國小四年級學童二步驟乘除文字題解題歷程之研究

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國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授：胡豐榮博士

國小四年級學童二步驟乘除文字題

解題歷程之研究

研究生：黃巧瑩撰

中華民國一 ○ 二年六月

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謝誌

歷經兩年的努力，終於完成論文，回首來時路，心中滿懷感激。

感謝指導教授胡豐榮教授，在研究期間的細心指導，在論文寫作上指點

迷津；感謝許天維教授、辛俊德教授在百忙之中抽空閱讀我的論文，於口試

中提供寶貴意見，修正論文不足之處，使我的論文更加嚴謹與完整。

這兩年的求學期間，感謝不辭辛勞指導我們的甯自強老師、吳德邦老

師、林炎全老師、陳中川老師、林原宏老師與黃一泓老師，讓我受益良多；

還要感謝同甘共苦的碩士班同學們，學習路上的鼓勵與分享，尤其要感謝研

究小組的奕萱、秀容、麗雯與君玲，在撰寫論文期間的督促與切磋，貼心的

提醒與打氣，因為有你們，讓我的研究所生活過得既充實又愉快。

在研究過程中，感謝陳平與和平國小協助施測的班級與老師們，因為有

你們的配合與支持，使本研究得以順利進行；感謝同事明武老師對於論文寫

作提供的建議，莉葉老師在英文摘要上的協助以及陳平國小校長、主任與同

事們在我求學期間給予的協助、支持與鼓勵。

最後，感謝我的家人，在這段時間對我的包容與關懷。再次感謝各位，

謹以此論文獻給每一位關心我與支持我的人。

巧瑩謹致

2013 年 6 月

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摘要

本研究以 Mayer (1992, 2006) and Wittrock (2006) 的解題歷程理論 Greer

(1992) 、Vergnaund (1988) 的乘除情境分類為基礎，探討學童解二步驟乘除文字

題的解題歷程。研究工具為自編「二步驟乘除法文字題測驗」，且依據語意結構

與未知數性質分為 13 種文字題，對臺中市兩所國小四年級學童進行施測，有效

樣本 210 人。施測資料採取量化統計分析，並經由質性晤談，分析學童解題歷程

中的錯誤類型及其原因。研究結果發現如下：

一、受測學童於「問題轉譯」步驟表現最好，其次依序為「計畫與監控」

，

「執行」，

「問題整合」步驟表現最差，「自我調整」步驟中以「對題意瞭解之後設認

知能力」表現較好，其次依序為「對答案之後設認知能力」

、

「對列式瞭解之

後設認知能力」。

二、受測學童於各解題歷程步驟、解題表現皆達顯著相關。

三、受測學童於不同語意結構文字題的通過率以倍數比較類型為較高，其次依序

為等值群組類型、多重比例類型、量數同構類型。於不同未知數性質文字題

的通過率以最終量未知類型為最高，其次依序為變換量未知類型、最初量未

知類型。

四、高數學成就學童傾向以解題方法辨識問題類型；低數學成就學童較較易受到

情境與數字的影響。

五、低數學成就學童在執行的表現最差，對於量數同構、倍數比較(基準量未知)

類型感到困難。

六、在「問題轉譯」

、

「問題整合」

、

「計畫與監控」

、

「執行」和「自我調整」這五

個步驟皆有相對應之錯誤類型。

關鍵詞：二步驟文字題、乘除文字題、解題歷程、語意結構、未知數。

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Fourth Graders’ Solving Process in Solving Two-Step

Multiplication and Division Word Problems

Abstract

This research was to explore fourth graders’ problem solving processes in solving two -step multiplication and division word problems based on the theory of problem solving process by Mayer (1992, 2006) and Wittrock (2006), and multiplication-division scenario classification by Greer (1992) and Vergnaund (1988).

A test of two-step word problems was created and used as the instrument by the rese archer. The test was divided into thirteen kinds of problems, based on the semantic structure and the nature of unknown numbers, and was executed on forth graders from two schools in Taichung city. Two hundred and ten effective samples were collected and analyzed by quantitative statistical analysis. To find out students’ typical error types, an investigation was applied by surveying each of the students individually after the test. The major findings were as follows:

1.Students performed best in processing “translation”, better than “planning and monitoring”, “execution” and “integration” respectively. Among self-regulating in metacognition, students performed best in “understanding the problems”, better than “listing the correct equation” and “giving the answers” respectively.

2.The scores of different problem solving processes and students’ performances were highly correlated.

3.As to the pass rate among the four semantic structure problems, students performed best in “multiple-proportions”; “comparison in multiple”, “equivalent groups” and “quantity-isomorphism” were followed respectively. As to the pass rate among the three unknown number problems, students performed best in final-amount unknown type. The varying-amount unknown and the initial- amount unknown types were followed respectively. 4.Students with higher mathematical abilities used problem-solving approach to identify problems types, but students with lower abilities were influenced easily by problem structure and size of numbers.

5.Students with lower mathematical abilities performed worst in “execution” .They felt difficult in “quantity-isomorphism”types and “comparison in multiple”(basisic-amount unknow) types.

6.Students’ typical error types could be defined within each problem solving process.

Key words: two-step word problem, multiplication-division problems, problem solving process, the semantic structure, unknown number

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第一章緒論 ... 1

第一節研究動機 ... 1

第二節研究目的與待答問題 ... 3

第三節名詞釋義 ... 4

第四節研究範圍與限制 ... 6

第二章文獻探討 ... 7

第一節數學解題歷程理論 ... 7

第二節數學文字題結構分析與相關研究 ... 15

第三節二步驟乘除文字題的教材分析與相關研究 ... 27

第四節解題歷程之相關實徵研究 ... 33

第三章研究方法 ... 37

第一節研究架構 ... 37

第二節研究對象 ... 38

第三節研究工具 ... 38

第四節研究流程 ... 45

第四章研究結果與分析 ... 47

第一節國小四年級學童二步驟整數乘除文字題的解題歷程 ... 47

第二節四年級學童解二步驟乘除文字題的解題策略與錯誤類型 ... 58

第三節不同數學成就學童解二步驟整數乘除文字題之差異 ... 82

第五章結論與建議 ... 87

第一節結論 ... 87

第二節建議 ... 90

參考文獻 ……….…………92

中文文獻 ... 92

英文文獻 ... 95

附錄

………...…..…………97

附錄一：乘除文字題分類檢核表 ... 97

(6)

附錄二：試題內容分析 ... 98

附錄三：國小四年級二步驟整數乘除法文字題測驗 ... 101

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表次

表 1 劉秋木之數學解題的心理歷程 ... 12

表 2 Mayer 解題的認知過程與知識類型 ... 15

表 3 九年一貫數學領域-乘除法與二步驟問題之分年能力指標細目 ... 29

表 4 四個版本的課本與習作兩步驟乘除問題語意結構統計表 ... 31

表 5 量數同構型問題的設計架構與問題內容 ... 39

表 6 等值群組型問題的設計架構與問題內容 ... 39

表 7 多重比例型問題的設計架構與問題內容 ... 40

表 8 倍數比較型問題的設計架構與問題內容 ... 40

表 9 後設認知評分表... 42

表 10 試題難度與鑑別度分析表 ... 44

表 11 二步驟乘除文字題類型與 Mayer 解題歷程之雙向細目表 ... 44

表 12 不同文字題類型的各解題歷程之通過率 ... 48

表 13 不同文字題類型的問題轉譯子題中各選項之選擇率 ... 48

表 14 各文字題類型之後設認知表現 ... 55

表 15 解題歷程各步驟相關係數矩陣表 ... 57

表 16 不同語意結構與未知數性質的各題組得分表現 ... 58

表 17 量數同構文字題題目內容與通過率 ... 59

表 18 等值群組文字題題目內容與通過率 ... 67

表 19 多重比例文字題題目內容與通過率 ... 72

表 20 倍數比較文字題題目內容與通過率 ... 77

表 21 二步驟乘除文字題解題錯誤類型 ... 81

表 22 不同數學成就學童之解題歷程 ... 83

表 23 不同數學成就學童對不同類型文字題解題歷程之通過率 ... 85

表 24 不同數學成就學童之後設認知平均數 ... 86

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圖次

圖 1. 量數同構型度量空間關係 ... 16

圖 2. 量數叉積型度量空間關係 ... 17

圖 3. 多重比例度型度量空間關係 ... 18

圖 4. 研究架構圖... 37

圖 5. 研究流程圖... 45

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第一章緒論

本研究目的在於探討國小四年級學童二步驟整數乘除法文字題的解題歷程表現，以研究者自編「二步驟乘除文字題測驗」為研究工具，施測資料採量化統計分析，探討學童解題的情形並透過晤談瞭解其錯誤類型與原因，以便教師進行相關教學時之參考。本章共分四節分別就研究動機、研究目的與待答問題、名詞解釋及研究限制加以說明。

第一節研究動機

數學是科學之母，是科學發展的基礎，也是重要的工具。人類透過感官活動察覺物件，並將物件表徵得以恆存，其中涉及了形與量，若科學的目的是在瞭解、解釋和控制這些現象，則數學則是為了從這過程中有關形與量的經驗裡得到不變的知識，所以數學知識來自於解決現象中有關形與量問題的經驗，因此解題可說是數學的產物 (甯自強， 1991) 。而學童透過許多解題活動的經驗累積，增加對數學知識的瞭解，以我國行政院教育部國民教育司於 2008 年公布的九年一貫數學領域的課程綱要來看，也將解題能力列為學童所需具備的基本能力之ㄧ，希望透過課程目標的達成，培養學童演算、抽象、推論及溝通能力，學習解題的方法，奠定數學基礎。美國全國數學教師協會 (National

Council of Teachers of Mathematics[NCTM], 2000) 的學校數學課程標準與原則中亦強調

解題的重要性，希望學童透過一連串的解題活動瞭解數學概念，進而解決數學與生活上的問題。由此可知，解題在數學課程中佔據重要的角色，解題能力也是現在學童學習數學的重要技能之ㄧ。從我國小學階段開始，文字題便普遍出現在數學教材中，而大部份的學童也是在小學階段，透過文字題來開始學習數學解題的方法。在其相關研究中也指出數學文字題是探究數學教育的重要主題之ㄧ (古明峰，1998) 。因此欲瞭解學童之解題情形，從探究國小學童解決文字題的情形入手，亦屬必要。然而，文字題對國小學童而言並不容易，許多學童深感文字題之困難，從研究者多

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年數學教育經驗中也發現，學童在基本計算能力的表現的確比文字題的解題表現還要好，而部分學童甚至只會做課程中出現過的類似題，沒有出現過的題型就比較不知道該如何動手去做，此乃文字題比一般的基本計算涉及更複雜的認知歷程所致 (古明峰，

1998) 。

中外數學解題歷程的研究中 (劉秋木，1996；Lester, 1985；Mayer & Wittrock, 2006；

Schoenfeld, 1985；Polya, 1945) ，大多數將解題歷程區分為瞭解題意、擬定計畫、執行計畫及回顧與檢討，是指解題者透過瞭解題目的意思，將題意做適當的轉譯，形成表徵，然後針對題意擬定解題的計畫，選擇正確的解題策略後加以執行，而且對解題的過程及答案加以檢討或監控的過程。隨著認知心理學的興起，也開始注重數學解題的認知歷程，更有不少學者提出後設認知對於解題的影響。其中以 Mayer (1992) 的認知解題歷程較為完整，將解題歷程分為問題表徵與問題解決，其中問題表徵包括問題轉譯與問題整合兩階段，問題解決則包括解題計畫及監控與執行，之後相繼提出自我調整在認知解題歷程中的重要性，目的在察覺與控制每一個認知歷程的過程 (Mayer & Wittrock,

2006) ，此外，又針對各個解題歷程所需具備的知識類型提出說明。從國內的相關研究 (林志峰，2007；涂金堂，1999；陳淑琳，2002；劉錫麟，1989) 指出在解題過程中，每一個環節都有可能使學童產生困惑，如學童對於如何將題目中的文字敘述轉換成數學算式感到困難，而不同語意結構、未知數所在位置、數值大小等文字題類型也會影響學童的解題，能否熟練多元的解題策略也是學童解題成功的關鍵之ㄧ。因此若欲提升學童之解題能力，教師則必須在教學過程中關心學童的解題歷程，瞭解其思考的模式，解題的策略等，更要關心與探索學童在解題歷程中所遭遇的問題。依據國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域能力指標 (教育部，2008) ，在第一階段的學習重點是掌握初步的數、量、形概念，第二階段在數的方面則強調學童要能熟練自然數的四則混合計算，我國國小學童在二年級時開始接觸乘法的概念，三年級時開始正式的除法教學，課程安排上乘、除法的文字題部分則以單步驟問題為主，而二步驟問題是從簡單的加減二步驟問題開始，二年級開始接觸加、減與乘二步驟問題，三年級開始接觸加、減與除和連乘的二步驟問題，到了四年級開始進行自然數的四則混合計

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算教學，此時才開始出現乘、除法混合的二步驟問題，而多步驟問題則在五年級時呈現。因此，對第二階段的學童而言，乘、除法的學習佔有很大的分量。有關乘除文字題的研究相當多，其中乘除法文字題類型除了以運算符號、運算步驟多寡來區分外，也有許多研究以語意結構來區分。研究中 (林碧珊，2010；陳淑琳，2002；謝旻虔，2009) 發現學童在等組型或是量數同構類型的解題表現最好，組合型表現最差。二步驟問題多數以運算符號為區分。陳國維 (2006) 的研究指出國小四年級學童在加、減兩步驟和乘、除兩步驟類型問題的解題表現較佳；在加 (減) 、乘兩步驟和加 (減) 、除兩步驟類型問題的解題表現較差。國小二年級學童則是在先加後乘的問題類型上表現較佳，其次是先乘後減，再來是先乘後加，先減後乘的問題類型表現較差 (郭怡君，2011) 。以運算步驟多寡來區分的研究中 (張再明，1994) 發現學童在單步驟文字題上的認知表現優於兩步驟文字題，顯示出問題的複雜度越高或運算步驟越多，學童在問題結構的認知方面表現就越差。通常學童在單步驟的解題表現較好，也較熟悉，因此解題成功可能是選擇適當的運算符號而致，在相同數學結構的下，學童對於二步驟問題比單步驟問題還要感到困難，其原因來自於不瞭解題意，使用錯誤的解題策略，使用單一的解題方法去解決二步驟問題以及題意上的操作順序與解題者呈現解題順序無法配合；而不同的語意結構及未知數的位置也會影響學生在二步驟比較類加減文字題的解題表現 (謝佳伶，2009) 。但學童在不同語意結構之二步驟乘除文字題的解題表現是否也如同單步驟乘除文字題的發展，尚未得知；且對第二階段的學童而言，乘、除法文字題的學習佔多數，因此本研究擬以國小四年級學童為研究對象，以瞭解學童在二步驟乘除文字題的解題歷程與表現，以協助教師對現行中年級數學課程在二步驟乘除法文字題之教學活動與教材設計。

第二節研究目的與待答問題

本研究目的為探究國小四年級學童在二步驟整數乘除文字題的解題歷程，再進一步探討並分析四年級學童解決二步驟乘除文字題時所產生的錯誤類型及其原因。

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壹、研究目的一、探討並分析國小四年級學童解決二步驟整數乘除文字題的解題歷程情形。二、探究國小四年級學童解決二步驟整數乘除文字題的解題策略與錯誤類型。三、分析不同數學成就之國小四年級學童在二步驟整數乘除文字題的解題歷程。貳、根據上述研究目的，本研究之待答問題如下：一、國小四年級學童在解決二步驟整數乘除法文字題中，在問題轉譯、問題整合、計畫與監控、執行計畫和自我調整的解題情形為何？二、國小四年級學童解決二步驟整數乘除文字題的解題策略與錯誤類型有哪些？三、不同數學成就國小四年級學童在解決二步驟整數乘除文字題的解題歷程有何差異？

第三節名詞釋義

壹、四年級學童本研究所指的四年級學童，是指在臺中市某兩所國小四年級上學期已經接受乘法、除法與四則運算之教學的學童。貳、文字題文字題亦即數學文字題，是以生活事件為材料，並以語文方式來描述問題情境的學問題。參、解題歷程

本研究將解題歷程分為四部份：表徵 (representing) 、計畫和監控 (planning and

monitoring) 、執行 (executing) 還有自我調整 (self-regulating) 為解題歷程 (Mayer & Wittrock, 2006) ，並參考 Mayer (1992) 將問題表徵又細分成問題轉譯和問題整合兩部

分。綜言之，本研究之解題歷程包含問題轉譯、問題整合、計畫與監控、執行與自我調整五個部份，且每一個解題的認知過程都涉及相關的知識類型，分述如下：

一、問題轉譯涉及語言知識與事實知識二、問題整合涉及概念性知識與基模知識

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三、計畫與監控涉及策略知識四、執行涉及程序性知識五、自我調整涉及後設認知知識與信念肆、語意結構本研究之語意結根據 Vergnaund (1988) 、Greer (1992) 的乘除法情境模式，將二步驟乘除文字題分為量數同構、等值群組、多重比例與倍數比較四種類型。分述如下：一、量數同構類型涉及到二個有直接比例的關係的度量空間。二、等值群組類型涉及到三個度量空，其中任意兩個度量空間有比例的關係。三、多重比例類型涉及到三個度量空間，且其中一個與其他兩個獨立的度量空間有比例關係。四、倍數比較類型問題在單一步驟問題時涉及三個量，一般式為a×s=b，a 稱為基準 量，s 稱為常量，b 稱為比較量，本研究之二步驟整數乘除文字題比單一步驟問題 多一個常量 s’，一般式為a×s×s, =b。伍、未知數性質本研究之未知數性質與語意結構有關，在不同語意結構中依據未知數位置的不同將文字題分成乘法與除法，類型如下：量數同構類型之未知數性質包括「基準量未知」、「最初量未知」、「變換量未知」和「最終量未知」；等值群組類型之未知數性質包括「最初量未知」、「變換量未知」和「最終量未知」；多重比例類型之未知數性質包括「最初量未知」、「變換量未知」和「最終量未知」；倍數比較類型之未知數性質包括「基準量未知」、「比較量未知」、和「常量未知」。陸、解題表現本研究之解題表現指的是進行自編研究工具施測後，問題轉譯、問題整合、計畫與監控、執行這四個部分總得分。

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第四節研究範圍與限制

在研究上由於人力、物力與時間的考量，而導致本研究有以下的限制，茲分述如下：壹、研究對象本研究以臺中市某二所國小四年級學童為研究對象，實施自編之研究工具，以瞭解學童的解題歷程。所以研究結果不宜推論至所有國小四年級學童。貳、研究內容本研究所採用之二步驟乘除文字題只選取四則運算問題中的一部份，不宜推論於所有四則運算問題；且題型的變因僅考量語意結構與未知數性質，未考量其他情境問題所造成的交互影響。

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第二章文獻探討

本研究目的是探討國小四年級學童在解決二步驟整數乘除文字題時的解題歷程。因此本章之文獻探討主要分為四個部份：第一節針對數位學者提出的數學解題歷程理論進行探討；第二節探討有關乘除法文字題的相關研究；第三節對現行有關二步驟乘除文字題的教材進行分析以及相關研究；第四節為探究解題歷程的相關實徵研究。

第一節數學解題歷程理論

壹、數學文字題的意涵及解題的意義

在深入了解數學文字題 (Math word problem) 的意涵之前，有必要先對「問題」的意義做理解。「問題」的意義到底為何？當現況與欲達成的目標之間有所差距時，問題就已存在，從認知心理學的角度來看，當人在有目的、有想要追求的目標，但是卻無法找到適當辦法時，所感受到的心理困境。也就是說「問題」是指個人在面臨一種有待解決的情境時，而目前所呈現的狀態和所要達到的目標之間存有差距或是過程中產生阻礙，出自於個人意識，企求或期待達到目標的心理狀態 (張春興，1994；Bransford & Stein,

1984；Mayer, 1992) 。我國國小階段數學教材，幾乎皆以問題為核心概念編寫，主要透過問題情境的鋪陳，解題策略的分析來達到數學概念的傳遞，因此「文字題」可說是數學教科書中概念的主軸。而所謂的「文字題」是指以文字來描述問題情境的數學計算問題，學童解數學文字題時，要能熟悉計算過程，也要能理解問題的要求以及理解文字所提供之條件來解決問題 (Mayer, 1992) ；而「文字題」比一般計算題涉及更加複雜的認知歷程，是以日常生活事件為材料而且用語文型態來描述的數學問題情境 (Cummins, 1991) 。綜言之，「文字題」是以生活事件為材料，並以語文方式來描述問題情境的數學問題，解題者需要具備語文與數學知識、推理思考、計算技巧，以解決問題。胡炳生 (1994) 提到數學解題是一種系統工程，在解題過程中，除了以解題者本身

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的數學知識及個人的解題經驗為基礎外，主要是解題者在解題過程中所產生的思維活動。理解與解題兩者是不可分的，當解題者能夠完全理解一個問題情境的結構時，就能解決問題，也可以說，解題過程是解題者透過不斷重組問題結構的一段歷程 (劉秋木， 1996) 。Kilpatrick (1985) 也以心理學、社會學和數學三個層面來描述數學解題的意義，從心理學層面來看，數學解題是指在情境中，解題者想要達到某種目標，但是過程中因受阻而產生了問題，需要解題者運用數學知識、概念、原理與方法來解決，是為了達到目標所做的活動；從社會學層面來看，解題是老師交給學童的任務，在學童接受任務時與老師之間的微妙關係，學童猜測自己的解題是否符合老師心中所想的，老師也會猜測學生如何解題，雙方各自由自己的觀點去解釋對方的行為；從數學層面來看，數學是數學家們在形成問題與解題過程中所創，因此數學問題是數學建構的泉源與思考的工具 (黃敏晃，1985) 。综上所述，研究者認為在數學教育現場，數學解題指的是當解題者面對某一情境問題時，會回想先前的學習經驗或依據習得的數學知識，進一步猜測、分析、比較、重組問題等，當在解題過程中遭遇挫折，解題者不斷嘗試解決問題的一連串思維活動。貳、數學解題歷程模式有關數學解題歷程的理論，從 Polya (1945) 提出解題四階段論後，就有不少學者投入數學解題歷程的研究，紛紛提出其看法。以下就劉秋木 (1996) 、Polya (1945) 、Lester

(1985) 、Schoenfeld (1985) 、Mayer (1992, 2006) and Wittrock (2006) 的數學解題題歷程

模式做探討。

一、Polya (1945) 的四階段解題歷程

Polya (1945) 在「怎樣解題」 (How to solve it) 一書中，將解題歷程區分為四個主

要步驟，茲分述如下：

(一) 瞭解問題：瞭解問題在問什麼以及已知、未知的條件和解題目標是什麼。

(二) 擬定計畫：找出已知數和未知數之間的聯繫，擬定解決問題的方法、策略和程序 (三) 實施計畫：執行所擬定的計畫進行解題。

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問題上。在解題歷程中的每個解題步驟都有一連串的問題與提示，以利於解題者自我對話或是教師與學生對答中對自我解題歷程有清晰的理解。Polya (1945) 指出這四個解題的步驟並不是依直線進行的，當擬定的計畫無法執行或是答案錯誤則需重新檢討，折返至前一階段重新擬定並再次執行計畫，直到問題解決為止。二、Lester (1985) 解題模式 Lester (1985) 提出「認知 — 後設認知」的模式，認知成分共分為四項：導引 (orientation) 、組織 (organization) 、執行 (execution) 及驗證 (verification) ，類似於 Polya (1945) 的解題四步驟。而後設認知的成分則分為個人 (person) 、工作 (task) 及

策略 (strategy) ，後設認知知識指的是用來處理認知活動的知識，且透過經驗的累積而得，個人部分指的是認知者本身的知識與個人特質；工作部份是指認知者擁有關於工作內容的特質與對認知活動的要求；策略部份是指認知策略與後設認知策略之知識，用來完成目標的策略或程序。認知策略是用來完成認知活動的策略，而後設認知策略則是監控認知策略的運作。後設認知在解題的歷程中扮演著監控、調整和修正的角色，導引著認知活動的進行。以下就依據導引、組織、執行及驗證說明解題的模式。 (一) 導引：認知部分主要是評估及瞭解問題的策略，包括分析情境及訊息之間的關係，評估之前是否做過類似問題，擬定策略，確定問題開始與接續的表徵及評估問題難度。而後設認知部分，解題者個人對認知歷程進行監控或調整，例如：這一題看起來像某一類型的題目或不像我以前做過的題目。找找關鍵字，而這些關鍵字會告訴我要怎麼做。 (二) 組織：認知部分主要是計畫並選擇採取的步驟，包括確定主目標及子目標並提出解題的各子計畫。而後設認知部分，解題者個人對認知歷程進行監控或調整，例如：我可透過數字而求得答案。我想我應先算這些數字。我不確定，但我想這個方法也許能解決這類的問題。我不確定，先猜猜看。這是某一種類型的題目，我可以用類似的方法解決。 (三) 執行：認知部分主要是計畫執行及監控，包括執行與監控子計畫及整體計畫的進

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行。而後設認知部分，解題者個人對認知歷程進行監控或調整，例如：我正草率的演算，所以最好算慢一點。這題很複雜，我要小心一點。這個方法不通，我要嘗試其它方法。我需要複誦我正在做什麼，才不會離題。我要寫下步驟提醒自己。 (四) 驗證：認知部分主要在於評鑑決策與執行計畫的效果，包括評鑑、導引與組織過程以及執行過程是否適當。例如：我最好再檢查每個步驟。我不確定這個計畫是否合適，最好再檢查一次。我不確定是否讀懂題目，我會重讀一次。這個答案似乎太大了，我應該再檢查我的計算過程。三、Schoenfeld (1985) 的數學解題歷程模式

Schoenfeld (1985) 在「數學解題」 (Mathematical problem solving) 一書中，強調數

學解題的研究方向需要考慮四個變項：資源 (resources) 、捷思 (heuristics) 、控制

(control) 、及信念系統 (belief system) 。

(一) 資源是指解題者擁有與解題相關的數學知識，而這些數學知識包含了數學事實、定義、運算程序及技巧等訊息。 (二) 捷思是指捷思策略 (heuristics strategies) 而言，例如：簡化問題、畫表格、尋找題型、猜測…… (三) 控制則是著重於解題者解題時，如何決定計畫、選擇目標和次目標及監控與評估解題結果等方面。 (四) 信念系統是指解題者對於數學的觀點，而此數學觀將會影響其解題行為。也就是說，解題者在解題時，會先從個人記憶中提取與解題相關的資訊，透過適當的解題策略來嘗試解題。但是在解題歷程中，要提取哪些相關資訊？採用哪種解題策略？如何規畫解題途徑？有錯時如何導正解題方向？等這些問題都由控制所負責。此外，解題者本身的數學觀點也會影響解題行為。而當解題者在累積一些解題經驗後，對於某一類型的問題，會採用某種策略進行解題活動，逐漸形成解題者的個人解題策略。而在資源、捷思、控制及信念系統等四項變項中，控制因素是較為關鍵的地位。因此以控制因素的觀點，將解題歷程區分為閱讀、分析、探索、計畫、執行、驗證等六個階段，配合每一個階段，提出一些相關問題，以協助解題的分析。

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(一) 閱讀 (reading) ：涉及的問題包括注意到問題中所有的條件與了解目標嗎？而條件、目標是明顯的還是模糊的？是否評估解題者的現有知識與問題的關係？ (二) 分析 (analysis) ：涉及的問題包括選擇什麼觀點？選擇是明顯的或是模糊的？選擇問題條件採取行動嗎？選擇問題目標採取行動嗎？條件和目標有何關聯？解題者的上述行動合理嗎？ (三) 探索 (exploration) ：涉及的問題包括本階段是問題的條件導向的？或目標導向的？採取的行動有方向或重點嗎？有目的嗎？有無監控行為？監控行為的有無對解答的結果有何影響？解題者所採取的行動是否合理？ (四) 計畫-執行 (planning-implementation) ：涉及的問題包括是否有計畫行為？計畫與解題有相關嗎？是否適當？是否有好的架構？受試者是否評估計畫的相關性、適當性及結構性？執行是否依計畫進行？是否在局部或整體評估執行？評估之有無對結果有何影響？ (五) 驗証 (verification) ：涉及的問題包括解題者是否重新檢查、考驗答案？用什麼方法？有無歷程及解答的評估？對結果的信心有多少？ (六) 過渡 (transition) ：涉及的問題包括對解題的當前狀態有無評估？若放棄某一解題途徑，是否企圖利用其中有用的部分？有無評估放棄的解題途徑對解答產生的局部與整體的影響？採取的行動適當或必要嗎？是否評估採取新途徑的影響？或是接使用新方法？採用新途徑後有無評估其影響？在 Schoenfeld (1985) 的解題歷程中，仍可發現整體架構未脫離 Polya (1945) 的架構，所提出的相關性的問題，由於解題者思考解題的過程十分複雜，有時並無直接表現在外，透過觀察得知其思考程序實屬不易，因此難以區分清楚屬於哪一階段 (引自涂金堂，1999) 。四、劉秋木的數學解題歷程模式劉秋木 (1996) 以 Polya (1945) 的解題歷程為基礎，提出了一個融合後設認知的解題歷程，此歷程共有四個步驟為理解問題、擬定計畫、執行計畫和檢討與回顧 (劉秋木， 1996) 。每個步驟又包含了幾個分步驟，步驟內容見表 1，在執行每一個步驟都要檢查

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並評估，而這種評估檢查與調控的能力，稱為「後設認知 (Metacognition) 」。 (一) 理解問題：要建構初步的問題表徵，首先要瞭解文字的意義、應用相關的知識、分析問題中的目標與條件、轉換不同的表徵。 (二) 擬定計畫：通常複雜的問題需要思考的策略才能發現隱含的結構，而本階段的重點是發明或憶取如何發現結構的思考策略。 (三) 執行計畫：擬定計畫與執行計畫的過程很難分開，實際的解題過程可能會在幾個步驟間來回運轉，若執行不通，再擬定新的計畫。 (四) 檢討與回顧：評估解題過程與結果、認知結構的重組。表 1 劉秋木之數學解題的心理歷程認知歷程 (cognition) 後設認知 (Metacognition) 歷程步驟內容反省 (reflection) 調整 (regulation) 瞭解題意了解文義/設想情境/憶取數學知識/分析目標/圖畫表徵反省質疑評估採取一種解釋依評估結果改變原解釋擬定計畫條件目的分析/應用算術式/畫圖、做資料表/簡化問題/尋找組型/猜測與檢核/發現關係/推理反省質疑評估選用策略 依評估結果改變策略 執行計畫計算/導出算式/測量/作圖反省質疑評估持續進行工作檢查算法改變算法檢討與回顧評估解題過程/評估答案/ 驗算/重組解題經驗/設計類似問題反省質疑評估檢查解答修正答案資料來源：修改自劉秋木 (1996) 。國小數學科教學研究 (頁 572) 。臺北市：五南。五、Mayer 的數學解題歷程 Mayer (1992) 從認知心理學的觀點，對解決數學文字題的歷程進行分析，他將解題

歷程分為問題表徵 (problem representation) 和問題解決 (problem solution) 兩大步驟，問題表徵又細分為問題轉譯 (translation) 與問題整合 (integration) 兩個子步驟，問題解決則細分為計畫和監控 (planning and monitoring) 與執行 (execution) 兩個部份。到了

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表徵通常是發生在解題者嘗試將外在所呈現的問題轉譯成內在心理表徵時，例如：數學課本中常見的文字題，解題者將問題中文字的敘述，每一個句子或主要詞句轉譯成內在的心理表徵。問題的表徵還包括解題者知道問題中初始或已知的條件，所求的目標是什麼以及所有連貫這兩者之間的表徵。當問題的陳述被轉譯成心理表徵後，接下來的就是解題的工作，計畫指的是解題者須具備解決問題的策略知識，如把複雜問題分解成幾個較小的次目標。同時也必須監控這些解題策略是否能有效的協助解題者找到正確的答案，確定解題策略後就是執行計畫，以程序性知識正確且有效的應用算式，執行計算工作，得到答案。自我調節指的是解題者在以完成目標為導向，對解題過程質疑、修改或支持，例如：解題者在問題中遇到困難，反省並檢查之前的每一個步驟是否有錯誤，表徵適當嗎？計畫與表徵之間的過程適當嗎？計算是否正確？逐步進行調整，直到完成解題目標為止。

相對應於每一個歷程，解題者需要具備事實知識 (factual tual knowledge) 、概念性知識 (conceptual knowledge) 、程序性知識 (procedural knowledge) 、策略知識 (strategic

knowledge) 、信念 (beliefs) 以及後設認知知識 (metacognitive knowledge) 來進行解題 (Mayer & Wittrock, 2006) 。以下列數學文字題為例整理如表 2，並加以說明：

題目：「正方形的地磚以每邊 30 公分的規格出售，如果每塊地磚賣臺幣 30 元，那麼一個長 7.2 公尺，寬 5.4 公尺的長方形房間，整個房間要鋪滿地磚，一共需要多少元？」 (一) 解題者必須能將問題中的文字敘述轉譯成內在心理表徵。在轉換的過程中必須先瞭解句子的意思。以此例來說即是要知道問題中包括下列事實：每個地磚是 30 公分 ×30 公分的正方形，房間是 7.2 公尺×5.4 公尺的長方形，每一個地磚的價錢是臺幣 30 元，想要知道房間鋪滿地磚的價錢是多少。事實知識是指在真實世界中所需知道的一些事實，在此文字題的轉譯過程中，解題者所需具備的事實知識是正方形每邊長一樣長以及 1 公尺等於 100 公分。接下來必須將問題中所陳述的句子加以整合而成連貫的問題表徵。在整合的過程中，必須具備概念性知識，在此例中所用到則是：長方形面積=長×寬，同時也需要知道問題中哪些資訊與解題有關。

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(二) 解題者必須想出解題計畫與監控。此時解題者須具備策略知識，例如將問題分成較小的次目標，以此例來說：找出地磚的面積，找出房間的面積，找出所需地磚的數量以及這些地磚所需的價錢，都是較小的次目標。同時監控計畫的進行，例如說用 30×30 來表示地磚的面積，使用的是公分×公分，因此房間的面積 7.2×5.4 使用的是公尺×公尺，就要注意單位的轉換。 (三) 當根據解題計畫列出解題的算式後，解題者能夠運用算術的法則來算出答案，則為運用程序性知識，程序性知識指的是做某些事的特定程序，例如：算出 720×540=() 的答案，執行整數乘法的運算程序以獲得答案，就是根據程序性知識。 (四) 自我調整中所需具備的是後設認知識與信念，後設認知 (Metacognition) 指的是指解題者能夠察覺與控制每一個認知過程，也包括了信念，舉例來說，信念可看做對於數學的看法，若覺得自己的數學不好，也可能影響其解題過程。劉秋木(1996) 也提到後設認知是一種反省與調整的能力，在執行每一個解題步驟都要反省、質疑並且評估。當有所質疑時提出新的解釋，再加以評估，依據評估結果做調整。Schoenfeld (1985) 提到解題的四大變項之ㄧ信念系統，也提到解題者對數學的觀點，會依照以往解題的舊經驗之不同而有所差異，而其觀點也會影響解題的行為。而 Mayer (1992) 所提出解題過程中所牽涉之技巧，問題轉譯指的是能讀懂題目的意思，瞭解語句的關係，辨認題目中的已知條件與解題目標，辨識有關或無關資料等；問題整合指的是能分辨問題類型，以圖畫、符號來表示問題；計畫與監控指的是能以數字或方程式或必須的運算列單來表示問題，知道問題的次目標，下結論等；執行指的是能單純計算或是連續計算 (引自林清山，1997) ；自我調整指的是能對每一個認知過程進行評估與調整 (Mayer & Wittrock, 2006) 。

綜上所述，劉秋木 (1996)、Lester (1985) 、Schoenfeld (1985) 的解題歷程都是以

Polya (1945) 的解題四步驟為基礎發展出來的，Lester (1985) 除了重視解題的認知歷程

外，也重視後設認知對解題的影響，與 Schoenfeld (1985) 提出的後設認知和信念系統類似，劉秋木 (1996) 亦重視後設認知對解題的影響，認為解題過程是不斷重組結構的歷程，而且必須依靠解題者本身對每一個解題歷程進行評估、質疑與反省。Mayer (1992) 有

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別於數學家的觀點，從認知心理學的觀點出發提出解題四步驟，還特別指出與各個解題成分相呼應的知識種類，有助於教師在設計問題以及教學時的思考，更針對解題歷程增添了自我調整強調後設認知的重要，對所經歷的認知過程進行評估與調整 (Mayer & Wittrock, 2006) 。

第二節數學文字題結構分析與相關研究

文字題的分類有許多不同的標準。有的依問題結構之嚴謹性來分類，如結構完整清楚的問題，有解題規則的單一步驟題型，而結構完整但解題程序必須依靠解題者自行考慮解題訊息、程序的多步驟題型，還有結構鬆弛之問題，具有多餘的、矛盾的訊息、解表 2 Mayer 解題的認知過程與知識類型

Mayer (1992) Mayer and Wittrock (2006)

成分知識類型成分知識類型地磚問題的例子問題轉譯語言知識事實知識事實知識正方形每邊一樣長。 1 公尺等於 100 公分。問題整合基模知識表徵概念性知識長方形面積＝長×寬計畫和監控策略知識計畫和監控策略知識 1.找出房間的面積是 720×540 2.找出每塊地磚的面積 30×30 3.算出鋪滿整個房間所需要的地磚總數 4.將所需地磚總數乘以 30，以求出總共需要多少錢？執行程序性知識執行程序性知識 720×540＝388800 30×30＝900 388800÷900＝432 432×30＝12960 自我調整後設認知知識/信念對表徵、計畫和監控、執行計畫和獲得的答案進行反省、評估與調整。

)

, 2 , 1, x x f =？ 2.等分除問題：例：小英一家 5 人露營 15 天，準備的飲用水 150 公升，問小英家裡每人每天用水多少？ 1 M ＝﹛人數﹜，M2＝﹛天數﹜，M ＝﹛水的容量﹜3 5 , 1 = x ，x2, =15，

(

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部份，由於群組數量和群組大小代表意義不同，彼此間無法互換。如果群組數量和群組大小都已知，屬於乘法問題，例如：「每 4 顆蘋果裝一盒，佳佳買了 3 盒，一共買了幾顆蘋果？」如果總數和群組大小都已知，而群組數量未知，則屬於包含除問題，例如：「佳佳有 12 顆蘋果，想要把所有蘋果放入每個可以裝 4 顆蘋果的盒子內，她最少需要幾個盒子？」。如果總數和群組數量都已知，而群組大小未知，則屬於等分除問題，例如：「佳佳有 12 顆蘋果，想要平分給 3 位小朋友，每個小朋友可以得到幾顆蘋果？」 (二) 倍數比較問題情境包含兩個量的比較，在整數情境中，大數 (比較量) 是小數 (單位量) 的特定整數倍 (單位數) ，此三個數皆可未知，在比較量未知時，屬於乘法問題，例如：「莉莉 4 顆糖果，佳佳的糖果術是莉莉的 3 倍，佳佳有多少顆糖果？」在單位量未知時，屬於等分除，例如：「佳佳有 12 顆糖果，她的糖果數是莉莉的 3 倍，莉莉有多少顆糖果？」在單位數未知時，則屬於包含除情境，例如：「莉莉 4 顆糖果，佳佳有 12 顆糖果，佳佳的糖果術是莉莉的多少倍？」 (三)組合問題問題是由已知的二集合中元素的一對一配對的組合。例如：「莉莉有 4 件上衣和 3 件裙子，每一件上衣和每一件裙子都可以穿，如果莉莉每一次都選一件上衣和一件裙子，她可以有多少種穿法？」屬於乘積未知的乘法問題情境，但若是乘積已知，單位量未知則屬於除法問題情境。 (四)矩形面積問題是指乘積是由兩個相同單位所形成另一個新單位。例如：「有一個長方形長 4 公分，寬 3 公分，這個長方形面積是多少平方公分？」屬於面積未知之乘法問題情境，若是邊長未知時，則屬於除法問題情境。綜上所述，考慮數的觀點的 Vergnaund (1988) 和考慮量的觀點的 Schwartz (1988) 對於乘除法結構的分析最為相似，而 Vergnaund (1988) 雖包含的乘除法類型較廣，但缺少比較型的問題，Schwartz (1988) 雖涉及多重比例的部份，但只是屬於其中的一種類型。 Nesher (1988) 與 Greer (1992)對於乘除法結構的分析也較相似，皆缺少了多重比例的部

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份，其中 Greer (1992) 將叉積類型問題又依情境分為矩形面積和組合。貳、影響文字題解題的因素

綜合國內外之研究，將影響文字題解題因素分別以語文、問題結構、解題策略、概念發展與後設認知進行探討，內容分述如下：

一、語文因素

從解題歷程的研究中 (Lester, 1985；Mayer, 1992；Schoenfeld, 1985；Polya, 1945) 顯示，其解題的第一步驟就是瞭解與分析題意，學童必須透過閱讀，發現題目中的已知、未知條件與解題目標並瞭解其中的關係，Mayer (1992) 將文字題的句型分為三種：陳述句、關係句以及疑問句，而在理解句型的過程中，會產生遺漏陳述句、關係句及疑問句，對關係句誤解為陳述句等錯誤型態，當題目中有關係句的出現，就易增加瞭解題目的難度，而文字題中文字敘述的複雜程度也是影響因素之ㄧ (古明峰，1999) ，例如包含多餘訊息的文字題就會影響學童解題 (丁春蘭，2003) ；尤其是當題目訊息 (多) 與計算方式 (減法) 相反時，解題者常直接將關鍵字轉換成數學表徵，而導致解題失敗，其關鍵就在對題意的不理解 (Hegarty, Mayer & Monk, 1995) ，尤其是準確率低的學童更易在不一致性的問題上產生解讀錯誤 (Hegarty, Mayer & Green, 1992) ，洪敬傑 (2011) 以四年級學童為研究對象，採用系統功能語法的理論為基礎，針對六位數學程度不同的學童進行訪談，探究其對語言特徵的理解情形。研究結果發現學童在閱讀題目時，經常受到表達時態與情態的人際成分干擾，忽略從文字題中其他成分來判斷兩個數量間的關係，換句話說，學生容易受到關鍵字的干擾而選擇錯誤的解題策略。在比較型文字題中也會受環境成分的影響，看到「比……多……」即理解為加起來；反之，就用減法表示兩數的關係。由此可知，學童的語文能力與閱讀理解能力是會影響其解題表現的 (秦麗花， 2007；曹宗萍，1988) 。二、問題結構 Mayer (1992) 在解題歷程理論中提到將題目中的陳述句整合成一致的問題表徵是解題的關鍵，其中涉及到學童是否具有基模知識，即問題類型的知識。當問題結構複雜度增加，學童因其基模知識之不足或是產生混淆而導致影響解題表現 (張再明，1994) 。

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涂金堂 (2006) 以36位國小六年級為研究對象，採用劉秋木 (1989) 所編制的數學解題行為量表和自編的數學文字題知識結構的分類測驗為測量工具，對蒐集來的資料進行統計分析，結果顯示數學文字題問題結構與數學解題表現達到顯著相關，其中數學解題表現較佳的傾向採用相似的深層結構作為分類依據，數學解題表現較差的傾向採用相似的表面結構作為分類依據。而問題的深層結構指的是題目間解題方法相似之問題基模，表面結構則是題目間情境相似之問題基模 (Dixon & Bangert, 2004) 。

謝旻虔 (2009) 研究國小四年級學童解乘除文字題表現，，，採用 Greer (1992) 的乘除，情境分類來探討學童解九種單步驟乘除文字題的解題表現，研究結果顯示以等組型表現最佳，對於笛卡兒乘積問題則覺得較困難。林碧珍 (1991) 以國小五、六年級為研究對象，採取自編之乘除法應用問題的測驗為研究工具，蒐集資料及抽訪二十位學童進行晤談，根據研究結果顯示學童對於乘除文字題的解題表現也會受到語意結構、情境的不同而受影響，學童認為量數同構型文字題較簡單，多重比例型則較有難度。綜上所述，問題結構的複雜程度及問題的類型是影響學童解題的因素之ㄧ。此外，有研究顯示利用擬題的方式，亦即透過老師給算式，讓學童自行編寫一個符算式的題目，能增加解題的成功率 (邱瑤瑢，2006；戴伯錚，2008) 。邱瑤瑢 (2006) 探究四年級學童除法之算式表徵轉換為文字表徵的數學擬題能力中發現擬題能力越好，除法解題能力越好；而戴伯錚 (2008) 則針對三位四年級有解題困難之學童進行擬題教學活動，發現在改變類題型中，解題能力有所提昇，具有教學成效及保留成效。許淑萍 (2002) 以國小六年級學童為研究對象，採用自編擬題測驗，探討學童將算式表徵轉換成文字的擬題能力，研究結果顯示，學童擬單步驟乘除文字題的集中於量數同構型，而多步驟題型則集中於多重比例型。三、解題策略解題策略指的是學童找尋答案的途徑與方法，與 Schoenfeld (1985) 所提到的捷思策略相似，而如何找到正確的解題方法，是解題成功的要件。Hegarty, Mayer, and Monk

(1995) 以大學生為研究對象，比較成功解題者與不成功解題者的區別，不成功解題者在

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徵，因受關鍵字影響，看到關鍵字「更多」就選擇加法，關鍵字「更少」就選擇減法，忽略題目中所提供的其他訊息，因而導致解題失敗；成功的解題者傾向以「問題模式策略」為主，將問題中的敘述轉譯建構成心理模式，以此發展解題計畫。在專家與生手的研究顯示，生手解題者傾向使用問題的表面敘述，著重在數量的計算；專家解題者則傾向使用問題陳述中的概念關係，先從找尋解答數量的語詞開始，理解題意後，選定適當的解題方法，有效的執行解題計畫 (王春展，1997；古明峰，1998) 。國內研究中，也不乏對乘除文字題之解題策略的相關研究，茲分述如下：許美華 (2001) 探討國小二年級學童正整數乘法問題的解題策略，以自編之紙筆測驗的施測結果進行文件分析。其研究結果發現如下：（一）國小二年級學童常用的正整數乘法解題策略包括圖畫式直接表徵、節奏式點數、連加法、兩兩相加法、重複相加法、分堆相加法、直接乘法、先乘再加法、接續乘法表之序列乘法和二堆乘法。（二）並非所有二年級學童都能在乘法教學後就能馬上改用乘法的方式來解題。（三）學童對題意的理解程度會影響其選擇何種解題策略解題，面對不同類型的問題使用的解題策略因此不同，例如：在等組型問題中，學童最常使用兩兩相加法和連加法來解決；在直積型問題中，則用直接乘法；對於「比較型問題」則較常使用圖畫來輔助解題。（四）數字大小使學童產生解題策略的改變。例如：當計算次數增加時，學童為了嘗試減少計算行為的次數，因而產生不同的解題策略。翁宜青 (2003) 以個案研究法探討一位三年級學童解決簡單比例問題時使用的解題策略，在比值型態第一、二、三式之簡單比例問題中，採用疊加法、數量分解法、單價法與倍數法，但是對於第四式簡單比例問題，因為沒有整數倍關係，加上對帶分數與單位量不熟悉，而導致解題失敗。而所謂的簡單比例問題 (A：B＝C：X) 是以四個數的整數倍關係情形分為四式，當C同時是A與B的整數倍為第一式、B是A的整數倍為第二式、C是A的整數倍為第三式、C不是A或B的整數倍為第四式。與Vergnaud (1988) 所提出的量數同構型中3的規則類型問題相似，而研究中該學童所使用之解題策略詳述如下：

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（一）疊加法：以累加的方式堆算出答案。例如：「3顆糖果7元，9顆糖果多少錢？」，學童由3顆糖果7元，推算出6顆糖果14元，9顆糖果21元…… （二）單價法：先求出單位量，再以單位量乘以單位數。例如：「3顆糖果15元，7顆糖果多少錢？」，學童先算出一顆糖果5元，再5×7＝35，算出7顆糖果需要35元。（三）倍數法：例如：「4顆糖果15元，8顆糖果多少錢？」，學童先算出8顆糖果是4顆糖果的2倍，8顆糖果的價錢也是4顆糖果的價錢的2倍，來算出8顆糖果需要30元。（四）數量分解法：在計算過程中，將問題量數分解為兩個以上的量數，再組合起來。例如：「4顆糖果8元，9顆糖果多少錢？」，學童以4＋4＋1＝9，將9分解為兩個 4和一個1，已知4顆糖果8元，8×2＝16，再以8÷4＝2算出一顆糖果2元，再將兩數合起來，16＋2＝18，算出9顆糖果18元，也就是將18分解為8的2倍和2這兩個數，再計算出答案。林原宏 (1994) 以國小高年級為研究對象，採用列式策略與試題分析探討學童在乘除文字題的列式表現、策略及概念。從晤談中，發現學生對於乘除文字題，會預期結果量作為選擇運算符號的依據，在除法運算時喜歡用較大的數除以較小的數，也喜歡把整數當作乘數或除數，並且受到某些單位關鍵字影響，把有此單位的數字當作被乘數或被除數。綜上所述學童的解題策略會因為對題意的瞭解程度，語意的結構，數字的大小，關

鍵字的運用等而有差異。而

Mailk and Iqbal

(2011) 針對八年級生進行有關解題策略教

學活動的實驗研究，研究結果發現進行解題策略教學的實驗組與控制組的解題表現有顯著差異。若解題策略為解題成功之要件，而教導解題策略有助於解題表現的提升，則教師於教學現場中，根據學童在解題策略中常見的錯誤類型進行教學，引導學生嘗試不同的解題策略，累積個人之策略知識，將有助於學童提升解題能力。四、概念發展甯自強 (1993) 認為正整數的乘除法是單位量的轉化概念，而組合型問題屬於邏輯的乘法，對學童而言有困難，數的乘法是學童較常接觸到的，指的是把高階單位所表示的量轉化成低階單位所表示的量就是乘法單位量的轉化；包含除則剛好相反，而等分除

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則是新高階單位量未知的單位量轉化活動。單位量轉化的活動涉及到兩個或以上的集聚單位且預設了一個新集聚單位的存在，而集聚單位則必須具有可再製，可重複製作的量或是單位結構，可以測量的特性。從不同運思期來看學童數概念的發展，在合成運思期，開始建構出集聚單位，但卻是獨立的，因此無法處理單位量轉化的問題。在累進性合成運思期，可以把較小的數內嵌於較大的數中，建構出與序數相容的數概念。在進行量的分解與合成中，集聚單位已經具有可重製性，並透過在不同情境下所製作集聚單位，做比較與歸納，建構出可重複的集聚單位。但是集聚單位的重複活動與 1 的重複活動易受混淆，因為 1 仍內嵌於集聚單位中，無法獨立出來。除法方面，以 15÷3 為例，其意義為 15 個 1 可以做出幾個 3，當 1 個 3 被造出來時，15 就消失了，剩下一個 3 和一個 12，可以看出是連減活動而不是包含除，因為 3 指的是聚合 3 個 1 的集聚單位，而不獨立於 15。在部分-全體運思期已經可以區分 1 與集聚單位之差別，且學童所掌握之集聚單位已經具備可重複單位結構。也就是說，6×4＝()，學童可以重複累計 4 個 6 而得出 24。在除法方面，以 15÷3 為例，雖然已經知道全體 15 包含了數個 3 的部分，但是 3 並不是用來測量 15 的單位。在測量運思，可以掌握 1 與集聚單位之間部分全體的關係，還可以掌握集聚單位與集聚單位之間部分全體的關係。解決 4×3＋2×3＝()的問題，可以先計算 4＋2，再計算 6×3；解決 4×3＋()×3＝18 的問題，可以用 3 為單位來解題。李光榮 (1997) 針對某一位四年級學童的正整數乘除概念進行個案研究，根據分析結果發現，該學童具備合成性巢狀數數概念，能掌握集聚單位與 1 之間的部份全體關係，將集聚單位同化成合成性巢狀數但是缺乏保留概念，將幾拾幾視為幾個十與幾個一的合成，能利用集聚單位直接加減運算解題，使用的集聚單位缺乏可迭次性。曾淑芬 (2009) 也以單位量轉換的觀點探究中年級學童在乘除問題上的表現，三年級學童對於二階單位轉換、追加問題較感困難，尤其是集聚單位與集聚單位的轉換，答對率更低，其運思發展大致介於累進合成運思期與部分全體運思期；四年級學童則是對集聚單位與集聚單位的轉換較感困難，其運思發展大致介於部分全體運思期與測量運思期。五、後設認知

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在解題歷程的研究中 (Lester, 1985； Mayer & Wittrock, 2006；Schoenfeld, 1985) 都提到後設認知對解題的影響。Mayer (1998) 認為對學童而言，認知、後設認知與動機都是成功解題中必要的。涂金堂 (1999) 認為後設認知在解題過程扮演一個重要的角色，教師如何在教學活動中，協助學童運用知識與策略來解題，而且對於策略運用的過程進行監控、檢核與修正，有助於使學童成功的解題。從丁春蘭 (2003) 的研究中也可以發現後設認知能力與解題表現是有相關的，其中「對列式的後設認知能力」與「解題後對答案的後設認知能力」皆與解題表現達到顯著相關。

第三節二步驟乘除文字題的教材分析與相關研究

壹、二步驟文字題教材分析依據國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域課程綱要 (教育部，2008) ，將九年國民教育區分為四個階段，國小一到六年級分為三個學習階段，國中一到三年級為第四階段。學習內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」，前四項主題的能力指標編碼，分別以 N、S、A、D 表示，以 1、2、3、4 表示第一、二、三、四階段習，最後一碼為流水編號。在小學階段有關乘除法與二步驟問題的能力指標如下：第一階段(一、二年級)： N-1-04 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。 N-1-05 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。 N-1-06 能理解九九乘法。 N-1-07 能在具體情境中，解決加、減、乘之兩步驟問題(不含連乘)。第二階段(三、四年級)： N-2-04 能理解除法的意義，解決生活中的問題，並理解整除、商與餘數的概念。 N-2-05 能理解乘、除直式計算。 N-2-06 能在具體情境中，解決兩步驟問題(含除法步驟)。 N-2-07 能做整數四則混合運算，理解併式，並解決生活中的問題。 A-2-01 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。 A-2-02 能在具體情境中，理解乘法結合律，並運用於簡化計算。

國小四年級學童二步驟乘除文字題 解題歷程之研究