第二階段實驗後測與延後測學生綜合表現之探討

組間 2474.471 6 412.412 2.487*

組內 45761.155 276 165.801 總和 48235.625 282

*p＜.05 *p＝.023

5. 第二階段實驗後測與延後測學生綜合表現之探討

經過二階段的實驗及後測與延後測成績ANOVA分析之後，對於教學實驗的結果，

我們已有了一個明確的結論，動態幾何系統可以確實有效的提升學生長期的學習成效，

短期的學習成效其實並不顯著。因此接下來我們要比較的是學生學習的差異到底在哪裡？

從試題事後分析比較後，發現在後測（參考附錄）當中差異最顯著的試題是Q5&Q10，

以下針對這兩個問題，就學生所產生的認知問題分別做探索：

Q5. 若 ax² + 2ax − 1 > 0 無實數解，求實數 a 的範圍。

解法一：

圖4-2-10 傳統教學模式下學生的常犯的錯誤(六)

解法二：

圖4-2-11 傳統教學模式下學生的常犯的錯誤(七)

解法三：

圖4-2-12 動態幾何教學模式下學生的解題模式(三)

從解法一、二、三可以發現學生在解題時的一些迷失問題，分別描述如下：

(a) 解法一：多數的學生都是採取這樣的做法。學生一看到題目寫著無實數解，二 話不說馬上就用判別式小於0，計算出不等式答案。學生會採取這種解法，研 究者認為是純粹是由於學生的學習經驗所養成的反射動作，學生並沒有經過仔 細思考的解題方式。

(b) 解法二：這種做法的同學已經注意到不等式大於 0 無實數解，其實有兩種可能 性，所以判別式可能會小於或等於0，依此計算出不等式的答案，但是卻未注

意到開口方向必須朝下，也就是 a＜0 是必要條件。

(c) 解法三：透過圖形思考解題，各項細節較容易被注意到，學生的解題想法較為 完整。

Q10. 已知 f(x)為一多項式，若 1 ( ) ( )

g x = f x ≧0 的解為 x <−1、−1 < x < 1 或 2 < x，

求 f(x)≧0 的解。

解法一：

圖4-2-13 傳統教學模式下學生的常犯的錯誤(八) 解法二：

圖4-2-14 傳統教學模式下學生的快速解題 解法三：

圖4-2-15 動態幾何教學模式下學生的解題模式(三)

從解法一、二、三發現學生在解題時的一些迷失問題，分別描述如下：

(a) 解法一：採取這樣做法的學生其實數學能力不差。會想辦法利用已知條件求出 符合條件的函數，然後再解出不等式的答案寫，不過由於學生做了一些不適合 的假設，經過反覆的計算後產生了一些由假設衍生出來的問題，雖然學生畫出 圖形，但是還是產生了錯誤的解答。

(b) 解法二：採取這種做法的同學已經注意到分式不等式的等號問題，透過簡單的 思考，很快的就寫出答案，根本不需要計算，這是很棒的解題方法，只可惜跟 第一階段實驗的後測所發現的問題一樣，傳統做法中學生較容易有統整答案的 問題。

(c) 解法三：類似於解法二，學生將不等式的答案圖像化，透過圖像思考解題，各 部分的細節較容易注意到，統整答案的能力較佳。

而在延後測(參考附錄)的結果分析發現，除了後測時差異就很顯著的Q6及Q8之外，

在延後測中Q2、Q4、Q6、Q7、Q8及Q9差異性也一樣顯著。表示經過了一個半月的時 間，學生的學習記憶雖然會衰退，但是學生透過動手操作動態幾何系統，的確有效的延 長學生的學習記憶，從實驗組與對照組兩次測驗成績的差異性越來越顯著，可以做為最 佳佐證。