解題歷程之相關實徵研究

從 Polya (1945) 提出數學解題歷程的四階段論後，陸續就有學者進行相關的研究 (Lester, 1985；Mayer, 1992；Schoenfeld, 1985) ，因此有許多研究以解題歷程理論為依據，

探究學童在解題歷程中的表現，以作為提升解題能力及協助教師改善教學成效的參考，

以下就提出幾位學者對學童的解題歷程所進行的相關研究，加以探究。

涂金堂 (1999) 以 Schoenfeld (1985) 的數學解題模式為理論基礎，採用放聲思考 法，探究國小六年級學童的數學解題歷程，研究樣本為低、中、高數學能力學童各兩名，

研究工具為非例行性題目，研究結果發現：

一、中、高數學能力組的學童與低數學能力組學童有不同的解題行為：

(一) 在資源方面，中、高數學能力組的學童有豐富的數學資源，能從不同的解題路徑解 題；而低數學能力組學童比較缺乏數學知識，只是採用拼湊數據的方法來進行解題。

(二) 在捷思方面，中、高數學能力組的學童採用多元的解題策略，如畫表格、簡化問題 或猜測等；而低數學能力組學童較缺乏數學知識，只是將題目中的數字以自己猜測 的方式任意的運算。

(三) 在控制方面，中、高數學能力組的學童在求得一個解答時會立即驗算，並質疑其合 理性；而低數學能力組學童比較少驗算，當解答與題目的條件產生矛盾時也很難覺 察得到。

(四) 在信仰系統方面，中、高數學能力組的學童通常在瞭解題意後，才開始進行解題；

而低數學能力組學童則在未充分瞭解題意時，就開始將題目中的數字進行拼湊與計 算，以期得到一個符合題目的答案。

二、在讀題與計畫兩階段，不同數學能力組的學童在階段的轉換次數與使用時間並無差 異，但在分析、探索、執行與驗證階段低數學能力組學童在階段的轉換次數與使用 時間比中、高數學能力組學童少。中、高數學能力組學童在解題過程中常出現分析 行為，每一題會出現兩、三次的探索，在計畫階段只有一位高數學能力組學童對題 目有完整的計畫，其他學童很少出現，而執行階段出現的頻率也較高；低數學能力

組學童較少表現分析的行為，每一題只會出現一次的探索，很少經歷執行階段。

陳淑琳 (2002) 以 Mayer (1987) 的解題歷程理論為基礎，研究國小二年級學童乘法 文字題的解題歷程，採用自編試卷為研究工具，筆試後，依據施測成績分為高分組、中 分組和低分組，分組進行晤談、蒐集資料，研究結果發現：

一、問題轉譯：超過 80％的二年級學童在讀題後可以找出各類型問題的已知條件，但找 出解題目標，表現較差。學童除了組合型問題外，能了解其他類型問題的題意。在 等組型與陣列型問題上，無法辨明「行、列、倍、每」的意義。

二、問題整合：超過 83％的二年級學童可以正確表徵問題。所使用的表徵方式依次為乘 法算式填充題、乘法算式、加法算式和圖形符號，加法算式填充題使用最少。當問 題難度增加時，圖形符號表徵方式的使用有增加情形。

二、解題計畫與監控：解題計畫會受到問題類型與數值大小影響。等值型問題表現最 佳，對組合型問題較感困難。

三、解題執行通常與解題計畫與監控一起出現，不容易區分。

四、高分組學童有較佳的語文與事實知識，能了解「行、列」的意義，能以算式填充題 和具體物表徵各類型問題，計算速度快且不受問題類型與數值大小影響

五、中分組學童分不清「行」與「列」的意義，對於組合型問題中解題目標的意義或以 算式表徵組合型問題感到困難，問題整合方面易受問題類型影響

六、低分組學童分不清「行」與「列」，不了解「倍」的意義，以具體物表徵或算式表 徵組合型問題有困難，計算慢且易受問題類型與數值大小影響。

謝旻虔 (2009) 研究國小四年級學童解乘除文字題表現，以 Mayer (1987) 的解題歷 程理論為基礎，採用 Greer (1992) 的乘除情境分類來探討學童解九種單步驟乘除文字題 的正確率及錯誤類型，採用調查研究法，以自編之乘法測驗作為筆試，樣本數 67。研究 結果發現「問題轉譯」的過程有 80％以上的學童達到目標，「問題整合」的過程有降到

70％以下，「計畫及監控」、「解題執行」的過程皆降到 60％以下。顯示學童在解題時，

在問題表徵上產生了困難，而問題表徵後與實際執行上作法仍有落差。

黃于貞 (2005) 以國小四年級學生為研究對象，探討數學低成就學童在除法解題歷程

中的錯誤概念，並以此為補救教學的參考，加以探究其成效。採用準實驗研究與半結構 式訪談，透過自編之紙筆測驗進行前測，篩選出低成就學生為實驗組，採用以 Mayer (1987) 解題歷程理論為基礎的直接教學法方案並配合個別化教學，再以共變數統計分析與質的 分析進行研究，研究結果如下：

一、問題轉譯：數學低成就學童缺乏語文知識，無法自行將題目閱讀完畢，常有未看完 或不清楚題意就作答，題目太長時容易放棄，對找到解題目標有困難。

二、問題整合：數學低成就學童缺乏正確包含除的概念，減法與除法概念混淆，有圖畫 呈現的題目答題意願較高，文字題的放棄率較高。

三、解題計畫與監控：數學低成就學童以關鍵字選擇運算符號，看到「一共」就用加法，

「拿走」就用減法，「面積」就用乘法，或是胡亂猜測；列式解題有困難，無法監 控計算程序之正確性，不清楚計算出的答案與題目間的關係。

四、解題執行：數學低成就學童會加、減法運算，但仍會算錯，乘法運算能力不足，進 行除法直式計算有困難。

施行補救教學後，實驗組的低成就學童，其後測成績達到顯著，表示除法的補救教 學有立即的效果。

蔡啟禎 (2004) 參考 Polya (1945) 、Kilpatrick (1967) 、Schoenfeld (1985) 提出的理 論，將解題歷程區分成讀題、分析、計畫、執行、驗證等五個階段，以通過資優生鑑定 的中年級學童為研究對象，以自編之「數與量」、「圖形空間」及「邏輯推理」為範圍的 九道數學題為研究工具，施測成績作為篩選基準，分數高於 130 分的有三年級三位，四 年級四位。採用放聲思考法，蒐集原案資料，分析學生的解題歷程、解題策略與解題成 敗因素，研究結果如下：

一、解題歷程：

資優生解非例行性問題時，不同類型問題有不同的解題階段，每一題的解題過程中 並非所有解題步驟都出現，即使同類型題目也未必有相同的解題途徑，也就是說資優生 思考靈活，解題的步驟或順序不會影響解題結果，會隨著思考而隨機調整。

二、解題策略：

解題策略大概有嘗試錯誤、畫表格或圖、畫記、尋找所有可能、用數字重組、列式、

透過分類、發現規律、歸納法、順向或逆向求解、組織資料、直接解題等。

三、解題成功因素：

七位資優生的原案分析結果發現各題皆解題成功，分析其成功解題的因素包括解題 知識、數學能力、解題行為三方面。其中解題知識包括語言、語意、基模、策略和程序 知識；數學能力包括形式化或一般化數學題材能力、運算與邏輯推理能力、能簡捷、逆 向或彈性的思考、數學記憶力和空間概念能力；解題行為則包括能掌握題意與數學結構 且注意到問題中的條件與目標間的關係、能應用相關知識或公式來解題，在解題後會驗 算且解題時較有耐心。

綜上所述，學童於每一個解題歷程中都可能因產生困難而影響解題，而不同數學成 就學童之間，解題表現也有差異。對於解題歷程的研究採取的研究方法包括質性分析，

配合放聲思考法進行訪談，瞭解不同數學成就學童解題歷程的差異；或採取質量兼具，

以自編紙筆測驗施測，再以施測成績分為不同數學能力的組別，採分層隨機抽樣，進行 半結構式訪談或晤談，針對錯誤類型進行分析與探究；或採用問卷調查法，以量的研究 為主；或是以解題歷程為導向設計教學課程，採用實驗教學法，分析教學前後學童解題 歷程的差異，透過晤談瞭解錯誤類型。研究對象則呈現多樣化，包括資優生、不同數學 成就學童，不同學習階段學童。解題歷程理論大多參考 Mayer (1987) 或 Schoenfeld (1985) ，也有部份以 Polyer (1945) 為主。以研究法來看，質性分析能透過晤談瞭解學 童思考的過程，到底是如何解題的，採取的策略又是如何，但是質性研究多採個案研究，

難以推論，透過解題歷程來設計紙筆測驗，可以獲得更多的資料，利於教學上的運用。

因此，本研究以 Mayer (1992，2006) and Wittrock (2006) 的解題理論為基礎設計紙筆測 驗，分析受測資料瞭解國小四年級學童在各解題歷程的表現與不同數學成就學童解題歷 程差異，再配合晤談的方式，釐清或確認學童的解題策略與解題過程產生錯誤類型及其 形成原因。