第二階段研究

第四章研究結果

第四節第二階段研究

本節將描述第二階段所得到的研究結果，以下將分析李師數學教學實作知識

的結構，以及探討與MKT 相關的教學事件。

一、李師數學教學實作知識結構的分析

第二階段的研究單元為「數學期望值」(以下簡稱期望值)，共計有 2 節課，

共26 個教學片段，個人將各類別中編碼出現的總次數整理如下表 4-7、4-8 與 4-9，各節詳細的發生次數請參見附錄一(10)。以下說明李師在本階段中的教學模式和教學概念與實作。

表4-7︰第二階段研究的「教學的進行方式」編碼次數統計表

過丟銅板與擲骰子的例子，將概念帶到「期望值就是一種算術平均值」；第三層，

他使用相同的例子，將期望值由「算術平均值」轉為由「

m

p

_i」的觀點來看它，

也就是

E



m

₁

p

₁

m

₂

p

₂ 

m

₃

p

₃。在完成這三個層次的概念教學之後，才開始演示講義中的例題，對此，訪談中李師也提到對，沒有錯，我在教書的時候當初的步調本來就是這樣來講它(D,20100623)。這種層次感在前兩階段研究中並沒有看見

，個人推測是因為，李師使用「算術平均值」和「

m

p

_i」兩種觀點來看期望值，

他認為前者固然在解題上比較快，但是，並不足以應付所有題目，遇到較高難度的題目時，反而需要後者才能克服，所以，他強調兩者都需要學習。這不同於他在重複組合單元的教學，李師對於重複組合也提出兩種觀點，然而，他並沒有特別強調哪一種觀點，所以，在教學中他會同時寫出兩種寫法，即使學生只學習一種也可以，因為並不會影響解題。由此可見，不同的單元會因為李師著重之處不同，而影響到他對概念發展的教學安排。以下為兩段相關的教學片段與訪談稿轉譯︰

你從硬梆梆的機率來做它，但是老師希望說喔，以解題的角度來講，

用算術平均數會比較快，但是如果以未來的角度來講，那個原理一定要懂。(C,20100602)

數學本身就有點像是螺旋式的，我們先講簡單再講難的部份嘛。第一節課講平均值的概念，哪些題目可以用平均值這種東西來操作，那其實也給她們概念上是說，假設沒有那種平均值的概念，那還是要回到數學本身定義的東西來操作它，因為數學本來就是一個抽象化的東西嘛。(D,20100623)

在引入空間平面方程式時，李師拿出一個四面體，模擬一個情境欲求得平面方程式；在重複組合中，他模擬五件相同物品分給三個人的情境，帶領學生討論分配的方法數，再透過C 進而帶出 H 的概念。李師在前兩階段研究中都善於透過舉例做引入，在本研究階段中也是如此，由於是使用起始例(丟銅板、擲骰子) 引入數學概念，故會被歸類在「教師示範例題」。在訪談中他表示，在開始下定義之前，他會先由學生生活週遭找實例，讓學生慢慢接受這個概念後，再由實例講到數學化的內容。而且，對於實例的選擇可能每個班都不同，視當下學生學習

的狀況而定，如果故意使用一個東西，學生反而覺得無趣。這是李師在引入教學單元時常使用的教學手法，如他在訪談中所說︰

我在教書的時候我本身一直有這樣一個概念，引進例子，一個前言讓她稍微懂它到底是什麼樣的意義，然後做一些題目上讓她感受，最後為它下一個定義，那比較粗淺的題目你當然是可以這樣做，到某種程度之後妳為什麼需要數學的道理就在這個地方。其實我教書不管是在哪個單元，都用這樣一個架構去講它啊。(D,20100623)

操作例題的部份，仍是以教師講解為主，期望值第一節課中大部分的例題都可以使用平均值的概念求解，故李師在引題速度上較快，雖然，他並沒有留一段時間讓學生演練，但是，有時仍會詢問學生的答案，再接著講解。在第二節課中學生操作時間較長，最後的兩題李師讓學生自行練習。而這兩題中恰巧有一題使用平均值，另一題則需使用

m

p

_i。個人推測，李師想藉此作為一個收尾，讓學生釐清兩者間的差異，即使它們的源頭相同，但是使用時機有些許不同。本階段中「學生操作」時間平均為213 秒，和前兩階段相比，多出約 60 秒的時間。

前導研究中常出現的「做總結」在本階段中並沒有出現，但是，李師在期望

值的第一節課中時常強調「期望值就是算術平均值」的概念，不論是在概念發展或者是解題過程時，例如「所以你在做題目上的時候，你內在的世界就想說它是平均值的概念(C,20100602)」，雖然片段的主要形式並非「做總結」，但是李師會不斷重複加強它。

(二) 教學概念與實作

仿照前兩階段研究中闡述李師教學概念與實作的方式，個人依據編碼分為不

同段落，再由編碼結果對應回原始的教學情形，使用敘述的方式說明李師的教學與PUFM 相互呼應之處，最後，提出李師在發展數學期望值概念時所展現的知識包裹。

1. 「比較」與「多觀點」

如同前兩階段研究中的觀察，在本階段中李師一開始也是透過舉例引導期望值的概念，特別的是，他將概念發展分為三層(已在教學模式一節中說明)。李師同時重視「算術平均值」和「

m

p

_i」的數學觀點，故在第一節課的7 個例題中，

他有4 題同時給了兩種解法，只是有的解法是用口述的方式呈現，所以本節課中

「多觀點」佔了總片段數的 5

2(請參見附錄一(10))。到了第二節課，「多觀點」僅

佔了總片段數的 11

1 (請參見附錄一(10))，這與李師對例題的安排有關。因為第二

節課的8 個例題中，只有最後一題能夠使用平均值求解，其他都必須使用

m

p

_i。他在訪談中曾說︰其實我是有拉開，我第一節課就比較講平均值的一些概念，那因為數學到某一種程度以後，你本身平均值的概念很難去講它(D,20100623)。

「多觀點」在本階段中其實還有另一個教學目的。在期望值的講義中寫到

「每次試驗成功的機率為p，(1) n 次試驗中，成功次數的期望值為 np」以及「(2) 操作一次的期望值為k，則操作 n 次的期望值為 nk」(E,20100602)，並且在敘述底下附上(1)的証明。由於李師先跳過重複試驗，故他對證明只有簡單的口述，

當下並沒有証明，暫且要學生相信它們是正確的，並且用直觀去理解它們。講義的例題中大多使用到(2)的結果，個人曾詢問過李師學生是否會難以接受，他表示因為前面很多那種概念喔，其實她們都很容易接受這種東西啦，因為其實有些東西你跟她帶過以後，然後，我是覺得她們好像也都沒什麼問題耶(D,20100623)

。所以，在解題中他會技巧性地使用「多觀點」，除了可以相互驗證答案，也希望透過例題的說明，加以驗證上述結論的合理性。相關的三段教學片段轉譯如下︰

我們今天在上這有點跳著這樣過去啦，那因為這一段的部分，因為它屬於它前一頁前一兩頁這邊的東西，可以吧？那我想我們就稍微先相信它是對的啦，因為你仔細看它也都是都沒有錯，對不對？

(C,20100602)

還是要懂得它該怎麼處理是對的。(C,20100602)

在本階段中，「數學描述」和「數學解釋」同時出現的情況減少，依教學情

3. 「為了數學概念的數字、例題及脈絡的選擇」與「分析」

亂猜，機會就會是幾分？4 分嘛，你懂不懂意思？(C,20100603)

講義中出現了指定科目考試和學科能力測驗計分方式的例題，李師表示，排入這

，所以當初在寫這個講義我就不太想去改變它。(D,20100623)

她就掛在那邊了(C,20100603)。所以，李師之前所呈現的「以一貫之」教學觀點，

以本階段的教學實況來看，並不是「一」，反而是「二」，因為這兩個觀點都是李師所強調的，這也呼應了Ma (1996)的 PUFM 特性之一的「多重觀點」。在訪談中他提到︰

其實我上課到最後幫她們做總整理的時候也跟她們提醒說，你如果這個題目上一眼看過去，有那種感覺是平均值的概念……其實我第一個是要告訴你說，哪些東西應當是不會影響到它的一個狀況，那什麼時候可以利用到平均值的概念去操作很多像機率的問題，那另外第二種領域就是說，如果碰到題目上你發現，因為它本身變化很多嘛，哪些可以用平均值，哪些還是要回到它真正原始的定義。（D,20100623）

4. 「選擇正確的操作物或可見的具體模型去表示數學概念」

前導研究的單元為空間平面和空間直線，第一階段研究單元為重複組合，因為單元特性的關係，空間容易使用具體操作物或圖像表達數學概念，重複組合也能夠利用圖像來促進學生的數學思考，相較之下期望值可發揮的空間不大。依編碼結果來看，只有在李師針對第10 題所做的樹狀圖中呈現 1 次而已(請參見表 4-8)，如下圖 4-10 所示。

5. 「概念連結」與「提示教材地位」

「概念連結」和「提示教材地位」只有發生在李師為學生複習



^{的運算時，}

李師曾說過期望值只需要簡單的機率概念就夠了，並不需要太多的數學能力，可圖 4-10︰選擇正確的操作物或可見的具體模型去表示數學概念

能因此在連結的部份較少。雖然，編碼結果所呈現的「概念連結」只有一次(請參見表4-8)，但是，其實它常被隱藏於教學中。從李師的訪談內容中可看見他對前後概念的串連，只是這些都存在於他的教學思維之中，在實際的教學中並不必然被顯現出來。這好比Ma (1996)所提出的知識包裹，在教師的知識包裹中，具有單元片段間的序列，序列並不必然是線狀，也許是環狀，而且不同片段間有相互支撐的作用。在李師對期望值的知識包裹中，最重要的關鍵片段即是「機率」

和「平均值」，

m

p

_i的概念需要機率的基礎，也須經由對平均值的轉換，才能夠自然地出現。其他與

m

p

_i相關的序列會與

p 的求法有關，例如，需要排列組合、

_i 樹狀圖、重複試驗或者條件機率的概念等等。

針對上述對李師的數學概念與實作的討論，個人嘗試描繪出李師在發展期望值概念時所展現的知識包裹(請參見圖 4-11)。橢圓代表數學概念(或程序)，其中虛橢圓指的是，在訪談中李師提到未來會連結的數學概念；淺灰色橢圓表示關鍵片段；長方框則是李師教授的數學單元。箭頭方向代表由前一個數學概念支持後

在文檔中資深高中數學教師教學知識與教學構思的個案研究 (頁 131-145)

第四章 研究結果

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