本研究將受試之國小六年級學生「數學擬題測驗」卷面資料整理、歸 納、統計學生在測驗中之擬題情形，擬題測驗共有六題，每題滿分為 5。其 中，學生得分 5 分，也就是學生能擬出「資料適中」的題目，佔 17.8％；
至於學生得分為 0 至 4 分的學生，也就是擬出題目有瑕疵的錯誤次數和比 例（比例最低為 0.8％，最高為 38.4％）並不低，整體的錯誤比例佔 82.2
％。因此由擬題的角度來看，學生在分數概念的學習確實有很大的困難存 在，如表 4-4-1 所示：
表 4-4-1 數學擬題測驗各類型統計表
得分 題型 次數 比例（％）
0 分 非題目 18 1.0
1 分 非數學 18 1.0
2 分 2A 不合邏輯 139 7.3 2B 內容物不可分配 729 38.4 2C 單位詞使用錯誤 51 2.7 2D 不符合算式（數據、符號或問題） 72 3.8 3 分 3A 數據資料不足 15 0.8
3B 缺乏單位 37 1.9
3C 題意不清 61 3.2
3D 離散量缺乏整體量 334 17.6 4 分 4A 資料超過 22 1.2
4B 情境不符生活經驗 62 3.3
5 分 資料適中 338 17.8
每份測驗題目 6 題×學生總人數 316 人＝總次數為 1896 次
根據表 4-4-1 可發現，在數學擬題測驗中所呈現整體的錯誤比例佔 82.2％，其中錯誤類型以「內容物不可分配」所佔比例最高，為 38.4％，
其次是「離散量缺乏整體量」所佔比例為 17.6％。以下將針對此二項所佔 比例較高的類型輔以晤談內容，呈現學生數學擬題測驗可能的錯誤類型：
（一）「內容物不可分配」錯誤類型之晤談分析
在學生數學擬題測驗中，發現「內容物不可分配」之錯誤類型大致可 分為兩種：一為擬題內容已出現整體量，但內容物必須再碎裂；另一為擬 題內容之內容物不可再碎裂。以下將呈現此兩種擬題內容之範例，並透過 個案晤談呈現「內容物不可分配」之錯誤類型。
1.已出現整體量，但內容物必須再碎裂
在受試學生擬題測驗中出現的巧克力、糖果、水果、餅乾、橡皮擦…
等離散量物品中已出現整體量，然而在解學生所擬出之題目時，卻必須將 內容物再予以碎裂。
個案 H1 在擬題測驗第一題中，即呈現「內容物不可分配」之錯誤類型。
一盒巧克力有 20 顆，欲分成 9 等份，就必須再碎裂，然而此題中，巧克力 的計數是以一顆一顆為單位，不會將一顆再碎裂成幾等份。因此個案 H1 在 擬題測驗第一題中，已出現整體量，但內容物必須再碎裂，所設定之內容 物是不可分配的，如圖 4-4-14：
圖 4-4-14 學生擬題 (H1-P1)
在晤談過程中，研究者也試圖釐清個案 H1 對內容物分配的理解，發現 其在圖畫表徵上依然呈現多處矛盾。每一盒巧克力的內容確實呈現 20 顆，
但是對於分量的呈現似乎出現錯誤。個案 H1 畫了兩大盒和 7 小顆巧克力來 呈現「本田拿了 2
9
7盒」，顯然認為 9
7盒代表 7 小顆巧克力，如圖 4-4-15：
圖 4-4-15 學生晤談中所繪圖形 (H1-P1)
個案 H1 認為 9
1就是 9 份裡的 1 份，9 顆裡的 1 顆，觀念十分清楚，但 顯然其對整體量與分量間的關係並無法做聯結。因此，雖然個案 H1 能將分 數概念表達清楚，卻無法解釋擬題中出現的整體量與算式間的矛盾。如個 案 H1 在晤談中所陳述：
T：所以你認為這是幾顆巧克力？
H1：9 7盒。
T：它是幾顆？
H1：7 顆。
T：啊，這個是？
H1：9
2盒巧克力。
T：是幾顆？
H1：2 顆。
T：那你「一盒巧克力有 20 顆」，你為什麼要寫這一句話，有什麼意義？一盒巧克力 有 9 顆，一盒巧克力有 10 顆，或一盒巧克力有 20 顆，對你來說有什麼差別？
H1：如果是 9 顆的話比較好表示。因為九分之一就是九份裡的一份，九顆裡的一顆。
T：那這裡面一盒有…
H1：20 顆巧克力。
在個案 M1 的擬題測驗第四題中也看到同樣的情形，已出現整體量「一 盒銅鑼燒有 20 個」，但「小叮噹有 15
15
1 盒」，所以內容物必須再碎裂，如圖 4-4-16 及圖 4-4-17：
圖 4-4-16 學生擬題 (M1-P4)
圖 4-4-17 學生晤談中所繪圖形 (M1-P4)
從個案 M1 的擬題測驗第四題訪談內容中也可以發現，有一點和 H1 是 相同的，他也認為
15
1 盒就是 1 個銅鑼燒，
15
3 盒是 3 個銅鑼燒，但是未考慮 到已出現整體量，所設定之內容物卻必須再碎裂的衝突。如個案 M1 在晤談 中所陳述：
T：你剛才說有 5 盒又 1 盒裡面的 1 個，表示這 1 盒銅鑼燒裡面只有 1 個？
M1：裡面本來有 20 個，現在變成 1 個。
T：所以15
1 盒是幾個銅鑼燒？
M1：1 個。
T：他吃掉了 2 盒又…？
M1：3 個。
T：15
3 盒是 3 個銅鑼燒？
M1：對。
個案 M1 在六題擬題測驗中所呈現的整體量都是 20，包括「一盒鉛筆 20 支」、「一盒內褲 20 件」、「一包糖果 20 顆」、「一盒銅鑼燒 20 個」及「一 箱果汁 20 瓶」。對個案 M1 來說，整體量似乎是無意義的，即使被其他數字
多少。如個案 M1 在晤談中所陳述：
T：為什麼一定要 20 個？像你剛才 1 盒鉛筆 20 支，內褲 1 盒 20 件，糖果 1 包 20 顆，
為什麼一定要 20？可以是其他的嗎？
M1：可以。
T：那可以變成幾個？
M1：40 個。
T：那 50 可不可以？
M1：可以。
T：所以 1 包幾個都沒有關係？
M1：嗯。
T：那你為什麼要把它寫出來？
M1：我想讓別人知道 1 盒裡面有幾個。
在個案 L3 的擬題測驗第六題中也看到同樣的情形，已出現整體量「一 盒巧克力餅干有 20 個」，但「小花拿走
7
5」，不論所缺少的單位是「盒」或 是「個」，內容物勢必再碎裂，如圖 4-4-18 及圖 4-4-19：
圖 4-4-18 學生擬題 (L3-P6)
圖 4-4-19 學生晤談中所繪圖形 (L3-P6)
個案 L3 也認為不管擬題測驗中所呈現的整體量是多少，分子的數字呈
2.內容物不可再碎裂
在受試學生擬題測驗中出現的玩具、內褲、樹、彩虹筆…等離散量物 品，不管是否出現整體量，內容物都不可再碎裂。
個案 H1 在擬題測驗第六題中，即呈現「內容物不可分配」之錯誤類型，
「一箱玩具有 50 個」，但是 7
5箱卻必須要對玩具進行切割，這是不合理的，
如圖 4-4-20 及圖 4-4-21：
圖 4-4-20 學生擬題 (H1-P6)
圖 4-4-21 學生晤談中所繪圖形 (H1-P6)
個案 H1 在分數概念測驗中的表現非常優異，但從晤談中發現他認為 7 5
箱是 5 個玩具，
7
6箱是 6 個玩具，研究者試圖對此再加以追問，以釐清其分 數概念，如個案 H1 在晤談中所陳述：
T：所以這 1 個圓圈代表 1 個玩具？
H1：50 個中的其中 1 個。
T：所以這裡總共有 5 個玩具？
在個案 M2 的擬題測驗第三題中也看到同樣的情形，題目中未出現整體 量，而且「校園原有 1
8
7棵樹」，內容物「1 棵樹」應該不可再碎裂的，如圖 4-4-22 及圖 4-4-23：
圖 4-4-22 學生擬題 (M2-P3)
圖 4-4-23 學生晤談中所繪圖形 (M2-P3)
個案 M2 在擬題時並未考慮內容物是否可再碎裂，只是依算式上的分數 設計題目，因此內容物是否能合理分配，個案 M2 在當時並未仔細考慮。如 個案 M2 在晤談中所陳述：
T：那麼你如何把 1 棵樹砍成 8
7棵呢？
M2：直直的分成 8 等份，砍掉 1 等份就是 8 7了。
T：那麼8 2呢？
8
2棵樹要怎麼砍？
M2：也是一樣把它分成 8 等份，砍掉 6 等份，剩下 2 等份就是 8 2棵。
M2：我們平常有聽說種 8
7棵樹嗎？
M2：沒有。
T：那麼你出這個題目時是怎麼想的呢？
M2：因為題目上有這兩個數字，沒有想到樹不能這麼砍。
在個案 L2 的擬題測驗第二題中也看到同樣的情形，題目中雖然出現整 體量「60 支彩紅筆裝一盒」，但是「弟弟有 3
11
3 盒」是不合理的，因為內容 物「彩紅筆」應該不可再碎裂，如圖 4-4-24 及 4-4-25：
圖 4-4-24 學生擬題 (L2-P2)
圖 4-4-25 學生晤談中所繪圖形 (L2-P2)
在晤談的過程中，研究者試圖釐清個案 L2 對內容物不可再碎裂的理 解，發現個案 L2 和之前的幾位學生一樣，認為
11
3 盒就是 3 支，而整體量只
個案 L2 在晤談中所陳述：
T：311
3 盒到底是幾盒？你這裡怎麼都畫一樣？
L2：有 3 盒，然後有 3 支。
T：那 1 盒幾支？
L2：60 支。
T：11
3 盒是幾支？
L2：3 支。
T：一盒彩虹筆一定要 60 支嗎？其它數字可以嗎？
L2：可以。
T：一盒 50 支也可以嗎？
L2：都可以。
T：都可以？所以一盒幾支都可以嗎？
L2：嗯（點頭）。
T：哦！所以一盒 3 支可以嗎？
L2：不可以（立即回答）。
T：為什麼不可以？
L2：因為要分 11 等分，最少要 11 支。
綜合上述，出現此種類型的學生，在擬題時並無法發現不適當的整體 量會導致物體被切割，他們的整體量是無意義的。而且他們一致認為，在 分量上整體量又會變成分母的大小，例如分母是 11，分量的全部也會是 11。
參照此類晤談學生的分數概念加以分析，學生 H1、M2 和 L2 未通過內 容物分配概念的檢定，且發現他們在「部份/全體」概念的答對率僅 70％、
60％和 40％。
（二）「離散量缺乏整體量」錯誤類型之晤談分析
在學生數學擬題測驗中，發現「離散量缺乏整體量」之錯誤類型佔全 體比例略居於「內容物不可分配」之後。以下將呈現此類型擬題內容之範 例，並透過個案晤談呈現「離散量缺乏整體量」之錯誤類型。
個案 H2 在擬題測驗第一題中，即呈現「離散量缺乏整體量」之錯誤類 型。「小韋有 11
9
2包餅乾」是合理的，因為餅乾可視為離散量，但是在所擬 題目中缺乏內容物之整體量，所以無法判斷擬題學生是否了解內容物分配 的分數概念，如圖 4-4-26：
圖 4-4-26 學生擬題 (H2-P1)
在晤談過程中，研究者也試圖釐清個案 H2 對離散量之整體量的理解，
從學生晤談中所繪圖形可以發現，個案 H2 將每一包餅乾皆分成九等份，其 中一包餅乾塗滿兩格表示「
9
2包餅乾」，個案 H2 在晤談中進一步解釋，1 包
餅乾裡面有 9 塊，「
9
2包餅乾」則是 2 塊，如圖 4-4-27：
圖 4-4-27 學生晤談中所繪圖形 (H2-P1)
個案 H2 在晤談中表示「1 包裡面有 9 塊餅乾」已有整體量的觀念，內 容物的分配也是合理的，而且個案 H2 認為整體量是可改變的，因此無須出 現在所擬題目中。如個案 H2 在晤談中所陳述：
T：照你剛才這樣來講的話，1 包裡面有 9 塊餅乾，是不是加上這句話比較完整？還是 你覺得不需要？
H2：不需要。
T：那為什麼 1 包裡面不能有 10 塊餅乾？
H2：因為這裡寫 9（指著題目的分母）。
T：除了 1 包裡面可以放 9 塊餅乾，還有 1 包裡面可以放幾塊餅乾？
H2：18。
T：為什麼？
H2：9 的倍數。
T：如果 1 包餅乾有 18 塊，那 9
2包是多少塊？
H2：9
2那個都乘 2，就會有 4 塊。
T：你剛才第一次講說，如果 1 包裡面有 9 塊的話，
9
2就是 2 塊，如果 1 包餅乾有 18
塊，那9
2包是幾塊？
H2：4 塊。
T：所以 1 包裡面有幾塊餅乾是可以變的？
H2：要是 9 的倍數。
T：為什麼？
H2：因為算式會沒辦法乘。
在個案 M4 的擬題測驗第五題中也看到相同的情形，缺乏內容物之整體 量，所以無法判斷擬題學生是否了解內容物分配的分數概念，如圖 4-4-28：
圖 4-4-28 學生擬題 (M4-P5)
在晤談過程中，研究者也試圖釐清個案 M4 對離散量之整體量的理解，
在晤談過程中，研究者也試圖釐清個案 M4 對離散量之整體量的理解，