國
立
交
通
大
學
理學院科技與數位學習學程
碩
士
論
文
動態幾何系統GeoGebra
運用於高中數學教育之策略探討
The Study on the Strategies of Integrating GeoGebra
into the Education of High School Mathematics
研 究 生：游正祥
指導教授：李榮耀 教授
動態幾何系統GeoGebra運用於高中數學教育之策略探討
The Study on the Strategies of Integrating GeoGebra
into the Education of High School Mathematics
研 究 生：游正祥 Student：Cheng Hsiang Yu
指導教授：李榮耀 Advisors：Dr. Jong Eao Lee
國 立 交 通 大 學
理學院科技與數位學習學程
碩 士 論 文
A Thesis
Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Degree Program of E-Learning
June 2011
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
動態幾何系統GeoGebra運用於高中數學教育之
策略探討
研究生：游正祥 指導教授：李榮耀 博士
理學院科技與數位學習學程
摘要
資訊融入是現代教育發展的趨勢，有許多的研究結果指出將動態幾何系統融入中 學的數學教育，可以有效的協助提升學生的學習成效，在教學實務上有很多的優勢，但 是實際上在課程中融入技術的過程卻是緩慢而複雜。 “ GeoGebra”是一項專門針對中學數學教育所設計的開放性教學軟體，在幾何、代 數、微積分及統計等數學課程，提供使用者方便易用、簡單易學的軟體環境，不僅協助 教師在教學過程更順利的進行，而且透過圖像輔助學生更輕鬆的學習數學相關課程。由 於它是開放性的軟體，讓世界各地的學生、教師及對於動態幾何系統有興趣的人員，可 以在教室、家裡、在任何環境中自由的使用，而不用擔心其它額外的負擔，而且有一個 論壇空間，透過它可以和全世界的人們共同討論疑難問題，因此值得大力的推廣。 本研究是一項長期的教學實驗，探討教師如何將動態幾何系統融入學校正規課程 的過程；並探討在GeoGebra融入課程的學習環境中，學生的學習態度、短期與長期的學 習成效和傳統教學方法的差異性。 關鍵字：動態幾何系統、GeoGebra、數學教育The Study on the Strategies of Integrating GeoGebra
into the Education of High School Mathematics
Degree Program of E-Learning
College of Science
National Chiao Tung University
Student：Cheng Hsiang Yu Advisors：Dr. Jong Eao Lee
ABSTRACT
The integration of technology has become the trend of modern education development. Many studies indicate that the integration of dynamic geometry system into high school math curriculum can highly enhance students’ learning efficiency. Though it does offer a lot of advantages in teaching, the process of technology integration into curriculum is slow and complicated in practice .
“GeoGebra” is an open teaching software designed for high school math education. It provides user-friendly, easy-learning software environment in math curriculum, such as geometry, algebra, calculus and statistics. That is, it not only helps teachers to carry out their teaching smoothly, but also helps students to learn math related curriculum easily through graphical aids. Because it is an open software, it allows the students, teachers and those who are interested in DGS worldwide to use it in classrooms, at home or anywhere without
worrying about any burden. Besides, a forum is provided for users to discuss any problems ith people around the world. Therefore, it’s highly recommended.
The study is a long-term teaching experiment. It focuses on how a teacher integrates DGS into the formal curriculum at school, and what is the difference between GeoGebra integration teaching approach and traditional approach in students’ learning attitudes, and their short-term, long-term learning efficiency.
誌謝 這份論文能夠順利完成，要感謝許多人的幫忙。首先要感謝李榮耀教授的指導，在 教授熱心的指導及鼓勵下，我才得以完成這份論文。每當實驗設計遇到了瓶頸，教授馬 上以其豐富的教學經驗指引我往正確的方向前進，若沒有教授的協助，我想現在我還在 摸索著論文的方向，遲遲無法完成這份研究吧！在做研究的路上，教授展現出身為一位 學者的風範，在解決問題、思考答案以及研究態度上，都是值得我學習的楷模；在專班 兩年的課程，李教授擔任碩二時的導師，和我們分享了很多生活經驗，讓我在這兩年的 學生生涯裡，不僅獲得很多學術方面的知識，亦獲得了很多寶貴的經驗。另外還要感謝 帶領我進入動態幾何系統教學的黃大原教授，讓原本對這方面毫無概念的我，在這兩年 投入了全部的心力，也從教學中領悟到有意義學習的概念。 其次要感謝建功高中李玉美校長對於教學實驗的認同與支持、教務主任世欣對於實 驗課程需求的大力配合、圖書館主任川益協助借用電腦教室讓我可以進行整學期的教學 實驗，在各位長官的全力支援下，讓我有這麼棒的環境來從事教學實驗研究；還有一位 功不可沒的人是實習老師旭正，透過他在數位教育專業上的協助，讓整個研究進行更順 利，最後還有可愛的高一四班學生，在知道自己是被實驗的白老鼠狀況下仍然全心投入， 讓我能有豐富的資料來完成本篇論文。 最後要感謝的是我的老婆雅惠，在這二年當中，給我最大的支持，尤其晚上兩個小 孩上才藝班的接送，以及作業都要寫到10~11點，讓老婆每個晚上都過得非常充實。每 當夜深人靜我埋頭設計教案、分析資料寫論文時，她總會說：「身體比較重要、早點睡， 不要忘了自己有高血壓！」。 其實一路上貴人很多，無法一一答謝，專班同學、交大教授、工作夥伴，任教班級 的學生及家長，謝謝各位讓我這兩年的學生生活過得充實、愉快。沒有大家的支持、付 出與配合，我一定無法順利完成這本論文，感恩你們。 游正祥 謹誌 中華民國一百年六月
目錄
中文摘要 ………I Abstract ………II 誌謝 …..………III 目錄 ……..………IV 圖目錄 ..…..….………VIII 表目錄 …….. ..………XI 一. 緒論 ………1 1.1 研究動機 ………1 1.2 研究背景 ………5 1.3 研究目的與問題 ………7 1.4 研究限制與範圍 ………8 1.5 名詞釋義 ………8 二. 文獻探討 ………9 2.1 教師信念 ………9 2.2 DGS融入教育的研究 ………14 2.3 GeoGebra的優勢探討 ……….…17 2.3.1 GeoGebra介面介紹 ……….…18 2.3.2 GeoGebra獲獎紀錄 ……….….…21三. 研究方法 ………23 3.1 研究設計 ………23 3.1.1 實驗預視 ………25 3.2 研究對象 ………26 3.2.1 參與人員 ………26 3.3 研究流程 ……….………27 3.3.1 實驗流程 ………27 3.3.2 課程內容 ………27 3.3.3 上課方式 …..……….28 3.3.4 研究計畫 ………..………..29 3.4 設備介紹 ………29 四. 研究結果與討論 ………31 4.1 第一階段的實驗過程與結果 ………31 4.1.1 第一階段的實驗主題與探索課程內容 ………31 4.1.2 第一階段的實驗過程 ………33 4.1.3 第一階段實驗的後測與延後測結果探討 ………57 4.2 第二階段的實驗過程與結果 ………71 4.2.1 第二階段的實驗主題與探索課程內容 ………71 4.2.2 第二階段的實驗過程 ………71
4.2.3 第二階段實驗的各項測驗結果探討 ………82 4.3 第三階段的實驗課程 ………94 4.3.1 第三階段的實驗主題與探索課程內容 ………94 五. 結論與建議 ………99 5.1 結論 ………99 5.2 可能面臨的問題與建議 ………100 5.2.1 教師信念 ………101 5.2.2 學生的學習態度 ………102 5.2.3 家長的態度 ………103 5.2.4 課程的授課時數 ………103 5.2.5 學校的硬體設備 ………104 5.3 結語 ………104 Reference ………105 附錄 附件一 第一階段後測試題 ………107 附件二 第一階段延後測試題 ………109 附件三 第二階段前測試題 ………111 附件四 第二階段後測試題 ………112 附件五 第二階段延後測試題 ………114
附件六 學習單 ………116 附件七 Homework ………137
圖目
圖2-1-1 教師信念關係圖 ……….……11 圖2-3-1 GeoGebra雙向溝通圖示 ……….18 圖2-3-2 GeoGebra的視窗介面 ………19 圖2-3-3 GeoGebra微積分動態演示(一) ………20 圖2-3-4 GeoGebra微積分動態演示(二) ………20 圖2-3-5 GeoGebra微積分動態演示(三) ………20 圖3-3-1 課程設計流程與步驟 ………27 圖3-3-2 學生小組合作觀察與設計學習 ………28 圖3-3-3 老師引導小組進行合作學習 ………28 圖3-3-4 學生上台發表 …………..………28 圖3-3-5 學生上機情形 ………..………28 圖3-3-6 研究流程與步驟 ………29 圖3-4-1 Moodle平台介面介紹之作品分享區………30 圖3-4-2 電腦教室配置圖 ………30 圖4-1-1 圖形迷失類型(一) ………33 圖4-1-2 圖形迷失類型(二) ………33 圖4-1-3 學生觀察學習歷程一 ………34 圖4-1-4 學生將絕對值數寫成條件函數之類型一 ………37圖4-1-5 學生將絕對值數寫成條件函數之類型二 ………38 圖4-1-6 絕對值不等式的圖解概念 ………42 圖4-1-7 二項式絕對值函數圖形(一) ………46 圖4-1-8 二項式絕對值函數圖形(二) ………46 圖4-1-9 二項絕對值方程式學生之函數圖形解法 ………48 圖4-1-10 三項絕對值不等式討論式之傳統解法 ………48 圖4-1-11 二項式絕對值和最小值之觀察(一) ………54 圖4-1-12 二項式絕對值和最小值之觀察(二) ………54 圖4-1-13 奇數項絕對值和最小值之觀察 ………55 圖4-1-14 偶數項絕對值和最小值之觀察 ………55 圖4-1-15 傳統教學模式下學生的正確解法 …………..………64 圖4-1-16 傳統教學模式下學生常犯的錯誤(一) ………65 圖4-1-17 傳統教學模式下學生常犯的錯誤(二) ………65 圖4-1-18 動態幾何教學模式下學生的解題模式(一) ………66 圖4-1-19 傳統教學模式下學生常犯的錯誤(三) ………67 圖4-1-20 傳統教學模式下學生常犯的錯誤(四) ………68 圖4-1-21 傳統教學模式下學生常犯的錯誤(五) ………68 圖4-1-22 動態幾何教學模式下學生的解題模式(二) ………69 圖4-2-1 關於多項式圖形學生的創意想像力(一) ………72
圖4-2-2 關於多項式圖形學生的創意想像力(二) ………72 圖4-2-3 關於多項式圖形學生的創意想像力(三) ………74 圖4-2-4 關於多項式圖形學生的創意想像力(四) ………74 圖4-2-5 關於多項式函數圖形學生的觀察歸納(一) ………75 圖4-2-6 關於多項式函數圖形學生的觀察歸納(二) ………76 圖4-2-7 小組討論之思考題 ………78 圖4-2-8 關於思考題學生之歸納觀察 ………79 圖4-2-9 不等式解的討論觀察 ………81 圖4-2-10 傳統教學模式下學生常犯的錯誤(六) ………90 圖4-2-11 傳統教學模式下學生常犯的錯誤(七) ………91 圖4-2-12 動態幾何教學模式下學生的解題模式(二) ………91 圖4-2-13 傳統教學模式下學生常犯的錯誤(八) ………92 圖4-2-14 傳統教學模式下學生快速解題 ………92 圖4-2-15 動態幾何教學模式下學生的解題模式(三) ………92 圖4-3-1 學生的作品分享 ………96
表目
表3-1-1 各階段課程目標及計畫表 ………24 表4-1-1 第一階段實驗後測成績描述統計量 ………58 表4-1-2 第一階段實驗後測成績之anova分析摘要表 ………58 表4-1-3 第一階段實驗延後測成績描述統計量 ………60 表4-1-4 第一階段實驗後延測成績之anova分析摘要表 ………61 表4-1-5 第一次期中考成績描述統計量 ………62 表4-1-6 第一次期中考成績之anova分析摘要表 ………63 表4-1-7 兩種教學模式下學習迷失之比較 ………70 表4-2-1 關於多項式函數圖形學生的創意聯想(一) ………73 表4-2-2 關於多項式函數圖形學生的創意聯想(二) ………75 表4-2-3 關於多項式函數圖形學生的觀察歸納 ………76 表4-2-4 第二階段實驗前測成績描述統計量 ………82 表4-2-5 第二階段實驗前測成績之anova分析摘要表(一) ………83 表4-2-6 第二階段實驗前測成績之anova分析摘要表(二) ………83 表4-2-7 第二階段實驗後測成績描述統計量 ………84 表4-2-8 第二階段實驗後測成績之anova分析摘要表 ………85 表4-2-9 第二階段實驗延後測成績描述統計量 ………86 表4-2-10 第二階段實驗後延測成績之anova分析摘要表 ………87表4-2-11 第二次期中考成績描述統計量 ………89 表4-2-12 第二次期中考成績之anova分析摘要表 ………90 表4-2-13 後測與延後測各班成績比較表 ………93 表4-2-14 後測與延後測HIGH程度成績比較表 ………94 表4-2-15 後測與延後測AVERAGE程度成績比較表 ………94 表4-2-16 後測與延後測LOW程度成績比較表 ………95
一、 緒論
1.1
研 究 動 機
在校園中老師很認真的運用板書、教具及教學媒體來說明一些數學概念及現象，可 是對於多數的學生而言，數學課程就像是＂天書＂，不但與學生的日常生活不太相關， 學生也不容易理解與觀察，許多老師都曾經遇到以下的狀況。 學：「老師，學數學有什麼用。」 師：「學數學可以訓練你的邏輯思考，增進你的推理能力呀！」 學：「可是在日常生活當中什麼時候才用的到多項式函數、指數與對數函數、三角 函數、圓錐曲線、空間向量、…？」 師：「某些單元你現在或許覺得沒有用，可是日後你念大學時，尤其是理工科系， 你就可能需要這些知識背景，才能繼續做研究喔！」 學：「可是我以後想念的是法律或外文，應該用不到這些東西吧！我上街買衣服也 只要會跟老闆殺價及加、減、乘、除就好，為什麼要學這麼多用不到的數學啊！」 師：「嗯、……」(老師無言中……) 類似這樣的論點經常出現在校園師生的對話中，於是乎『數學無用論』及『數學只 是升學考試的工具』，這樣的論點瀰漫在整個校園中超過二分之一的學生，尤其是在中、 低學習成就的學生族群當中，甚至於高學習成就者，有時候也不知所學為何？學生只是 依照老師上課所講解的公式代入而已，但是其實學生並不了解問題的核心意義是什麼？ 許多老師雖然都發現了這個問題，但是大都只是告訴學生題目做得不夠多，多做自然就 懂了，老師以前都除了課本之外，還買了好幾本參考書及講義做很多題目才比較清楚喔， 所以要多做題目，多做題目以後自然就會了解了。但是實際上真的是如此嗎？做很多題 目真的就會比較清楚課程內容嗎，還是只是把方法硬記下來而已。許多學生就在渾渾噩 噩中，盲目的學習老師所講授的數學課程，對於數學這個學科並沒有任何好感及興趣。 雖然學生的生活周遭有一大堆的數學問題，譬如各項費率問題、分配問題、信用卡循環 利息問題、時間問題，利潤問題、……等，可是多數學生卻不知道如何利用所學過的數 學知識來解決問題！為什麼會這樣呢？其實最大的問題是學生的思考能力在教學實務 上慢慢的被剝奪了。學生不需要會思考問題，只要會代入公式即可，因為生活周遭的問題沒有特定的公式，所以學生就不會做了。 許多老師都了解「數學可以訓練學生的邏輯思考，增進學生的推理能力！」但是常 常希望為了快速的提升學生的學習成效，多數選擇＂軍事化＂的方式教學，學生只能遵 循這樣的遊戲規則，按表操課，模仿老師的做法，缺乏思考，因為這樣做家長的壓力才 不會降臨到老師及學生身上。只有少數認真學習的學生會主動尋求老師的協助，了解課 程的內涵，多數的學生只有做機械式的演算，其實無法達到老師所說的「學數學可以訓 練學生的邏輯思考，增進學生的推理能力！」在 2010 年 11 月份的行政院科技顧問會議 中討論如何培育台灣的創造文化。成功大學校長賴明詔認為台灣教育極需創新能力，他 舉例日前有美國學者來台觀察中小學科學教育，發現學生做的火箭模型都非常好，美國 學生比不上，這是台灣教育成功的一部分；但是「大家設計得都一樣。」卻是台灣教育 最大的缺點，學生只會制式的概念，跳脫出框框，學生就無所遵循，手足無措。導演賴 聲川認為創意就是一種「問問題的能力」。他觀察很多台灣學生不知如何問問題；然而 應在聽講時提問，才有助思考。他也指出，創意需要跨領域學習，「從別的領域『偷』 東西過來」，別人的垃圾可能是你的寶藏。台灣教育過於重視標準答案的考試，也是扼 殺學生創意的幫兇。 在某次的學校的親師座談會中，家長曾經提出下面的質疑。 家長：「為什麼學校買了課本老師卻不用，還花錢買講義上課！既然課本不用，乾 脆就不要買算了。」 師：「課本的講解很清楚，但是題目太少，給學生的刺激恐怕不夠，所以需要另外 買講義上課，課本就請同學回家自修。」 研究者從事數學教育工作超過二十年，曾經在公、私立國中及私立高職從事教職， 目前在公立高中任教，根據研究者的教學經驗，不同階段的學生族群在學習數學課程的 時候有一個共通的特點，那就是多數學生在上課的時候對於老師講解的內容其實並不清 楚？尤其是老師講得越快樂、越投入的時候，學生聽得越模糊，學生只是坐在教室裡聽 老師的講課，比較認真的學生會把老師上課的內容＂抄起來＂、＂記起來＂、＂背起來＂， 學生的筆記做的很漂亮，內容背的也很熟，測驗的成績也不差，但是並不清楚學習該單 元課程的目的及意義為何？學生的學習過程是不快樂的，甚至是痛苦的，因此造成許多 學生對於數學具有恐懼感。為什麼會這樣呢？
研究者認為這是因為每位老師受到完整的專業訓練，備課時會擬訂完整的教學計畫， 上課時根據教學計畫執行課程，在教學的過程當中老師的腦海裡有個課程架構的完整圖 像，老師根據圖像一步一步的建構課程內容，在整個教學歷程老師建構知識的過程中， 學生只有被動的聽講與抄寫，過程中老師為什麼要這樣做、為什麼要那樣做，學生並不 清楚；就好像我們看到拼圖高手很快的完成拼圖，我們讚嘆不已，可是在過程中為什麼 他知道這一片拼圖要放在這裡，另一片拼圖要放在那裡，我們心中是有個問號的？就算 我們想要模仿卻無法模仿，最後只有想辦法把它的位置背起來，因為我們對於整幅圖畫 的圖像的概念是非常薄弱。學生聽老師講解課程也是一樣的道理，在整個的教學過程中， 學生的腦海裡從一張白紙，沒有任何圖像，到最後被貼上了許多的圖像及文字，多數學 生對於教學過程一知半解，只有注意到最後的結論，多數學生搞不清楚，於是只有把它 背起來。所以有些老師規定學生要回家看書、寫作業，複習老師上課所講的內容，就像 是要學生回家自己練習拼圖一樣，把課程架構弄清楚；其實學生的程度是有落差的，少 數學生回家自己練習是可以的，可是多數學生在沒有圖像輔助之下是無法自主學習的， 最後也淪為＂背多分＂。所以學生的成績不佳研究者認為不單只是學生回家不看書，不 夠認真，而是學生對於課程的架構不清楚。所以如果老師可以讓學生在學校就把圖拼起 來，對於學生的學習成效是不是更好呢？ 研究者認為整個教育的問題就在知識建構的方式應該要以學生為中心，慢慢的引導 學生建構屬於他個人完整的＂學習圖像＂，而不是以教師為中心直接將＂課程圖像＂繪 製完成給學生使用，孔子說：「因材施教。」所以我們應該配合不同學生程度去調整學 習內容，設定不同的學習目標。相信有許多人玩過＂數獨＂這項益智遊戲，許多學生也 喜歡玩這項益智遊戲，其實玩這項遊戲的時候需要使用許多的數學概念，有許多的研究 就是以這個主題做為研究探討的內容，但是學生並不認為在遊戲中所使用的概念是數學， 只是推理而已，學生不認為邏輯推理就是一項數學學問，在學生的認知中所謂的數學就 是方程式。配合不同程度的學生設定學習目標，有些學生可以學習比較深入的知識，解 決比較困難的問題，例如：最少要給幾個點，數獨遊戲就會有唯一解；可是有另一批學 生，他只要能夠知道游戲規則，他會做最基本的問題就可以了，他不需要做到太艱深的 問題，使得每個人在相同領域都有基本知識，這就是個別設定學習目標的意義。 現階段國內所推行的許多教育改革就是為了解決上述的問題所制定出來的，不過其 中有些方法是把歐、美國家的實施多年的教育政策直接引進到我國教育體制當中，許多 在歐、美各國看起來很合理、執行也很順利的教育政策，在國內實施的時候都引發了一
些後遺症，這是因為＂民族習性＂問題，當教育部推行一個新政策的時候，許多家長所 想到的第一個問題是＂對我的小孩的升學有什麼影響＂？而學校受到來自於家長的壓 力，尤其在少子化的狀況下，為了學校的永續發展也開始思考因應對策，在＂上有政策、 下有對策＂的情況下，政策很難確實落實，許多的教育改革面臨到相當大的衝擊，令人 不禁懷疑難道是歐、美的教育理念有問題嗎？還是第一線的教育執行者不夠認真教學呢？ 我個人認為都不是，而是歐、美國家與亞洲國家的教育觀念不同、教育體制不同、家長 要求不同、學生學習態度不同，嚴格來說就是教育的根本本質不同。因此若要從事教育 改革，必須要從培養學生＂正確的學習態度＂及＂家長的教育觀念再教育＂著手。歐、 美各國的學生並沒有太大的升學壓力，因為行行出狀元，而家長及學校教育也認為學生＂ 學的會＂比＂成績高＂重要，因此學生在學習的態度上與我國的學生的學習態度有相當 大的不同。 從許多針對中學數學教育研究的文獻中發現，教師嘗試各種不同的教學方法，來提 升學生的學習成效，許多的研究探討的重心也都放在探討不同的教學方法是否能夠確實 提高學生的學習成效，關注的焦點都集中在學習成效，很少有人將重心放在有＂有意義 的學習＂。在＂有意義的學習＂教育理念下，＂數學建模＂及＂資訊融入＂因此逐漸發 展成為教育改革的主流趨勢，身處第一線的教師也因此面臨了如此的重大變化，如何才 能讓多數學生的學習到活的知識是教師的一項重大課題。 數學建模的教學成效早已受到肯定，將生活當中實際遇到的問題轉換成數學符號， 讓學生不再覺得數學與現實生活脫節，學生學習如何將實際上的問題以數學模式呈現， 這其實是一個極具發展性的數學教育方向；不過在實際上數學建模概念還是需要學生具 有一定程度的想像能力，在多數學生缺乏想像力的情況下，並非多數學生能夠馬上切入， 多數學生為了成績還是無法跳脫傳統＂講光抄＂與＂背多分＂的思維模式，學生較難舉 一反三將所學到的數學知識應用在實際生活當中，學生畢業後就將所學到的數學知識全 部還給老師。曾經有學生跟我說：「我終於不用再念數學了！實在太高興了！」。如果 大學推甄可以調整選才方式，各大學同一科系或相近科系採取聯合甄選，由各大學教授 聯合命題，除了紙筆測驗之外，也可以測驗學生動手操作的創造、思考能力，其中紙筆 測驗的成績視為門檻，依照學生的綜合表現，各校按照學校本位課程特色依序錄取學生， 譬如目前台灣聯大系統一樣。如此做法，學生、家長與老師對於學生的學習成就才有機 會調整成＂學的會＂比＂分數高＂重要，教育方向也不會過於偏於紙筆測驗，有助於增 加學生的實驗操作，補習班因為很難讓人人都可操作實驗，因此補習風氣也會下降，果
真如此，那教育改革又往前邁進一大步。 資訊融入教育是教師透過媒體來輔助教學，使老師的教學過程更順利，同時協助學 生透過教學媒體，更容易理解數學知識。其中動態幾何系統是藉由幾何物件動態呈現的 方式讓學生進行觀察學習，目前動態幾何系統融入課程的方式以老師操作、學生觀察為 主，不過運用動態幾何系統輔助中學數學課程教學的策略，一直被多數從事數學教育的 第一線教育人員視為離經背道的教學方式，是一項非常不嚴謹的教學模式，就數學要求 嚴謹證明的觀點來看容易照成學生以偏概全的觀念，會對學生的學習數學的邏輯推理產 生障礙，所以被認為不是一個合適的數學教育模式，因此資訊融入中學數學教育應用在 實際的教學環境中的問題，除了硬體設備問題之外，教師的信念亦是一項重大挑戰。其 實教師應該要有認知，並非所有學生將來都需要具備高深的數學知識，大多數的學生其 實只需要具備基本邏輯推理能力，做為日後協助他利用所學過的基本觀念處理相關問題 就好，當老師在講解基礎的定義、定理的時候，如果可以簡單明瞭的介紹方式，讓各類 學生都能有所收穫，我想這才是將資訊融入教育的真正目的，至於對數學有濃厚興趣的 學生，也可以藉DGS的觀察學習，觸發學生去學習嚴謹的數學證明及更深入的數學問題 探索。 中學的基礎數學教育主要分成代數與幾何兩部分，其實這兩個層面是密不可分的， 可是許多學生處理數學問題的時候往往是將兩部分視為不同概念，好像兩部分是楚河漢 界彼此互不相干，導致學生的想像力不足，推理能力薄弱，因此如果可以讓學生將代數 與幾何相對應的關係結合，對於學習應該更有幫助。其實透過 DGS 引發學生的學習動 機，藉由圖像的動態變化與相對應的數學符號結合，再配合老師講解及同學討論的過程， 使學生更能感受到數學不再是遙不可及的學問，學生更容易理解數學概念，進而引起學 生想去檢驗他們利用觀察學習所進行＂有意義的猜測＂之正確性，如此可以引起學生的 學習數學課程的動機。
1.2
研 究 背 景
研究者利用教學研究會的時間與同事討論到將動態幾何系統融入正式課程的可能 性時，老師們分享他們的看法，多數老師覺得如果要將動態幾何系統融入正式課程中， 執行時會遭遇許多困難，窒礙難行，而且效果不彰，還不如傳統的教學方式來得好，以下將老師們的疑慮詳述如下： 1. 教師整節課在教室操作電腦時，教室前方需要關燈，此時燈光美，氣氛佳， 正是學生補眠的好時間，學習效果差。 2. 若不是整節課使用電腦，那電腦開開關關太麻煩了，上課時間已經不夠用了， 無法再浪費時間與精力。 3. 資訊融入就是放一堆投影片給學生看，教師播放投影片的時候速度是非常的 快，雖然老師講解的很清楚，可是學生根本的思考跟不上教師講解的速度， 所以還不如寫黑板，學生慢慢抄有效果。 4. 多數的課程不需使用軟體上課，就有很好的效果，不知其利基點在何處？紙 筆就很成功了。 5. 軟體很好用，但是還要學太麻煩了！而且現在學了，二、三年後又會有新軟 體出現，到時候又要學新的，負擔太沉重，我想我這樣上就很棒了，不需要 電腦輔助我的教學計畫。 6. 學校硬體不足，等到所有的學生都配備一部電腦，讓學生可以實際動手操作， 學習效果才會比較好，到時候資訊融入才可執行。 7. 數學課程一星期只有4~5節課，要拿1~2節課讓學生動手操作學習，慢慢觀察， 會造成老師上課的進度壓力大。
8. 圖形不是證明(proof without word)，只能說是證實(verify)，會讓學生的數學觀 念錯誤，以為這樣就是數學證明！ 以下為研究者詢問學生之前數學課程使用動態幾何系統融入課程的學習經驗： 1. 以前國中老師曾經用過，不過上課時大家都睡成一片。 2. 高二時老師曾經秀過一次拋物線的製圖過程(GeoGebra)，但是"咻＂一下子就 結束了，沒有什麼感覺。 3. 老師用Cabri 3D製圖，圖形很漂亮啦，不過不要整節課都用，每節課一部分 就好了啦，免得都睡死了。 綜合上述老師與學生共同的疑慮，研究者認為重點就是軟體操作問題。老師很辛苦 的製作教材，上課時講的口沫橫飛，學生上課時也點頭如搗蒜，教學過程看起來沒有其
它的問題，又是一次完美的教學。問學生會不會？聽懂嗎？學生都說：「會啊！很簡單 阿！」可是測驗之後成績卻是一蹋糊塗，研究者認為癥結就在於學生沒有動手操作，記 憶力不佳，圖像來的快、也去得快，學生只有短暫的記憶，如同老師所說的「還不如寫 黑板，學生慢慢抄有效果。」因此要解決老師的問題，研究者想到的是直接讓學生動手 操作 GeoGebra，在 GeoGebra 的環境學習數學課程，
1.3
研 究 目 的 與 問 題
由於許多的因素，我國學校教育目前很難採取像歐、美國家較開放式的學習方式， 數學教師受限於課綱實施及授課時數上的限制問題，平時忙於拼命的趕課，更遑論要將 資訊融入課程，而學生的學習經驗普遍也是不佳的。同校的數學科教師在教學教研會時 曾談論到關於資訊融入的認知：「資訊融入就是放一堆投影片給學生看，效果是很差的， 因為放投影片的時候速度非常的快，學生根本跟不上教師講解的速度，所以還不如寫黑 板，學生慢慢抄有效果；再加上教室昏暗，學生更是睡成一片，如果學生可以動手操作 可能好一點，學校硬體也不足，等到所有的學生都配備一部電腦，或許就可能執行，但 是一星期只有4~5 節課，要拿 1~2 節課讓學生動手操作學習，那更可怕。因為課程上進 度的壓力會更大。」的確資訊融入課程是很棒的教學模式，從許多的文獻結果都可以證 明，可是如果學生的成績會相對落後於傳統教法的學生，我想來自學生及家長的壓力是 第一線的教師難以承受的，因為在現在教育的氛圍底下，如果在學生一開始就落後的情 況下，你很難說服家長與學生這樣的教學方法對於學生的長期學習是正面的，未來的學 習成效將會得到豐碩的果實。數學教師從另一種角度來思考，＂師父領進門，修行在個 人＂，如果上課跟不上的學生，回家後願意透過電腦操作學習老師上課的內容，是不是 比去補習班好呢？ 因此本研究不以學生的學習成就視為唯一的觀察重點，但是為了解學生的學習，學 生的＂學習成就＂會當作是教師評估計畫的參考值，評估標準在於只要學生短期的學習 成就不落後，就視為完成階段性目標，就可以進行下一階段的實驗，研究的重點將放在 學生長期學習的表現。藉由三階段的實驗探討學生對於 GeoGebra 輔助教學的接受程度、 透過 GeoGebra 的幾何視窗介面，觀察學生對於圖像的表徵是否能夠透過觀察、討論、 歸納、分析來學習數學概念。來探討學生對於將動態幾何系統 GeoGebra 引進高中數學 教育是否可以提高學生的學習興趣，引發學生的學習動機並進而提高學生的學習效率，教導學生一項活的知識。因此本篇論文主要的研究問題是： 1. 在課程綱要進度及授課時數的限制下，數學教師將動態幾何系統GeoGebra引 入高中數學課程的策略為何？ 2. 探討在動態幾何系統GeoGebra的環境中，對於學生的學習態度、學習成效與 傳統教學的學習方式的差異性。 3. 探討在動態幾何系統GeoGebra的環境中，對於老師的命題的方向與傳統教學 命題的方向是否有差異性。
1.4
研 究 限 制 與 範 圍
1. 本研究針對新竹市某市立高中一年級的學生為教學實驗對象，學生屬中上程 度學習成就的族群，國中基測PR85~PR90之間，實驗課程內容配合高一上學期 數學課程而設計，所有實驗組學生於實驗期間皆接受動態幾何系統GeoGebra基 本的指令操作教學。 2. 本校位於新竹市區清華大學對面，交通便利，再則新竹市、新竹縣平均家庭 年收入高居全國第二及第三名，家長對於學校及班級事務不僅參與度高且主動 協助提供各項教育資源，因此各校受到學校地理位置、交通便利性、學生家庭 經濟狀況及社區文化背景等不同因素，研究結果無法類推套用於所有學校。1.5
名 詞 解 釋
1. Dynamic Geometry System動態幾何系統(簡稱DGS)：數學軟體，提供學習者製 作動態幾何物件的建構，例如：Gsp、Cabri 3D、GeoGebra、……等，可以讓幾 何物件動態呈現，幫助學生學習數學。 2. 免試實驗班：教育部致力推行十二年國教，希望學生能夠快樂的學習各種課 程，不要學生將學習的重心放在升學考試科目中，所推行的免試升學的教育政 策，國中學生依照國中在校成績申請高中入學，高中學校為鼓勵優秀學生入學 所成立之特殊班級。目前許多明星高中紛紛成立科學班亦是如此。
二、 文 獻 探 討
將動態幾何系統介由學生動手操作融入學校教育，有許多的層面需要考量；因此在 文獻探討中將分成教師信念、DGS融入教育的研究探索及GeoGebra的優勢探索等三大類 別分別討論：2.1 教師信念
數學是一種觀念、而不是用鉛筆或粉筆來標示的知識，學生應該是瞭解數學而做 數學（Hersh , 1986）。 許多人都聽過「數學為科學之母」。何謂科學之母呢？當然就是建構出一個強大 而基礎的觀念，提供給其它學科一個理論的基礎去發展不同的學科知識。前幾年有一次 的親師座談會，曾經有家長反應為何老師不用課本上課？而用市售講義上課！那學生為 什麼要買課本呢？老師回答雖然課本講解的很清楚，但是例題太少，對於學生的刺激恐 怕不夠，無法應付大考，所以選擇市面上的講義是情非得已，課本就請學生回去自修來 輔助學習。其實這是一個完全顛倒的概念，主要上課的課本與輔助學習的講義角色交換 了，數學課程偏重在紙筆計算，造成學生的思考時間被大量的計算占掉了，學生根本就 不瞭解數學，在學生不瞭解數學的情況下做數學，對於基礎觀念的傳遞當然是薄弱的。 這可以從市面上充斥各家出版社的講義觀察而得知，當老師或學生捨棄課本選擇出版社 的講義上課時，數學對於學生而言就不是一個知識與觀念的傳遞與學習，而是一種機械 式的訓練與操作。 數學是一項活的主題，目的在透過我們尋找周圍世界的模型及瞭解我們心靈成長的 模式（Schoenfeld , 1992）。 因此老師必須修正課程內容和教學方式，上課的重點放在協助學生： • 尋求解決方案，而不僅僅記憶過程； • 探索模式不只記憶公式； • 大膽猜想，不只做練習。 數學是一項活的知識，生活週遭的事物無時無刻不在變化，培養學生思考如何以數 學模式來了解生活週遭的世界，這是一門重要的課程。可是以往數學教育過於強調計算的結果，卻讓學生無法學習思考將兩者連結在一起的方法，導致學生認為數學是一門日 常生活無關的學科。 Ernest（1989）認為影響數學教師教學實務最主要的因素之一為教師個人對於數學 本質、數學教學、學生數學學習的觀點。Thompson（1992）研究發現，若要增進數學教 學與學習的效果，則必須要針對教師的數學信念、教學信念、學習信念三方面作更深入 的探討與研究。 研究者從小到大的學習過程中，受到許多的老師的教學指導，在工作環境中也與許 多的老師有所接觸，觀察到每個老師都有其一套教學理論，因此對於Ernest的說法感受 特別深刻。有些老師教學要求嚴謹，學生書寫的過程一步一步都要按照老師上課的內容 才給分，輔以軍事化管理，譬如：罰寫、藤條伺候，…等，學生訓練出來的結果成績當 然嚇嚇叫，可惜缺乏想像力，創意不足，難怪歐、美學者認為亞洲的教育模式可以培養 企業優秀的中堅幹部，可是無法培養領導者。而這些老師共同的特徵是普遍認為學生的 學習低落的原因，都是因為學生不夠認真所造成的，因此採取鐵血策略企圖來修正學生 的學習態度，最後希望提升學生的學習成就。 不過教學現場，學生學習成就低落其實並非學生單獨的問題，有時候可能是老師的 因素，可能是老師的教學策略不適合這一批學生，需要調整教學策略而老師不自覺，老 師認為每年我都這樣教，學生都沒有問題，學生的學習成就都很好啊，所以問題是在學 生不是我。研究者認為針對不同的學生應該要制訂不同的教學策略，來達成教學目標， 孔子說：「因材施教。」就是這個道理。 Cooney（1994）亦指出，學生數學學習成就的高低受到許多因素的影響，教師是其 中相當重要的因素之一。陳彥廷（民91）指出教師是教室中的靈魂人物，對於學生學習 的影響是無庸置疑的 我們常聽到學生受到任課老師的影響，而對於某些學科產生特別的興趣，進而決定 將來的學習方向，在高中校園中經常出現這種現象，可是學生實際去念了之後，發現課 程與他想像的不同，於是又有了興趣不合的感受而念得很辛苦或者是轉系，對於人才的 培養時間成本是一大損失。老師對於學生的影響應該要以啟發學生的視野為主，而不是 追隨老師的腳步。 王郁華（1994）的研究發現，對於數學課程的教學，有些老師認為要幫助學生思考， 有些老師則認為要幫助學生統整數學觀念。可是多數老師受到升學主義的影響，教學行
為著重在內容意義和規則的解說。 其實整個教育的問題就是理解與統整，這兩部分應該是整個教育執行的核 心工作，也是主要的教學問題所在，如果這兩部分老師都已經幫學生做好了， 那學生剩下來的工作只有記憶而已。研究者認為現在學生所缺乏的能力是由於 老師的教學策略所造成，應該要回到教學原點，多讓學生有思考的時間，培養 學生具有統整的能力，而不是幫學生做完所有的工作。 謝豐瑞（民87）認為教師的信念影響其是否願意吸收教學內容知識、從哪方面吸收 等等；教學內容知識豐富後，教師的信念也會跟著改變；如此不斷的循環，教師自我也 不斷成長，這種成長也同時影響其信念及吸收知識的向度。 圖2-1-1 教師信念關係圖 (擷取自謝豐瑞) 在2010 年 10 月 9 日的一場演講當中，白啟光教授提到一項國外相關的教學實驗的 課程設計，教師將課程資訊及課程內容透過網路平台提供給學生，請學生在家事先預習， 然後利用課堂上課時間，實施討論課程讓學生的想法相互激盪，實驗研究的的結果發現 討論式的學習對於學生的學習成果影響是非常巨大的。 在研究者的教學歷程當中，最近這幾年也開始朝合作學習發展，這是因為就現行的 教育體制，社會氛圍及家長的資源，許多的學生白天在學校上課，放學後幾乎都到補習 班上課，回到家之後又忙於應付學校的家庭作業及隔天的考試準備，幾乎沒有時間去思 考教師的授課內容，我想這並不是教育該有的本質。因此，我開始合作學習的教學實驗， 在第一次的教學實驗是在2009 年 11 月開始直到 2010 年 6 月，對象為兩個班的高三學
教師自我成長
吸收 改變教師信念
教學內容知識
生，一個為文組，一個為理組，兩班皆實施包含週考、復習考等一般性的測驗都讓學生 藉由小組討論後共同做答，上課時也請學生透過小組討論回答即時的問題，研究者只在 旁邊觀察及記錄學生的討論情形，並適時給予提示。剛開始實施的時候其實遇到了一些 阻力，這阻力來自哪裡呢？ 1. 學生：成績較好的學生其實並不認同這樣子的學習模式，因為他們認為在小組討 論的過程中，他們只有付出，很難從同儕中得到回饋，因此開始時的參與度並不 高，但是也因為學生有這樣的想法，所以激發研究者思考如何讓這類學生認同此 項做法，並且也從其中得到了相當的回饋，如此經過了八個月的長期實驗，從剛 開始的不熱衷參與，到後來的熱烈討論，平常下課時也常看到學生在教室討論數 學問題，分享彼此的心得，學生的想法不再侷限於只要算出答案就好，而是開始 思考什麼方法求解比較好，研究者深深感覺到這應該是一條正確的道路，甚至班 上的物理老師也來跟我說，你們班的學生對於物理的課程討論與學習態度比其他 班的同學積極，可能是因為你的數學課的實施小組討論，因而帶動班級的讀書氣 氛，最後該班學生在學測與指考成績也都有相當不錯的成績。 2. 實驗過程的常出現狀況：透過小組討論學生曾有下列情形： 學生A：「你看，我是對的，你都不相信我。」 學生B：「討論的時候，你也說我的是對的阿！」 師：「如果討論的時候，你能夠勇敢的表達你的想法，與大家共同討論，那妳們 這組就有機會答對這一題了。這已經不是第一次了喔，切記！要記取教訓。」 3. 同儕壓力：因為實施小考討論課程，小考成績由小組成員共享，引發其他班級任 課教師的種種質疑成績計算的公平性， (1) 影響其他班級學生的成績計算：由於最近幾年教育部實施繁星計畫，採計學 生在校成績，因此學生對於成績的計算非常在乎，因此老師認為如此的方式 會影響其他班級授課老師的壓力。 (2) 班級內的成績計算：許多老師認為有些學生學習狀況好，有些人的學習狀況 不好，小考時個人的成績差距頗大，可是如果兩人分在同一組的時候，兩個 人的成績相同是不公平的制度。 研究者認為這是一項教育實驗必定會有的小問題，所以研究者選擇先忽視這項因 素，避免此項教育實驗無法執行。讓學生共同討論學習，多多欣賞同學的優點，也鼓勵 學生勇敢的表達內心的想法，刺激彼此的共同成長，如果教師過於注重某些因素，那就 會有許多的教育實驗無法執行。而且研究者認為學生的評量有許多的方式，紙筆測驗並
非唯一選項，平時測驗的目的研究者認為只是評估學生的學習是否有跟不上的狀況，提 供老師修正教學策略的工具罷了。 在99年12月4日的一場演講當中，交大教授徐朗認為現在學生不會思考和老師有很 大的關係。在學生求學的歷程中，老師不斷的給學生一個標準答案，最後訓練出來的學 生分析、思辨及創意能力薄弱。而在演講中也提到最近一篇有關美國史丹福大學校長漢 尼斯說「中國要建成世界一流大學，最快還需要二十年。」的報導。報導中提到漢尼斯 認為，當前中國大學有二大問題，其中第一點就是課程設置以講座為主，小組討論很少， 這嚴重影響學生的收穫。另外牛津大學校長漢密爾頓也表示，中國學生與歐美學生最大 的差異是，中國學生缺乏自主性和創造性思維，缺乏挑戰學術權威的勇氣。他認為，要 鼓勵學生成為更加主動的研究者、挑戰者，而不是被動的接受者和傾聽者。此外美國耶 魯大學校長理查德．萊文則認為，與一流的歐美大學不同的是，中國的教學法是一種生 搬硬套的模式，學生總是被動的傾聽者、接受者，他們把注意力放在對知識要點的掌握， 不去開發獨立和評判性思維的能力，這種傳統亞洲教學標準模式，對培養流水線上的工 程師或者是中層管理幹部可能有用，但如果要培養具有領導力和創新精神的人才，就不 行了。 上述內容雖然是描述的是中國大陸的大學及學生現況，但是仔細思量台灣的學校 教育及學生求學的態度，不也是有著同樣的問題嗎？成大校長賴明詔行政院科技顧問會 議日前有美國學者來台觀察中小學科學教育，發現學生做的火箭模型都非常好，美國學 生比不上；但缺點是：「大家設計得都一樣。」 賴明詔引用導演賴聲川的說法，認為 創意就是一種「問問題的能力」。他觀察很多台灣學生不知如何問問題；然而應在聽講 時提問，才有助思考。他也指出，創意需要跨領域學習，「從別的領域『偷』東西過來」， 別人的垃圾可能是你的寶藏。此外，賴明詔覺得台灣重視標準答案的考試，也是扼殺學 生創意的幫兇。(擷取自聯合報)台灣是一個缺乏天然礦產資源的小島，人才就是我們最 大的資源，如何培養人才？研究者認同漢尼斯所提”討論”可以讓學生有更大的收穫，老 師應該在課堂中讓學生有討論的空間及時間。
2.2 DGS融入教育的研究
儘管許多的研究結果指出將動態幾何系統嵌入中學的數學教育，在教學實務上有很多的優勢，它可以協助學生提高學習成效，但是實際上在教室中嵌入的技術的過程是 緩慢而複雜（L. Cuban et al. 2001）。套裝軟體應用於輔助學生觀察學習，在課堂上的 數學實驗使學生受到視覺化圖像變化的刺激，進而協助學生在觀察學習過程中做出有意 義的猜測（Lavicza 2006 , Kreis 2004）。DGS一個最重要特點是拖動模式，引發老師， 學生和數學課程素材的交互作用（Jones , 2000）。 台大的洪蘭教授在99 年 9 月 16 日的 IC 知音早晨的廣播節目上說：「國外的研究 機構曾經做過一個記憶的實驗，有人拿了2500 張圖片給學生看，每張看 10 秒鐘，然後 就收起來。等到隔天，除了原來的2500 張圖片之外另外加了 2500 張圖片混合在一起， 測試人們對於圖像的記憶印象，研究的結果顯示測試者對於圖片是否已經看過的判斷， 測試者的回答有90%的正確性，甚至有些還可以利用圖片的特徵來判斷是否看過。隔了 一個星期之後再做測是，仍然有60% ~ 70%的正確性。」這個研究結果證實圖像對於人 腦部的記憶的確會有很大的影響，而研者也認為的確是如此，相信許多人都曾經擁有過 這樣的的經驗，那就是當你看到一張10 年前的旅遊照片，你除了照片之外，當時拍照 的情景也會突然豐湧上來，形成親友之間共同的討論話題。因此如果可以將這樣的實驗 結果應用在教學實務上，相信應該可以提高學生的學習成效。不過如果學生只是看著老 師操作，沒有親自實際操作，就好像看著別人的照片一般，是不會有印象的。 在99 年 10 月 16 日前瞻科技的課程中，許元春教授講了一個例子，有一次他開車 載小孩出去玩，車子沿著道路前進，正準備從匝道入口進入高速公路的時候，他的小孩 突然說：「世界像迷宮一樣，道路彎來彎去。」由此可知小孩子正以圖像在思考所看到 的景象。我想很多人也是一樣的，當我們第一次到一個新地點去玩的時候，道路是陌生 的，開車時都小心翼翼的前進，隨時注意何時該左轉，何時該右轉，但是當我們第二次 去該地點的時候，以前的圖像突然全都浮現在眼前，看到熟悉的建築物就知道該轉彎了， 一切都是這麼的自然，所以圖像對於人的學習影響是非常大的。 在現代教育中教師所扮演的角色不再只是傳統的”知識講述者”，而是帶領學生學習 與觀察推演的”引導者”。資訊融入課程已經成為現代教育發展的趨勢，研究者觀察到許 多的學科課程包括國文、英文、歷史、地理、物理、化學、……等也多以資訊融入的方 式在教學，但是很可惜的數學課程的融入狀況並沒有其他科目興盛，這當然是由於許多 的因素造成，同時間學生由其它學科的學習經驗認為所謂資訊融入課程只是播放一堆投 影片，感受並不深刻、也不踴躍，甚至還有學生說老師用電腦上課就是最好的睡覺時間，
因為燈都會關掉。因此導致有許多數學教師認為資訊融入課堂中是事倍功半，還不如傳 統教學方便。其實就傳統的輔助教材而言，學生的確是只能單向思考，對於學生的啟發 效果有限，不過近年來動態幾何系統已被開發出來，例如：Gsp、Cabri 3D、GeoGebra， 因此研究者想探討將動態幾何系統嵌入學校課程的方法；並探討在GeoGebra融入課程的 學習環境中，學生的學習態度、學習成效與傳統教法的差異性。 在各種教學軟體中，動態幾何系統軟體當然位居中心的地位。在許多致力於研究 在協助幾何推理方法的研究論文中，一般的共識是動態幾何系統對於幾何理解和試探法 提供了大變革。例如：學生在 Cabri 3D 環境中學習歐氏空間的幾何結構，學生觀察到 一般板書無法呈現的畫面，Cabri 3D 協助學生更容易去做幾何構造的探索和做有意義的 猜想。 Bartolini Bussi（1996）認為教學活動的核心是產生在‘數學討論’時，透過發現學習 的教學活動設計的目的，是將課程學習的經驗轉換為數學知識的建構。 合作學習活動最讓人擔心的問題，就是並非每個小組成員都是努力貢獻、共同學習 的，總是會有學生在一旁「搭便車」，因此，讓學生進行討論活動時，教師也不得閒， 必須要時時觀察小組討論的狀況，瞭解小組成員是否都有熱烈參與討論。另一方面，教 師採取以合作討論進行評量的一個主要目的，在於讓每位學生都能實際寫過題目，即使 是能力較不足的學生，若有程度較好的同儕或是教師在一旁支援，便有機會能展現出較 佳的學習表現，而不至於早早放棄。所以教師在觀察學生討論時，同時鼓勵小組成員教 導其他組員，或是適時給予提示，讓學生在遇到挑戰性較高而自身技能不足以處理的題 目時，使其面對的挑戰符合自身的技能，才能讓學生沉浸在解題的活動中。 NCTM ( 1989 )在「中小學數學課程及評量標準」中，對各年級數學課程都列出了 問題解決的能力標準，其中提到目標蘊含：學生應該”會閱讀”、”會寫作”以及”具有討論 數學”的能力；我國九年一貫的課程也列出了很多能力指標，但是到底實際面的執行成 效是如何？其實是有待考驗的！因為實際上許多學生並沒有達到上述的能力指標，學生 不會閱讀題目，不了解題目的意思，因此在課堂上與同學討論的狀況並不踴躍；加上家 長過於在乎成績，於是就把學生往補習班送，學生為了成績只想學習到速成的計算技巧， 也不太積極想去了解背後的知識背景，因為學生認為知識背景的理解與否，對於成績沒 有更多的幫助。這就是為什麼儘管許多研究指出在數學教育應用軟體有很多優勢，但是 實際在課程中嵌入的技術的過程是緩慢而複雜（L. Cuban et al. 2001），由此可知利用動
態幾何系統教學，教師必須跟著調整其數學信念及角色扮演才能成功，若能將評量的方 式加以修正，也有機會刺激學生去探索數學知識。 研究者依照學生學習的情況將學生分成四類： 第一類就是「了解學習的主題並能融會貫通，解題時能舉一反三的學生。」 此類學生能夠明確理解定義，亦能夠從定義中推演其各種性質，解題時能利用定義、 定理或各種性質去解題，解題的概念及技巧非常流暢與巧妙。少數頂尖學生屬於此類。 參考歷年來的學測成績，數學滿級分與頂標分數的差距為各科之最大，顯示學生在數 學概念的融會貫通落差頗大。 第二類就是「不太了解學習的主題，解題時利用嘗試錯誤的學生。」 此類學生對於學習主題的數學理論雖然不明瞭，但是閱讀能力尚可，可以藉由基本 公式及推理把答案找出來。因為數學課程太重視理論基礎而與現實脫節，某些學生無 法完全理解授課的內容，只好生吞活剝的把公式給吞了進去，考試的時候就把公式代 入，雖然成績還不錯，但是不知道為什麼要這樣做？也不知道學這些東西有何用處， 厭惡數學的心已在心裡滋生。 第三類就是「了解學習的主題，但是不知道該如何解題者。」 此類學生上課聽得懂教師授課內容，但是缺乏創造推理能力，學生只能針對教師授 課的內容學習，導致遇到生活上的一些數學問題的時候，通常腦海裡浮現的第一個東 西就是這題要用什麼公式，這是因為學生被老師從小學訓練到中學的結果，老師常常 為了速成只教學生代公式，看到任何問題，代公式就對了。如果老師教學內容及方式 不調整，教學心態度不修正，日後當學生遇到不同於課本或講義的數學問題時，就只 會回答：「老師沒教過，所以我不會。」學生只是枯坐在一旁而不會思考，只是在等待 他人的救援而已。因為學生不會應用上課學過的知識去解決，學生不知道該如何下手， 學生基本的解決問題的能力都被摧毀了。 第四類就是「不了解學習的主題，也不想了解學習的主題放棄學習的學生。」 此類學生從小學開始數學課程就受到極大的挫折，導致到國中、高中上課時對於教 師授課內容不清楚，無法理解老師授課內容，也無法利用學習的主題去解決問題，本 身也不願積極去解決問題，上課時態度懶散學習意願低落。 上述這四類學生，除了第一類之外，其餘的學生多數是急待教師們努力補救的，只 可惜學校所謂的補救教學其實是針對後5%的學生，大家發現努力補救的結果，學生的 學習破洞卻越來越大，所以與其教學生公式，代公式，不如調整教學方式，引導學生
自主性的學習，許多的研究指出利用DGS 可以有效的提升學生的學習成效，教學生如 何利用DGS 從觀察中學習歸納分析或許可以改善此一現象。
2.3 GeoGebra 的優勢探索
目前較常被教師使用的動態幾何系統如下：Gsp、GeoGebra、Cabri 3D、Maple…等。 在眾多的動態幾何系統當中，根據下列幾個重要的因素，本篇論文選擇探討學生在 GeoGebra的環境中的學習情形： 1. 它是一個免費的開放性軟體： 世界各地的教師及學生可以自行下載後，在教室或者是在家中自由的操作學習 數學概念，不會因為軟體費用過高而無法負擔，因此容易推廣於各級學校進而擴 大使用。 Markus Hohenwarter 設計 GeoGebra 的基本精神就是”KISS”原則 (‘Keep It Short and Simple’)，研究者實際使用後發現軟體的入門門檻的確不難， 因此使用者容易切入使用做觀察學習。 2. 它提供一個Wiki論壇： 世界各地的GeoGebra使用者，都可以在論壇上發表言論及提出問題尋求協助， 全世界的GeoGebra使用者在不同的時間，在論壇上發言提供教材設計新的想法， 協助教師在軟體的使用及教材設計上得到許多幫助，不會因為軟體操作問題，不 知道如何解決而半途而廢，這或許也是因為它是一項免費軟體，因此大家更願意 提供新的想法，使得軟體的使用更完備，因此每隔一段的時間就會更新軟體，使 軟體更符合多數使用者的需求，不會因為免費而功能過少。 3. 它是一個雙向的軟體： 數學軟體依照其特性可分為下列三種： (1) 強大的代數及繪圖功能為主： Maple是功能非常強大的數學軟體，提供許多強大的數學運算功能，例如產生亂 數多項式、求根、解微分方程、求微分或積分等各種代數運算功能，也具有不錯 的繪圖功能。不過對於中學生而言實在是不需要用到如此強大功能的數學軟體， 只需要建構基本觀念即可，更何況費用頗高，很難大量推廣應用。 (2) 幾何建構為主： 建構在歐氏幾何基本觀念當中，學生從圖形當中得到的不只是幾何圖形而已， 連帶的幾何的觀念藉由建構也逐漸在加強當中；以幾何建構為主的軟體為何它沒有方程式的編輯系統，因為從方程式來畫圖形，無法凸顯出學生應該學習的幾何 概念，學生學到的只有片段的知識，較難理解整個建構的觀念及其完整的意義。 以歐氏空間的物件建構為主的軟體，協助學生依原理建構幾何圖形，但是實務上 只有少數頂尖學生經過培訓之後幾何建構的概念會非常強，但是因為缺乏代數運 算觀念的配合，多數學生很難自行設計學習素材，但是對於教師等專業人士運用 於教學實務上，應該是有很大的幫助。只是學生無法親自思考設計，就學生學習 成效的提升而言，就會有些許的落差。例如：Gsp、Cabri 3D。 (3) 代數運算與幾何建構並列： GeoGebra是雙向的溝通軟體，當使用者對於幾何視窗做修正時，代數視窗也 會隨之而改變；反之亦然，當使用者對於代數視窗修正時，幾何視窗也會隨之 而改變。藉由雙向溝通使得使用者更容易藉由圖形、文字之相關性，搭配滑竿 做動態學習，有助於使用者做觀察學習，所以 GeoGebra 功能更為強大。使用 GeoGebra 可以瞭解在學習過程中，學生透過雙向溝通來描述代數的運算結合幾 何圖形的動態改變，使學生的學習效果更佳。
圖2-3-1 GeoGebra 雙向溝通圖示 ( 節取自Stefan Halverscheid )
2.3.1 GeoGebra 介 面 介 紹
GeoGebra是一項結合多元平臺開放性資源的動態數學軟體，它嘗試讓動態幾何軟體 的使用更方便，因此結合多用途的代數電腦系統 ( Hohenwarter & Preiner 2007 )。
Simulation process Simulation Interpretation Algebra world Geometric world Algebra Transformation Dynamic Change
圖2-3-2 GeoGebra的視窗介面 在研究者的教學經驗中，有許多的數學課程是需要學生有觀察及想像力的，例如： 當我們在教微積分課程，介紹到黎曼和的時候，我們使用傳統的板書做圖，耗費非常多 的時間，才能完成一個圖形，可是學生並沒有什麼感受，對於黎曼和的概念非常模糊。 這其實是可以理解與想像的，通常要找出規律是需要數個圖形來做配合觀察，可是多數 老師畫完一個就要花許多時間，所以不太可能多畫幾個圖給學生觀察，多數學生無法只 從一個圖形去想像數學概念，所以只好把它背了下來，可是一點意義也沒有，學生無法 理解概念的結果是只知道使用時機，但是為何可以使用它卻一無所知，因此對於後續的 課程就更難接受了。學生常講說：「老師，直接講公式就好了嘛，這樣我們就會算了呀！」 當老師聽到這句話的時候，其實老師心理面的想法是：「學生真的了解嗎？」。我們所 要教給學生的是數學概念，而不是訓練學生成為一個會算數學的機器。 因此研究者曾經透過動態幾何系統GeoGebra的協助設計了微積分的基礎課程，透過 其動態呈現，協助學生藉由觀察與模擬，了解黎曼和的概念。下面為討論f(x)＝3x3＋x2 －3x＋1，在x＝－1，x＝1之間的黎曼上和與切割的長方形塊數的情形，n表示分割的塊 數。藉由滑桿n的變化學生觀察到黎曼上和的極限概念，同時也引導學生寫出數學表示 式。然後請同學反向觀察黎曼下和，多數學生都能順利寫出黎曼下和表示法，也發現上 下和會趨近於一特定值。
圖2-3-3 GeoGebra微積分動態演示(一) n＝6
圖2-3-4 GeoGebra微積分動態演示(二) n＝20
學 生 透 過 觀 察 可 以 理 解 到 當 n愈 來 愈 大 的 時 候 ， 由 圖 形 觀 察 黎 曼 上 和 會 愈 來 愈 接 近 實 際 的 答 案 ， 學 生 雖 然 不 知 道 理 論 基 礎 為 何 ？ 但 是 可 以 理 解 也 可 以 接 受 此 概 念 ， 此 時 再 將 黎 曼 上 和 的 數 學 關 係 式 引 入 介 紹 給 學 生 ， 發 現 學 生 的 接 受 度 頗 高 ， 也 較 能 理 解 。 這 時 候 再 介 紹 黎 曼 下 和 時 發 現 已 有 部 分 學 生 能 自 行 推 導 過 程 ， 透 過 GeoGebra的 協 助 ， 學 生 同 時 發 現 一 項 最 重 要 的 結 論 ， 當 n愈 來 愈 大 的 時 候 ， 黎 曼 上 和 與 下 和 會 愈 來 愈 接 近 ， 我 想 這 就 是 我 們 想 教 給 學 生 的 極 限 概 念 ， 透 過GGB由 學 生 所 觀 察 到 的 結 論 ， 學 生 較 能 理 解，因 此 當 老 師 引 進 梯 形 法，中 點 法，……多 數 學 生 都 能 夠 接 受 其 極 限 值 會 相 等 ， 只 是 使 用 的 方 法 不 同 而 已 ， 也 較 能 激 發 學 生 大 膽 的 做 另 類 的 嘗 試 。 劉志紅(2008)說作圖是一項技能，但是技能形成後，若離開了思維的發展，其生命 力是脆弱的。因此應該重視學生作圖過程的發展，來挖掘作圖的思維價值。所以說做圖 與邏輯思考兩者相輔相成，若能將兩者結合在一起，對於學習將會有重大突破。 概念形成的過程就是數學建模的過程，在這個過程中，應注重培養學生的以下兩種 能力： (一) 數學洞察力：以數學的視角審視不同背景下的問題，把握問題的數學本質。 積累和發現函數應用的實例，認真研究課程標準，用好教材，結合學生實際適當取 捨，把難理解、喧賓奪主的內容捨去，多舉生活中的實例。 (二 ) 數學概括和表達能力：引導學生用簡潔而精確的語言將自己的感性認識表達出來， 從而使得自己的活動從一個層次上到另一個層次。
2.3.2 GeoGebra 獲 獎 紀 錄
GeoGebra 截至目前已經獲得十三項國際教育軟件獎，詳述如下：(1) EASA 2002：European Academic Software Award ( Ronneby, Sweden ) (2) Learnie Award 2003：Austrian Educational Software Award ( Vienna, Austria ) (3) Digita 2004：German Educational Software Award ( Cologne, Germany ) (4) Comenius 2004：German Educational Media Award ( Berlin, Germany )
(5) Learnie Award 2005：Austrian Educational Software Award for Andreas Lindner ( Vienna, Austria )
(6) Les Trophées du Libre 2005：International Free Software Award, Category Education ( Soisson, France )
(7) eTwinning Award 2006：1st prize for "Crop Circles Challenge" with GeoGebra (Linz, Austria)
(8) Learnie Award 2006: Austrian Educational Software Award for "Wurfbewegungen mit GeoGebra" (Vienna, Austria)
(9) AECT Distinguished Development Award 2008: Association for Educational Communications and Technology (Orlando, USA)
(10) SourceForge.net Community Choice Awards 2008: Finalist, Best Project for Educators
(11) Tech Award 2009: Laureat in the Education Category (San Jose, California, USA) (12) BETT Award 2009: Finalist in London for British Educational Technology Award (13) NTLC Award 2010: National Technology Leadership Award 2010 (Washington
三、 研究方法
3.1 研究設計
本文描述是以10年級的學生為對象所進行長期教學實驗。研究方法為準實驗設計法， 實驗組學生於實驗期間都接受動態幾何系統GeoGebra基本的指令操作教學，實施DGS 輔助教學課程，而對照組則採取傳統的教學方式。資料收集方式包含個別訪談、問卷填 寫、學習單撰寫內容、學生上台報告、……等型式進行資料分析。 本研究是一項長期的教學實驗，希望藉由學生一人一機的操作方式，探討在教學現 場數學教師如何將動態幾何系統GeoGebra引進教室中協助學生學習，及教師對於將資訊 融入課堂上的疑慮，實務上的問題及其解決的方式，藉此來了解既然資訊融入教學成效 不錯，但是為何在教室中教師的使用率卻不高呢？ 分析數學教師對於資訊融入的疑慮與學生過往資訊融入學習的經驗，研究者認為是 老師與學生已習慣傳統的板書教學，因此對於資訊融入課程抱持著懷疑的態度，老師與 學生在不熟悉的環境學習，學習效果當然是不佳的。因此本實驗的研究目的為找到資訊 融入高中數學課程的最佳模式，透過此種模式，學生在動態幾何環境中學習，能夠有最 佳的學習效果。本教學實驗預計從2010 年 9 月 1 日起至 2011 年 1 月 20 日止為期五個 月，實驗分三階段進行，研究者依照學生定期考試成績、後測成績、GeoGebra 作業繳 交及小組合作討論的情形，與對照組比較決定進行下一階段的實驗計畫、或者是修正教 學策略，維持原階段計畫繼續進行教學實驗，期望最後能夠將資訊融入正課中執行。茲 將各個階段的實驗方式及實驗目的分述如下： 1. 第一階段：採取每周二節課到電腦教室一人一機實際操作，結合小組合作學習， 課程設計以輔助數學課程之學習為主。實驗目標如下： (1) 協助學生融入GeoGebra的學習環境。 (2) 學生主要學習目標為軟體指令學習，熟悉課程活動，觀察數學現象，驗證 數學概念，學習如何與同儕合作討論。 (3) 學生次要學習目標為觀察、討論、歸納與分析能力的培養。2. 第二階段：學生已熟習及認同GeoGebra的學習環境，因此採取每周一節課到電 腦教室實際操作，引入Moodle教學平台，課程設計原則仍以輔助學習數學課程 為主，但是開始增加課外的活動，刺激學生創造力及思考力之發揮，鼓勵學生 利用動態幾何系統結合已知的數學概念發揮創意。實驗目標如下： (1) 培養學生從學校的Moodle數位教學平台下載教師所製作的學習檔案或指 定的家庭作業在家學習的習慣，以期達到延長學生的學習時間的目的。 (2) 引導學生融入Moodle教學平台學習各式課程，並分享彼此的設計成果。 (3) 加強學生合作討論、觀察、討論、歸納與分析能力。 (4) 學生解決問題、探索現象、統整歸納、創造思考的能力之培養。 3. 第三階段：學生已完全融入GeoGebra的學習環境，因此每周利用一節正課到電 腦教室實際操作。動態幾何系統最主要的功能是強調學生從幾何物件的建構當 中學習數學概念，因此課程設計的原則以課外的活動啟發學生的創意為主，數 學課程學習為輔。實驗目標如下： (1) 素材設計競賽：舉辦融入最多的數學概念的素材競賽，觀察學生的創造力 及想像力。 (2) 加強學生解決問題、探索現象、統整歸納、合作討論、創造思考的能力之 培養。 (3) 期末作品發表會，學生學習簡報製作，並刺激學生表達及批判的能力。 第一階段：融入 第二階段：歸納 第三階段：應用 課程目標 學習指令 熟悉活動 觀察現象 驗證概念 學習合作討論 探索現象 統整歸納 合作討論 創造思考 探索現象 統整歸納 合作討論 創造思考 問題解決 活動時間逐漸融入正課、增加 Moodle 平台的使用頻率 實施時間 一~二節班級時間 一節班級時間 隔周一節班級時間或是正課 表3-1-1 各階段課程目標及計畫表
