國小六年級學生對分數加減法擬題及分數概念之相關研究

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國立台中師範學院進修推廣部數學教育系在職進修

教學碩士論文

指導老師：易正明教授

國小六年級學生對分數加減法擬題

及分數概念之相關研究

研究生：何森曜撰

中華民國九十四年六月

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摘要

本研究在探討國小六年級學生將分數加減法之算式表徵轉換為文字表徵的數學擬題能力，並透過擬題所呈現的錯誤類型，來瞭解學生分數概念發展的情形。本研究以台中縣市七所國民小學六年級316位學生為研究對象，以質量並行的方式分為兩個階段進行。第一階段採用自編的「數學擬題測驗」及「分數概念測驗」為研究工具，以探討學生的擬題能力及分數概念，並分析學生所擬出之數學題目的錯誤類型。第二階段則抽取12名學生，以「半結構性晤談」方式對於量的研究施以輔助，了解學生擬題時的想法。本研究結果如下：一、擬題能力愈好的學生，其分數能力也就愈好。二、學生「未知數在運算符號前」的擬題能力最差。三、中、低擬題能力學生未能通過「『部份/全體』文字題」及「數線題」。四、能通過各分數概念的學生，其擬題能力亦能達到「資料不足」水準。五、「內容物不可分配」佔所有擬題錯誤類型的比例最高，其中又可分為「已出現整體量，但內容物必須再碎裂」以及「內容物不可再碎裂」二類。六、「離散量缺乏整體量」的錯誤類型中，學生的整體量概念無法推論到內容物為多個個物。本研究根據研究結果加以討論，並提出若干建議以作為教師教學及未來研究的參考。關鍵字：擬題、分數概念、錯誤類型

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Abstract

The purpose of this study was to explore the sixth graders＇problem posing ability in translating the mathematical symbol of adding and subtracting fraction into a quantity representation, and understood the development of students＇concept of the fraction through the misconception that the problem posing appeared.Three hundred and sixteen sixth-graders from seven different elementary schools located in both Taichung city and Taichung county were selected to do this study. The data of the study were analyzed at two stages by both quantity and quality. First, “Mathematical Problem Posing Test＂ and “Concept of the Fraction Test＂ designed by the researcher were adopted as tools. The purpose of the test were to explore the students＇problem posing ability and the concept of the fraction, and analyzed the misconception that the students＇problem posing appeared. Second, picked out twelve representative students to proceed “semi-structural interview＂, which was to get more understanding about their thought when they＇re posing problems.

The result of this study revealed the following：

1.The students who earned a higher score in problem posing have better performances in fractional ability.

2.The ability of “Unknown numbers in front of computational signs＂ in students＇problem posing were obviously worse than others.

3. The middle and low problem posing ability groups can＇t pass the “part-whole word format test＂ and “numerical line format test＂ concepts..

4.The students who can pass all concepts of fraction, can also reach the “data not enough＂ level in their problem posing ability.

5.The most appeared misconception in the students＇problem posing was the “content can＇t be distributed ＂ category. It can be divided into “whole amount appeared but content must be cracked＂ category and “content can＇t be cracked＂ category.

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6.The misconception of “dispersed quantity lacks the whole amount＂ category was meaningful but it can＇t explained to all concepts of the fraction.

Some observations made and implications discussed, and suggestions proposed in this study were as the reference to the teachers and researchers.

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中文摘要 ……… Ⅰ 英文摘要 ……… Ⅱ 目次 ……… Ⅳ 表次 ……… Ⅵ 圖次 ……… Ⅷ 第壹章緒論 ……… 1 第一節研究動機 ……… 1 第二節研究目的與問題 ……… 4 第三節名詞釋義 ……… 5 第四節研究範圍與限制 ……… 6 第貳章文獻探討 ……… 8 第一節擬題的意義及相關研究 ……… 8 第二節分數的概念及相關研究 ……… 22 第三節迷思概念與擬題錯誤類型的研究 ……… 33 第參章研究方法 ……… 40 第一節研究架構 ……… 40 第二節研究對象 ……… 41 第三節研究設計與流程 ……… 42 第四節研究工具 ……… 45 第五節資料分析 ……… 53 第六節正式施測 ……… 55 第肆章研究結果與討論 62 第一節「數學擬題測驗」結果分析 ……… 62 第二節「分數概念測驗」結果分析 ……… 70 第三節擬題能力與分數概念之相關分析 ……… 75 第四節學生擬題類型及錯誤類型分析 ……… 94 第伍章結論與建議 119 第一節結論 ……… 119 第二節建議 ……… 122

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參考文獻 ……… 125 中文部分 ……… 125 英文部分 ……… 128 附錄 ……… 131 附錄一：數學擬題測驗（預試版） ……… 131 附錄二：分數概念測驗（預試版） ……… 135 附錄三：數學擬題測驗（正式版） ……… 139 附錄四：分數概念測驗（正式版） ……… 143 附錄五：數學擬題測驗說明 ……… 147 附錄六：分數概念測驗說明 ……… 148 附錄七：數學擬題測驗題型（預試） ……… 149 附錄八：分數概念測驗題型（預試） ……… 150

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表次

表 2-1-1 擬題評量的分類 ……… 15 表 2-1-2 擬題題型分類及例子 ……… 16 表 2-2-1 九年一貫有關於分數之能力指標 ……… 31 表 2-2-2 分數概念的相關研究 ……… 32 表 3-2-1 研究樣本人數分配表 ……… 41 表 3-4-1 數學擬題測驗計分法 ……… 46 表 3-4-2 預試樣本人數分配表 ……… 47 表 3-4-3 數學擬題測驗樣本統計分析表（預試） ……… 47 表 3-4-4 數學擬題測驗題型（正式施測） ……… 48 表 3-4-5 分數概念測驗樣本統計分析表（預試） ……… 50 表 3-4-6 分數概念測驗題型（正式施測） ……… 51 表 3-6-1 數學擬題測驗難度分析表 ……… 56 表 3-6-2 分數概念測驗難度分析表 ……… 57 表 3-6-3 數學擬題測驗鑑別度分析表 ……… 59 表 3-6-4 分數概念測驗鑑別度分析表 ……… 60 表 4-1-1 「數學擬題測驗」平均數與標準差 ……… 63 表 4-1-2 各擬題題目之變異數分析摘要表 ……… 64 表 4-1-3 各擬題題目之事後比較摘要表 ……… 64 表 4-1-4 「數學擬題測驗」成功與缺失擬題率 ……… 65 表 4-1-5 不同運算符號擬題之變異數分析摘要表 ……… 66 表 4-1-6 不同未知數位置擬題之平均數與標準差 ……… 67 表 4-1-7 不同未知數位置擬題之變異數分析摘要表 ……… 67 表 4-1-8 不同未知數位置擬題之事後比較摘要表 ……… 68 表 4-1-9 不同性別學生的擬題平均數、標準差及獨立樣本 t 檢定………… 69 表 4-2-1 「分數概念測驗」平均數、標準差與通過率 ……… 71 表 4-2-2 不同分數概念之平均數與標準差 ……… 72 表 4-2-3 不同分數概念之變異數分析摘要表 ……… 72 表 4-2-4 不同分數概念之事後比較摘要表 ……… 73 表 4-2-5 不同性別學生的分數概念平均數、標準差及獨立樣本 t 檢定 …… 74 表 4-3-1 分數概念與擬題能力之 Pearson 積差相關 ……… 75 表 4-3-2 不同擬題能力學生之分數概念的平均數與標準差 ……… 76

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表 4-3-3 不同擬題能力學生之分數概念通過情形 ……… 77 表 4-3-4 通過各分數概念學生之擬題能力 ……… 77 表 4-3-5 不同擬題能力與不同分數概念之二因子變異數分析摘要表 ……… 78 表 4-3-6 不同擬題能力學生之分數概念的變異數分析摘要表 …… 79 表 4-3-7 不同擬題能力學生在『部份/全體』圖示題的事後比較摘要表…… 80 表 4-3-8 不同擬題能力學生在『部份/全體』文字題的事後比較摘要表…… 80 表 4-3-9 不同擬題能力學生在數線題的事後比較摘要表 ………… 81 表 4-3-10 不同擬題能力學生在整體量概念題的事後比較摘要表 … 81 表 4-3-11 不同擬題能力學生在等值分數題的事後比較摘要表 …… 81 表 4-3-12 不同擬題能力學生在分數加減題的事後比較摘要表 …… 82 表 4-3-13 不同擬題能力學生在整體試題的事後比較摘要表 ……… 82 表 4-3-14 不同分數能力學生之擬題的平均數與標準差 ……… 84 表 4-3-15 不同分數能力與不同運算符號擬題之二因子變異數分析摘要表 … 85 表 4-3-16 不同分數能力學生之加減法擬題的變異數分析摘要表 … 86 表 4-3-17 不同分數能力學生之加法擬題的事後比較摘要表 ……… 86 表 4-3-18 不同分數能力學生之減法擬題的事後比較摘要表 ……… 87 表 4-3-19 不同分數能力與不同未知數位置擬題之二因子變異數分析摘要表… 87 表 4-3-20 不同分數能力學生之未知數位置擬題的變異數分析摘要表 ……… 88 表 4-3-21 不同分數能力學生之運算符號前擬題的事後比較摘要表………… 89 表 4-3-22 不同分數能力學生之運算符號後擬題的事後比較摘要表………… 89 表 4-3-23 不同分數能力學生之等號後擬題的事後比較摘要表 …… 89 表 4-3-24 不同分數能力學生之整體擬題表現的變異數分析摘要表………… 90 表 4-3-25 不同分數能力學生之整體擬題表現的事後比較摘要表 … 90 表 4-3-26 迴歸模式之變異數分析摘要表 ……… 91 表 4-4-1 數學擬題測驗各類型統計表 ……… 99

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圖次

圖 2-2-1 表徵系統的交互作用模式 ……… 24 圖 2-2-2 分數概念的連結關係 ……… 25 圖 2-2-3 分數概念發展的三角關係 ……… 25 圖 3-1-1 研究架構圖 ……… 40 圖 3-3-1 研究流程圖 ……… 43 圖 4-3-1 不同擬題能力與不同分數概念之交互作用圖 ……… 78 圖 4-3-2 不同分數能力與不同運算符號擬題之交互作用圖 ……… 85 圖 4-3-3 不同分數能力與不同未知數位置擬題之交互作用圖 …… 88 圖 4-3-4 分數概念測驗與數學擬題測驗散佈圖 ……… 92 圖 4-4-1 學生擬題 (一) ……… 94 圖 4-4-2 學生擬題 (二) ……… 94 圖 4-4-3 學生擬題 (三) ……… 95 圖 4-4-4 學生擬題 (四) ……… 95 圖 4-4-5 學生擬題 (五) ……… 95 圖 4-4-6 學生擬題 (六) ……… 96 圖 4-4-7 學生擬題 (七) ……… 96 圖 4-4-8 學生擬題 (八) ……… 96 圖 4-4-9 學生擬題 (九) ……… 97 圖 4-4-10 學生擬題 (十) ……… 97 圖 4-4-11 學生擬題 (十一)……… 97 圖 4-4-12 學生擬題 (十二)……… 98 圖 4-4-13 學生擬題 (十三)……… 98 圖 4-4-14 學生擬題 (H1-P1) ……… 100 圖 4-4-15 學生晤談中所繪圖形 (H1-P1) ……… 100 圖 4-4-16 學生擬題 (M1-P4) ……… 101 圖 4-4-17 學生晤談中所繪圖形 (M1-P4) ……… 102 圖 4-4-18 學生擬題 (L3-P6) ……… 103 圖 4-4-19 學生晤談中所繪圖形 (L3-P6) ……… 103 圖 4-4-20 學生擬題 (H1-P6) ……… 105 圖 4-4-21 學生晤談中所繪圖形 (H1-P6) ……… 105 圖 4-4-22 學生擬題 (M2-P3) ……… 107

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圖 4-4-23 學生晤談中所繪圖形 (M2-P3) ……… 107 圖 4-4-24 學生擬題 (L2-P2) ……… 108 圖 4-4-25 學生晤談中所繪圖形 (L2-P2) ……… 108 圖 4-4-26 學生擬題 (H2-P1) ……… 110 圖 4-4-27 學生晤談中所繪圖形 (H2-P1) ……… 110 圖 4-4-28 學生擬題 (M4-P5) ……… 112 圖 4-4-29 學生晤談中所繪圖形 (M4-P5) ……… 112 圖 4-4-30 學生擬題 (L5-P5) ……… 113 圖 4-4-31 學生晤談中所繪圖形 (L5-P5) ……… 114

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第壹章緒論

第一節研究動機

解題一直是數學教育上的一個重要課題，而且解題更被數學教育家認為是數學學習的焦點（Silver, 1985）。解題是數學教育學家們不斷研究的一個重要方向（梁淑坤，1997）。而九年一貫數學學習領域的基本理念也指出，我們應該培養學生數學解題能力，並有能力使用所學的數學知識和計算能力去解決身邊所遇到的問題（教育部，2003）。因此，要如何改進數學教材與教法並引導學生成功的解題也成為數學教育界不斷改革的目標。然而，長久以來，國內的國小數學學習教材，依舊強調反覆計算練習為主，進而以應用問題的教學形式來培養學生問題解決的能力，而應用問題在課堂上的教學方式，幾乎都是先由教師進行例題的說明講解，學生再模仿解類題。為了表示教學的成功，進而贏得家長的肯定，教師再將可能出現的所有題型教給學生，並將數字稍作變化，一直重複練習，直至熟練解法，學生也就在這種「成功的引導」之下，不斷地進行學習，並且在考試中獲得高分，達成教師及家長雙方所想要的「目標」。劉祥通（2001）指出，如此期待學生迅速的回應教師的問題，學生的責任似乎僅止於「模仿」教師的解題策略而已。所以如此的方式來教學雖能讓學生進行成功的解題，但這些算式對學生來說似乎並無太大的意義。所以在這種情況之下，大部份學生不曾主動思考，只是一昧的將問題的解法背起來，造成教師很難由考試結果掌握學生真正的學習狀態。近年來在許多研究中發現，學生在解題的過程中，並沒有深入去探討題目的真正意義，而只是將題目的數字胡亂拼湊求出解答（徐文鈺，1996）；美國之

國家教育進展評量（National Assessment of Educational Progress, NAEP, 1988）也指出，學生在解應用問題的表現比計算題差，而且學生的數學學習仍停在機械操作的層次，無法了解與計算相關聯的概念。

因此，為補解題不足之處，並從不同的角度來了解學生的數學學習狀態，近年來數學教育改革也注意到「擬題」（problem posing）的策略（梁淑坤，1993；Silver & Cai, 1993；Silver, 1994）。

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綜合上述，傳統的數學科教學方式，太過偏重於演算能力，造成許多學生在學習過程中缺少趣味性及目標性，最後將數學列為所有學科中最不喜歡的科目之一，而「擬題」則是近年來許多研究者所積極提倡的一種有助於學生數學學習的策略。Silver(1994)指出擬題是由經驗或情境中創造出新的問題，或是由給定的題目中，創造新的題目。梁淑坤（1994）指出，擬題是指「自己想出數學題目來」，也就是說在擬題的過程中，擬題者會用自己的數學知識和生活經驗把情境、人物、事件、數字、圖形等建立關係並組織起來，擬出一個數學題目。所以擬題並不侷限在某個時刻進行，可因而增加上課及評量方式的變化，使其更具有趣味性。因此，學生若能經由擬題的方式自己發展出數學題目，則算式對其而言應該是有意義的，也將成為學生「帶著走」的知識。甯自強（1993）就曾經指出，學生若能自己發展符合某「算式」的問題情境，表示他們已經清楚算式中數字及符號的意義與關係。綜觀目前九年一貫數學學習領域課程目標，數、量、形三者可以說是學習數學的主軸，而數更是在學習量與形當中，扮演不可或缺的元素。但是在許多時候整數並沒有辦法完整的描述出一個物件，所以當無法以整數描述一物件時，就必須引進一不同於整數的數概念–「分數」（李端明， 1997）。在國小數學課程中，分數常成為研究的重點之一，因為分數概念在不同的情境問題中有著不同的意義：Kieren（1976）指出分數具有：部份/ 全體、比值、商、重覆運算等多重意義；Behr 和 Post（1988）將分數解釋成：部份/全體、比例、比值、商、操作、線性座標、數線上的一點；教育部九年一貫課程綱要（2003）指出有理數即是分數，而有理數有四種意涵：平分的意涵、測量的意涵、比例的意涵、部份/全體的意涵。分數概念雖是重要的主題之一，但大部份的學生對於分數的操作以及數感等認知卻有相當大的困難。Hart（1982）發現 13 歲的學生有 66.3％會解 8 2_＋ 8 3_{，但是大部份犯錯的答案是} 16 5 _{。游自達（1993）以美國伊利州中部} 三所小學的 24 位四、五年級的學生為研究對象，結果發現國小學生普遍缺乏對於分數值的正確理解。許天維和易正明（2001）亦發現，四年級學童在情境問題必須將單位分割為分數單位使用時，仍出現 3 1_＋ 3 1_＝ 6 2_之解。因

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生分數概念的學習實為不容忽視的一環。綜觀研究者所蒐集到以分數概念為主題之相關研究文獻，篇數雖然極多，卻極少看到以分數加減法概念為主題而深入探討學童概念發展情形的研究；再者，由於學生的內在概念不易呈現，通常教師為了迅速了解學生能力，最常採用紙筆解題的評量。然而就如同先前所敘述，大多數學生並未能思考題目的深層涵義，只是模仿教師的解題策略而已。綜合上述原因，本研究決定以擬題為主的測驗方式，來探討六年級學生之分數概念，透過學生在教室內的擬題測驗並給予充分的時間完成，因此沒有借助他人的幫忙，可以清楚瞭解六年級學生將分數加減法之算式表徵轉換為文字表徵的數學擬題能力，並透過擬題所呈現的錯誤類型，來瞭解學生分數概念發展的情形。

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第二節研究目的與問題

一、研究目的

本研究主要在於探討國小六年級學生將分數加減法之算式表徵轉換為文字表徵的數學擬題能力，並透過擬題所呈現的錯誤類型，來瞭解學生分數概念發展的情形。本研究的目的如下：（一）分析學生在數學擬題測驗中，擬題能力的表現。（二）分析學生在分數概念測驗中，分數概念的表現。（三）探討學生擬題能力與分數概念之相關性。（四）分析學生擬題結果之錯誤類型。

二、研究問題

基於上述的研究目的，本研究將針對以下四個問題進行探討：（一）學生在數學擬題測驗中之擬題能力表現如何？（二）學生在分數概念測驗中之表現情形如何？（三）學生的擬題能力和分數概念是否相關？（四）學生因擬題錯誤類型所呈現出的分數概念如何？

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第三節名詞釋義

一、擬題

擬題係指學生在瞭解題目所給予的訊息後，根據自己日常生活的經驗，用自己的想法來擬出一個相對應的數學題目。本研究之擬題，是請學生依據研究者所給的分數加減法算式，在沒有借助他人的幫忙並給予充分的時間，而發展出相對應於指定算式的數學題目。

二、分數加減法擬題

本研究之主要目的，在於探討學生將算式表徵轉換為文字表徵之擬題能力，故本測驗並未要求學生進行計算。

三、錯誤類型

透過瞭解學生錯誤產生的原因，將有助於協助學生進行學習。張新仁（1992）指出數學教學研究上，分析學生數學的「迷思概念」或計算過程的「錯誤類型」，被視為數學診斷教學及補救教學的可行方法之一。本研究之錯誤類型，是指學生經由「數學擬題測驗」所產生的錯誤情形之分類，再輔以半結構性晤談進行錯誤類型分析。

四、六年級學生

本研究所指之六年級學生，為學習完五年級數學課程，在經過了一個暑假剛邁入六年級之學生。

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第四節研究範圍與限制

本研究將從各種角度來探討國小六年級學生對分數加減法算式之擬題能力，以及學生分數概念的分析，並希望研究結果可以提供數學教育者與課程設計者對於分數課程的參考，進而讓學生能真正瞭解分數概念。本研究採用量的研究並輔以質的分析。使用計量的方法是為了瞭解學生群體的表現，提供研究者對於整體趨勢的掌握；而擬題錯誤類型的分析是為了使計量研究的深層意義得以顯現，並能發現學生在擬題過程中對分數概念的迷思概念。但由於受限於研究者本身的能力與物力，本研究在推論對象、研究工具、研究變項與研究方法上有若干的限制，若要將本研究的結果推論到研究範圍以外的材料與情境時必須謹慎。茲說明如下：

一、研究對象之限制

本研究之樣本來自於台中縣及台中市七所國民小學六年級學生，共十一個班級，在取樣上因僅來自於台中縣、市，且並未考慮到人文及地形因素，所以研究結果未必能代表所有國小六年級學生的擬題能力。因此，所得的結果僅供類似地區的學校參考。

二、研究工具之限制

本研究所用之分數擬題僅限於同分母分數加減法的題目，而且是一個步驟的，不包含較複雜的多步驟問題與乘除法問題，因此，在解釋非本研究所指錯誤類型時必須加以保留。再者，研究者所採用的擬題概念僅限於將分數之算式表徵轉換為文字表徵，對於其它表徵間轉換的擬題並未做深入探討。因此，在研究結果的推論上，應採較為謹慎與保留的態度為宜，不能過度引申，但可提供作為相似研究情境下參考。

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三、研究方法之限制

本研究在質的研究方面採用「半結構性晤談」，研究國小六年級學生在

經由數學擬題測驗後所產生之錯誤類型。但是學生在擬題的歷程中所發生的思考是很複雜的，如何能更清楚的瞭解學生內心的概念，將有待更多的研究來努力與克服。

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第貳章文獻探討

本章的文獻探討，首先，在第一節將介紹擬題的意義及相關研究；第二節說明分數的概念及相關研究；第三節探討迷思概念與擬題錯誤類型的研究。

第一節擬題的意義及相關研究

本節分成六個部份來探討擬題的意義及相關研究：首先探討擬題的意義；其次剖析擬題在數學教育上的重要性；再者分析擬題的類型；接下來探討擬題的特徵；之後介紹擬題的評量；最後簡述擬題的相關研究。

一、擬題的意義

為彌補解題不足之處，並從不同的角度來了解學生的數學學習狀態，近年來有許多數學教育學者也注意到「擬題」的策略（梁淑坤，1993；Silver & Cai, 1993；Silver, 1994）。美國數學教師協會在「學校數學課程和評鑑標準」（NCTM, 1989）中也提及加設擬題於課程中；另外也有許多國家也先後對擬題的研究和課程發展工作有所實施。擬題的重要性由此可見一斑，也因此，陸續有許多學者以不同的角度提出對擬題的定義。 Silver(1994)指出擬題是由經驗或情境中創造出新的問題，或是由給定的題目中，創造新的題目。梁淑坤（1994）對擬題下了一個定義，就是「自己想出一個題目來」，在擬題的過程中，擬題者會用自己的數學知識和生活經驗把情境、人物、事件、數字、圖形等建立關係並組織起來，擬出一個數學題目。Stovanova 和 Ellerton（1996）則將擬題定義為：「依據數學經驗的基礎，學生建構以及創造有意義的數學題目，是一個屬於個人化的過程」。徐文鈺(1996)稱擬題為一種主動建構、運用認知基模處理訊息的活動。楊惠如(2000)亦認為擬題乃是學習者根據自己所學的數學經驗，創造一個屬於個人化的數學題目。

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綜合上述研究者對擬題的定義，我們可以得知所謂的擬題，就是學生依據自己的數學知識和生活經驗，透過表徵的轉換，創造出一個個人化的數學題目，這個題目是粗糙且沒有經過修飾，是學生的突發奇想或一時的靈感，但正因為如此，研究人員亦可從擬題中了解學生所學到的數學知識。

二、擬題在數學教育上的重要性

美國課程標準（NCTM, 1989）建議教師在上課時可多讓學生自行擬題再解題。教育部所頒布的九年一貫數學學習領域的基本理念(2003)中強調：教育應提供學生做有意義及有效率學習的機會，使學生能學好重要的核心數學題材，成為「帶著走」的能力。有許多國內外研究者發現擬題活動不僅可以提高學生的學習興趣，對於學生的數學能力亦有增進效果(劉芳妃，1998；楊惠如，2000；Skinner, 1990；Silver, 1994；English, 1997； Knuth, 2002)。 Writze 和 Kahn 認為擬題可以幫助學生將具體情境與數學抽象連結，使數學意義化（引自林群雄，2004）。Tsubota（1987）指出擬題可以自然形成數學化的思考方式，透過這樣的思考方式，學習者藉由擬題活動，將自己的數學知識重新組織，並且發現教材的系統性和關聯性。Silverman、 Winograd 和 Strohauer 的研究亦指出，擬題活動的目標之一，在幫助學生將數學與日常生活連結，並且透過文字的敘述，反應生活經驗（引自林群雄，2004）。梁淑坤（1994）認為問題若是由解題者所擬出來，解題的動機就會很高。劉祥通（1996）也指出在課堂中要求學生擬題，可以加深學生對問題結構的瞭解。English（1997）則認為鼓勵學生擬題是十分重要的，如此可以提升學生的解題興趣。 Silver（1994）提及擬題活動對學習的五項優點：（一）促進積極學習的態度，並且形成多樣化和靈活的思考。（二）鼓舞學生讓他們對自己的學習更有責任感。（三）讓教師和學生去察覺出錯誤概念和迷思。（四）提昇學生的解題能力，同時增強並且豐富學生的基本概念。

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（五）消除對於數學的錯誤觀點，以及學生對學習數學的恐懼和焦慮。林群雄（2004）也認為擬題在數學教育上的重要性有以下六點：（一）可以提升學生解題的動機與興趣。（二）可以培養學生數學思考與分析發展問題的能力。（三）可使學生的數學知識結構意義化。（四）可以將學生的生活經驗與數學世界相結合。（五）可以培養學生相互欣賞與批判問題的能力。（六）可以提升學生的創造力。綜合上述，數學的學習活動應是讓所有學生都能積極參與討論，並且激發其各種想法及創造力，形成多樣化和靈活的思考，期望學生在如此社會化的互動過程中建立數學知識，消除對學習數學的恐懼和焦慮。教育部所頒布的九年一貫數學學習領域的基本理念（2003）強調的目標是要為國民的終身學習奠下基礎，並發展以生活為中心的數學學習活動，而擬題的活動正提供了如此的環境和方式，由此可見擬題在數學教育上的重要性。

三、擬題的類型

擬題是表徵的轉換，擬題類型的分類有很多不同的方式，各學者的分類原則也不盡相同，依各個學者的研究方法不同而有不同的分類：（一）Reitman 的題目結構分類方式 Reitman (1965)將題目的結構依照已知(given)條件和目標(goal)是否定義清楚，提出四種問題的結構，如下列情況： 1.第一類型：為已知已定義清楚且目標已定義清楚，此類為結構題 (structured problem)。

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2.第二類型：為已知已定義清楚，目標未定義清楚，此類為非結構題 (ill-structured problem)。 3.第三類型：為已知未定義清楚，目標已定義清楚，此類為非結構題。 4.第四類型：為已知未定義清楚，目標未定義清楚，此類為非結構題。（二）Tsubota（坪田耕三）的擬題方法 Tsubota（1987）在其所著生動的算術一書中提及，擬題的方法共可分為七個： 1.模仿法或類題法：學習某個問題後，做出和此同樣的題目。 2.算式法：提出一個公式，再做出適用此公式的問題。 3.原理法：給予四則演算法和通分等原理，做出和此相對的題目。 4.訂正法：出一個題目，其中故意漏掉必要的條件，或是給予其他不必要的條件，或做出矛盾而須訂正的方法。 5.實驗法：實驗或以具體東西的操作，再以此事項為根基做出問題。 6.自由法：以自由的題材，做成自由型式的問題。 7.題材法：給定題材來做問題。（三）Silver 的擬題方式 Silver (1996)認為擬題可以分成兩種方式： 1.由已給定的題目中，再產生新的題目。 2.由情境中或經驗中創造一個新的數學題目。（四）Stovanova 和 Ellerton 的擬題類型 Stovanova 和 Ellerton（1996）將擬題分為下列三種類型：

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1.結構（structure）的情境：學生可利用現有的題目加以改變，而成新的題目。 2.半結構（semi-structure）的情境：學生利用先前的數學知識、技巧、概念以及關係連結，完成一個完整結構問題。 3.自由（free）的情境：讓學生在一個給定的自然情境下自由發揮。（五）梁淑坤的擬題類型梁淑坤(1994)以寫故事題(story problem)的觀點，用「數字—故事」分類法把擬題活動分為： 1.已有數學部分而欠故事內容此類問題乃是透過表徵轉換活動將數字轉為故事題。日本學者古藤伶 (1986)以及英國學者 Greer(1991)都曾研究小朋友怎樣去寫出 5+3=8 的故事題。研究發現小朋友可以想出「改變」型和「併加」型、排先後與加法反運算的問題等四類不同的故事來。這種擬題是可以察覺學生的日常生活經驗，亦可以知道他們是否將現實生活與數學世界相結合。研究中亦指出，學生在擬故事時，有時只注意數學而忘記考慮真實生活情境，易於擬出不符合真實生活情境，但計算上沒有問題，其故事題也是可配合算式的。 2.已有情境安排（文句或圖片）而欠缺數學部分這一類型的擬題活動是希望擬題者在已知的情境安排下寫出數學文字題來。情境安排可以是用文字描述，亦可以是用一個圖畫表示。擬題者要用自己已理解的知識去閱讀圖片、文句再擬出題目來，亦即擬題者用個人的體驗把情境「數學化」。此種擬題出題方式具有很大的彈性，因此所擬的題目比較多樣化。另外，梁淑坤（1997）編製了一套擬題的評量工具，在其擬題的教材中，將擬題類型分為六大類： 1.算式類：給一個算式，讓學生根據這個算式擬出題目來。

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2.文字類：呈現一段文字的敘述，再讓學生依據文字敘述中所給的條件，再擬出一道題目。 3.圖表類：給一個圖表，讓學生依據圖表擬出一個跟圖表內容相關的題目。 4.解法類：規定一種運算方法，如「加法」或「減法」，讓學生擬出能運用此運算方法來解題的題目。 5.答案類：給予一個答案或一組計算過程，要求學生擬出符合規定的題目。 6.題目類：給一個題目，要求學生解題後，再根據此題目擬出一個新的題目來。綜合上述，擬題類型的分類雖有很多不同的方式，但仔細做綜合的分析比較後，仍然可以發現許多相似之處。本研究採用梁淑坤（1997）提出的算式類，也就是給定一個算式，給予充份的時間並要求學生根據此算式寫出一個相對應的數學問題。甯自強（1993）指出，學生若能自己發展符合某「算式」的問題情境，表示他們已經清楚算式中數字及符號的意義與關係。因此研究者將透過擬題來了解學生所學到的數學知識。

四、擬題的特徵

根據上述擬題的定義及類型，我們得知擬題是結合了個人的認知基模，轉換後擬出一個新的數學題目，因此擬題行為應具有下列特徵(梁淑坤，1994)：（一）組織的方法是屬於個人的(idiosyncratic)：擬題是依據自己的數學知識和生活經驗，創造出一個新的數學題目，是把非結構題用個人的組織寫成一個結構題的動作，是自己想出來的題目，是個人的產品，不一定和別人想的一樣。（二）過程中包括猜想及可信推理 (plausible reasoning)：

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擬題是在模擬的過程中想出一個題目來，擬題者再擬一個新題目時，會反問自己一連串問題像「假如是…？」（What if…？），「假如不是…？」（What if not…？）（Brown & Walter, 1983），也許要用數學的猜想與可信推理（Polya, 1945）。

（三）可以發生在解題前、解題中以及解題後(before, during, and after problem solving)：例如，我們給予學生一組「2、3、5」的質數，要求其擬出一新的題目，擬題者可能擬出將三個質數相加是不是一個質數？解題後發現不是，又想如果全部相乘呢？解題中又想，若把數字換掉，結果會不會一樣？所以，在解題過程的任何階段我們都可以擬題。（四）擬題者把想出的題目寫出來時是較課本的題目「粗糙的」 (primitive)。這些題目可能是不完整的（incomplete）；非可行的（implausible），亦有可能尚欠足夠解題資料的（insufficient）：擬題產品是先把想出的數學題目馬上寫下來而未經修飾，並不像教師佈題或課本問題那樣的深思熟慮和完整，擬題者可能是在一剎那間在腦袋中想出題目，所以題目可能是較粗糙的。綜合上述，學生的擬題內容可能都是他的生活經驗，而且題目是非常粗糙的。擬題活動可發生在解題之前，或是解題的過程中，甚至於可能發生在解題之後。學生經由猜想和推理中，進而達成增進學習的目的。

五、擬題的評量

經由評量，我們可以得知教師的教學成果以及學生的學習成效，其目的在修正教師的教學方法與提供學生有意義的回饋，所以評量在教育環節上佔有相當重要的地位。由於傳統的紙筆測驗無法符合現在教學的內容，此外加上國外的多元評量觀念的引入，使各種有關教學的評量紛紛發展出來。

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其中在擬題研究上，國內學者梁淑坤（1995）發展出一套評量擬題的工具，並且在 1999 年提出修訂，將擬題的評量分為五類，如表 2-1-1 所示：表 2-1-1 擬題評量的分類題目非題目（1）非數學（2）不可行（3）資料不足（4）適中（5）超過（5）首先，判斷整段文字是否為一個題目，若不屬於題目性質則為第一類。若是一個題目，再判斷是否為一個數學題目，若不屬於數學領域的題目則為第二類。若是一個數學題目判斷是否可行，若數學邏輯不合或有矛盾之問題則屬於第三類，題目內容資料不足則屬於第四類，最後可解的題目，無論是適中或是超過的資料，皆屬於第五類（梁淑坤，1999）。為了更清楚一個擬題題目的辨別，以區分題目的類別型態，可藉由表 2-1-2 做為參考：

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表 2-1-2 擬題題型分類及例子（引自梁淑坤，1995）類別例子非題目游泳池的看台上有許多觀眾在觀看比賽，結果發現如果二個人一組觀眾把位置非數學為何排水速度＞注水速度？不可行注水管一分鐘注水 40 立方公分，排水管一分鐘排水 60 立方公分，注水和排水如果同時進行泳池的水量會增加多少？資料不足如清潔工的待遇是每月 20000 元，該游泳池每月需清洗五次，問每小時的工資是多少？資料適中礦泉水有 10 瓶，每一瓶可倒 5 杯，請問全部可倒多少杯？資料超過有 4 個人跳入水中游泳池比賽，甲用蛙式，乙用自由式，丙用仰式，丁用蝶式，甲的速度是丙的 1.2 倍，乙的速度是丁的 1.5 倍，丙是丁的 1.1 倍，乙游完 500 公尺時，丁游了多少公尺？本研究之數學擬題測驗評分，將以梁淑坤（1995）所發展之擬題評量工具為基準，並參照何森曜（2004）之分數擬題錯誤類型，進而訂出評分準則，共細分為十三類。

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六、擬題的相關研究

在本節裡，筆者將相關研究資料依其研究目的，分為以下二個向度說明之：（一）以擬題為教學研究活動 Keil（1965）以八百多位六年級學生為對象，將其分成實驗組與控制組，並請科任教師擔任教學。實驗組每週一堂由教師提供與數學課本類似的情境，讓學生進行擬題；而控制組只解課本題目。實驗歷時十六週，從結果發現實驗組學生的解題能力高於控制組的學生，因此擬題教學活動對於解題能力有正面的影響。 Brown 和 Walter（1983）提出〝what–if–not〞的擬題教學策略，他們鼓勵學生在獲得答案後，先接受答案，再挑戰各種假設，想想情況若不是這樣，那答案又會是如何？最後將學生擬出的題目整理成「The art of problem posing」一書。 Tsubota（1987）針對國小一至六年級學童，以開放性問題進行數學教學，並鼓勵學生以解過的問題為基礎，從原本的問題再想出新的問題來。並將實際上課內容編成“生動的算術”一書出版，希望對努力改善教學品質的老師有所幫助。 Skinner(1990)在任教澳洲的幼稚園至二年級的學生(1985-1987)時使用解題取向的方式上課，讓學生練習擬題後，再解擬出來的題目。他認為擬題教學是相當有趣的，同時，證明了從幼稚園到二年級的學童也能夠進行擬題活動。他也把這兩年半的教學經驗及學生的習作整理成“What’s Your Problem？”，在書中與大家分享他進行擬題教學的情形。 Gonzales(1994)在美國新墨西哥州大學花了四年的時間，對職前的中小學教師進行「擬題」教學研究計畫。研究之進行方式為「從已知問題再擬出新的問題」，因此，他以 Polya 解題四步驟，增加第五步驟「擬題」，成為「理解」→「策畫」→「實行」→「回想」→「擬題」，研究中發現學生常可擬出教師意想不到的問題，或是提出一個連教師都沒想過的解法。 Knuth(2002)提及學生應擁有對數學的興趣，所包含的不僅只是渴望去學習或瞭解數學，也包含了在解完給定的題目後，以原來的解答或數學概

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念作為更進一步探討的出發點，再擬出有趣的數學題目來(即擬題)。他並且在文章中舉例說明如何透過擬題活動來促進學生對於數學之興趣。徐文鈺(1996)以五年級的三個班級為研究對象，探討合作擬題教學、分數解題能力與分數擬題能力的增進效果，並針對三組受試者的擬題類型與擬題錯誤類型進行質化研究。其結果發現：合作擬題對分數概念之複雜的「部份/整體」概念表徵轉換能力及數學擬題能力具有增強效果；在錯誤類型方面，合作擬題教學也會減少概念性錯誤的比例。劉芳妃（1998）以國中一年級為研究對象，探討合作擬題教學對學生的數學概念、情意層面以及擬題能力之影響。研究中發現與學生生活經驗相關的人、事、物，較能引起學生的興趣，其擬題內容多半出於學生經驗或教科書。學生的數學能力與擬題能力，只有精緻性達顯著差異，數學能力為高分組的學生其擬題的「精緻性」優於中、低分組。

梁淑坤與鄔瑞香（Leung & wu, 1999）以將錯就錯的方式進行擬題活動，給予學生不完整的題目，例如題目中遺漏某些重要的解題訊息，讓學生無法解題成功，再讓學生試著去修正題目成為一新的完整題目來，如此提供了學生擬題的機會也能釐清學生的數學概念。此外，梁淑坤與鄔瑞香（Leung & wu, 2000）亦研究讓家長與學生用日記的形式在自己家中進行擬題與解題，藉此把擬題活動帶入家庭變成家中的親子活動，再藉由日記與他人分享擬題心得。楊惠如（2000）以實務的行動研究的方式，將擬題活動融入國小三年級數學科教學之中，以瞭解擬題活動在實際教室中教學情況以及困難與解決方法。希望可以透過教學的進行提高學生的擬題能力，並且藉由擬題能力，增進學生的解題能力。鍾雅琴（2002）以五年級的三班資優班及一班普通班為研究對象，分為實驗組與控制組，探討合作擬題教學與傳統教學對五年級學生分數概念、分數解題能力與分數擬題能力的增進效果。其研究結果，實驗組在整體分數概念（除了簡單的部份/全體分數概念外）、分數解題能力、分數擬題能力，均有顯著的增進效果，學生對於擬題亦給予正向的肯定。陳佩琦（2003）針對一個國小二年級班級實施擬題教學。從研究中得

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步，擬題作品則呈現多樣化，並指出擬題教學可以增進學生解題能力。林群雄（2004）透過行動研究的方式，將擬題活動融入國小三年級數學科課堂，以探討研究過程中的教師專業成長，並瞭解擬題活動教學在實際執行上的困難與解決方法及可供教師於課堂上運用的擬題素材。研究結果發現，教師獲得了相當的成長，最重要的是教師本位的心態轉為學生本位的考量；學童亦在擬題活動教學的實施中成長，並提升了學童學習數學的學習興趣、動機和自信。綜合以上研究結果，擬題的教學活動對於提高學生的學習興趣及擬題能力不僅有正向的效果，而且教師亦從中獲得了相當的成長，但其對於解題能力之增進卻未有一致的研究結果。換言之，擬題活動讓學生都能積極參與討論，激發創造力，明確表達想法，並且降低對學習數學的恐懼和焦慮，據以發展數學學習活動。（二）以擬題為分析數學能力的工具 Silver 和 Cai（1996）以 509 名六年級和七年級之中等學校的學生為研究對象，提供給學生一段故事題敘述，讓學生參考其內容擬題，再進行分析，此研究的目的，是想發展並且運用一套分析方法，來測驗中等學校學生的擬題能力，探討解題能力不同的學生之擬題能力的差異。研究者將學生以解題能力分為高低分組，發現高分組的在擬出可解的題目之數量上優於低分組，學生的解題能力與擬題表現是具有高度的相關。 English(1997)以五年級和七年級的學生為對象，研究不同能力的組別在課程中對於擬題的表現。其研究結果發現，擬題能力強的學生，平常的數字計算能力並不強，但針對特殊題目的解題，表現卻不錯。另發現學生的擬題具有複雜性，可見學生具有豐富的創造思考能力。此外， English(1998)亦研究 54 位三年級學生的擬題能力，研究發現學生在數概念以及解題能力方面，表現出不同的類型。在許多非例行性的情境中，可以擬出多樣化的題目，但是在加法和除法的類型中，學生所擬出來的題型傾向一致，這可能受到教材裡例行性題目的影響，造成學生思考模式之固化。

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梁淑坤（1993）以美國某教育學院修「國小數學教材研究」的 18 位學生為對象，設計一份開放性作業–「十五枝火柴」，以同時研究「擬題」與「一題多解」，並提出須在師資培育的課程中增設擬題的課程之建議。並在 1994 年撰文分析擬題在課程的角色，建議應自低年級開始就列入擬題的活動。梁淑坤（1995）探討 192 位在職與職前兩組師範生在三種實驗擬題作業形式（純文字敘述、包含數值、包含符號）下的擬題行為。研究者將師範生的擬題成果分成五方面：題型（problem type）、問句（question stem）、步驟（number of steps）、語意（semantic structure）、故事（story）。結果發現擬題數量的比例，在題型和語意兩方面均有顯著差異，同時也發現，受試者在包含數字形式較會擬題。

梁淑坤（1997）除了針對擬題行為之研究外，並嘗試製作擬題能力評量之工具。由於原 TAPP（Test Airthmetic Problem Posing，TAPP）只適用於算術文字題。因此，其研究建立一套延伸 TAPP 的評量工作，加上非算術的擬題測驗試題，共 18 題，統稱為數學擬題測驗（Test on General Problem Posing，TGPP）。陳秀雯（2002）以三所師院四年級共 305 人，進行筆測。探討師院生在五種不同的乘數數字型態（整數、純小數、帶分數、真分數及帶小數）下，佈乘法文字題的表現。再從中抽取 17 人進行一對一半結構性晤談。其研究發現師院生的佈題率從高到低依序為乘數是整數、純小數、帶分數、真分數、帶小數。許淑萍（2002）以國小六年級共 274 位學生為研究對象，探討學生將乘除算式表徵轉換成文字表徵的數學擬題能力，及其後設認知的能力。其研究結果發現，以擬題能力與後設認知能力而言，單步驟題型的表現優於多步驟題型的表現，而不同乘除類型之擬題在擬題能力與後設認知能力上有所差異。林思行（2003）以國小五年級學生共 110 人為研究對象，探討學生在不同題目表徵型式、閱讀理解能力、數學能力、數學主題下的發展問題表現，並藉由質的分析，了解產生差異的原因。研究結果顯示，學生的數學能力與發展問題能力及閱讀理解能力與發展問題能力皆有顯著的正相關。

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不同性別學生其問題發展能力沒有顯著差異。何森曜（2004）以國小五年級 35 位學童為研究對象，探討學生對分數加減法擬題能力及錯誤類型。研究結果發現，學生無法掌握「部份與全體」和「兩階單位」的關係；學生對於單位量與單位分量的單位詞容易產生混淆。黃月平（2004）以國小六年級學童共 480 人為研究對象，探討學生將分數乘除算式符號表徵轉為數學文字題之表徵轉換能力及其後設認知的能力。研究結果發現，乘法與除法其擬題能力並無顯著之差異。擬題各向度表現方面：「操作物適用性」與「單位完整性」表現較佳，「情境合理性」之表現最不理想。擬題教學對於數學學習的幫助已獲得證實，而上述研究以不事先施行擬題教學，直接請學生進行擬題測驗，並且透過擬題表現來分析學生的數學能力。此類研究發現擬題能力與解題能力具有高相關，擬題測驗可作為評量學生數學能力的工具。本研究亦將以此方式來探討國小六年級學生經由擬題所呈現的分數概念及其錯誤類型，並更進一步以質的研究方式深入了解學生的想法。綜合上述國內外學者發表的文獻中可以得知，擬題的研究已受到各國教育研究者的重視，無論是數學擬題教學或是數學擬題能力的研究，均被認為是提供學生學習的重要方式。而擬題活動亦已成為教師在從事數學相關教學時的一個重要的活動，也因此更值得我們身為教師者加以實施以及研究。

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第二節分數的概念及相關研究

本節分成五個部份來探討分數的概念及相關研究：首先探討分數的意義；其次分析分數的表徵系統；再者探討兒童分數概念的發展；再者剖析分數在九年一貫數學科教材中的教材分析；最後簡述分數的相關研究。

一、分數的意義

分數一詞來自拉丁文的“frangere”，意義是指分開，通常用來描述一個被分開的全體之部份（羅鴻翔譯，1980）。Hunting（1986）對於分數的最初概念是以一個連續物品細分（如蘋果、蛋糕、派）。甯自強（1995）主張分數是起源於等分割一物件活動紀錄與結果。透過將原單位量加以分割，得到單位分量的重複，因而得到與被測量量等價的量，以分割份數和重複單位分量的次數並置，作為被測量量指標。呂玉琴（1995）指出分數的概念起源於「分」，是用來解決不滿一個單位量的量的數值的問題。分數概念在不同的情境問題中有不同的意義，它具有多重意義的特性。國內外許多學者對分數的意義有不同的看法： Kieren（1976）提出對分數的解釋是：部份/全體、比值、商、重覆運算。 Dickon 等人（1984）則對分數的意義有：整個區域的子區域、子集合與全體集合間的比較、位於兩個整數間數線上的一點、兩數相除所得的商、二組集合或二個度量的大小比較的方法。 Behr 和 Post（1988）將分數解釋成：部份/全體、比例、比值、商、操作、線性座標、數線上的一點。楊壬孝（1988）在國小學生分數概念發展的研究中提出，分數的四種意義是：一個全體之相等的部份、一個集合等分組後的幾組、數線上的一個數值、兩數相除的結果。林碧珍（1990）則將分數的意義分成五類：全部區域的部份區域（以

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連續量為主，如：長度、面積、容積）–部份/全體模式、集合中的部分集合–子集合/集合模式、數線上的一個數值–數線模式、兩個整數相除的結果–商模式、二個集合或二個度量相比的結果–比值模式。 Larry 和 Joseph 將分數區分為：（一）圖形中全部的一部份；（二）比例中的比；（三）除法中的商；（四）自然數中的有序對等四種。且其主張兒童在學習分數的初步概念，必須掌握，一、確定單位量；二、認知等分大小；三、找出等分割數；四、所聚份數與等分割數之比較（引自李端明， 1997）。楊瑞智（2000）分析國小教材的分數問題情境，得到現行教材的分數概念具有十種意義：部份/全體、子集合/集合、乘法運算元、等值分數、整數除法的結果、分數是一個數/數線上一點、平均（包含速率、密度）、當量、比例中的比/比例尺/比值/比較量÷基準量、機率。教育部九年一貫課程綱要（2003）指出有理數即是分數，小學有理數教學，必須釐清、練習並且連結下述有理數的四種意涵：平分的意涵、測量的意涵、比例的意涵、部份/全體的意涵。最後歸結成日後數學學習中，有理數最核心的意涵–「除的意涵」。綜合以上之文獻，可以發現分數的意義是多重的，且不外乎涉及兩個量的相對比較關係。正因為分數是如此一個複雜而重要的數學概念，如何的運用各種方式來找出適合兒童的概念學習，也成為數學教育研究者的重要課題。本研究將針對各研究者所提出分數的意義為問題情境所設計的分數概念題，藉以探討學生分數概念之發展。

二、分數的表徵系統

蔣治邦（1994）指出表徵就是用某種形式（物理或心理），將一種事物或想法，重新表現出來，以達成溝通的目的。因此，同一個數學知識或概念都可以用多種不同的型式來加以表徵，例如：說出「三分之二」、寫出「 3 2 」

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或是畫出「●●○」等三者，雖屬不同的表徵型式，卻都代表相同的數學概念。雖然表徵與數學教學間有緊密的關係，然而，有許多學者對分數的表徵系統卻持不同的看法，以下將分別就 Post 等人（1983）所提出的表徵系統的交互作用模式、Clements 和 Lean（1987）所提出分數概念的連結關係以及 Kutz（1991）提出分數概念發展的三角關係，分別加以說明：（一）表徵系統的交互作用模式 Post 等人（1983）提到分數概念可以用五種不同的型式表徵出來，他們彼此之間的轉換關係如圖 2-2-1：圖 2-2-1 表徵系統的交互作用模式

（譯自 Post, Lesh, Behr & Silver, 1983, p 102）

1.實物情境：利用實際生活情境的東西或知識來解釋問題的情境或內容。 2.具體操作物：如圓形分數板、古氏積木等教具。 3.圖形：一種靜態的圖形模式，如數線模式、面積模式等。 4.語言：日常生活用的口語符號，如三分之一。 5.符號：即常用的數學符號，如 1/3。圖形符號語言實物情境具體操作物

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（二）分數概念的連結關係 Clement 和 Lean(1987)認為兒童的分數概念，必須將具體物、語言、符號三種表徵結合在一起，才算擁有完整的分數概念(引自林碧珍，1990)，如圖 2-2-2：圖 2-2-2 分數概念的連結關係（引自林碧珍，1990, p301）（三）分數概念發展的三角關係 Kutz(1991)則從圖形表徵的觀點，認為分數概念中的面積、離散量、數線等模式必須與語言及符號形成一個三角關係，如圖 2-2-3 所示。此圖包含六個方向的連結，Kutz 強調這六個連結有先後的教學順序，兒童必須能轉換這六個方向才算是有完整的分數概念。圖 2-2-3 分數概念發展的三角關係（譯自 Kutz, 1991, p194）國內學者林碧珍(1990)透過紙筆測驗及訪談方式，以圖形表徵與符號表徵之間的轉換探討國小學生的分數概念，並詳細的分析學生的解題策略、思考方式及錯誤類型。研究發現：（一）五、六年級學生將分數的圖形

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表徵轉換到符號表徵的表現上，以「將數線上的點表示成分數」的表現最差；但學生對於「給分數、在數線上標點」的表現，則優於前者。（二）高年級學生對於部份－全體模式；子集合－集合模式；比值模式；真分數圖形比假分數容易，而在數線模式則以假分數型態比真分數型態容易。顯示不同方向的表徵轉換，學生的思考也會因而不同。由此可知，觀察學生在不同表徵間轉換的表現，是瞭解學生分數概念的可行方式之一。綜合上述，研究者將根據 Post 等人所提出的模式，將兒童的分數概念發展界定為符號、語言及實物情境表徵之間的轉換關係。本研究中所謂的真實情境，將認定學生以其心中所想的情境替代，採用擬題的方式，讓學生將算式的符號表徵轉譯成文字情境的表徵，將符號與心中情境連結，來呈現學生的思考歷程，並分析學生的分數概念。

三、兒童分數概念的發展

關於兒童的分數概念發展情形，不同的學者有其不同的解釋方式，以下將分述 Piaget 等人及甯自強（Ning, T. C.）等人對於兒童分數概念發展層次的看法。 Piaget、Inhelder ＆ Szeminska（1960）等人曾經提出兒童的分數概念發展分期為：（一）四歲到四歲半的兒童，對一物分為兩半甚為困難，在分割之前沒有預想的計劃或基模，關於不同形狀之分割，長方形比較容易，圓形次之，正方形較難。這種階段的最大特徵是缺少部份與全體之間的任何關係，兒童不會注意到他所接觸的部份是某個比較大的全體之中所含的元素。（二）四到六歲的兒童對於規則的與小範圍的東西有半分的能力，但如果原來整數的大小增大了，其分成一半的能力更要延緩將物體分成相等的三部份的能力尚未表現，在分割圖形中利用長方形的比較容易解決。

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（三）六到七歲已經能夠成功的實施三等分的分法，而不必利用嘗試錯誤的方法，但其操作的了解，還是在具體的操作層次。若以一個餅為例，在這個階段的兒童因具有整體性的保留概念，所以他們能夠了解將各個分割數集聚所得到的總量與整個餅是一樣的。（四）十歲左右兒童六等分的分法，首先是用三等分法分一個餅，然後再將所分得的三塊餅，每塊都用二分法再分一次。 Piaget 也指出，兒童在瞭解分數運算之前必須具有下列七個子概念：（一）必須有一個可以除盡的全體。（二）一個分數包含各部份的限定數（determinent），分配東西時，各部份必須與接受者相對應。（三）子分割活動中，全體必須被耗盡，沒有餘數。（四）全體被切割成各部份的數與切割數間，有一固定的關係。（五）分數的概念意指分割後的每一部份都是相等的。（六）當兒童操作了再細分的部份概念時，瞭解到此細分的部份是全體的一部份，同時此一細分的部份本身也是一可再細分的全體。（七）因為分數是從全體而來，其全體始終不變。 Ning（1992）認為，兒童在不同的運思方式下，對於分數詞意義有不同的掌握。因此根據不同的運思期，將兒童的分數概念分為五個層次：（一）分數概念的前身對分數詞意義處於分數概念前身的學童而言，其運思活動雖然有數概念及分割的活動，但其數概念只是序列性合成運思，分割活動也未能將子分割單位數值化，因此並未具有分數概念，稱為分數概念的前身。分數詞對其而言，大都是指數學物件「並置類型」(Juxtaposed Pattern)，所謂的「並置類型」是指由兩個使用子分割單位形成的集聚單位被並置所形成

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的物件，這種情況大部分是在離散量的子分割活動。以分數詞 4 1 來說，其意義為「1 和 4」或「4 和 1」，給兒童 8 塊積木，要求取其中的 4 1 ，兒童解答不是「1 個」就是「4 個」積木。處於此種分數概念的兒童，若是處於連續量情境，則會以知覺或經驗判斷，將連續量撕裂成離散物，撕下的部分不一定與撕餘的相等，從這個活動來看，子分割單位是由子分割活動中，分割的原基準單位量而來。但是在思考方向上，並不是部份/全體的並置，只是「大的 1」與「小的 1」，也就是只有部分而沒有部份/全體的概念。（二）起始單位分數兒童一旦引入累進性合成運思於分數情境，就如同在整數情境中連結兩個整數一樣，將子分割單位構成的分子部分嵌於子分割單位構成的分母部分，分數詞的意義對其而言便進入「內嵌並置類型」。以分數詞 4 1 來說，是指由 1 指涉的集聚單位，內嵌於由 4 所指涉的集聚單位之中，換句話說是「4 中間的 1」。但是由於兒童此種部份/全體的關係不是明顯的，若是將分子自分母移出則會造成全體的摧毀，因此這種部份/全體的關係可稱為部份在全體之中，分子僅僅室內嵌於分母的一部分。分數詞 4 1 對其而言，並不是可使用的單位分數(unit fraction)單位，無法從事單位分數的累計，所謂 4 3 是指由三個 4 1 所指示的單位分數所構成的集聚單位，並不會認為 4 3 是由三個 4 1 所指示的單位分數單位所構成的集聚單位。（三）加法性分數當子分割活動的結果不但成為可被集聚的計數單位，同時也是子分割單位集聚而成的集聚單位中的獨立部份單位，亦即原先內嵌於集聚單位中

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的子分割單位經由部份/全體的運思歷程，自集聚單位中脫嵌而出，子分割單位自此開始稱為單位分數的單位，並認為 4 3 是由三個 4 1 所指示的單位分數單位所構成的集聚單位，因此兒童會認為 4 1 + 4 1 等於 4 2 ，而不會認為是 8 2 ，分子與分母間的部份/全體關係是獨立於全體之外。雖然此時的部份/全體運思變得較為明顯，但是仍然被限制在可數物為一個全體的部份情境，所以其運思方式仍建立在部份至全體的關係，而非全體至部份的關係，是處於單向的部份/全體關係，例如兒童認為 8 個積木的 4 3 與 8 6 是相同的，但不認為 4 3 與 8 6 相同，因為兩者的子分割活動是不同的。在要求兒童自全體中拿取二次的部分時，兒童會失去全體，以自 12 塊餅乾中取出 3 1 和 4 1 時，兒童可能會以取完 12 塊的 3 1 後，以剩下 8 塊的 2 塊為 4 1 。在回答離散量情境，6 塊餅乾的 2 1 和 3 1 的總和是 6 塊餅乾的多少時，兒童會採內容物合成的方式後在參照單位量得到 6 5 的答案，但不會注意到，不同分數單位的子分割有所不同。（四）巢狀分數當兒童能察覺 8 個積木的 4 3 與 8 個積木的 8 6 是相同，同時也認為是對同一分量的測量時，分數單位便由加法性分數質變至巢狀分數。其部份/全體的運思是雙向的，當從全體中拿去二次的部分時，全體並不會被摧毀，但拿走的這二次的部分，仍侷限在分母為倍數關係，而無法擴展至分母為非倍數關係的型態，因此兒童不會認為 6 3 與 8 4 是等值的分數。

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（五）有理數數概念處於有理數數概念的學童，不僅其部份/全體概念是雙向運思，而且能以分數作為測量的單位，例如比較 4 3 和 8 6 ，能認為兩者都是 24 12 ，因此 4 3 等於 8 6 。此時的兒童也具備等比例(共變)的概念，也就是密度的概念，因此稱為有理數數概念，因此具備 2 1 = 4 2 = 6 3 ……的等值分數概念。綜合上述兒童分數概念的發展，當兒童能以通分的概念來進行分數的解題活動時，已具備了巢狀分數概念，但仍缺乏等值分數的概念；然而當兒童能以共測單位理解不同分數詞之間的等值或次序關係，知道分數詞之間的稠密性，便進入有理數概念的階段。

四、分數在九年一貫數學科教材中的教材分析

為迎接二十一世紀的來臨與各國之教改脈動，國民中小學課程標準歷經八十二年版的新課程改革後，教材開始重視數學問題之理解，不論教材或教法都有了重大的變革。教育部近年更積極實施九年一貫之課程改革，而九年一貫課程設計主張應以學生為主體，以生活經驗為重心。以下將針對 2003 年的九年一貫課程綱要中，分數教材之內容進行教材分析，如下表 2-2-1：

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表 2-2-1 九年一貫有關於分數之能力指標年級能力指標分年細目二 2-n-10 三 N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。 3-n-09 四 4-n-06 4-n-07 4-n-08 4-n-10 五 N-2-06 能理解分數之「整數相除」意涵。 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與分數倍計算，並解決生活中的問題。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 N-2-14 能理解比率及其在生活上的應用。 5-n-04 5-n-05 5-n-06 5-n-07 5-n-11 5-n-12 六 N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數。 N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-3-05 能理解比、比例、比值與正反比的意義，並解決生活中的問題。 6-n-02 6-n-03 6-n-06 6-n-07 6-n-09 綜合上述有關於九年一貫之分數能力指標，及 Ning（1992）分數概念層次，可發現教育部所設計的國小分數課程，在六年級階段其實已進入有理數概念的層次。本研究主要是想藉由擬題的策略來分析六年級學生的分數概念，因此「分數概念測驗」的題目將以學生學過的概念為主，不特意刁難學生。

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五、分數的相關研究

分數概念對學生以後的學習佔很重要的地位，因此有許多研究者採用各種研究方法來檢視兒童分數概念學習情形，整理如下表 2-2-2：表 2-2-2 分數概念的相關研究研究者研究對象研究方法研究主題研究結果 Piaget, Inhelder & Szemunska （1960） 4–7 歲兒童個別晤談探討兒童在長度及面積上的分割行為。兒童在面積連續量的分割行為的發展可分三階段，而使兒童無法等分乃是因為缺乏預期的基模其整體保留概念。 Figueras, Filloy & Voldemoros （1987） 11–14 歲兒童紙筆測驗探討學生對連續量、離散量的分數的單位量指認困難的原因。在圖形指認上，以忽略全體及再細分為最困難；連續量的情境比離散量的情境學習成就高。林碧珍（1990）國小高年級紙筆測驗與個別晤談從圖形與符號表徵之間的轉換來探討學生的分數概念。圖形轉換至符號：都以不需再細分或增大容易；從符號轉換至圖形：均以總數為分母較容易。游自達（1993）國小四、五年級個別訪談瞭解美國學生對分數大小的理解及其解題思考策略學生受到部份/全體概念的影響，以致對分數缺乏量感，缺乏適當之分數大小的概念。許天維、易正明（2001）國小二-五年級個別晤談從單位化觀點探討國小學生的分數運算概念學童多半錯用分數的運算符號或不正確地解釋運算式中數字的意義。綜合以上分數相關研究，研究者大部份都採取解題的方式來進行，且發現國小高年級學生的部份/全體概念並不完整，及習於機械式的運算。因此本研究希望從不同於解題的觀點，也就是藉由擬題的策略，讓學生將自己所知所學及生活上的經驗，利用文字的表達，展現其分數概念，進而達到評量的功能。

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第三節迷思概念與擬題錯誤類型的研究

大部份的教師比較注重學生的成績，而較少注意學生犯錯的情形，所謂的「訂正錯誤」也只是再把自己的解題方式示範一次，更不用說去探討其錯誤的原因。但是如果兒童一直存有錯誤的想法或觀念，將會影響他後來的學習及學業成就。從前一節的文獻中發現，國小高年級學生的部份/全體概念並不完整及習於機械式的運算，因此幫助學生改正錯誤是刻不容緩的事。本節分成二個部份：首先探討迷思概念；再者探討擬題錯誤類型之研究。

一、迷思概念

「迷思概念」是指學生自我建構出的知識或概念，而這種知識或概念常與現行廣受接納的知識無法相容或有相當的差距，容易造成學習的困難。有人用「兒童科學」、「原有知識」、「先前概念」、「另有架構」等名詞來描述「迷思概念」，亦有人將之譯為「迷失概念」或「錯誤概念」（鍾聖校，1991）。張新仁（1992）指出數學教學研究上，分析學生數學的「迷思概念」或計算過程的「錯誤類型」，被視為數學診斷教學及補救教學的可行方法之一。（一）迷思概念的心理學背景近來人類學習心理歷程的觀點已從先前盛行的行為主義轉變為認知取向心理學為主流。認知心理學者普遍認為，認知發展是指個體自出生之後在適應環境的活動中，對事物的認識以及面對問題情境時的思維方式與能力表現，隨年齡增長而逐漸改變的歷程（張春興，1994）。研究認知發展心理學的心理學家們也發現，兒童們在吸收知識時的思維方式與成人相較是有很大差異的。同時，他們也主張兒童是認知的主動學習者，兒童會運用個人的先備知識與問題解決經驗，對所遇到的問題加以解釋與重組，再將所組織的知識表徵表現於問題解決之上。而認知心理學者的主張與建構主義論者所持的觀點可說是相當接近

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的。黃偉鵑（1994）認為學生會以先前所經歷的經驗，主動組織教師所傳授的概念，並建構自己的知識與認知架構，進而賦予學習歷程意義。因此，學生在課堂上學習數學並不是單純地將老師教導的銘印在大腦中，學生會以過去的生活經驗來解決問題，建構出個人的數學意義，在此建構同時，正是學生產生迷思概念的主因。從建構論的觀點來說，迷思概念的產生在學習過程中是不可避免的，甚至也會發生在成人身上，所以教學者在教學過程中，除了尊重學生原有的先入概念外，尚須包容學生的思考歷程，了解學生的思考。教師的角色除了應思考如何協助學生解決問題，同時也要扮演一名激思者，隨時給予學生有「認知衝突」的機會，使學生在討論的過程中，逐漸修正、建構自己內在概念的基模。由此看，教學者深入探索學生所建構的迷思概念及其原因，實有其必要性。（二）迷思概念的特性林福來（1993）分析迷思概念的特性有： 1.規律性：迷思概念有兩種規律性：(1)「標準化」的規律性，其特徵是「人雖異而行相同」，相當具有系統性，通常可以找出正確的理論解釋之；(2)這種錯誤的規律性是屬於個體獨有的，必須觀察個體回答一連串問題的反應後，才可發現學生是如何運作。 2.個別性：許多迷思概念具有相當的個別性，屬個人私有的。因為迷思而產生的，所以其概念具有相當的個別性。 3.非正統性：學生的迷思概念與專家知識有相當的差距，屬於非正統性的概念。 4.穩定性：迷思概念所發生的錯誤與一般隨機的失誤(如筆誤、疏忽)不同，有些迷思概念雖經教師一再提出證據提醒、講解，仍一再出現，顯然迷思概念具有根深柢固、不易改變的性質。 5.普遍性：許多研究發現某些迷思概念確實具有相當高的普遍性。 6.歷史性：有些迷思概念具有歷史慣例(historical precedence)，也就是說學生所發生的迷思概念在過去的學生身上亦曾發生過。

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7.思考性：迷思概念雖然是一種陳述出來內容，但也含概念思考的成份，這些概念可能是利用直覺、錯誤的類比、不正確的推理、不成熟的運思等思考方式所造成的結果。 8.不完備性：從過去一些晤談結果發現，許多學生的回答缺乏完整並非表達能力的問題，而是對問題的思考不周全所造成。（三）迷思概念的成因鍾聖校（1991）指出學生學習數學不是簡單的死記運算規則，而是複雜的知識建構歷程，因此在知識的建構歷程中，會因某種因素的影響而導致迷思概念的產生。學者們對於迷思概念的成因有多種不同的看法，整理如下（引自黃馨緯，1995）： 1.日常生活的錯誤印象：兒童受自己的生活經驗或文化影響(Davis，1990)。 2.架構憶取的錯誤(frame-retrieval errors)：指學生選擇了錯誤的架構，或者說選取的架構不適合此問題。也有學者認為是因為類推到不適當的規則造成的(Resnick，1987)。例如：有一些學生將數線每一單位長等分成 10 段，在小數時適用，在分數時就不適用。 3.「二元逆轉」(binary reversions)此種錯誤主要是退回到先前的學習領域，也就是學生以過去學過的問題來對待新近學習知識(Davis，1990)。例如：學生利用「部分/全部」的概念在數線上表示分數。 4.「同化範型」(assimilation paradigms)：指視覺刺激的「熟悉度」所造成的影響(Davis，1990)。如：將 7×7 算成 7＋7。 5.正式或非正式的教學影響：迷思概念會因教科書中不當的描述或插圖、教師的教法及其教學的相關知識誤導而產生。如呂玉琴(1994)提到教師所具備之分數教學的相關知識可能是影響學生分數概念學習的重要因素之一。 6.遺忘或解除演算公式的限制條件，導致錯誤的規則產生(Resnick ＆ Ford，1981)。 7.對相關知識的認知不足所造成(鄭昭明，1993)。