數學解題歷程理論

壹、數學文字題的意涵及解題的意義

在深入了解數學文字題 (Math word problem) 的意涵之前，有必要先對「問題」的 意義做理解。「問題」的意義到底為何？當現況與欲達成的目標之間有所差距時，問題 就已存在，從認知心理學的角度來看，當人在有目的、有想要追求的目標，但是卻無法 找到適當辦法時，所感受到的心理困境。也就是說「問題」是指個人在面臨一種有待解 決的情境時，而目前所呈現的狀態和所要達到的目標之間存有差距或是過程中產生阻 礙，出自於個人意識，企求或期待達到目標的心理狀態 (張春興，1994；Bransford & Stein, 1984；Mayer, 1992) 。

我國國小階段數學教材，幾乎皆以問題為核心概念編寫，主要透過問題情境的鋪 陳，解題策略的分析來達到數學概念的傳遞，因此「文字題」可說是數學教科書中概念 的主軸。而所謂的「文字題」是指以文字來描述問題情境的數學計算問題，學童解數學 文字題時，要能熟悉計算過程，也要能理解問題的要求以及理解文字所提供之條件來解 決問題 (Mayer, 1992) ；而「文字題」比一般計算題涉及更加複雜的認知歷程，是以日 常生活事件為材料而且用語文型態來描述的數學問題情境 (Cummins, 1991) 。綜言之，

「文字題」是以生活事件為材料，並以語文方式來描述問題情境的數學問題，解題者需 要具備語文與數學知識、推理思考、計算技巧，以解決問題。

胡炳生 (1994) 提到數學解題是一種系統工程，在解題過程中，除了以解題者本身

的數學知識及個人的解題經驗為基礎外，主要是解題者在解題過程中所產生的思維活 動。理解與解題兩者是不可分的，當解題者能夠完全理解一個問題情境的結構時，就能 解決問題，也可以說，解題過程是解題者透過不斷重組問題結構的一段歷程 (劉秋木，

1996) 。Kilpatrick (1985) 也以心理學、社會學和數學三個層面來描述數學解題的意義，

從心理學層面來看，數學解題是指在情境中，解題者想要達到某種目標，但是過程中因 受阻而產生了問題，需要解題者運用數學知識、概念、原理與方法來解決，是為了達到 目標所做的活動；從社會學層面來看，解題是老師交給學童的任務，在學童接受任務時 與老師之間的微妙關係，學童猜測自己的解題是否符合老師心中所想的，老師也會猜測 學生如何解題，雙方各自由自己的觀點去解釋對方的行為；從數學層面來看，數學是數 學家們在形成問題與解題過程中所創，因此數學問題是數學建構的泉源與思考的工具 (黃敏晃，1985) 。

综上所述，研究者認為在數學教育現場，數學解題指的是當解題者面對某一情境問 題時，會回想先前的學習經驗或依據習得的數學知識，進一步猜測、分析、比較、重組 問題等，當在解題過程中遭遇挫折，解題者不斷嘗試解決問題的一連串思維活動。

貳、數學解題歷程模式

有關數學解題歷程的理論，從 Polya (1945) 提出解題四階段論後，就有不少學者投 入數學解題歷程的研究，紛紛提出其看法。以下就劉秋木 (1996) 、Polya (1945) 、Lester (1985) 、Schoenfeld (1985) 、Mayer (1992, 2006) and Wittrock (2006) 的數學解題題歷程 模式做探討。

一、Polya (1945) 的四階段解題歷程

Polya (1945) 在「怎樣解題」 (How to solve it) 一書中，將解題歷程區分為四個主 要步驟，茲分述如下：

(一) 瞭解問題：瞭解問題在問什麼以及已知、未知的條件和解題目標是什麼。

(二) 擬定計畫：找出已知數和未知數之間的聯繫，擬定解決問題的方法、策略和程序 (三) 實施計畫：執行所擬定的計畫進行解題。

(四) 回顧解答：檢驗答案的合理性，使用不同的方法求解，將此方法應用在其他類似的

問題上。

在解題歷程中的每個解題步驟都有一連串的問題與提示，以利於解題者自我對話或 是教師與學生對答中對自我解題歷程有清晰的理解。Polya (1945) 指出這四個解題的步 驟並不是依直線進行的，當擬定的計畫無法執行或是答案錯誤則需重新檢討，折返至前 一階段重新擬定並再次執行計畫，直到問題解決為止。

二、Lester (1985) 解題模式

Lester (1985) 提 出 「 認 知 — 後 設 認 知 」 的 模 式 ， 認 知 成 分 共 分 為 四 項 ： 導 引 (orientation) 、組織 (organization) 、執行 (execution) 及驗證 (verification) ，類似於 Polya (1945) 的解題四步驟。而後設認知的成分則分為個人 (person) 、工作 (task) 及 策略 (strategy) ，後設認知知識指的是用來處理認知活動的知識，且透過經驗的累積而 得，個人部分指的是認知者本身的知識與個人特質；工作部份是指認知者擁有關於工作 內容的特質與對認知活動的要求；策略部份是指認知策略與後設認知策略之知識，用來 完成目標的策略或程序。認知策略是用來完成認知活動的策略，而後設認知策略則是監 控認知策略的運作。後設認知在解題的歷程中扮演著監控、調整和修正的角色，導引著 認知活動的進行。以下就依據導引、組織、執行及驗證說明解題的模式。

(一) 導引：認知部分主要是評估及瞭解問題的策略，包括分析情境及訊息之間的關係，

評估之前是否做過類似問題，擬定策略，確定問題開始與接續的表徵及評估問題難 度。而後設認知部分，解題者個人對認知歷程進行監控或調整，例如：這一題看起 來像某一類型的題目或不像我以前做過的題目。找找關鍵字，而這些關鍵字會告訴 我要怎麼做。

(二) 組織：認知部分主要是計畫並選擇採取的步驟，包括確定主目標及子目標並提出解 題的各子計畫。而後設認知部分，解題者個人對認知歷程進行監控或調整，例如：

我可透過數字而求得答案。我想我應先算這些數字。我不確定，但我想這個方法也 許能解決這類的問題。我不確定，先猜猜看。這是某一種類型的題目，我可以用類 似的方法解決。

(三) 執行：認知部分主要是計畫執行及監控，包括執行與監控子計畫及整體計畫的進

行。而後設認知部分，解題者個人對認知歷程進行監控或調整，例如：我正草率的 演算，所以最好算慢一點。這題很複雜，我要小心一點。這個方法不通，我要嘗試 其它方法。我需要複誦我正在做什麼，才不會離題。我要寫下步驟提醒自己。

(四) 驗證：認知部分主要在於評鑑決策與執行計畫的效果，包括評鑑、導引與組織過程 以及執行過程是否適當。例如：我最好再檢查每個步驟。我不確定這個計畫是否合 適，最好再檢查一次。我不確定是否讀懂題目，我會重讀一次。這個答案似乎太大 了，我應該再檢查我的計算過程。

三、Schoenfeld (1985) 的數學解題歷程模式

Schoenfeld (1985) 在「數學解題」 (Mathematical problem solving) 一書中，強調數 學解題的研究方向需要考慮四個變項：資源 (resources) 、捷思 (heuristics) 、控制 (control) 、及信念系統 (belief system) 。

(一) 資源是指解題者擁有與解題相關的數學知識，而這些數學知識包含了數學事實、定 義、運算程序及技巧等訊息。

(二) 捷思是指捷思策略 (heuristics strategies) 而言，例如：簡化問題、畫表格、尋找題 型、猜測……

(三) 控制則是著重於解題者解題時，如何決定計畫、選擇目標和次目標及監控與評估解 題結果等方面。

(四) 信念系統是指解題者對於數學的觀點，而此數學觀將會影響其解題行為。

也就是說，解題者在解題時，會先從個人記憶中提取與解題相關的資訊，透過適當 的解題策略來嘗試解題。但是在解題歷程中，要提取哪些相關資訊？採用哪種解題策 略？如何規畫解題途徑？有錯時如何導正解題方向？等這些問題都由控制所負責。此 外，解題者本身的數學觀點也會影響解題行為。而當解題者在累積一些解題經驗後，對 於某一類型的問題，會採用某種策略進行解題活動，逐漸形成解題者的個人解題策略。

而在資源、捷思、控制及信念系統等四項變項中，控制因素是較為關鍵的地位。因 此以控制因素的觀點，將解題歷程區分為閱讀、分析、探索、計畫、執行、驗證等六個 階段，配合每一個階段，提出一些相關問題，以協助解題的分析。

(一) 閱讀 (reading) ：涉及的問題包括注意到問題中所有的條件與了解目標嗎？而條 件、目標是明顯的還是模糊的？是否評估解題者的現有知識與問題的關係？

(二) 分析 (analysis) ：涉及的問題包括選擇什麼觀點？選擇是明顯的或是模糊的？選擇 問題條件採取行動嗎？選擇問題目標採取行動嗎？條件和目標有何關聯？解題者 的上述行動合理嗎？

(三) 探索 (exploration) ：涉及的問題包括本階段是問題的條件導向的？或目標導向 的？採取的行動有方向或重點嗎？有目的嗎？有無監控行為？監控行為的有無對 解答的結果有何影響？解題者所採取的行動是否合理？

(四) 計畫-執行 (planning-implementation) ：涉及的問題包括是否有計畫行為？計畫與解 題有相關嗎？是否適當？是否有好的架構？受試者是否評估計畫的相關性、適當性 及結構性？執行是否依計畫進行？是否在局部或整體評估執行？評估之有無對結 果有何影響？

(五) 驗証 (verification) ：涉及的問題包括解題者是否重新檢查、考驗答案？用什麼方 法？有無歷程及解答的評估？對結果的信心有多少？

(六) 過渡 (transition) ：涉及的問題包括對解題的當前狀態有無評估？若放棄某一解題 途徑，是否企圖利用其中有用的部分？有無評估放棄的解題途徑對解答產生的局部 與整體的影響？採取的行動適當或必要嗎？是否評估採取新途徑的影響？或是接 使用新方法？採用新途徑後有無評估其影響？

在 Schoenfeld (1985) 的解題歷程中，仍可發現整體架構未脫離 Polya (1945) 的架 構，所提出的相關性的問題，由於解題者思考解題的過程十分複雜，有時並無直接表現 在外，透過觀察得知其思考程序實屬不易，因此難以區分清楚屬於哪一階段 (引自涂金 堂，1999) 。

四、劉秋木的數學解題歷程模式

劉秋木 (1996) 以 Polya (1945) 的解題歷程為基礎，提出了一個融合後設認知的解

劉秋木 (1996) 以 Polya (1945) 的解題歷程為基礎，提出了一個融合後設認知的解