除法與二步驟文字題的 內容整理成表 3。

第一階段的學童在二年級時開始正式接觸乘法的概念，並以連加，幾個一數的活動 作為乘法的前置活動，從認識「倍」的意義開始進行乘法的學習，例如：每一個盤子裡 都放了 3 顆頻果，2 個盤子共放了幾顆頻果？3 有 2 個，可以記成 3×2＝6，3×2 表示 3 的 2 倍，學童從中認識乘法算式中被乘數 (單位量) 、乘數 (單位數) 以及積 (總和) 的 意義，從乘數較小的乘法開始練習，練習過程中，學童會透過平分、包裝的操作活動與 乘法關連，雖是屬於除法的前置活動，但並不引入除號，例如：「12 個小朋友搭空中纜 車，每一個車廂最多坐 4 人，12 個小朋友可以坐滿幾個車廂？」進行操作活動後，同時 進行「每一個車廂最多坐 4 人，3 個車廂可以坐滿幾個人？」的解題活動，將除法與乘 法的關係連結起來。九九乘法的理解剛開始應著重於讓學童認識乘法的意義、「倍」的 使用，認識不同乘數在乘法表中的模式差異，透過陣列類型的問題情境，認識乘法交換 律，能理解 4×3 和 3×4 的結果一樣。在第二階段三年級的學童開始正式接觸除法的教學，

學童已經透過分東西瞭解等分除與包含除的區別後，就開始進行除法列式教學，而且必 須處理餘數問題。四年級學童繼續乘、除法的教學，但是計算的數值增大，原則上，乘 法以四位數與一位數相乘，三位數與二位數相乘為上限，除法以四位數除以一位數、三 位數除以二位數為上限。

而二步驟文字題的課程是由簡單的加、減二步驟問題開始，再延伸至加、減與乘的 二步驟問題。第一階段二年級學童能在具體情境中解決二步驟文字題，主要從日常生活 情境中引入問題，此時，只需將各步驟分開記錄，不必處理併式問題，例如：「一盒巧 克力糖有 8 粒，我拿到了 3 盒又 2 粒，一共有多少粒巧克力糖？」一開始，先引導學童 讀懂題意，分段解決這個問題，如先算 3 盒有幾粒，記錄成 8×3，再將計算的結果加上

2 粒，記錄成 24＋2，而獲得我拿到了 26 粒巧克力糖這個答案。在第一階段三年級則開 始學習解決加、減與除和連乘的二步驟文字題，且必須注意餘數的影響。例如：「四年 級男生 231 人，女生 229 人一起參加戶外教學，一輛遊覽車最多搭乘 43 人，最少需要 幾輛車？」，先算出總參加人數，記錄成 231＋229＝460，再算可以坐滿幾輛車，記錄成 460÷43＝10…30，學童必須透過餘數 30 判斷出仍有 30 人沒有座位，所以要再多 1 輛車，

共需要 11 輛車。第二階段四年級學童則能在具體情境中解決乘除混合、連除二步驟文 字題，進行整數四則混合計算以及練習併式的記法與計算，還引入了括號的使用，例如：

「72 顆糖果平分給 6 小組，再平分給每一組的組員，若每一組都是 4 個人，請問每一位 組員分到幾顆糖果？」若學童先算 6 個小組共有多少人，記錄成 4×6＝24，再將 72 顆 糖果平分給 24 個人，記錄成 72÷24＝3，算式則合併成 72÷(4×6)＝3。學童在此階段必 須瞭解初步的併式約定：有括號時，括號內的先計算；只有加減或乘除運算時，由左向 右逐步計算；先乘除後加減。但併式在解題過程並不具有必要性，所以在本研究中並不 強調學童必須使用併式。第三階段五年級學童承續四年級的能力指標，增加問題的複雜 度，主要為解決三步驟文字題，並熟練四則混合計算，這是小學對於整數四則運算課程 的總結，也包括加法、乘法的交換律、結合律與程法對加法的分配律。

(續下頁) 表 3

九年一貫數學領域-乘除法與二步驟問題之分年能力指標細目

編號 九年一貫數學領域分年能力指標細目 對照能力指標

2-n-06 能理解乘法的意義，使用×、＝做橫式紀錄與直式紀錄，並解

決生活中的問題。 N-1-04、A-1-01

2-n-07 能在具體情境中進行分裝與平分的活動。 N-1-05、N-1-06

2-n-08 能理解九九乘法。 N-1-06、A-1-02

2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加與減，不含併式)。 N-1-07

2-n-10 能在具體情境中解決兩步驟問題(加、減與乘，不含併式)。 N-1-07

3-n-03 能用併式記錄加減兩步驟的問題。 N-2-06、N-2-07

3-n-04 能熟練三位數乘以一位數的直式計算。 N-2-05

易庭緯 (2011) 針對康軒版、南一版、翰林版、部編版四個版本的教科書中，有關 四則運算的教材進行內容分析，主要以單一步驟問題語意結構作為分類的依據，利用兩 種運算符號運算的二步驟問題，依照學生解題的順序來編列語意結構的先後順序，將兩 個單一步驟問題類型組合起來，其中與乘除法有關的二步驟問題，其語意結構統計及分 布情形整理如表 4。

其中屬於單一步驟乘法問題的語意結構分為：等組群、陣列、等量、乘法比較、乘 法改變、差積型、量數同構、鎖鍊、多重比例；單一步驟除法問題語意結構分為等分除 和包含除。再依照兩步驟問題的解題順序做排列組合應有 18 種語意結構型態，但在這 四個版本的課本與習作中只出現 15 種。根據 Greer (1992) 的整數乘除問題情境分類，

其中等值群組類型問題，若是群組數量和群組大小都已知，欲求出總數，屬於乘法問題，

若是總數確定，群組數量或群組大小未知，則屬於等分除或是包含除問題，與 Vergnaund (1988) 提出的量數同構類似。由此可知，這四個版本中的二步驟乘除問題大多以等值群 組的方式呈現，約佔了 97％，其次為多重比例、乘法比較和陣列型，差積或是組合型題 目不曾出現。因此，本研究的研究工具「二步驟乘除法文字題測驗」中二步驟整數乘除

編號 九年一貫數學領域分年能力指標細目 對照能力指標

3-n-05 能理解除法的意義，運用÷、＝做橫式紀錄(包括有餘數的情

況)，並解決生活中的問題。 N-2-04

3-n-06 能熟練三位數除以一位數的直式計算。 N-2-05

3-n-07 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、減與除，不含併式)。 N-2-06

3-n-08 能在具體情境中，解決兩步驟問題(連乘，不含併式)。 N-2-06

4-n-03 能熟練較大位數的乘除直式計算。 N-2-05

4-n-04 能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學習併式的記法與計算。 N-2-06、N-2-07

4-n-05 能做整數四則混合計算(兩步驟)。 N-2-07

5-n-01 能熟練整數乘、除的直式計算。 N-3-01

5-n-02 能在具體情境中，解決三步驟問題，並能併式計算。 N-3-02、A-3-01

5-n-03 能熟練整數四則混合計算。 N-3-02、A-3-01

資料來源：修改自教育部國民教育司 (2008) 。國民中小學小九年一貫課程綱要。臺北市：

作者。

文字題所採用的語意結構分類為量數同構 (3 的規則) 、等值群組、多重比例、倍數比 較四種類型，再依照未知數所在位置又分為乘法、除法。

表 4

四個版本的課本與習作兩步驟乘除問題語意結構統計表

語意結構(第一步驟+第二步驟) 康軒 南一 翰林 部編 總數

等組群 8 4 12

等分 15 4 12 1 32 等組群

包含 1 2 2 5

等量 1 2 3

等量 等分 1 1 2

陣列 等組群 1 1

乘法比較 乘法比較 1 1

多重比例 多重比例 1 1

等組群 11 3 7 21

等量 1 1

等分

等分 9 3 1 13

乘法比較 1 1

等組群 1 1

等分 2 2

包含

包含 2 2 4

兩步驟乘除情境題數量 48 11 33 7 99 兩步驟情境題數量 128 51 109 36 324 乘除情境題占情境題數量的百分率 30.6％ 21.6％ 30.3％ 19.4％ 30.1％

資料來源：修改自易庭緯 (2011) 。國小數學教科書內容分析-以「整數四則教材」為例，

(未出版之碩士論文) (頁57) ，新竹教育大學，新竹市。

貳、二步驟文字題相關研究

甯自強 (1993) 認為二步驟問題是經過兩次運算才能解決的問題，而學童解題的過 程中所產生的活動與二步驟文字題題意是有不同的，學童進行解題活動，會藉由解釋題 目的意思，自己建構出子目標，並且透過完成子目標，將產生的結果當作進行下一步驟 的起始條件，在經驗的累積下，子目標的出現是可以預期的結果，也就說子目標的建立 可以被視作解決二步驟問題的中介指標。

張再明 (1994) 研究國小兒童數學應用題問題結構的認知情形，研究工具採取自編 紙筆測驗，測驗以選擇題方式呈現，測試學童是否選擇出相同問題結構的題目，結果指

出學童在單步驟文字題上的認知表現優於二步驟文字題，顯示出問題越複雜，問題結構 認知能力越差；對於運算步驟較多的問題，學童在問題結構的認知方面表現亦較差。與 Mayer (1992) 在解題歷程所提到的「問題整合」部分相似，學童在問題轉譯後，會思考 是否曾做過類型題目，從眾多基模中選擇適合的解題策略進行解題。由此可知，問題結 構的複雜度，會影響學童在問題整合時的表現，而二步驟文字題的解題表現比單步驟文 字題的解題表現還差。

陳國維 (2006) 在探究國小四年級學童整數四則運算問題的解題表現中，有關解決

陳國維 (2006) 在探究國小四年級學童整數四則運算問題的解題表現中，有關解決