資深高中數學教師教學知識與教學構思的個案研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授︰. 金鈐. 博士. 資深高中數學教師教學知識與教學構思的個案研究. 研究生︰陳亭瑋. 中華民國一百年一月.

(2) 中文摘要本研究採用質性取向的個案研究法，透過課室教學觀察及訪談，探討一位資深高中數學教師的教學知識與教學思考。研究設計分為前導研究、第一階段研究與第二階段研究；研究的教學單元分別為「空間平面和空間直線方程式」、「重複組合」與「數學期望值」；研究資料的主要來源包括，教學影片檔、訪談錄音檔和個案教師自編的數學科講義。本研究所使用的數學教學觀察系統，引自 Learning Mathematics for Teaching (2006) 所發展的 Mathematical Quality of Instruction(MQI)登錄系統。首先，個人修改系統的編碼，以符合個案數學教師實際的教學特質，其次，針對教學影片進行分析，最後，商請另一位獨立的登錄者協助信度的檢驗，以提昇系統的有效性。藉由三個不同的數學教學單元，以及為期一年的研究進程，對個案數學教師的教學知識與教學思考，以及 MKT (Mathematical Knowledge for Teaching, Ball 等人, 2008)的內涵有更深入的了解。本研究的結果顯示，個案教師的數學教學大多呈現 PUFM (Profound Understanding of Fundamental Mathematics, Ma, 1996)的連通性、多重觀點、一致性和基本概念四項特徵。然而，由於 PUFM 著重數學學科知識，對於某些 PUFM 無法涵蓋的數學教學片段，個人則藉助 Ball (2008)的 MKT 架構來進一步分析。據此，個人提出一些比較凸顯 MKT 特徵的數學教學實例，這也表明，MKT 和 PUFM 似乎有部分的重疊，但是亦有不同。結果進一步顯示，個案教師的數學教學傾向，遠看似 PUFM，近看卻有部分 MKT 的元素。此外，個案數學教師也有一些其他的數學教學特色，例如螺旋式教學。最後，根據研究的結果，個人進一步指出 PUFM 和 MKT 可能的關係，以作為未來接續探究高中數學教師 MKT 和 PUFM 內涵與關係之參考。希望本研究的結果，能夠有助於提昇高中數學教學觀察系統的品質與實用性，並用來檢測和發展高中數學教師的數學教學專業知識。關鍵詞：質性研究、個案研究法、MQI、MKT、PUFM.

(3) Abstract This study applies qualitative case study, which explores the professional knowledge and thinking of an experienced high school mathematics teacher. The study is structured into three research stages including the pilot, initial, and second stage. The teaching units include「plane and line in space」、「combination with repetition 」 and 「 mathematical expectation 」 . The study material comes from videotaped lessons, interviews, and class handouts provided by the participant teacher. The observation system is adapted from coding system of the Mathematical Quality of Instruction (MQI) developed by Learning Mathematics for Teaching (2006). First of all, I modified the system codes to adapt to the actual quality of the teacher’s classroom teaching. Second, I analyzed the video tapes. Last, the coding results were mostly supported from another independent coder to establish the acceptable inter-coder reliability. Using three different observed teaching units within an academic year, I describe the participant teacher’s knowledge and thinking of/about mathematics teaching in terms of both MKT (Mathematical Knowledge for Teaching) (Ball et al., 2008) and PUFM (Profound Understanding of Fundamental Mathematics, Ma, 1996) theoretical frameworks. The results reveal that, the teaching of the teacher mostly presented PUFM qualities of connectedness, multiple perspectives, unity, and the basics. However, considering of emphasis on subject matter knowledge of PUFM, I took the aid of MKT structure to further analyze some teaching clips which PUFM is unable to cover. According to the instruction above, I brought up some mathematical teaching cases which highlight MKT characteristics, which also indicates that MKT and PUFM seem to have some parts overlapped, but some not neither. The study result in addition presents the teaching tendency of the teacher was much alike PUFM as a whole, yet also reflecting some MKT elements inside. Furthermore, the teacher also showed sort of spiral features of mathematics teaching. Finally, the present study described the possible relationship between PUFM and MKT, which may provide some insights into the future study of both the tension and relationship between high school mathematics teacher’s PUFM and MKT. Hopefully, my study results may be used to increase the quality and usefulness of the MKT observational system at high school level, as well as to examine and develop professional knowledge of high school mathematics teachers. Key Words: Qualitative research, Case study, MQI, MKT, PUFM.

(4) 致. 謝. 這兩年半來，半工作半進修的生活是既辛苦又疲憊，卻也充實萬分，很慶幸我堅持到了最後，這一路上我要感謝許多人！首先，非常感謝我的指導教授——金鈐老師。這兩年的期間，個人從您身上汲取到豐富的教師知識，也在學習的過程中不斷地做反思，特別是有幸參與您的計劃，使我獲得許多寶貴的經驗。更感謝您總是不厭其煩地為我批閱論文，並給予我許多寫作的方向，帶領我一步步地成長，使論文得以更加精鍊與完整。感謝蔡文煥、林碧珍兩位教授細心地閱讀論文，提點個人思考與寫作不周之處，同時也為研究團隊提供寶貴的建議，感謝您們的鼓勵與肯定。感謝翁老師協助教學影片的拍攝，讓我在專業知識與班級經營上皆獲益良多，您是我學習的好榜樣，祝福您退休生活順心愉悅。感謝計劃小組成員中的名秀、益安學長、慧儒學姊、勇吉、培棠以及湘媛，我好開心有你們這些好夥伴，特別是名秀。妳總是和我一起討論、一起抱頭苦惱也彼此鼓勵，妳有顆樂觀的心，常常無形中給我力量與歡樂，能夠與妳共同完成論文的感覺真好，祝福妳今年能夠順利考上正式教師。謝謝益安學長經常鼓勵我，並且關心我的生活，謝謝慧儒學姊總在我需要幫助時一口答應，祝福兩位博士生涯一切順利與順心。感謝內湖高工的數學科教師群，因為你們全力的支持，使我無須增加教學上額外的負擔，多出許多時間與心力準備研究所的課業，非常感謝大家。感謝一直在我身旁鼓勵我的好朋友們，宜蓁、老王、佳怡、阿銘、靜靜、屁屁、麵包、淑華、宜靜、冠宇、仲麟、羿涵……，謝謝所有曾給我鼓勵與祝福的朋友們。特別感謝宜蓁和老王，謝謝妳們陪我走過許多人生的重要時刻，每當我沮喪時，妳們總是適時地推我一把，使我更有勇氣地繼續向前走，我好愛妳們。最後，感謝我親愛的家人，總是體諒我的忙碌，每天帶來一通關心和鼓勵的電話，更經常可嚐到媽媽為我準備的愛心便當，您們總是為我準備得好好的，讓我可以專心於課業，也是您們的愛一直帶給我力量，僅以此論文獻給我最愛的父母，謝謝您們！也感謝 stanley 這陣子以來無怨無悔的陪伴和照顧，做我最好的依靠，逗我笑、為我拭淚也為我打氣，謝謝你！.

(5) 目錄目次……………………………………………………………………………………I 附錄目次..……………………………………………………………………………III 圖目次..………………………………………………………………………………IV 表目次..……………………………………………………………………………….V. 目次第一章. 緒論……………………………………………………………………. .1. 第一節. 研究背景和動機………………………………………………………......1. 第二節. 研究問題和研究目的……………………………………………………..5. 第二章. 文獻探討………………………………………………………………..7. 第一節. 數學教師的專業…………………………………………………………..7. 第二節. 數學教師的教學相關知識………………………………………………12. 第三章. 研究方法……………………………………………………………….35. 第一節. 研究的場域和參與者……………………………………………………35. 第二節. 質性取向的個案研究法…………………………………………………37. 第三節. 研究的設計………………………………………………………………45. 第四節. 研究可能的限制………………………………………………………....72. 第四章. 研究結果……………………………………………………………….79. 第一節. 李師數學教學的觀點……………………………………………………79. 第二節. 前導階段研究……………………………………………………………81. 第三節. 第一階段研究…………………………………………………………..106. 第四節. 第二階段研究…………………………………………………………..122. 第五節. 跨階段綜合分析………………………………………………………..136 I.

(6) 第五章. 討論和建議…………………………………………………………..159. 第一節. 李師的 MKT 特徵………………………………………………………159. 第二節. 接續研究的建議………………………………………………………..162. 參考文獻………………………………………………………………………….167. II.

(7) 附錄目次附錄一︰數學教學觀察系統…………………………………………………173 附錄一(1)︰LMT (2006)的 MQI 系統......................................................................173 附錄一(2)︰本研究的數學教學觀察系統...............................................................181 附錄一(3)︰數學教學觀察系統登錄單...................................................................182 附錄一(4)︰數學教學觀察系統登錄單劃記範例...................................................185 附錄一(5)︰2009 年 11 年 6 日登錄結果...................................................................188 附錄一(6)︰2010 年 4 月 27 日登錄結果...................................................................191 附錄一(7)︰2010 年 6 月 2 日登錄結果.....................................................................194 附錄一(8)︰前導階段研究登錄結果總表...............................................................197 附錄一(9)︰第一階段研究登錄結果總表...............................................................199 附錄一(10)︰第二階段研究登錄結果總表.............................................................200. 附錄二︰數學教學影片與訪談轉譯稿…………………………………….201 附錄二(1)︰2009 年 10 月 27 日教學影片轉譯稿.....................................................201 附錄二(2)︰2009 年 11 月 6 日教學影片轉譯稿.......................................................210 附錄二(3)︰2010 年 4 月 27 日教學影片轉譯稿.......................................................217 附錄二(4)︰2010 年 6 月 2 日教學影片轉譯稿.........................................................225 附錄二(5)︰2009 年 10 月 29 日與 11 月 10 日課後訪談轉譯稿...............................233 附錄二(6)︰前導階段研究總結性訪談轉譯稿.......................................................236 附錄二(7)︰第一階段研究總結性訪談轉譯稿.......................................................242 附錄二(8)︰第二階段研究總結性訪談轉譯稿.......................................................247. III.

(8) 圖目次＊圖表編碼說明：第一碼為章節序號圖 2-1︰在脈絡下發展的教師知識(引自 Fennema＆Franke, 1992, p. 162)…….....17 圖 2-2︰教師對學校數學主題理解的架構圖(單一主題) (引自 Ma, 1996, p. 33)…18 圖 2-3︰教師對學校數學主題理解的架構圖(多主題) (引自 Ma, 1996, p. 235)….20 圖 2-4︰減法的知識包裹(引自 Ma, 1999, p. 19)…………………………...……….20 圖 2-5︰對主題的概念性理解模式(引自 Ma, 1999, p. 25)…………………………21 圖 2-6：MKT 架構圖(引自 Ball, Thames, ＆Phelps, 2008, p. 403)……..…………28 圖 3-1︰選擇正確的操作物或可見的具體模型去表示數學概念…………………61 圖 3-2︰多重模型……………………………………………………………………61 圖 4-1︰選擇正確的操作物或可見的具體模型去表示數學概念…………………92 圖 4-2︰決定平面的常見方法………………………………………………………94 圖 4-3︰多重模型……………………………………………………………………96 圖 4-4︰李師抄錯算式而答案算對…………………………………………………99 圖 4-5︰李師空間平面方程式和空間直線方程式的知識包裹…………………..101 圖 4-6︰李師在重複組合中使用的大表格………………………………………..110 圖 4-7︰對符號、具體的圖像及圖表做連結………………………………………117 圖 4-8︰選擇正確的操作物或可見的具體模型去表示數學概念………………..118 圖 4-9︰李師重複組合的知識包裹………………………………………………..119 圖 4-10︰選擇正確操作物或可見的具體模型去表示數學概念…………………132 圖 4-11︰李師數學期望值的知識包裹……………………………………………133 圖 4-12︰在脈絡下發展的教師知識(引自 Fennema＆Franke, 1992, p.162)……..154 圖 5-1︰李師 PUFM 和 MKT 的可能關係圖示………..…………………………..163 圖 5-2︰遠看似 MKT，近看卻有 PUFM 元素的關係圖示………………………164 圖 5-3︰同時展現 MKT 和 PUFM 的關係圖示……………………………………164 IV.

(9) 表目次表 3-1︰教學影片建檔表……………………………………………………………49 表 3-2︰訪談建檔表…………………………………………………………………51 表 3-3︰資料項目的編碼代號………………………………………………………53 表 3-4：MQI 與調整後的數學教學觀察系統之比較………………………………56 表 3-5：i  i 項的 K 值表…………………………………………………………….68 表 3-6：「教學的進行方式」的 K 值表(引自(A,20091106))……………………….69 表 3-7：「教學形式和內容」的 K 值結果……………………………….…………70 表 3-8︰以「數學解釋」為例的 K 值表(引自(B,20100427))…………………….......70 表 3-9︰「教學活動中數學領域的知識」的 K 值結果……………………………71 表 3-10：「對學生使用的數學」的 K 值結果………………………………………72 表 4-1︰前導研究的「教學的進行方式」編碼次數統計表……………………….82 表 4-2︰前導研究的「教學活動中數學領域的知識」編碼次數統計表…………82 表 4-3︰前導研究的「對學生使用的數學」編碼次數統計表…………………….83 表 4-4︰第一階段研究的「教學的進行方式」編碼次數統計表………………….107 表 4-5︰第一階段研究的「教學活動中數學領域的知識」編碼次數統計表…….107 表 4-6︰第一階段研究的「對學生使用的數學」編碼次數統計表………………107 表 4-7︰第二階段研究的「教學的進行方式」編碼次數統計表………………..…123 表 4-8︰第二階段研究的「教學活動中數學領域的知識」編碼次數統計表……..123 表 4-9︰第二階段研究的「對學生使用的數學」編碼次數統計表………………123 表 4-10︰三個階段研究的編碼分析結果…………………………………………137. V.

(10) 第一章緒論. 第一章. 緒論. 本章共分為兩小節，第一節闡述本研究的背景和動機，第二節為研究問題和目的。. 第一節研究背景和動機. 本節將說明教師的專業及其專業知識，其中包含了個人的研究動機和研究背景。. 一、教師的專業. Smith (1987)指出，專業知識的組織不只包含對標準的保證及具有知識和技能的獨占性，更具有支配和控制的獨占性。以醫師和律師為例，外科醫師需要具備開刀技能並了解解剖學，律師需要熟知法律條文以及訴訟程序，開刀或者打官司都非門外漢所能取代，代表醫師或律師已發展出專業的特性。那麼教師呢？以 Etzioni (1969)的觀點來看，教師只有半專業(semi-profession)的地位，我們該如何建立教師的專業？教師具有自我的知能和組織，在知識層面或者技能上都該有別於非教學的人。Noddings (1992)曾說，現在數學教師所面臨的困境是教育家與數學家缺乏合作，所以，在師資培育(簡稱師培)上會削弱數學教師的專業地位。以學者觀點來看，若想要提升教師的專業地位，發展好的師培課程是其中一個管道。 Ball (1988)在其博士論文中提到，許多教師對於教學所知道的建立於她們之前 10 ~12 年的學校經驗，她們現有的知識經常會成為引入師培課程的一個阻礙。所以，倘若要設計合適的師培課程並且發揮其功效，必須要先了解教師本身具有哪些知識，再針對這些知識去發展師培課程。那麼，教師的專業知識到底有哪些？ 1.

(11) 第一章緒論. 二、教師的專業知識. 雖然，有幸能夠從事我熱愛的教學工作，但是，在擔任教師的這三年中，也遭遇到不少挫敗，在在促使我想要進修以提升自我的數學教學實作知識。如同 Ma (1996)所說，教師知識影響了教學過程，而教學過程影響學生的學習，因為，教師是教學中的靈魂人物，所以，我認為想要瞭解學生的學習，要先從瞭解教師開始，甚至於要從瞭解自身的學習開始。. 一位優秀的數學教師背後必然有不同於他人之處，可能課程內容知識較為完整，使得在教學中學生能夠學習到一致的內容，即使經歷相同的師培訓練課程或者數學課程，不同的教師卻可能產生風格迥異的教學。這代表著，教學背後有眾多複雜的因素交錯影響著，這也正是研究的迷人之處。研究者有幸參與金老師的計劃，可以透過課室教學觀察及訪談，欣賞資深高中數學教師在教學場域中所展現的數學功力(mathematical power)和教學功力(pedagogical power) (Cooney, 1994) 。美國的 National Longitudinal Study of Mathematical Abilities〔NLSMA〕(1972) 計劃曾試圖研究教師大學修的數學課程數目與學生學習的關係，但是，沒有發現重要的關係，Eisenberg (1977)也得到相同的結果。由此推論，研讀越高深的數學並不盡然對學生學習是有助益的。教學最終的目的是為了使學生獲得真正的學習，美國的 National Council of Teachers of Mathematics〔NCTM〕(1991)在《數學教學專業標準》中強調，數學教學應注重教師幫助學生學會理解、會做和會用數學的方法。Shulman (1985)曾說，教師需要廣泛以及高度組織的知識主體，然而知識的主體是複雜的，以教師知識而言，什麼樣的知識是必備的？哪些是教師所看重的？或者，在她真正成為數學教師之後，師生間的互動以及教學經驗，對其教學知識以及教學思維會產生何種影響？在不同的教學單元中，教師所展現的知識面向為何有強弱或顯隱之分？. 2.

(12) 第一章緒論. McDiarmid 與 Clevenger-Bright (2008)將教師能量(teacher capacity)分為知識 (knowledge)、情意(disposition)和技能(craft skill)三個部份，他們認為在實際教學中三者必然融為一體，彼此相互影響，所以，知識對情意以及技能具有某種程度的影響力。對於有效能的教師該具有哪些知識，許多學者均提出看法，從 Shulman (1986)將「教學內容知識」(pedagogical content knowledge，簡稱 PCK)的概念引進教學以及師資培育中，強調教師知識中數學內容和教學的連結；到 Bass 和 Ball (1996)探討「什麼樣的數學知識是教好國小數學所需要的？」這種教學所需數學知識的問題；之後，NCTM (2000)強調教師要有「學生作為學習者」的知識，而 Hill, Rowan 與 Ball (2005)在一個標準成就測驗中發現，教師為了教學的數學內容知識與一、三年級學生的成就有正相關；接著，National Board for Professional Teaching Standards〔NBPTS〕(2006)則強調「學生的先備知識以及背景」知識的重要。一直到 2008 年 Hill, Ball 與 Schilling 提出了「教學用的數學知識」(mathematical knowledge for teaching，簡稱 MKT)的架構後，教學用的數學知識的探究開始有了一個基本的輪廓。架構圖分為左半橢圓的學科知識(subject matter knowledge，簡稱 SMK)和右半橢圓的 PCK，其中，SMK 包含了一般的內容知識、特別的內容知識和數學知識的水平，PCK 包含了內容和學生的知識、內容和教學的知識與課程的知識，共有六個領域(domain)。. Ball, Thames, Bass, Sleep, Lewis 與 Phelps (2009)表示，教師專業教育主要的挑戰是「如何讓新手教師為剛開始有技巧的實作做準備？」，而這有賴於建立「教學實作和師資培育的關係」的健全理論。教師需要在教學工作中知道並且能夠使用數學，而且，她們需要習得能夠促進學生學習數學的特殊教學實作。MKT 指的就是，完成教數學這個工作所需要的數學知識，所以，他們聚焦在教學中所包含的數學任務(mathematical tasks)，以及分析這些任務的數學需求(mathematical demands)。他們提到引導這個理論最基本的問題是︰(1)哪些是教數學時需經常面對的工作，以及其所衍生問題？教師在教數學的時候都做些什麼？(2)哪些是管 3.

(13) 第一章緒論. 理這些工作所需的數學知識、技巧以及敏感力(sensibility)？他們的研究並非以教師真正知道什麼或需要知道什麼為中心，而是那些被使用在教學工作中的數學知識，意即數學教學實作知識。然而理論仍有缺點，如果教學是文化的實作(Stigler ＆Hiebert, 1999)，則他們所發展的理論若用在其他文化系統中，可能會限制了教學上的數學需求。教師徒有知識卻不知如何在教學中使用，就如同擁有工具卻不知如何使用而無法發揮它既有的功用，如此一來，便無法有效地傳遞給學生以達成教學目標。教學用的數學知識是流動的、具生命力的，傳承 Ball 等人(2009) 原有的想法，倘若要以 MKT 的架構去觀察和分析教師知識，必須要真正踏入課堂中，對個案教師的數學教學實作知識做分析和描述。但是他們也提到，MKT 架構的內涵可能缺乏效度，造成在其他國家中無法完整地解釋教師的數學教學實作知識。這也說明了，MKT 並不必然會完全符合不同文化下教師的數學教學。. Ball (1988)在她的博士論文中曾提到，師培對教師而言是個薄弱的介入，故她想探究教師帶了什麼進入師培課程中，並提出了一個概念性架構。Ma (1996) 的博士論文也參考 Ball 當初既有的想法，而 Ma 整合了她的研究資料與現存的教師學科知識概念性架構，特別是由 Ball 所發展的架構，提出教師對學校數學主題理解的架構圖。她認為，大陸教師比起美國教師具有知識上的深度，她想要去測試這樣的假設，並且，探究教師是在哪個時期獲得那些教學用的數學知識。後來她發現，大陸教師具有對基礎數學的深刻理解或對基礎數學的深奧理解(profound understanding of fundamental mathematics，簡稱 PUFM)，其中包含了深度 (depth)、廣度(breadth)和透徹性(thorough)三種特質或特徵(property)。由於 Ma 的研究對象為華人教師，或許我們也能在台灣數學教師身上找到 PUFM 的某些特質，甚至，更進一步了解 PUFM 的內涵。. 4.

(14) 第一章緒論. 第二節研究問題和研究目的. 相對於國小，高中數學課程內容的複雜性與抽象度都高，在教學上更能顯現教師調度不同知識的能力，而且，穩定的知識結構使得研究者較易於分析，故我們試圖分析資深高中數學教師的數學教學實作知識。雖然，不同學者對教師知識的面貌提出許多看法，從 Shulman (1986)的 PCK 到 Ma (1996)的 PUFM，直到最近 Hill 等人(2008)的 MKT。Hill 等人對教師知識提出一個完整的架構，不僅包含學科知識，也有學生作為學習者的知識或者課程知識，而 Ma 的研究焦點只有教師的學科知識。經過研究者將 LMT (Learning Mathematics for Teaching) (2006) 計劃中，研究教學品質所使用的 MQI (Mathematical Quality of Instruction)編碼系統，針對個案教師實際的數學教學做修正後，再分析教學影片，他是否能展現出 MKT 架構中六個領域的特徵？或者，在教學中哪個領域會特別突出或特別重要？如果 MKT 架構仍無法適切地描述個案教師的數學教學實作知識，那麼 Ma 在華人教師身上所看見的 PUFM 是否更合適？. Ball (1988)和 Ma (1996)研究背後的動機均源自看到美國教師知識的不足，而且，Ma 的研究延續 Ball 所使用的四個數學主題，顯然兩者的源頭是相近的。但是，某些地方有重疊，某些地方也有差異。希望本研究的部分教學實例能為此提供相關的資料。不同教師由於不同的學習背景、思考模式或專業訓練，而產生不同的數學教學實作知識。有的教師較凸顯 MKT 取向，有的教師較凸顯 PUFM 取向，甚至於有的教師兩者兼有之。故本研究的研究目的為︰ 1.. 探究資深高中數學教師的教學特色。. 2.. 探究資深高中數學教師的教學知識及其伴隨的教學思考。. 5.

(15) 第一章緒論. 個人將資深教師界定為具有十年以上教學經驗的教師。. 根據上述的研究目的，本研究的問題包含： 1.. 資深高中數學教師在不同主題的單元教學中所展現的教學特色為何？. 2.. 資深高中數學教師的教學知識及其伴隨的教學思考為何？. 6.

(16) 第二章文獻探討. 第二章. 文獻探討. 本章總共分為三節，分別探討數學教師的專業、數學教師的教學相關知識以及個人對相關文獻所做的小結。. 第一節數學教師的專業. 本節將說明教師的專業與其特徵，以及教師專業的內涵。. 一、教師專業與其特徵. 孔子曾道「一日為師，終身為父」，從古至今，社會對於教師地位的推崇是無庸置疑，這也代表教師這個職業有著與他人不同的責任與意義。Hansen (2001) 視教學為一種道德(moral)活動，一般人對於教師賦予高度價值跟意義，如同人們常說教學是一種良心事業，教師所做的任何教學決定都是一個道德的選擇，她要有道德判斷和道德知識，以帶領學生獲得最佳的學習。Dewey (1997)也有類似看法，他認為真正的智力(intellectual)發展永遠包含了道德的發展，教師要在教室的脈絡中做獨立和批判地(critically)思考，意指要關心到自己以及他人的想法(ideas) 與期待(hopes)，因此他特別強調教師反思的重要。Socrates 也說「在許多的情境下，對於知識和真實的追求應該被了解為是一種道德的尋找，為了試圖讓我們成為更好的人」(引自 Hansen, 2001, p. 832)。所以，多數學者認為教學應該被視為是一種道德活動，同時也是智力活動。. George Bernard Shaw 曾提出一段調侃的話語「He who can, does. He who cannot, teaches.」(能者做，不能者教)，Shulman (1986)對此提出了質疑並下了另一個 7.

(17) 第二章文獻探討. 結論「Those who can, do. Those who understand, teach.」(能者做，理解者教)。由此顯現出，我們對於哪些人足以承擔教學工作以及教師的專業，至今仍沒有一個普遍的認同，但是，究竟何謂「專業」(profession)？教學是一種專業嗎？教師可否稱得上是專業人員？. Shulman (2005)表示師培並不存在，以律師或醫師的專業教育而言，在不同的國家已有較為標準的課程以及評量，但是，師培卻有多種方式。他提出認證教學法(signature pedagogies)的觀念，希望將師培特徵化(characterize)。它指的是一種教學模式，讓準備進入這個專業的人必須通過鑑定。他認為，認證教學法應該具有專業的獨特性、遍佈連續的課程，以及在教學與社會化中的必要成份這三種特徵。它是規律的而且不斷地重複，為了讓每個人知道應該要做什麼，而且，能夠讓學生的思考被看見，使其不只知道也能夠完成步驟，甚至不只被要求做出評論，還必須要建立在他人的評論上。近年師培的重點在使教師專業化(professionalization)。根據 Noddings (1992)的觀點，教學的專業化指的是，教師為了讓他們更像是在建立專業而做某些改變，它是具有特定職業的知能和組織，特別是成為一個專業份子的過程。師培是促進教師成為專業份子的一個重要管道，然而，如何建立良好的教師評檢制度，以及設計合適的師培課程，以儲備教師的能量，進而使教學具有認證性，這才是當前重要的課題。這些觀念也是 Shulman 言論背後更深的意涵。. 針對專業的特徵，Noddings (1992)提出了六點，包含了篩選與管理、專業知識、利他主義或服務、特權與地位的等級制度、協同關係以及自主權。首先，他認為教師的鑑定並不會成為專業化教師的一個枷鎖，反而是專業化的第一步驟。其次，數學教師並非去創造數學，而是要和學生一同建構數學，而專業化必須更重視智力發展，他指出，只有數學知識並不足以去描述教師的專業化知識，還需要具備 PCK 或者學生知識(student knowledge，簡稱 SK)等。再來，社會大眾普 8.

(18) 第二章文獻探討. 遍重視教師的身教和言教，於是，許多教育家開始強調教學中道德的面向，因為，教師比起其他職業背負了更多道德的責任(Sochel, 1988)，而且，教學中道德的本質是最基本的(Sockett, 1987)。因此，教學應該是一種為社會服務的形態，所以，我們必須要定義教師專業中關於利他主義和服務的內涵。每個人擔任教職都會有不同的理由，但是教育應以學生為中心，以培育學生發展正確的身心和知識為最終的目標。若我們希望教師是一項「好的以及值得的」專業(Goodlad, 1984)，則應該給予教師更高的地位，然而最根本的是，教師必須同時努力提昇自我的專業素養。例如，其中一種方式即是發揮協同關係，教師可以透過校內的教學研究會與其他教師相互合作和討論，甚至，參與專業研習活動或改革團體，利用合作的方式增進教師專業(Holmes Group, 1986)。例如 Carpenter, Fennema, Peterson 與 Carey (1988)的研究發現，參與 Cognitively Guided Instruction (簡稱 CGI)的教師在參與一年後有了明顯的進步，她們知道更多學生解題的心智過程、花較多時間在解題活動非訓練活動等等。最後，Noddings 分三個方面來探討自主權：專業(profession)，包含了自我準備、位階的准許和個人行為的管理；專業社群(professional subgroup)，包含了數學科能掌控教學進度和內容；個人專業(individual professional)，包含了掌控教師與學生或家長間的關係。教師雖然被放置於學校的框架中，但是，教師應該具有更多的自主權和尊重，人們對教師的信任對其提升自我、增進教學成效形成莫大的助力。「十年樹木，百年樹人」，教育事業是艱辛與長久的，如同現在許多的暑期班或者社區大學，人們提倡活到老學到老的學習風氣，對身負教育與傳承重責大任的教師而言，更需要重視自己的專業發展。. 二、教師專業內涵. 教師專業內涵指的是「身為一個教師必須具備的各種內在知能條件」(饒見維，1996，頁151)，知能條件包含了認知(如知識、能力)和情意(如態度、信念、. 9.

(19) 第二章文獻探討. 價值)面向，而這些內在知能在教師專業發展的歷程中持續不斷地轉變(黃凱旻， 2002)。除了認知面向和情意面向之外，教師需學習與學校、家長、社會做良好的溝通，以利做出合適的教學決策，故教師的專業內涵中亦需考量社會面向(許秀聰，2005)。教學所在的環境和文化會影響教師的選擇，例如，學校政策的執行、家長的期待或者升學制度，倘若教師在社會面向的互動中能取得彼此認同，並且相互支持，無疑得到了最佳的後盾，在此之下，教師在做教學決策時，能將認知與情意做最好的組合。然而，認知與情意無法單向論述，因為，教師的教學信念和教學價值滲透於教學活動中，無論是對教學內容的選擇與編排，或者是呈現概念的方式，因此，在情意的影響下，認知面向的展現便有所不同。. McDiarmid與Clevenger-Bright (2008)所提的教師能量(teacher capacity)呼應了專業內涵的想法，他們將教師能量分為認知(knowledge)、情意(disposition)和技能(craft skill)三個主要部份。認知包含了學科知識、課程知識、教學內容知識，也包含了對學生需求與文化背景的了解；情意包含了信念、態度和價值；技能包含了計畫和組織教學、監控和評量學生學習，以及與同事、家長和社會共同合作。美國傳統英語詞典(American Heritage Dictionary)中將容量(capacity)譯為接受、持有以及吸收的能力，然而，部份學者認為把「容量」一詞放到人類身上，強調的是成長的潛力，意即，提昇實踐課程和教學改革所需具備的資源(Barnes, 2002； Cohen＆Ball, 1999)。所以，容量更貼切的說法應該是「成長的可能」(potential for growth)，而非「接受的能力」(ability to receive)。因此，培養教師具有教師能量指的是，希望她們具有持續發展認知、情意和技能成為一個連續統(continuum) 的能力，這也說明了認知、情意和技能如同教學的三連環，牽一環動一環，無法切割。. 學者們多將焦點放在認知層面上，例如Begle (1979)曾研究教師所學的課程總數與學生表現的關係，量化的研究結果發現，教師知識與教學成效並沒有顯著 10.

(20) 第二章文獻探討. 性的相關。Shulman (1986)將教師的知識架構分為SMK、PCK、課程知識(curricular knowledge)三大項，其中他特別強調，教師對數學、學習者如何思考數學主題和教學教材在教數學中如何被發展的了解。Peterson (1988)則改編Shulman的架構，將它分為學生在特殊內容中如何思考、如何促進學生思考的成長，以及教師對自己認知過程的自我察覺。他認為教師要了解自己對數學的思考，否則學科知識無法在教學中發揮作用。Stevens與Wenner (1996)透過問卷針對67位職前教師，探究他們科學和數學的知識與信念，發現職前教師不論是科學或者數學的知識基礎總體薄弱，呼籲教師專業中應當強調知識組織。Rowland (2008)研究教師的數學學科知識，將17個編碼分為基礎(foundation)、轉換(transformation)、連結(connection) 以及偶發(contingency)四大類，並稱之為知識四重奏(knowledge quartet)。基礎包含對數學的知識和理解、對數學教學和學習的理論知識，更包含了對數學知識本質以及學生學習的關心。轉換強調的是實作中的知識，也就是計劃如何去教，更重要的是教師對範例、解釋的選擇，以協助學生的概念發展。連結呼應了Ma (1996) PUFM的一個特徵，它重視知識中深度和廣度的連結。最後，偶發代表的是教室中不可預期的事件，教師必須能夠隨機應變，例如，做好準備以便回答學生的問題。. 教師的知識也會影響到學生的學習，如同Brophy (1991)所說，教師知識若更清楚、更具有連結性和統整性，則能呈現彈性的教學，善用不同的方式表達，並鼓勵和回應學生的意見與問題。Steinberg, Haymore與Marks (1985)在研究教師知識及其對教學的影響中發現，具有概念性和連結性知識的教師，在教學上亦更有概念性。由此可見，教師知識在學生學習或者在建構教學中占有重要的地位。既然教師知識對教學這麼重要，那麼，教師的教學相關知識應該是什麼樣子呢？. 11.

(21) 第二章文獻探討. 第二節數學教師的教學相關知識. 本節將介紹不同學者對教學相關知識的觀點，並且提出研究者對教師知識的立場以及小結。. 一、何謂教學相關知識？. 教師知識的領域中主要存在著三個大問題︰教師需要什麼知識？教師具有什麼知識？教師怎麼樣發展他們的知識？(范良火，2003)。不管是哲學家或者認識論的學者們都說要對「知識」(knowledge)下一個精確的定義，如果不是不可能的話，也是相當困難的。一般知識最廣泛的定義為「可以被證明是真實的信念」 (Quinton, 1967)，亦即，如果某人宣稱他知道 Q，則(1)他要相信 Q 是真實的，(2) 他要能夠證明 Q 是真實的，(3) Q 確實是真實的。亦有一些學者將此定義放寬，主張知識是「有證據支持的信念」(Fenstermacher, 1994)。Znaniecki (1965)曾說「每個人無論承擔何種社會角色，都必須具備正常擔任該角色不可缺少的知識」。那麼，何謂教師的教學相關知識呢？Leinhardt 與 Smith (1985)認為，教師知識有兩大核心領域：課堂結構知識和學科知識；Gilbert, Hirst 與 Clary (1987)將知識分為四個層次，第一層次是關於學校作為一種機構的知識，第二層次是關於學生的知識，第三層次是教學知識，第四層次是決策的知識；Lappan 與 TheuleLubienski (1994)則使用維恩圖(venn diagram)強調，教師至少需要數學知識、學生知識和數學教學知識三種知識。儘管學者們對於教師所需的教學相關知識各有異同，但是，其中有兩種基本知識是共通的，即是學科知識和教學知識。接著，個人透過一些研究教師知識學者的觀點和實徵的研究，來更深入了解教學相關知識的內涵。. 12.

(22) 第二章文獻探討. (一) Elbaz 與 Leinhardt 的觀點. Elbaz (1983)提到，教師的實作與知識因為會受脈絡驅使而呈現動態，與過去、現在、未來相關，這些知識主要透過在教室中和學生的互動，建構出一套規則(rules)和原則(principles)。他將教師知識的結構分為實作的規則、實作的原則和印象(images)三個部份，前兩者包含了教學知識(instructional knowledge)，而印象指的是將所有教師知識組織在一起，它是短暫而且清楚的，包含了情感和道德，並且考慮了現存以及新的知識，它會將所有的實作知識做排序，並且在做決定時被使用。規則和原則會透過印象而被選取使用於引導教學，倘若規則或原則與一個教師所持有的印象有所衝突，則不同的規則會被選取。一個教師的實作知識會指向一個特殊的實作脈絡，而且，這些方向會在多種面向被檢查，例如社會、個人、經驗、理論以及情境。透過檢查這些方向，我們可以了解教師知識所照顧到較廣的細節，而且，注意到教師知識中的變化與綜合。Elbaz 也提到，教師需要擁有廣泛的教學相關知識，包括學科知識、課程知識、教學知識以及自身知識，而且，專業及個人的經驗會形塑教師的這些知識。. Leinhardt, Putnam, Stein 與 Baxter (1991)認為，教學的技巧會被兩個基本且相關的知識系統所決定，即是課堂結構的知識(knowledge of lesson structure))與學科內容的知識(knowledge of subject-matter content)。課堂結構的知識分為以下三類︰(1) agendas (議程)，一個包含全部的課程目標及活動的動態計畫，可隨課程的進行而修改；(2) scripts (劇本)，在課程開始前，最先在老師心中對特殊主題不嚴謹的目標和活動安排，它會隨著時間慢慢發展和精鍊，並使用於適合的時機，所以並不容易改變，它包含不同的活動，例如回顧、呈現、監督的練習這些在教學中所發生的；以及，(3) routines (步驟)，由師生共同完成的活動，允許低層次的活動被有效地完成，而且，並不會將有意義的心智資源從教學中更一般及固定的活動、教學目標中轉移。學科內容的知識則是指，教師在教某學校課程所需要擁 13.

(23) 第二章文獻探討. 有及使用的知識，它不只包含數學知識，也包含課程活動知識、表徵的有效方法以及評量的步驟。學科內容的知識能夠支持教師去建立議程與劇本。根據 Leinhardt 等人的想法，學科內容的知識並非決定教學行為的主要因素，而是議程與劇本。. (二) Shulman 的觀點. Shulman (1987)將數學教師的知識基礎分為七種類別：(1)內容知識(content knowledge)，指學科知識；(2)一般性教學知識(general pedagogical knowledge)，指超越各具體學科之上，關於課堂管理和組織的廣泛原則和策略；(3)課程知識 (curriculum knowledge)，指教師做為職業所具備對教材和教學計畫的掌握；(4) PCK，指將學科內容和教學原理融合的知識；(5)學習者及其特點的知識(knowledge of learners and their characteristics)，指關於學生背景的知識；(6)教育環境的知識(knowledge of educational context)，指班級管理、社區和文化等的知識；(7) 關於教育的目標、目的和價值以及它們的哲學和歷史基礎的知識(knowledge of educational ends, purposes, and values, and their philosophical and historical grounds) 。其中，Shulman 在 1985 年 AERA﹝American Educational Research Association﹞ 年會的主席致詞中呼籲，要重視教學獨有的知識，亦即 PCK。他表示，區分教學知識的關鍵在於內容和教學的交集，也就是教師的轉換(transform)能力，教師需將他們複雜的知識，用某種方式作轉換，為了讓學生能夠與教材互動並且學習。他認為，教師知識中最重要的就是教師對數學、學習者如何思考數學主題、如何發展教學教材去教數學的瞭解，教師所使用的知識需要隨著脈絡而連續轉換。. Shulman (1986)曾針對三個與內容相關的知識特別提出說明。關於教師的內容知識，除了要知道一般的事實及概念之外，還要知道為什麼，並且能夠證明數學敘述的合理性。除此之外，教師還需要知道為何一個主題是相對中心的或周圍 14.

(24) 第二章文獻探討. 的理由。課程知識，泛指所有包含教授一個主題的所有課程，以及不同的教材間的關係。課程知識又分為橫向課程知識、縱向課程知識，橫向意指主題與其他不同學科的相關性，縱向意指在同一個學科中，對於前後連貫的了解。PCK 是 Shulman (1996)認為最具影響力的一個教師知識類別，它指的是表達概念最有用的表徵形式、最有力的類比、圖解、範例、解釋和證明。亦即，要讓他人理解所使用最有用的表徵及系統的說明。同時，它也包含對於什麼會讓學習特定主題更容易或困難的了解，以及學生在不同年紀和背景下帶入課程學習的概念和先備知識。 PCK 是最有可能區分出學科專家和教師之間的差異，因此，如果能夠明確指出一般學科知識和用於教學的內容知識之間的差異，就等同說明了教學是一項專業的工作，具有專業的知識基礎。. Shulman (1996)的論點雖然引起了正反兩面的評價，但是，不少學者表示贊同並將此加以修正或擴展。Fennema 與 Franke (1992)認為 PCK 亦包含學生知識和表徵知識，其中他們特別強調學生知識。Even 與 Tirosh (1995)也強調學生知識，其中包含了 knowing that 以及 knowing why，前者指的是知道學生常見的概念和思考方式，後者指的是知道前者的這些來源。An, Kulm 與 Wu (2004)將 PCK 分為內容、教學(teaching)和課程，他們認為教學是最重要的，其中也包含了對學生思考的了解，並以「profound pedagogical content knowledge」表示對教學和課程在廣度和深度的知識。反之，McEwan 與 Bull (1991)認為，知識應是一體的而不可被區分的。Cochran, DeRuiter 與 King (1993)則認為 Shulman 過份強調知識的轉換，他們將 PCK 修正為 PCKg (pedagogical content knowing)，用 knowing 代表主動的過程，PCKg 是指教師統整教學、學科知識、學生特徵和學習的環境脈絡後的了解。. (三) Fennema 與 Franke 的觀點. 15.

(25) 第二章文獻探討. Fennema 與 Franke (1992)認為，教師的知識應該是巨大(large)、統整的(integrated)功能系統(functioning system)，其中的每個部分無法被切割，由於，許多研究者在知識上強調的層面並不同，迫使必須分開考慮教師知識中的個別組成。他們以數學教育文獻為出發點，用不同觀點檢視它們，文獻中以內容知識、學習知識、數學表徵的知識以及教學知識特別受到關注，希望透過文獻提供關於教師知識、教室教學和學生學習有用的資訊。Brown, Collins 與 Duguid (1989)強調知識的獲得依賴於學習的情境，故所有的知識都是情境的，而且部分是活動、脈絡和文化發展的結果，同時，這三者也是知識修改、解釋和使用的依據。Fennema 與 Franke 也強調數學教師的情境知識(situated knowledge)，教師知識會因為情境的不同而呈現不同的功能，它會經由數學知識、教學步驟和學生的互動，呈現動態的樣貌，並且透過互動的過程會更加成熟，而了解這樣的知識對課程及教學改變的影響是深遠的。. 教師知識是持續改變和發展的，因此，想要真正了解它或者對它施測，都顯得格外困難。但是，Fennema 與 Franke (1992)認為，教師知識不能夠與研究學科、如何為學習者表示學科知識、已知的學生思考和教師信念所分離，它與教師教室行為的影響以及學生學習有密切關聯。雖然，我們已有這樣初步的理解，但是，教師知識的每個組成都需要針對定義、變因和與其他組成的關係再做更深入的研究。他們認為，教師知識的組成包含了教學知識、數學知識、學習者對數學認知的知識以及信念四項。數學知識包含了所教單元的概念、程序和問題解決的過程，更包含程序背後的概念、概念間的相互關聯，以及概念和程序如何被使用到不同類型的問題解決當中。教學知識是指關於教學程序的知識，例如，計畫有效的教學策略、教室常規、行為管理技巧、教室組織的程序和動機技巧。關於學習者的認知，教師必須要知道學生如何思考和學習，特別是，這樣的知識如何發生在所教的單元中，以及知道學生如何獲取知識，理解學生所使用的步驟和預期失敗或成功的發生。 16.

(26) 第二章文獻探討. Fennema 與 Franke (1992)提出「在脈絡下發展的教師知識」的架構圖(請參見圖 2-1)，強調每個組成都要在脈絡下發生，脈絡能定義知識的組成並使信念發生作用，當四者發生互動可帶領教室行為，它展現了教師知識互動和動態的本質。另外，教師知識的部分組成會藉由教學產生演化，知識建立在教師的教學知識之上，透過在教室中與學科和學生的互動而發展。Shulman (1987)曾提出教學的「transform」(轉換)，說明教師需將他們複雜的知識，用某種方式做改變，為了使他們的學生能夠與教材互動並且學習，而這正是 Fennema 與 Franke 架構圖中數學知識與教學知識的交界處。改變的程度決定在教師的知識基礎，和它的複雜性以及關聯性。認知心理學中假設教師知識會影響思考，而思考會影響他們在教室中的行為，而教師所使用的知識會隨著脈絡而改變，這樣轉換的過程是連續的，以帶領出不同的教室行為。由架構圖中可見，信念會影響教師知識的運作，教師可能因為對數學或者對學生學習的目標持有不同的信念，而展現出不同的教學實作方式。故除了知識主體之外，信念是驅動教學背後的巨大推手。 Beliefs. Knowledge of mathematics. Context specific knowledge. Pedagogical knowledge. Knowledge of learner’s cognitions. 圖 2-1︰在脈絡下發展的教師知識(引自 Fennema＆Franke, 1992, p. 162). 17.

(27) 第二章文獻探討. (四) Ma 的觀點. Ma (1996)在她的博士論文中透過四個主題，研究大陸與美國的小學教師對數學學科知識理解的差異，她發現大陸教師的數學知識普遍看來較為一致，並且，在回答問題的過程中展現了不同概念間的連結，反之，美國教師的數學知識則較片段並缺乏連結。她將教師對某一個主題的數學學科知識分為程序性理解 (procedural understanding)、概念性理解(conceptual understanding)、邏輯關係(logical relation)及學科結構(structure of the subject)，請參見下圖 2-2。. 圖 2-2︰教師對學校數學主題理解的架構圖(單一主題) (引自 Ma, 1996, p. 33). 第一層指的是，教師能夠依循正確的步驟得到正確的答案，這個部份在兩個國家教師之間的差異比較小，而且，即使是一個門外漢(layman)都可能會有，所 18.

(28) 第二章文獻探討. 以它的特色是表面的、獨立的。第二層指的是，教師對於第一層的步驟能夠知道支撐在底下的概念為何並給予解釋。在這一層中，教師展現了步驟與概念間的連結，然而有的解釋可能是簡短的、初步的，所以，它是表面的卻也展現了一點理解的深度。第三層指的是，教師能夠察覺到其他數學知識片段(knowledge piece) 與現在要教的主題所產生的邏輯關係、有哪些片段在背後支撐，片段並不一定是概念，也可能是程序。不同知識片段之間會產生如同線狀(line-like)或者環狀(circle -like)的序列(sequence)，這兩種不同的序列彼此間相互關聯，在序列中可看見一個概念如何在另一概念上伸展和演化。不同片段會具有不同的地位，教師必須加以權衡(weigh)，某些片段對學習主題是特別重要的，稱之為關鍵片段(key piece) ，教師必須要能夠為關鍵片段提出她的理由。Ma (1996)提到，大陸教師相信，如果學生能在第一次介紹關鍵片段的概念時就已透徹地學習，則在往後的學習上就能夠事半功倍。. 數學主題在邏輯關係中所產生的圖形是特別具有連結性的，Ma (1996)將它整個包起來稱之為知識包裹(knowledge package)。對於不同的主題，有些片段是共有的，因此，在第三層中不同的主題間開始產生連結，所形成的圖形更廣(broad) 、更複雜(complexity) (請參見圖 2-3)。知識包裹是指，教師能在縱向過程中開啟和培育學生心智方面的學習(Ma, 1999, p. 114)，而教師會根據教學的脈絡重新組織知識包裹。知識包裹包含了概念發展的序列、關鍵片段和概念結(concept knot) 三項特徵。其中，概念結強調的是主概念同時會綑綁(tie)其他概念，形成如同概念叢(cluster of concepts)的樣子，在教導主概念前教師需發展好學生的概念叢，同時，教導的過程也是一個修正或加深其他概念的好機會。圖 2-4 即是 Ma (1999) 在專書中為減法所列的知識包裹，其中箭頭代表序列，由前一個支持後一個，中間為主序列，兩旁為子序列，深灰色的部分代表關鍵片段，而概念結在圖中並沒有被展現出來。. 19.

(29) 第二章文獻探討. 圖 2-3︰教師對學校數學主題理解的架構圖(多主題) (引自 Ma, 1996, p. 235). 圖 2-4︰減法的知識包裹(引自 Ma, 1999, p. 19) 第四層指的是教師對學科結構的理解，其中包含了基本原則(basic principles) 與基本態度(basic attitudes)。基本原則是指能夠支撐起許多不同主題的數學概念，例如交換律、分配律、結合律。基本原則並不會在每個主題中都出現，但是，基本態度具有滲透性(penetrating)，它會展現在不同主題之中，例如，能夠在不 20.

(30) 第二章文獻探討. 同脈絡中保持數學概念的一致性。雖然，基本態度並不被包含在知識包裹中，卻是 Ma (1996)所特別強調的，她提到，能夠到達第四層的教師必然能夠到達前面三層，但是，反之不然。在她的研究中，許多教師都無法達到第四層。第四層的特徵是深(deep)，Ma (1996, p. 236)提到，這個圖形的限制是無法表達出每一層之間的動態關係，因為，事實上教師的學科知識如同一條河流的水流，沒有人能停止它或讓它在某個時刻保持靜止。下圖 2-5 為 Ma (1999)對原先博士論文中的圖形再做修正而得，白色橢圓代表程序性主題，淺灰色橢圓代表概念性主題，黑灰色橢圓代表數學的基本原則，虛線連結的是對數學的基本態度，而梯形中顏色的深淺代表概念性知識間不同的深度和廣度。. 圖 2-5︰對主題的概念性理解模式(引自 Ma, 1999, p. 25). Ma (1996)在研究中發現，小學數學(elementary mathematics)被美國教師認為是基本的(basic)以及普遍被理解的(commonly understood)，反觀大陸教師，則視小學數學為基礎數學(fundamental mathematics)，她們普遍認為，應該要持續研究所教的數學內容，才能夠為學生建立良好的根基以利往後的數學學習。何謂基礎數學？Ma 認為所謂的基礎必須包含基本的(foundational)、初始的(primary)、入門的(elementary)。基本的是指，小學數學中包含了許多以後高深數學所需要的根 21.

(31) 第二章文獻探討. 基，也就是算術和幾何，其中多數內容為算術；初始的是指，小學數學中包含了前面兩者的胚胎，例如算術中的代數，將未知數利用已知數求出；入門的是指，小學為數學學習的一開始，對於數學內容呈現的形式必須要簡單和容易，而這些看似簡單的概念會深植在學生的心智中，一直持續到往後的數學學習。換句話說，教小學數學最重要的是要建立一個良好的根基以幫助學生做更長遠的學習。. Ma (1996)提到，教師必須具有「對基礎數學的深刻理解」(PUFM)，這是指教師對知識的理解必須具有廣度(breadth)、深度(depth)和透徹性(thoroughness)。其中，廣度是將主題連結到相似概念的能力，深度是將主題連結到學科中更大 (bigger)或者有力(powerful)的概念的能力，這個概念也能夠同時支持其他主題，透徹性則是將廣度與深度合併，貫穿領域中不同部分編織為一致的主體的能力。具有 PUFM 的教師在教學和學習上會展現四項特徵︰(1)連通性(connectedness)，從簡單表面到複雜內在、橫跨不同數學領域的能力，使學生學習到的是一致的知識主體，而非破碎的片段；(2)多重觀點(multiple perspectives)，能夠欣賞概念不同的面向以及問題的多樣解法，教師能帶領學生對學科有更彈性的了解；(3)一致性(unity)，並不受限於某個年級該教的東西，而是對整個小學數學課程有基本的了解，教師能安排機會帶領學生回顧以前已習得的重要觀念，也能為往後的學習建立合適的基礎；以及(4)基本概念(the basics)，教師能察覺到簡(simple)而有力的基本概念，並帶領學生重新檢視以及加強基本概念。連通性是 PUFM 在數學教學中的一般特徵，後三者則可視為連通性的三個種類。Ma 強調，其實 PUFM 沒有清楚的邊界，因此，難以判斷教師是否具有 PUFM，她可能展現在所教年級的課程中，卻沒有展現在其他年級的課程中，事實上，PUFM 是教學實作的一個結果。. (五) 范良火的觀點. 22.

(32) 第二章文獻探討. 范良火(2003)認為，當我們在討論知識時，知識所涉及的三個部份是很重要的︰(1)認知者(the knower)，知識的主體(知道的人)；(2)被知體(the known)，知識的客體(被認知的對象)；以及(3)知識過程(the knowing)，主體和客體的交互作用 (怎樣認知)。所以，他將一個主體對於一個客體的知識定義為是認知者和被知體之間一種交互作用的智力結果(ibid，頁 13)。所謂智力結果是指，主體從交互作用中所獲得的智力上的或者說是認知上的成就，包含信念、記憶或是理解，而不是某種心理情緒、傾向或是意願。智力結果並非一定可以用言語表達，或者是認知者所沒有意識的，所以，它可以是隱性的也可以是顯性的。與其他學者不同的是，這樣的定義表示知識可以是正確的或錯誤的，因為它源自於一種交互作用，但是，他並不將「假的知識」(ibid，頁 37)排除在外。這是因為，教師知識無法完全斷定是正確的或是錯誤的，即便是錯誤的，探索錯誤知識的來源也有價值。所以，在這樣的定義之下，知識是一個過程的結果，而非過程的本身。. 對於教師知識，不同學者分別給出多少有些不同的認知模型，但是，造成模型間極大差異的原因在於，大部分是理論性的和人為的(Gilbert, Hirst, ＆ Clary, 1987)，而非以實證為基礎的，因為，主要反映的是研究者個人的教學信念、經驗、專長以及研究興趣和領域(范良火，2003，頁 18)。儘管如此，有兩種基本知識是學者間共通的，亦即學科知識和教學知識。知識可以是各種形式或類型，包括關於事實的知識和關於事物的知識、知道什麼和知道怎樣、隱性知識和顯性知識，以及直接性知識和間接性知識。從定義來看，教師的教學專業知識包括教師所知道的，與他們課堂教學有關的教育學(pedagogy)方面的所有東西，教師成為認知者，與教學相關的東西變成了被知體，而交互作用就是教師自己創造或者學習的過程(ibid，頁 13)。他主張交互作用是想強調，有時候客體並不是固定不變的，而主體認識客體的過程是動態的，另外，並沒有絕對的知識，因為，知識的主體和客體都是先於知識本身而存在的(ibid，頁 35)。范良火將教師知識只關注於教師自身專門做為教師時所擁有的知識，他將教師的教學知識再細分為三類： 23.

(33) 第二章文獻探討. (1)教學的課程知識(pedagogical curricular knowledge，簡稱 PCrK)，關於包括技術在內的教學材料和資源的知識；(2)教學的內容知識(pedagogical content knowledge，簡稱 PCnK)，關於表達數學概念和過程的方式的知識；(3)教學的方法知識 (pedagogical instructional knowledge，簡稱 PIK)，關於教學策略和課堂組織模式的知識。. 呼應 Shulman (1985)對 PCK 的主張，范良火的 PCnK 是指他們對於表達數學概念和過程的方式的知識(2003，頁 116)。他將教學知識的來源分為作為學習者的經驗、教師的職前培訓、教師的在職經驗三個主要的部份。特別的是，在職經驗的子成分中包含了「自我反思」，反思意指，使專業工作從經驗中學習的一套過程。他認為，如果沒有從親身的教學經驗中自我反思，那麼，教師能從這樣的經驗中所學到的數量和質量都將是十分有限的。他的研究結果發現，教師自身的教學經驗和反思以及和同事的日常交流，這是教師關於教學的課程知識中最重要的兩種來源。教學經驗的實踐不僅能加強或鞏固教師原有正確的或可行的知識，而且，也可以為教師提供重要的機會獲取或創造更多新的知識。. (六) Ball 和 Bass 等人的觀點. Ball (1989)提出「knowledge of mathematics」與「knowledge about mathematics」的差異，前者是指對特殊主題、步驟、概念的理解以及它們之間的關係，後者則是對本質的理解以及關於數學的談論。她強調教師要重視學科知識的本質，亦即，了解它從哪裡來、它如何轉變以及如何被建立起來。若教師的學科知識只限於正確的事實、概念、理論和過程，這是不夠的，教師還需要知道所教學科的性質、結構和認識論，以及它在文化和社會中的存在意義(Ball, 1990a)。Ball (1988)在她的博士論文中提到，她會詢問職前教師認為數學是什麼？如何去教它？學生要如何學習才符合數學教學？何謂將數學以及數學教學做連結？這些問題並不是要 24.

(34) 第二章文獻探討. 去強調職前教師缺乏什麼，而是希望能辨識到她們帶了些什麼進入專業準備中，而它可能會對學習去教數學有所貢獻或產生阻礙。透過了解教師的知識才能規劃出合適的師培課程，也才能藉由師培課程的刺激提昇教師的知識。. Ball 和 Bass (2000)認同 Shulman 所強調的 PCK，並且將研究工作建立在 PCK 之上，希望提供教師關於實作中所需的數學知識內容，以及本質和相關角色的補充。他們認為，PCK 是一種特殊形式的知識，將數學知識和學習者、學習以及教學綑綁(bundle)在一起，綑綁後的知識可以為教師在教數學上提供一個重要來源，它可預期學生可能遭遇的困難以及可能處理的不同方法，協助教師避免掉可能的挑戰。然而，他們強調，綑綁的知識不能夠永遠賦予教師在處理教學複雜性所需的彈性，因為，在真實教室中，內容和教學總會持續動態地互動，使得 PCK 無法完全預期到學生會如何思考、教學主題在教室中如何被發展，或者需要對一個熟悉的主題給予新的表徵等等。所以，教師在教學中遇到新的情境時，要能同時兼顧內容、學生、學習和教學，培養調動不同領域知識的能力，以應付多變的教學情境。Ball 與 Bass 視教學是具有一般性(regularities)卻又帶有部份不確定性 (uncertainties)的課堂教學實作，PCK 能夠處理一般性卻無法處理不確定性。教學的不確定性可能來自於︰(1)不可能真正知道學生知道什麼；(2)教學知識本身的不完整；(3)與教學脈絡密切相關的數學知識所具有的內在不確定性。所以，研究的焦點不只放在教師需要知道什麼，也包含了她們如何使用知識(Cohen＆Ball, 1999)，特別是，在情境中教師知道些什麼(Lampert＆Ball, 1999)。. 對於 Ma (1999)所提出的知識包裹，Ball, Lubienski 與 Mewborn (2001)認為，它可以為 PCK 表達出特別具有生產力的形式和結構，例如，大陸教師在研究中清楚地展現出開啟與培育學生心智的縱向過程以及 PUFM 的特質。PUFM 是動態的，具有 PUFM 的教師能夠根據脈絡，展現出教學所需的彈性(flexibility)和適應性(adaptiveness)，處理預期和非預期的教學事件，這也是 Ball 與 Bass (2000) 25.

(35) 第二章文獻探討. 想探究的「教學中有用的數學理解」(pedagogically useful mathematical understanding，簡稱 PUMU)。他們強調，在此之前教師必須做到以下三個步驟︰(1)解壓縮(decompression)，指的是教師必須拆解她的數學知識，因為數學是「壓縮」過後的學科，而壓縮的形式會讓教師無法察覺學生如何思考，應當要還原至學生可理解的基本樣式；(2)重組(decompose)，指的是教師重組數學任務，考量它多種可能的教學軌道並進行規劃，讓學生能夠操作與投入在數學活動中；(3)鬆綁(unpack)學生知識，指的是教師能夠理解以及傾聽他人的觀點，了解學生的錯誤或者欣賞學生異於平常的見解，鬆綁學生高度壓縮後所展現的知識(Ball＆Bass, 2000, p. 98)。這三個步驟是知易行難，教學本身就是思考的實作，不論教師具有哪些知識，缺乏對教學的敏感力以及縝密的思考，知識的層次便無法提高，難以達到教學中既定的目標。許多教師視教數學為理所當然，導致她們忽略了使用淺顯易懂的方式呈現數學概念，或者，難以理解學生的問題所在，造成教師的「預設教學軌道」(hypothetical teaching trajectory) (許秀聰，2005)和學生的「預設學習軌道」(hypothetical learning trajectory)無法真正銜接上。學習的主角是學生而非教師，倘若教師陷於自我主觀意識，則無法使教學與學習相得益彰，教學便只是一場教師的獨角戲。. Ball, Thames 與 Phelps (2008)提到，MKT 構想源自於 MTLT (Mathematics Teaching and Learning to Teach)和 LMT (Learning Mathematics for Teaching )兩項計畫。前者透過教學實作分析教學中的數學需求(demands)，並且建立在這些分析上，發展出一套關於教學用的數學知識本質的測試性假設；後者則是，發展檢測教數學用的內容知識的工具，即是 MQI 系統。MKT 架構圖的左半橢圓為 SMK ，右半橢圓為 PCK，它一共分為六大領域(請參見圖 2-6)。Ball 等人(2008)將各領域的意涵說明如下︰ (1) 一般的內容知識(common content knowledge，簡稱 CCK)：數學知識和技巧可被使用在除了教學的其他領域。例如教師需要知道她們所教授的教材；能夠 26.

(36) 第二章文獻探討. 辨識學生的錯誤答案或教科書給的不正確定義；能夠正確使用名詞和符號。「common」並非指大家都會有這種知識，而是指它會被廣泛使用於其他領域，亦即它並非教學所特有的。 (2) 特殊的內容知識(specialized content knowledge，簡稱 SCK)：數學知識和技巧是教學所特有的。例如：回應學生「為什麼」的問題；判斷學生非標準的方式是否可以一般化；將表徵連結到其他概念或其他表徵；評估或調整教科書的數學內容；選擇及發展有用的定義；問具生產性的問題；有效地使用數學表徵，教師需要知道鬆綁後的數學知識。 (3) 內容和學生的知識(knowledge of content and students，簡稱 KCS)：結合知道關於學生和知道關於數學的知識。例如：知道學生如何思考、會在哪邊困惑；當給例題時，能預期哪些學生會覺得有趣以及有動機；給任務時，能預期學生可能會如何做以及他們是否覺得容易或困難；能夠傾聽以及解釋學生使用他們語言所展現的思考；知道學生的先備知識和迷思概念，需要教師對特定數學知識和對學生的熟悉與他們數學思考的互動。 (4) 內容和教學的知識(knowledge of content and teaching，簡稱 KCT)：結合知道關於教學和知道關於數學的知識。例如：教師安排教學順序，選擇起始例；評量不同表徵被使用在教同一個概念的優缺點；能辨識哪些不同的方法及步驟足夠教學使用；做關於哪些是學生要達成或哪些可以忽略的教學決定；知道何時要停頓做更多釐清、何時要提問新問題促進學生更長遠的學習；知道不同的教材對之後的發展有何不同。每一個這樣的工作需要在特殊的數學了解和會影響學生學習的教學議題這樣的了解間產生互動。簡言之，KCT 是一種混合物，包含了特殊的數學概念或步驟，以及對教特殊內容的教學原則的熟悉。 (5) 內容知識的水平(horizon content knowledge，簡稱 HCK)：它好比是數學周邊影像(peripheral vision)的中心，一種被教學所需要對數學具有較大的視野；它被定義為將教學放置在較大的數學視野(landscape)的一種察覺，意指要做有經 27.

(37) 第二章文獻探討. 驗且具有鑑賞能力的旅行家，而非普通的導遊；它是一種對高等知識的基本洞察力，能夠賦予教師對教學工作具有更廣、更特別的影像與引導(Ball＆Bass, 2009)。 (6) 內容和課程的知識(knowledge of content and curriculum，簡稱 KCC)：指教師做為職業所具備的教材和教學計畫的掌握(同 Shulman 的課程知識)。. 圖 2-6：MKT 架構圖(引自 Ball, Thames, ＆Phelps, 2008, p. 403). Ball 等人(2008)將 Shulman (1986)的領域做了更精煉的圖表(請參見圖 2-6)，展現出與 Shulman 原先領域的對應性，並且暫時先將 Shulman 的課程知識放置於 PCK 中，然而，他們並不確定是否它確實為 PCK 的一部份，或者它蔓延於其它的領域中。不同的是，他們在 SMK 中暫時地放入了第三個領域，並稱之為「horizon content knowledge」，同樣地，他們無法確定是否它確實為 SMK 的一部份，或者它蔓延於其他領域中。關於 HCK，Ball 與 Bass (2009)這幾年致力於想要了解它更多的意涵。最近，建立於因子分析上的經驗結果顯示，教學用的內容知識是多面向的(Hill＆Ball, 2004)，所以，在這裡所提議的領域是否正確並非最重要的。 Ball 等人強調，要從一個領域中分辨出另一個，或者明確說明彼此間的邊界，其實是很困難的，因為教師會在情境脈絡中整合所有知識。在研究工作中，他們強 28.