(1) 單項式絕對值函數基本圖形的判別：
研究者請學生在紙上畫出二元一次方程式y＝x＋2的圖形，並請一位同學在黑板上 畫，由於國中的學習經驗，學生很快的就完成了。學生先畫出坐標平面，然後利用代入 法找出位於直線上的兩個點，多數學生皆取兩軸上的點，再將兩點連線畫出一直線，但 是問學生為什麼圖形是一條直線呢？有些學生的回答很妙：「國中老師就是這樣教的呀，
我也不知道為什麼。」。接著研究者請學生互相討論關於 y＝∣x＋2∣的圖形，並在紙 上畫出，結果出現了下面兩種不同的答案。
第一類學生認為圖形應該如右圖4-1-1，此 類學生根據以往的學習經驗，了解絕對值的結果 一定不是負的，但是卻誤以為是定義域的x須為 正數(雖然他不清楚定義域的概念)，因此學生認 為直線應位於在X軸正向，所以圖形的左半部不 見了，學生就畫出如圖4-1-1的圖形。
圖4-1-1 圖形迷失類型(一)
第二類學生認為圖形應該如圖4-1-2，同樣 的此類學生根據以往的學習經驗，了解絕對值的 結果一定不是負的，因此他認為值域 y 的值必 須為正數，因此學生認為直線應位於在Y軸正向，
所以圖形在Y軸負向的部分被擦掉了，學生就畫 出如圖4-1-2的圖形。
圖4-1-2 圖形迷失類型(二)
這二類的同學很明顯的是對於定義域與值域的觀念是不清楚的，一知半解的結果把
兩種概念混在一起，在沒有仔細思考的情況下，才會畫出上述的圖形，如果養成學生多 動腦思考，許多這類的問題應該很容易被解決。
老師透過GeoGebra幾何視窗，指導學生設計目標函數，透過滑桿引導學生觀察函數 圖形之變化，學生看到函數圖形之後一陣詫異，如圖4-1-3，經過混亂的討論之後，每個 學生有如大夢初醒，不用老師講解都很了解自己剛才的問題在哪裡！
圖4-1-3 學生觀察學習歷程一
師：「你們想想看，圖形為什麼是這樣呢？」
學生TB：「嗯，因為絕對值的結果是正的，所以原來的值如果是負的，加上絕對值 之後就會變成正數。」
師：「不錯喔！清楚了嘛！那剛才的問題在哪裡？」
學生TB：「忘記加絕對值，所以少了另一半的圖形。」
師：「Good！你們看到這個圖形，有沒有感覺圖形像什麼英文字母呢？」
學生TB：「像英文字母的V。」
學生已經知道單項式絕對值函數的圖形長的像英文字母V，接下來的研究者想要引 導學生觀察函數圖形當中的轉折關鍵點的座標該如何計算或觀察，以及V字的左、右兩 條射線的方程式為何？還有左、右兩條射線與轉折關鍵點的關係為何？最後引導學生以
條件函數的型式表現出他看到的情形。藉此加強學生對於定義域與值域的概念，使得學 生對於函數的對應關係及觀念更清楚。
師：「大家既然都已經知道f(x)＝∣x＋2∣的圖形長的像英文字母的V，請利用剛才 的檔案，移動數值滑桿a，觀察轉折點的座標該如何計算呢？」
學生KB：「令x＋2＝0，x＝－2，就可以得到轉折點的座標為（－2，0）。」
師：「很好，只要解f(x)＝0，就可以得到轉折點。」
以上記錄擷取自99/09/06
師：「大家都已經了解f(x)＝∣x＋2∣的圖形長的像英文字母的V，也知道轉折點的 座標，圖形看起來很像是由兩條射線所組成的，請你們寫出這兩條射線的方程式？並寫 出其定義域x的範圍？也就是說當x的範圍是…時，f(x)＝…？」
研究者發現，全班只有極少數的學生可以馬上在學習單上作答回答問題，多數學生 對此問題是感到困惑的。
師：「同學可以利用GeoGebra指令列”點”的工具，在射線上任取相異兩點，利用 GeoGebra指令列”直線”的工具，畫出直線，再從代數視窗觀察直線的方程式，如此找 出兩條射線方程式，注意觀察兩條線的關係！」
實驗之後約有三分之二的學生可以自行利用GeoGebra順利完成觀察並寫下直線方 程式，約三分之一的學生因為指令操作問題，須協助後才能完成觀察。但是對於定義域 x的範圍，五分之四的同學皆無法明確指出，甚至其中約有五分之一的學生對於定義域 的概念是非常薄弱的。
師：「請同學觀察右側這條射線的方程式與函數的關聯性？。」
學生CB：「把函數的絕對值符號直接去掉，就可以得到右邊的直線方程式。」
師：「漂亮！不過如果x項的係數是負的，你剛才的結論還是對的嗎？。」
學生LB：「嗯，因為右邊直線的方向都是從左下到右上，所以斜率都是正的，因此 x項的係數必須為正的，只要想辦法讓x項的係數為正的，所以如果x項的係數是負的，
只要方程式右側同時乘一個負號，使得x項的係數變正的就對了。」
師：「很棒喔！請觀察左、右這兩條射線的方程式有何關係？」
學生WG：「左、右兩支剛好差一個正負號，只要把右邊的射線方程式乘上一個負 號就會得到函數圖形左邊的射線方程式。」
(正確的說法應該是將y＝ax＋b改成y＝－(ax＋b)，學生口語表達不是很精準，但是 從言行中可以知道學生是理解的，因此沒有予以修正。)
師：「漂亮喔!觀察得很仔細！那請你們再討論看看定義域的範圍呢？」
學生WB：「老師!什麼是定義域？」
師：「就是當x的範圍是…時，f(x)＝…？」
對於老師的這個題目多數的學生是停滯的，因為學生不太了解何謂定義域與值域，
雖然國中學過函數，但是對於定義域與值域的感覺是很陌生的，教師解釋說自變數的範 圍稱做定義域，應變數的範圍稱為值域，學生還是不太清楚，於是教師又解釋說x的限 制範圍稱做定義域，y的範圍稱為值域，學生才開始作答。
師：「請你們觀察看看，左、右那兩條射線與關鍵點的關係為何？」
學生WG：「關鍵點右邊的直線斜率為正，關鍵點左邊的直線斜率為負。」
師：「很好喔，如果用關鍵點的x座標來描述兩射線方程式，你要怎麼形容呢？」
學生MG：「當x≧2，y＝x＋2，當x＜2，y＝－x－2」
以上記錄擷取自99/09/09
當學生按照老師的指示設計他所要觀察的射線方程式時，許多同學都遇到了相同的 問題，當他移動數值滑桿觀察射線方程式的時候，他所畫的射線會跑掉，導致影響到觀 察的結果，研究者要學生想想射線為什麼會跑掉，學生互相討論後還是想不出來原因，
研究者告訴他們，是射線建構方式的問題，請他重新建構射線，提示他其中一個點必須 是轉折點，學生操作後發現問題果真不見了，射線變正常了。研究者要學生想想兩種建 構方式的差別，學生依舊想不出來，研究者告訴他因為有滑桿，才可以用動態的方式觀 察函數圖形及射線方程式的變化，但是也因為如此，他原來所選取的兩個固定點位置會 因為函數圖形位置改變而改變，導致圖形與他的想像不同，但是選取轉折點時，轉折點 原本就是動態的，所以只要慎選另一固定點就可以了。研究者認為這是學生不熟習環境 的問題，當學生熟悉GeoGebra時，這些問題將會消失。數學是一門注重邏輯分析的課程，
透過建構的過程學生可以學習嚴謹的概念。現在許多的數學軟體都是注重學生在幾何物 件建構的過程當中學習數學概念，例如：Cabri 3D、Gsp……等數學軟體。比起傳統的
軟體輸入後即得到答案，學生不清楚做圖過程一知半解好太多了。這也是近年來有許多 的研究探討動態幾何系統融入課程的主要原因之一。
這個單元學完之後，隔天上課時研究者對學生做了一個小測驗，出了四道題目想了 解學生對於將絕對值函數轉換成條件函數，是否會有學習上的問題，其中一個題目如 下：
設f(x)＝∣x－2∣，請畫出f(x)的圖形，並在圖形上標示轉折點座標，寫出左右半部 的射線方程式，並寫下其x的範圍。
結果發現一個很有趣的現象，那就是基本上90%的學生皆可完成小測驗，其中約有 50%的學生是依照前一天的學習經驗，很快的完成兩條射線方程式如圖4-1-4，但是約有 40%的學生，是先利用觀察法找出位於右側射線上的兩個格子點，然後再利用y＝ax＋b，
將兩個點的座標代入方程式，解出a、b，然後寫出右側的射線方程式，將方程式右側乘 上負號，再寫出左側的射線方程式如圖4-1-5。看到這個現象，令人哭笑不得，但也感受 到要學生學習新的方法，取代已沿用許久的方法是不容易的，而且也發現學生的觀察、
歸納、分析的能力有待加強，因為有高達40%的學生有如此的問題，比例比研究者想像 中的高，原先研究者認為如此簡單易懂的觀察學習法，學生應該印象深刻，馬上就能舉 一反三，但是事實並非如此，要學生接受新的東西是需要時間去磨的。
圖4-1-4 學生將絕對值函數以條件函數表示法之類型一
關於定義域的部分，超過半數的學生無法用數學符號表示定義域與射線的關係是原 本就是在研究者的判斷當中，因此又利用一節課的時間去電腦教室請學生重新操作一次，
研究者再次對定義域與值域的概念解說一次。經過此次再學習的結果，90%的學生都能 順利快速的完成任務，但是仍有極少數學生排斥它。
圖4-1-5 學生解題方法之類型二
師：「請設計二個數值滑桿a、m，其中m＞0，指令列輸入f(x)＝abs(mx＋a)，移動 數值滑桿m，觀察兩射線的變化為何？」
學生CB：「m愈大，兩射線的開口就愈小；m愈小，兩射線的開口就愈大。」
師：「如果只單看右側的直線呢？」
學生CB：「m愈大，直線越陡；m愈小，直線越平緩。」
師：「good！m代表斜率，斜率愈大，直線越陡；斜率愈小，直線越平緩。」
以上記錄擷取自99/09/13
(2) 單項式的絕對值方程式解的個數討論：∣ax＋b ∣＝k
師：「有沒有人知道絕對值方程式的解到底有多少個呢？例如：｜x＋2｜＝3、
｜x＋2｜＝0、｜x＋2｜＝－3。」
學生KB：「這太簡單了，我還可以告訴你它的答案喔。」
當學生KB要說下去的時候，馬上就被教師制止了。
師：「你們都很厲害，不過我目前只想要知道它的答案個數就好了喔。」