(2) 二項式絕對值方程式解的個數及解法：
3. 多項式方程式解的觀察
經過前二個單元的觀察實驗，學生對於多項式函數圖形有了基本概念，研究者希望 學生藉由 GeoGebra 來探索了解多項式方程式的解的個數與函數圖形和 X 軸的交點個數 的關聯性，研究者設計兩個四次及五次的多項式函數，請學生觀察函數圖形與和X 軸的 交點個數的關係，並記錄下觀察到的特徵。以下為學生透過觀察所得到的結果：
圖4-2-5 關於多項式函數圖形學生的觀察歸納（一）
圖4-2-6 關於多項式函數圖形學生的歸納觀察（二）
函數種類 偶數次函數 奇數次函數
解的情形 偶數次函數與X軸不一定有交點，
而且解一定是偶數個、
不是無實數解、就是偶數個 每個彎都會有2個解
解的情形最多偶數次＋1種
2個解、4個解ÎxnÎn個解(偶數個) 至少2個
2個或0個
奇數次多項式解的個數≦n，必有 一個解，或是奇數個解，不可能無 實數解。
與X軸的交點必有奇數個 最少一個解，或是奇數個解 最少一個，最多與最高次數一樣 至少三個、五個解
1個解
3個解、5個解ÎxnÎn個解(奇數個) 表4-2-3 關於多項式函數圖形學生的歸納觀察(一)
在下一節課堂當中，老師將引入幾個重要的數學定理，學生在這裡看似沒問題，可 是實際上學生對於複數根與實根的觀念並不清楚，研究者希望學生透過圖形的觀察，得 到的初步結論，可以與定理相結合，協助學生將代數與幾何兩種概念整合，對於定理有 較明確的認知，因此教師做了以下的引言：
師：「從各位的學習單發現，有人觀察到偶數n次多項式函數與X軸不一定有交點，
如果有交點，而且解一定是偶數個；奇數n次多項式解的個數不大於n，而且解的個數最 少有一個解，或是奇數個解，不可能無實數解。這是很棒的觀察結論喔！」
師：「接下來今天我們要介紹幾個重要的數學定理，將你們觀察歸納的結論與數學
定理連結在一起！」
代數基本定理：
設 n∈N，則對於任意一元 n 次複係數方程式，至少有一個複數根。
這是一個很重要的數學定理，學生對於實係數方程式的複數根為何成雙成對的觀念 並不清楚，研究者希望學生透過圖形的觀察與定理相結合，協助學生能夠了解定理的內 涵。
設 n∈N，f(x) =anxn＋an-1xn-1＋an-2xn-2＋an-3xn-3＋……＋a1x＋a0， ai∈C，i＝1、2、3、……、n，則 f(x) 有 n 個複數根。
[說明]
根據代數基本定理，f(x)至少有一個複數根，令 z1為 f(x)之一組解，z1∈C
∴f(x)＝（x－z1）（bn-1xn-1＋bn-2xn-2＋bn-3xn-3＋……＋b1x＋b0）
let g(x)＝bn-1xn-1＋bn-2xn-2＋bn-3xn-3＋……＋b1x＋b0 ，bi∈C，i＝0、1、…、n－1 再一次利用代數基本定理，g(x)至少有一個複數根，令 z2為 g(x)之一組解，z2∈C
∴g(x)＝（x－z2）（cn-2xn-2＋cn-3xn-3＋……＋c1x＋c0）， ci∈C，i＝1、2、…、n－2
∴ f(x)＝（x－z1）（bn-1xn-1＋bn-2xn-2＋bn-3xn-3＋……＋b1x＋b0） ＝（x－z1）（x－z2）（cn-2xn-2＋cn-3xn-3＋……＋c1x＋c0）
＝……
＝（x－z1）（x－z2）……（x－zn），zi∈C，i＝1、2、…、n 也就是說對於任意一元 n 次複係數方程式，將會有 n 個複數根。
師：「有一組同學觀察發現n次多項式的函數圖形每個彎都會產生兩個解，二次實係 數函數的圖形是拋物線，所以它有一個彎，也就是說二次實係數函數有兩個解。根據代 數基本定理，表示它應該有兩個複數根。所以我們以函數圖形與X軸交點個數來判斷方 程式的實根個數，
一個交點，相等實根，判別式＝0，
兩個交點，相異實根，判別式＞0，
沒有交點，共軛虛根，判別式＜0。」
根據研究者的經驗，以往學生學習方程式一元二次方程式兩根的性質多數是從代數 方面思考：
判別式等於0，相等實根；
判別式大於0、相異實根；
判別式小於0、共軛虛根。
設 f(x)＝anxn＋an-1xn-1＋an-2xn-2＋……＋a1x＋a0＝0 為 n 次實係數方程式，
滿足 f(x)＝0 的虛根一定是成雙成對（共軛虛根）。
多數學生遇到實際問題時，有很高的比例的學生無法正確思考問題的解法，只是純 粹看到關鍵字就開始計算，一知半解的結果當然就錯誤百出，以下為其中一個例子。
範例：
設 k 為實數，kx2＋8x＋( k＋6 )＞0 無實數解，k 之範圍為何？
學生常犯毛病1：
判別式D＝64－4k ( k＋6 )＞0，k2－6k－16＜0，( k＋2 ) ( k－8 )＜0，－2＜k＜8 此類學生因為題目的不等號是”＞0”很直接就認為判別式應該”＞0”。
學生常犯毛病2：
∵kx2＋8x＋( k＋6 )＞0 無實數解，∴D＜0
D＝64－4k ( k＋6 )＜0，k2－6k－16＞0，( k＋2 ) ( k－8 )＞0，k＜－2 或 k＞8 此類學生誤判的原因是，他認為既然”＞0”無實數解，所以直接認定必定”＜0”。
學生常犯毛病3：
∵kx2＋8x＋( k＋6 )＞0 無實數解，∴D≦0
D＝64－4k ( k＋6 )≦0，k2－6k－16≧0，( k＋2 ) ( k－8 )≧0，k≦－2 或 k≧8 此類學生誤判的原因是，他認為既然”＞0”無實數解，所以直接認定必定”＜0”。
正確解法：
∵kx2＋8x＋( k＋6 )＞0 無實數解，∴開口朝下，k＜0
且D＝64－4k ( k＋6 )≦0，k2－6k－16≧0，( k＋2 ) ( k－8 )≧0，k≦－2 或 k≧8 Î k≦－2
上述三種情形是學生最容易犯的錯誤，許多人一看到無實數解，馬上就是判別式須 小於0，但是卻忘記討論開口方向，因此都忘記 k＜0 這個重要的條件，所以都沒有寫出 正確的答案，包含實驗組在內超過80%的學生有這個問題。其實學生犯這兩種錯誤，主 要的原因是看到問題後直覺的反射動作，缺乏停下來思考，其實遇到這類問題，請同學 畫圖後再解題，錯誤會比較少。
下面為第十一週的小組作業，透過小組討論學生利用之前的學習經驗回答問題，題目如 下，學生的回答如圖4-2-8。
思漢不小心把張宇畫的多項式函數圖形 作業給擦掉了，如今只剩下部份的圖形 沒被擦掉…右圖是作業的遺跡，思漢希 望能趁張宇發現之前趕緊補回去，但是 卻又不知道原本長什麼樣子，老師發的 題目小紙條也弄丟了……好心的各位同 學，幫幫忙吧……
(1) 這份作業原本的題目可能是幾次多
項式？(請寫出可能的數字規律) 圖 4-2-7 小組討論之思考題 (2) 承上，請寫下你猜測、推論的理由。
(3) 請試著用筆直接在上圖畫畫看，恢復原本圖形可能的樣子。
圖4-2-8 關於思考題學生的歸納觀察
關於這個作業中，老師想要藉由多項式函數圖形特徵的觀察，以及多項式方程式解 的個數觀察，引導學生畫出可能的圖形，學生根據學習經驗寫下答案，最後老師講解”
堪根定理”來收斂及統整學生觀念。
勘根定理：
設 ai∈R，i＝1、2、…、n ，f(x)＝anxn＋an-1xn-1＋an-2xn-2＋……＋a1x＋a0為 n 次實係數 多項式，若 f(a)× f(b)＜0，則必有一個實數 c 介於 a、b 之間，使得 f(c)＝0
師：「同學已經知道多項式函數圖形與X軸的交點代表的是方程式的解，圖形什麼時 候會有交點呢？應該是有一直線穿越X軸，對不對？所以如果有兩個點，一個在X軸上 方，一個在X軸下方，則這兩點的連線一定跟X軸有交點，這就是堪根定理的概念！」