(2) 二項式絕對值方程式解的個數及解法：
3 後測與延後測學生綜合表現之探討
經過後測與延後測成績ANOVA分析之後，對於實驗的結果，我們有了一個初步的 結論，動態幾何系統可以確實有效的提升學生長期的學習成效，短期的學習成效並不顯 著。但是接下來我們要比較的是學生學習的差異到底在哪裡？
從事後分析比較後，發現在後測（參考附錄）當中差異最顯著的試題是Q6&Q8，以 下針對這兩個問題，就學生所發生的認知問題分別做探索：
Q6. 若∣x＋1∣＋∣x－1∣＋∣x－2∣≧ 3，求 x 之解。
甲、 傳統解法：
圖4-1-15 傳統教學模式下學生的正確解法
但是從學生的答案當中，分析發現傳統教學方式下學生的錯誤答案可以區分成以下 幾種類型：
(a) x≧2或1＜x≦2或－1＜x≦1或x≦－1：這種寫法的學生其實是會算的，但是 只是分段解出答案，分段統整答案，不會再各分段做統整或者是不知道還要
整合答案，如果老師針對這樣的學生多做訓練，其邏輯推理的能力將會提 升。
(b) x≧1或x≦1：與(a)相同，缺乏統合的能力。
(c) x＝1：解法的過程與(b)相同，但是最後統合錯誤，應該要取聯集，結果取成 交集。
(d) 無限多解：解法的過程與(b)相同。最後的統合是正確的，但是結論犯了一個 邏輯的問題，∵x∈R表示答案為任意實數，的確有無限多組解，但是無限多 組解不代表x∈R，例如：x≧1。
(e) x≧1、甚至有人寫min＝3：完全不知道題意為何？
圖4-1-16 傳統教學模式下學生常犯的錯誤（一）
圖4-1-17 傳統教學模式下學生的常犯錯誤（二）
乙、 函數圖形解法：
圖4-1-18 動態幾何教學模式下學生的解題模式(一)
從學生的答案當中，分析發現使用動態幾何系統學習的學生答案可以區分成以下幾 種類型：
(a) x≧1或x≦1：這種寫法的學生只有注意到左右兩支都是答案，但是缺乏統整的 概念，針對這樣的學生多做觀察學習，其邏輯推理的能力將會提升。
(b) x≧ 或x≦－ ：這種學生對於函數圖形的概念一知半解，只是硬把它記下來，
而且誤認為交點必在最外側兩支，解出錯誤的答案。很明顯學生是將傳統”背 多分”的精神加了進來，而不是用觀察法。
(c) min＝3：完全不知道題意為何？
將兩種學生的學習迷失概念分析後發現，接受動態幾何系統教學的學生，學習迷失 的點較少，透過圖像的刺激，學生的認知負荷較輕；而傳統教學法當中，學生對於某些 透過文字的邏輯推理部分的認知負荷較大，較容易產生學習迷失。
下面這個問題是所有問題中差異最顯著的，讓我們以一起來探索一下。
Q8. 若 f(x)＝∣x＋2∣＋∣x＋1∣＋∣x－1∣＋∣x－2∣＝ k 恰有兩解，求 k 的範 圍。
甲、 傳統解法：
第一步先找到關鍵點由左至右依序為－2、－1、1、2
(1) 若x≧2，則(x＋2)＋(x＋1)＋(x－1)＋(x－2)＝k，4x＝k，x＝ ，
∵x≧2，∴k≧8
(2) 若1≦x＜2，則(x＋2)＋(x＋1)＋(x－1)－(x－2)＝k，2x＋4＝k，x＝ ，
∵1≦x＜2，∴6≦k＜8
(3) 若－1≦x＜1，則(x＋2)＋(x＋1)－(x－1)－(x－2)＝k，k＝6
(4) 若－2＜x＜－1，則(x＋2)－(x＋1)－(x－1)－(x－2)＝k，－2x＋4＝k，x＝ ，
∵－2≦x＜－1，∴6≦k＜8
(5) 若x≦－2，則－(x＋2)－(x＋1)－(x－1)－(x－2)＝k，－4x＝k，x＝ ，
∵x＜－2，∴k＞8
由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)得知當 k≧6 時，方程式有解 當 k≧8 時，方程式在(1)、(5)各有一組解。
當6＜k＜8 時，方程式在(2)、(4)各有一組解。
當 k＝6 時，方程式的解為－1≦x≦1，有無限多組解。
∴當k＞6時，方程式恰有兩組解
以下三種為學生最常犯的錯誤類型，如圖4-1-19、圖4-1-20、圖4-1-21。
圖4-1-19 傳統教學模式下學生的常犯錯誤類型（三）
關於這個問題，從學生的答案當中發現對於接受傳統教學方式的學生而言蠻困惑的，
因為他們沒有做過類似的問題，以致於做答的情形不佳，有些同學用分段討論的方式，
可是內容卻是不知所云學生的答案有k≧6、k＝6、k≠6、k≦6、三角不等式Î k≧6、0、
－1、正實數、－1≦k ≦1、6≦k ≦8、k＝6或8，學生的答案非常的混亂，但是大致上 區分成以下幾種類型：
(a) k≧6、k≠6：這種寫法的學生對於絕對值函數的極小值是有概念的，知道f(x)的
最小值為6，在想法上有聯想到答案大概的情形，但是卻不知道如何將正確答案表示 出來。
(b) k＝6、k≦6：同樣的這類學生對於絕對值函數的極小值也是有概念的，與(a) 不同的地方是他們對於答案較缺乏想像力，因為已經知道f(x)的最小值為6了，竟然還 可以寫出k≦6。
(c) 6≦k ≦8、k＝6或8：這二個答案蠻有趣的，還蠻多同學寫的，仔細研究了一 下學生的寫法，發現學生居然是用畫圖的方法所做出來的答案，畫圖為什麼會出現這 種答案呢？原來因為陳老師的班級雖然沒有使用動態幾何系統教學。但是因為陳老師 每個星期都會進入實驗組教室旁聽研究者上課，然後將一些上課結論紀錄後融入其課 程當中，他教導學生把關鍵點的函數值算出來，在座標平面上將各點連起來，學生在 搞不清楚的狀況下，畫出了看似正確實際卻是錯誤的圖形，導致學生最後解讀錯誤，
這就是傳統教學下學生沒有思考，只是模仿老師的做法所產生的問題，但是這類學生 給予正確的圖形概念，應該可以做的不錯。
(d) 0、正實數：這些寫法都是對於絕對值片面的認知所得到錯誤的解答。
圖 4-1-20 傳統教學模式下學生的常犯錯誤類型（四）
圖4-1-21 傳統教學模式下學生的常犯錯誤類型（五）
乙、 函數圖形解法：
圖4-1-22動態幾何教學模式下學生的解題模式(二）
從實驗組學生的答案當中分析發現，實驗組的學生對於這個問題表現比對照組好很 多，其迷失點竟然只有將答案寫成k≧6，完全不同於傳統教學模式下學生的問題，而且 寫成k≧6看起來應該只是忘記討論圖形中k＝6的情形，可看出實驗組的學生對於較複雜 的問題，從另一個面向去思考問題的解決方式較一般學生更靈活、更多元。
而在延後測(參考附錄)的結果分析發現，除了後測時差異就很顯著的Q6及Q8之外，
在延後測中Q9及Q10差異性也一樣顯著。表示經過了一個半月的時間，學生的學習記憶 雖然會衰退，但是學生透過動手操作動態幾何系統，的確有效的延長學生的學習記憶，
從實驗組與對照組兩次測驗成績的差異性越來越顯著，可以做為最佳佐證。
本教學實驗第一階段設定的教學目標為”融入”，參考實驗組的學習成就包含後測成 績(表 4-1-1)、第一次定期考試成績(表 4-1-5)及操作 GeoGebra 時學生的討論情形，研究 者與與一起參與實驗研究的呂老師討論之後認為學生已經慢慢融入 GeoGebra 環境中學 習；學生到電腦教室時，從一開始時整節課想上網聊天，到現在只有在等待時或完成功 課時會偷偷上網之外，80%的學生已經比開始時自制了，不過還是需要老師提醒就是了，
而測驗的成績部分原先研究者設定的目標為不落後於對照組即可，但是實際上的後測的 成績表現是優於對照組班級的，因此原來擔心來自家長、學生及同事的壓力頓時減小了，
研究者因此決定自2010 年 10 月 18 日起開始第二階段的實驗課程，將原先一星期上機 兩節課縮短為一節課，然後開始利用學校的Moodel 平台，增加學生在家自行操作的時 間，因此第二階段的課程實施方式及內容與第一階段有著不一樣的模式。
下表為兩種教學方式下，從學生的後測觀察兩種學生學習迷失的差異：
4.2 第二階段的實驗過程與結果
4.2.1 第二階段的實驗主題及探索課程內容
本教學實驗第二階段實驗課程設定的教學目標為”歸納”，探討的主題設定為99課綱 第一冊第二章第四節多項式函數圖形。由於在校上機時間減少一半，因此課程設計分成 兩個方向，上課時注重小組討論及學生歸納能力的培養，另一部分透過Moodle教學平台，
增加家庭作業，而回家作業以比較活潑有趣的題目，讓學生以玩遊戲的方式學習數學，
學生在家透過Moodle教學平台下載作業後，利用假日課餘時間操作GeoGebra，協助學生 思考模式的訓練，並達到延長學生的學習時間。
由於這個單元學生在國中階段已經學過部分有關於一次函數及二次函數的圖形，多 數學生對於圖形也都有基本的概念，因此課程的設計由奇、偶次多項式函數圖形之歸納 分類開始，再則學生對於方程式的解和函數圖形與X軸交點之間的關聯性並不清楚，這 是因為學生把兩者視為不同單元，因此研究者設計了相關課程讓學生藉由GeoGebra的動 態呈現，觀察出其關聯性，最後再將不等式的解導入，引導學生畫出分式不等式的解。
因此第二階段的所設定的各項探索主題：
(1) 奇、偶次數的多項式函數圖形的歸納分析 (2) 多項式函數解的個數討論
(3) 多項式不等式解之討論