第四章 研究結果
第三節 第一階段研究
以上四個教學實例中似乎指出，MKT 架構中的六大領域彼此會相互影響，
就如Ball 等人(2008)所說，要從一個領域分辨出另一個領域，或者明確地說明它 們的邊界是很困難的。李師會在脈絡中整合所有的知識，如例2，由於對學生錯 誤的了解，影響他對講義的編排，這是KCS 影響了 KCT；在例 3 中，由於長期 教學經驗的累積，他發現到，數學概念的某種表徵會讓學生學習得較自然，因而 選用它來進行教學，這是KCS 影響了 SCK；在例 4 中，由於他具有完整的課程 知識，因此，能夠將教學內容或例題做最合適的編排，以保有教學的流暢性和連 貫性，這是KCC 影響了 KCT。以上這幾個例子似乎顯示，在教師真實的數學教 學活動中，MKT 的六大領域是可以相互流動(或流通)的，然而，大部分的數學 教學實作知識以及它們之間的影響往往是內隱的，所以，個人經常必須透過訪 談，才能察覺或理解李師教學實作知識中較細微且內隱的部分。
第三節 第一階段研究
本節將描述第一階段所得到的研究結果，以下分析李師數學教學實作知識的 結構，以及探討與MKT 相關的教學事件。
一、 李師數學教學實作知識結構的分析
第一階段的研究單元為「重複組合」，共計有 3 節課，46 個片段，個人將各
(一) 教學模式
是李師其實仍會在解題過程中，不斷強調重複組合的基本原則是「ㄧ定是寫成它 的這種形態(
x
1x
2 ...x
n k
)才可以做重複組合喔，不是什麼題目都可以用重 複組合來做」，只是時間上較短暫，並不被視為一個主要的教學方式，同樣地，他在講解整合性題目時也是如此。因為，這個單元的例題多半融合其他排列、組 合、重複排列的概念，雖然他會對概念間做比較與整理，可是時間過於短暫而不 被視為「做總結」，這是本研究中常遇到卻難以避免的情形。李師在重複組合第 一堂課的後半部，將排列組合中不同類型的題目列成一個表格，以便整理、比較 與分析。前導研究中，他也在空間平面第一堂課的最後，依構成平面的四種方式 分別求得法向量。所以，課後統整似乎是李師常用的教學方法。
(二) 教學概念與實作
仿照前導研究中闡述李師教學概念與實作的方式，個人依據編碼分為不同段
落，再由編碼結果對應回原始的教學情形，使用敘述的方式說明李師的教學與 PUFM 相互呼應之處。最後，提出李師在發展重複組合概念時所展現的知識包裹。對於排列組合單元，李師在課堂中曾提到，要學好它，需要小學的計算能力、
國中的國文程度以及高中的心智年齡，這種說法其實是為了安定學生的心，其中 最重要的應該是心智年齡。訪談中他談到，因為計算只有加減乘除而已，故只要 有小學的計算能力就可以做了，而排列組合時常會在語意上看不懂，故為了怕有 瑕疵，題目的敘述都會比較長，而且必須說到學生可以看的懂。心智年齡是希望 讓學生了解，排列組合的有些解法不是她們可以立刻想或解出來的，經常需要站 在前人的肩膀上，欣賞前人所建立的東西，讓學習排列組合可以做的更快(D,2010 0512)。在本階段中，李師不單單只是教授重複組合，更重要的是他要讓學生將 它與其他概念有所區隔。
圖4-6︰李師在重複組合中使用的大表格
1. 「為了數學概念的數字、例題及脈絡的選擇」與「提示教材地位」
重複組合為排列組合的其中一個概念，所以，李師在教學中會整合前面所 學的排列、重複排列和組合，做橫向的連結，而且他將重複組合的概念建立在組 合上，這是縱向的連結。李師在重複組合第一堂課的開始，先透過舉例複習排列、
重複排列和組合這三個概念，再由五件相同物分給三個人的分配方法數，引入重 複組合，並且在講解完主要概念之後，先操作例3 和例 4 為四個概念做完整複習，
最後，利用表格統整排列組合中包含正規與非正規的題型(請參見圖 4-6)。在之 後的訪談中，李師談到其實他並沒有刻意安排要做表格，只是上課時腦海裡頭大 概有個想法，去想說怎麼把它給表徵出來，便很即興地將它製造出來。他認為排 列組合有個條理在，教到這個部份要教到讓她們辨別哪些用排列、組合、重複排 列和重複組合，如果弄混就是一團亂了。所以，製造表格是為了幫助學生沉澱自 己的數學思維。李師的回答有點讓我出乎意料，但是也由於李師提到他上課會跟 著感覺走，所以，更能展現他對課程知識的熟悉，以及對比較相似或相異概念的 統整能力。這似乎就是Ma (1996)在 PUFM 中所說的「一致性」或「透徹性」。
透徹性是一種將教學內容的深度和廣度融為一體的能力，倘若李師不具備這樣的 能力，無法臨時製造出這個大表格。
Ma (1996)也提到，具有 PUFM 的教師會避免學生在學習上過於破碎，並且，
能夠安排合適的機會為已習得的概念作複習。李師在訪談中提到你不能夠說給她
新的東西，不讓她跟其他做個區隔，那她學了以後孤伶伶也不知道要幹嘛(D,2010 0512)。所以，李師腦中對排列組合已有一個完整的架構，而這個架構必須透過 教學活動，慢慢地在學生腦海中建立起來。個人定義「為了數學概念的數字、例 題及脈絡的選擇」必須是教師在課堂中有明確指出其意圖，也包含了教師即興式 的選取例題以發展概念。李師在脈絡上即便沒有刻意的選擇，卻產生了意外的驚 喜，而且他透過起始例引出H，亦屬於此編碼。對於講義例題的安排，李師提到 多是放些往年常考的題目，也是整合性的題目︰
這邊老師大概收集一些學校裡頭往年考試的題目上把它丟一丟在後 面，那你如果這個題目都會做那感覺應該夠清楚了吧，這都是學校裡 頭的一些考題啦。(B,20100428)
個人做更細部的分析後發現，若跨不同節課來看，李師在第一節課所使用的表格 和所舉的例題，其實皆有對應到講義例題，所以，他在第二、三節課中只是再回 顧第一節課的概念，帶領學生重新練習一次，另外再操作一些較難的題型，由此 可見，他的教學具有隱藏性的脈絡。此外，本階段中出現的三次「提示教材地位」
都是出現在李師協助學生回想前一節課的內容的情況之下(請參見表 4-5)。
2. 「多觀點」
前導研究中，李師的「以一貫之」和「實用取向」數學教學觀點，在本階段 中也十分明顯。例如，他強調唯有寫成「
x
1x
2 ...x
nk
」這種形式的題目才 是重複組合的樣式，讓學生可以透過這樣的檢驗方式，避免重複組合誤用的情形，請見以下三段相關的教學片段與訪談稿轉譯︰
如果可以重複呢，這個地方一定可以寫成多少型態，這邊喔七個人，
就可以寫成多少型態
x
1 ...x
7 5，要寫成這種型態的題目上才可以 怎麼樣呢，用這個東西來做。(B,20100427)那第二個杯子相同，飲料都可相同，表示怎麼樣呢，這五種飲料 A+B +C+D+E=3 個杯子，
H 是不是就出來啦。(B,20100428)
35所以，我們在教她的時候強調說，你只要是 x+y+z 這種型態才可以用
麼，讓大家比較容易記嘛，所以有些符號你懂得它為什麼而來，他就
最容易的，這個切法應當是最容易，學生聽了覺得理所當然，會比較 單純化一點點啦。每一種東西的講法都很多啦，教起來好像也都沒什 麼狀況，不要切得太快。(D,20100512)
其實講法有很多種，但是，在講的時候若遇到學生有困惑的感覺，教師必須要去 修正自己的講法，教久了就知道哪一條路比較方便。記得在前導研究中，李師時 常提到教學要單純化，個人在本階段中有了更深刻的體悟，他所謂的單純化即是
「用學生的角度去思考概念」。教師所知道的遠遠超過學生，但是，並非像個巨 人一樣站在學生頭上使她畏懼，而是運用多年的教學經驗，在教學中透過淺顯易 懂的方式，讓學生理解與學習。他也再次強調必須要讓學生對學習數學有信心、
有興趣，如此一來教師才能教得快樂。
3. 「概念連結」
在「概念連結」的部份，李師將前面所學的樹狀圖以及排容原理帶入重複組 合的課堂，在考前複習時，他也再針對兩者的使用時機做說明。雖然，講義中真 正使用排容原理的例題只有一題，而且即使不使用排容原理，也能夠使用列舉法 求出。然而，適時安排機會為學生做複習是PUFM 教師的特性，實際上，李師 大多還是將焦點放在協助學生釐清排列和組合的相關概念。以下為兩段相關的教 學片段與訪談稿轉譯︰
老師跟你講其實整個排列組合就學這些東西，那你如果說變化很複雜
，但是又不多的部分可以引進什麼概念？樹狀圖的概念，那有些比較 尖端的題目上可以引進什麼概念？是不是排容原理的概念？
(B,20100427)
我在講樹狀圖有時候讓她去了解排列真正的起源是從樹狀圖出來…
…，去解釋乘法跟加法原理其實是同一個東西出來，有時候用這種題 目上讓她們了解加法原理，乘法原理就是比較快速的加法，你要乘法 就一定的特性是狀況一樣用乘的，狀況不一樣當然是用加的，就用一 種淡淡的東西說明它整個的一個概念。所以有時候為什麼在排列前一 定要講樹狀圖，但不會去把它講很難的樹狀圖，那完了以後跟她們強 調說樹狀圖不能隨便用，那樹狀圖通常的設限頂多是三棵嘛，我就笑
說樹如果太大一定會倒掉。所以在考前，今天跟她們講說，考試什麼 在做排列的時候可不可以有 0？(B,20100428)
比如說維新很會喝酒啊，她一叫叫兩杯啊，王婷叫兩杯啊，蓁薇叫兩
為排列組合的題目較難理解，學生對邏輯的掌控還不夠，也不善於周延思考，故