研究工具

本研究的研究工具以研究者自編之「二步驟乘除法文字題測驗」為主，以下就試題 編製過程，預試以及筆試測驗的各項分析，說明如下：

壹、試題編製過程

本研究是以目前九年一貫數學領域之課程標準為依據，參考相關文獻後，以 Mayer (1992, 2006) and Wittrock (2006) 的解題歷程理論與 Vergnaund (1988) 、Greer (1992) 的乘除法情境分類為基礎編製試題。

一、試題內容設計

本研究工具中的二步驟乘除文字題題型分為：量數同構、等值群組、多重比例、倍 數比較四種類型，每一種類型再依照未知數所在位置分為乘法、除法。結構分述如下：

(一) 量數同構

量數同構類型涉及二個有直接比例的關係的度量空間M₁與M₂，其中M₁涉及二個 相異的數x₁和x₂，M₂涉及二個相異的數 f

( )

x1 和 f

( )

x2 ，且x₁和x₂， f

( )

x1 和 f

( )

x2 之 間有放大或縮小的常數倍關係，此類型結構為探討這四個數值的關係，x₁稱為基準量，

( )

x1

f 稱為最初量，x₂稱為變換量， f

( )

x2 稱為最終量。例如：2 包糖果 27 元，10 包 糖果多少錢？其中M₁為「糖果數量」，M₂為「糖果價錢」，x₁＝2 包，x₂＝10 包，f

( )

x1 =27 元，求 f

( )

x2 =？根據未知數不同將問題分成四類，如表 5 所示。

表 5

量數同構型問題的設計架構與問題內容

未知數性質 問 題 內 容

基準量未知 10 包糖果 135 元，27 元可以買多少包糖果？

變換量未知 2 包糖果 27 元，135 元可以買多少包糖果？

最初量未知 10 包糖果 135 元，買 2 包糖果要花多少錢？

最終量未知 2 包糖果 27 元，10 包糖果多少錢？

(二) 等值群組

等值群組類型涉及到三個度量空間M₁、M₂與M ，任意兩個度量空間有比例的關₃ 係，當x₁=x₂=1，探討 x₃、 f

( )

x1 、 f

( )

x2 、 f

( )

x3 這四個數值的關係， f

( )

x1 、 f

( )

x2 稱 為最初量， x3 稱為變換量， f

( )

x3 稱為最終量。例如：每箱糖果有 6 盒，每盒糖果有 20 顆，3 箱糖果有幾顆？其中M₁為「箱數」，M₂為「盒數」，M 為「顆數」，₃ x₁=x₂=1，

( )

x1

f =6， f

( )

x2 =20，x ＝3，求₃ f

( )

x3 =？根據未知數的不同將問題分成三類，如表 6 所示。

表 6

等值群組型問題的設計架構與問題內容

未知數性質 問 題 內 容

變換量未知 將 360 顆糖果，每 20 顆裝一盒，每 6 盒裝一箱，裝完糖果至少要幾箱？

最初量未知 將 360 顆糖果平分裝入 5 個箱子裡，再將箱子裡的糖果每 20 顆裝成一 盒，每一個箱子可以裝幾盒？

最終量未知 每箱糖果有 6 盒，每盒糖果有 20 顆，3 箱糖果有幾顆？

(三) 多重比例

多重比例類型涉及到三個度量空間M₁、M₂與M ，且₃ M 與其他兩個獨立的度量空₃ 間M₁、M₂有比例關係，如表 7，當x₁ =x₂ =1，探討x 、₁^, x 、₂^{, f}

( )

^{1,1 、 f}

(

^{x1,, x,2}

)

^這四個

數值的關係， ^f

( )

^{1,1 稱為最初量，} x 、1^, x 稱為變換量，₂^{, f}

(

^{x1,, x2,}

)

^{稱為最終量。例如：小}

英一家 5 人去露營 15 天，每人每天的飲用水是 2 公升，問小英必須準備多水才夠？其 中M₁為「人數」，M₂為「天數」，M 為「每人每天的飲水量」，₃ x₁=x₂=1，x ＝5 人，₁^,

,

x ＝15 天，2 ^f

( )

^{1,1 =2， f}

(

^{x1,, x2,}

)

=？根據未知數的不同將問題分成三類，如表 7 所示。

表 7

多重比例型問題的設計架構與問題內容

未知數性質 問 題 內 容

變換量未知 小英一家 5 人去露營，每人每天的飲用水是 2 公升，全部的飲用水為 150 公升，問小英家裡去露營幾天？

最初量未知 小英一家 5 人去露營 15 天，準備的飲用水為 150 公升，問小英家裡每 人每天用水多少？

最終量未知 小英一家 5 人去露營 15 天，每人每天的飲用水是 2 公升，問小英必須 準備多水才夠？

(四) 倍數比較

倍數比較類型問題在單一步驟問題時涉及三個量，分別為基準量、比較量和常量，

一般式為a×s^{＝ b ，a稱為基準量，}s稱為常量， b 稱為比較量，在二步驟問題時比單 一步驟問題多一個常量s ， 一般式為^, a×s×s^,＝ b 。例如：美美的撲滿存了 65 元，佳 佳存的錢是莉莉的 3 倍，莉莉存的錢是美美的 2 倍，佳佳存了多少元？a＝65，s＝3，

s ＝2，求 b ＝？根據未知數的不同將問題分成三類，如表 8 所示。 ,

表 8

倍數比較型問題的設計架構與問題內容

未知數性質 問 題 內 容

基準量未知 佳佳的存的錢是莉莉的 3 倍，而莉莉存的錢又是美美的 2 倍，佳佳存了 390 元，美美存了多少錢？

常量未知 美美的撲滿存了 65 元，佳佳存了 390 元，佳佳存的錢是莉莉的 3 倍，

莉莉存的錢是美美的幾倍，佳佳存了多少元？

比較量未知 美美的撲滿存了 65 元，佳佳存的錢是莉莉的 3 倍，莉莉存的錢是美美 的 2 倍，佳佳存了多少元？

依照上述筆試測驗之架構，將二步驟乘除文字題類型依照語意結構與未知數性質分 為量數同構型 4 題、等值群組型 3 題、多重比例型 3 題和倍數比較型 3 題。詳見附錄一。

測驗中的每一道試題再根據 Mayer and Wittrock (2006) 的解題歷程理論，將試題內

容分為問題轉譯、問題整合、計畫和監控、執行與自我調整，試題內容中所牽涉的解題 技巧參考 Mayer (1992) 的研究，每道子試題的設計則參考國內相關研究 (涂金堂、林佳 蓉，2000；陳國雄，2006) 的研究。其中自我調整部分與後設認知知識有關，本研究採 取信心評量法，以量表方式編製。在敘述上為「我認為自己的列出的算式可以解決問題。」

選項為「非常有把握、有一點把握、沒有保握、非常沒有保握」四種，加以評估受試者 正確的預測自己解題表現的能力。

二、試題評分標準

本研究工具共有 13 題，每一道試題下有 7 個子題，第 1、2、4 為選擇題，答對得 1 分，答錯得 0 分，第 5 題為解題的執行過程與列式，採取多元記分方式，最高分為 5 分，

最低分為 0 分。記分方式參照郭怡君 (2012) 的研究，方式如下：

（一）第一、二步驟列式完全正確、計算出正確答案，且寫出正確答案得 5 分。

（二）第一、二步驟列式完全正確、計算出正確答案，未寫出正確答案得 4 分。

（三）第一、二步驟列式完全正確但是將算式合併時造成列式錯誤，答案仍計算正確且 寫出正確答案的得 4 分。

（四）第一步驟列式完全正確且計算出正確答案，第二步驟列式完全正確但未計算出正 確答案的得 3 分。

（五）第一步驟列式完全正確且計算出正確答案，第二步驟列式錯誤的得 2 分。

（六）第一步驟列式正確但計算錯誤，第二步驟列式正確但計算錯誤的得 2 分。

（七）第一步驟列式完全正確但未計算出正確答案，第二步驟列式錯誤的得 1 分。

（八）第一、二步驟列式錯誤得 0 分。

第 3、6、7 為後設認知試題，包括受試者對了解題意、列式和答案的後設認知能力，

選項為「非常有把握、有一點把握、沒有保握、非常沒有保握」四種，當受試者對自己 解題結果認為非常有保握且實際解題正確，則表示其後設認知能力越高；反之，若受試 者對自己解題結果認為非常有保握但實際解題卻錯誤，則表示其後設認知能力越低。評 分標準參考丁春蘭 (2003) 的研究，將後設認知試題計分方式說明如表 9。例如：受試 者列式正確，且對列式非常有保握得 4 分，有一點把握得 3 分，沒有把握得 2 分，非常

沒有把握得 1 分；反之，受試者列式錯誤，卻對列式非常有保握得 1 分，有一點把握得 2 分，沒有把握得 3 分，非常沒有把握得 4 分。

表 9

後設認知評分表

信心評量選項 信心評量 解題分數 後設認知分數

非常有把握

4 1 4

非常有保握

4 0 1

有一點把握

3 1 3

有一點把握

3 0 2

沒有保握

2 1 2

沒有保握

2 0 3

非常沒有保握

1 1 1

非常沒有保握

1 0 4

貳、進行預試

試題初步完成後，研究者以四上第一次期中考數學成績為標準，挑選三位分別為 低、中、高三種數學程度的四年級學童接受測試，透過觀察答題情形與訪談，修改語意 不清楚之題目，並請三位四年級教師進行審題，作為預試之版本，三位學童完成測驗時 間大約在 40~60 分鐘，因此預試施測時間訂為 60 分鐘。而後經預試結果作為篩選之依 據，與專家討論後修定，確定評分標準以及正式施測的測驗版本，見附錄二。

參、測驗之各項分析 一、試題分析

(一)難易度分析

本研究採取內部一致性的方式，以通過率(P)與高低分組通過率平均數(

2

L

H P

P + )表 示試題的難易度。由於本試題計分方式採取多元計分，因此通過率的計算方式為該題得 分平均數除以該題的總分。而高低分組是以總分為標準，從高到低排列，取極端的30％

為高、低分組，分別求出高分組與低分組在每一題中的通過率，以P_H和P_L來表示，計 算 2

L

H P

P +

，以表示試題的難易度指數。

本試題難易度分析結果，如表10所示，量數同構類型難易度指數介於.56與.65之間，

通過率則介於.58與.68之間；等值群組類型難易度指數介於.68與.70之間，通過率則介 於.68與.76之間；多重比例類型難易度指數介於.57與.71之間，通過率則介於.58與.68之

間；倍數比較類型難易度指數介於.63與.86之間，通過率則介於.64與.89之間，而就整體 試題而言，難易度指數為.65，通過率為.68。

根據試題評鑑原則，個別試題的難易度指數應介於.4 至.8 之間 (王文中、呂金燮、

吳毓瑩、張郁雯與張淑慧，1999)，本測驗之試題難易度指數大多介於.4 至.8 之間，只 有倍數比較型中的比較量未知的試題難易度指數高達.86，但為保留題型之完整性，故不 刪除此題，就整體試題而言，難易度指數為.65，通過率為.68，屬於難易適中之試題。

(二)鑑別度分析

鑑別度分析是以統計學的相關係數表示該試題的鑑別度，若該題得分越高，其總分 越高，則相關系數為正相關，表示具有鑑別度；反之則否。本試題鑑別度採用Pearson 積差相關r_XY，公式為：r_XY ＝

( )( )

X Y XY

S S

S ，其中S_XY 表示該題分數X與總分Y的共本試題變

數，S_X、S_Y分別表示該題分數X與總分Y的標準差。本測驗之各試題之相關系數皆為正 相關，具有鑑別度，詳見表10。

二、測驗分析 (一)信度

本研究工具採取內部一致性信度，依據預試結果所得本測驗的 Cronbach α 信度 為.91 ，後設認知部分的 Cronbach α 信度為.85。

(二)效度

本研究工具採取內容效度與專家效度，研究者以雙向細目表如表 11 所示，檢視試 題的內容效度，並請專家教授、二位正進行國小四年級數學教學工作的資深教師以及一 位具數學教育碩士資格之教師協助審查試題內容，以使本研究工具具有良好的效度。

註：P為通過率；P_L為低分組通過率；P_H為低分組通過率； (P_H＋P_L)/2為高低分組通過率平均；r_XY

在文檔中 國小四年級學童二步驟乘除文字題 解題歷程之研究 (頁 46-53)