第二章 文獻探討
第二節 數學教師的教學相關知識
本節將介紹不同學者對教學相關知識的觀點，並且提出研究者對教師知識的
立場以及小結。一、 何謂教學相關知識？
教師知識的領域中主要存在著三個大問題︰教師需要什麼知識？教師具有
什麼知識？教師怎麼樣發展他們的知識？(范良火，2003)。不管是哲學家或者認 識論的學者們都說要對「知識」(knowledge)下一個精確的定義，如果不是不可能 的話，也是相當困難的。一般知識最廣泛的定義為「可以被證明是真實的信念」(Quinton, 1967)，亦即，如果某人宣稱他知道 Q，則(1)他要相信 Q 是真實的，(2) 他要能夠證明Q 是真實的，(3) Q 確實是真實的。亦有一些學者將此定義放寬，
主張知識是「有證據支持的信念」(Fenstermacher, 1994)。Znaniecki (1965)曾說
「每個人無論承擔何種社會角色，都必須具備正常擔任該角色不可缺少的知識」
。那麼，何謂教師的教學相關知識呢？Leinhardt 與 Smith (1985)認為，教師知識 有兩大核心領域：課堂結構知識和學科知識；Gilbert, Hirst 與 Clary (1987)將知識 分為四個層次，第一層次是關於學校作為一種機構的知識，第二層次是關於學生 的知識，第三層次是教學知識，第四層次是決策的知識；Lappan 與 TheuleLubienski (1994)則使用維恩圖(venn diagram)強調，教師至少需要數學知識、學生知識和數 學教學知識三種知識。儘管學者們對於教師所需的教學相關知識各有異同，但是，
其中有兩種基本知識是共通的，即是學科知識和教學知識。接著，個人透過一些 研究教師知識學者的觀點和實徵的研究，來更深入了解教學相關知識的內涵。
(一) Elbaz 與 Leinhardt 的觀點
Elbaz (1983)提到，教師的實作與知識因為會受脈絡驅使而呈現動態，與過 去、現在、未來相關，這些知識主要透過在教室中和學生的互動，建構出一套規 則(rules)和原則(principles)。他將教師知識的結構分為實作的規則、實作的原則 和印象(images)三個部份，前兩者包含了教學知識(instructional knowledge)，而印 象指的是將所有教師知識組織在一起，它是短暫而且清楚的，包含了情感和道德
，並且考慮了現存以及新的知識，它會將所有的實作知識做排序，並且在做決定 時被使用。規則和原則會透過印象而被選取使用於引導教學，倘若規則或原則與 一個教師所持有的印象有所衝突，則不同的規則會被選取。一個教師的實作知識 會指向一個特殊的實作脈絡，而且，這些方向會在多種面向被檢查，例如社會、
個人、經驗、理論以及情境。透過檢查這些方向，我們可以了解教師知識所照顧 到較廣的細節，而且，注意到教師知識中的變化與綜合。Elbaz 也提到，教師需 要擁有廣泛的教學相關知識，包括學科知識、課程知識、教學知識以及自身知識，
而且，專業及個人的經驗會形塑教師的這些知識。
Leinhardt, Putnam, Stein 與 Baxter (1991)認為，教學的技巧會被兩個基本且相 關的知識系統所決定，即是課堂結構的知識(knowledge of lesson structure))與學科 內容的知識(knowledge of subject-matter content)。課堂結構的知識分為以下三類
︰(1) agendas (議程)，一個包含全部的課程目標及活動的動態計畫，可隨課程的 進行而修改；(2) scripts (劇本)，在課程開始前，最先在老師心中對特殊主題不嚴 謹的目標和活動安排，它會隨著時間慢慢發展和精鍊，並使用於適合的時機，所 以並不容易改變，它包含不同的活動，例如回顧、呈現、監督的練習這些在教學 中所發生的；以及，(3) routines (步驟)，由師生共同完成的活動，允許低層次的 活動被有效地完成，而且，並不會將有意義的心智資源從教學中更一般及固定的 活動、教學目標中轉移。學科內容的知識則是指，教師在教某學校課程所需要擁
有及使用的知識，它不只包含數學知識，也包含課程活動知識、表徵的有效方法 以及評量的步驟。學科內容的知識能夠支持教師去建立議程與劇本。根據Leinhar- dt 等人的想法，學科內容的知識並非決定教學行為的主要因素，而是議程與劇本。
(二) Shulman 的觀點
Shulman (1987)將數學教師的知識基礎分為七種類別：(1)內容知識(content knowledge)，指學科知識；(2)一般性教學知識(general pedagogical knowledge)，
指超越各具體學科之上，關於課堂管理和組織的廣泛原則和策略；(3)課程知識 (curriculum knowledge)，指教師做為職業所具備對教材和教學計畫的掌握；(4) PCK，指將學科內容和教學原理融合的知識；(5)學習者及其特點的知識(know- ledge of learners and their characteristics)，指關於學生背景的知識；(6)教育環境的 知識(knowledge of educational context)，指班級管理、社區和文化等的知識；(7) 關於教育的目標、目的和價值以及它們的哲學和歷史基礎的知識(knowledge of educational ends, purposes, and values, and their philosophical and historical grounds)
。其中，Shulman 在 1985 年 AERA﹝American Educational Research Association﹞
年會的主席致詞中呼籲，要重視教學獨有的知識，亦即PCK。他表示，區分教 學知識的關鍵在於內容和教學的交集，也就是教師的轉換(transform)能力，教師 需將他們複雜的知識，用某種方式作轉換，為了讓學生能夠與教材互動並且學 習。他認為，教師知識中最重要的就是教師對數學、學習者如何思考數學主題、
如何發展教學教材去教數學的瞭解，教師所使用的知識需要隨著脈絡而連續轉 換。
Shulman (1986)曾針對三個與內容相關的知識特別提出說明。關於教師的內 容知識，除了要知道一般的事實及概念之外，還要知道為什麼，並且能夠證明數 學敘述的合理性。除此之外，教師還需要知道為何一個主題是相對中心的或周圍
的理由。課程知識，泛指所有包含教授一個主題的所有課程，以及不同的教材間 的關係。課程知識又分為橫向課程知識、縱向課程知識，橫向意指主題與其他不 同學科的相關性，縱向意指在同一個學科中，對於前後連貫的了解。PCK 是 Shu- lman (1996)認為最具影響力的一個教師知識類別，它指的是表達概念最有用的表 徵形式、最有力的類比、圖解、範例、解釋和證明。亦即，要讓他人理解所使用 最有用的表徵及系統的說明。同時，它也包含對於什麼會讓學習特定主題更容易 或困難的了解，以及學生在不同年紀和背景下帶入課程學習的概念和先備知識。
PCK 是最有可能區分出學科專家和教師之間的差異，因此，如果能夠明確指出 一般學科知識和用於教學的內容知識之間的差異，就等同說明了教學是一項專業 的工作，具有專業的知識基礎。
Shulman (1996)的論點雖然引起了正反兩面的評價，但是，不少學者表示贊 同並將此加以修正或擴展。Fennema 與 Franke (1992)認為 PCK 亦包含學生知識 和表徵知識，其中他們特別強調學生知識。Even 與 Tirosh (1995)也強調學生知識
，其中包含了knowing that 以及 knowing why，前者指的是知道學生常見的概念 和思考方式，後者指的是知道前者的這些來源。An, Kulm 與 Wu (2004)將 PCK 分為內容、教學(teaching)和課程，他們認為教學是最重要的，其中也包含了對學 生思考的了解，並以「profound pedagogical content knowledge」表示對教學和課 程在廣度和深度的知識。反之，McEwan 與 Bull (1991)認為，知識應是一體的而 不可被區分的。Cochran, DeRuiter 與 King (1993)則認為 Shulman 過份強調知識的 轉換，他們將PCK 修正為 PCKg (pedagogical content knowing)，用 knowing 代表 主動的過程，PCKg 是指教師統整教學、學科知識、學生特徵和學習的環境脈絡 後的了解。
(三) Fennema 與 Franke 的觀點
Fennema 與 Franke (1992)認為，教師的知識應該是巨大(large)、統整的(inte- grated)功能系統(functioning system)，其中的每個部分無法被切割，由於，許多 研究者在知識上強調的層面並不同，迫使必須分開考慮教師知識中的個別組成。
他們以數學教育文獻為出發點，用不同觀點檢視它們，文獻中以內容知識、學習 知識、數學表徵的知識以及教學知識特別受到關注，希望透過文獻提供關於教師 知識、教室教學和學生學習有用的資訊。Brown, Collins 與 Duguid (1989)強調知 識的獲得依賴於學習的情境，故所有的知識都是情境的，而且部分是活動、脈絡 和文化發展的結果，同時，這三者也是知識修改、解釋和使用的依據。Fennema 與Franke 也強調數學教師的情境知識(situated knowledge)，教師知識會因為情境 的不同而呈現不同的功能，它會經由數學知識、教學步驟和學生的互動，呈現動 態的樣貌，並且透過互動的過程會更加成熟，而了解這樣的知識對課程及教學改 變的影響是深遠的。
教師知識是持續改變和發展的，因此，想要真正了解它或者對它施測，都顯 得格外困難。但是，Fennema 與 Franke (1992)認為，教師知識不能夠與研究學科、
如何為學習者表示學科知識、已知的學生思考和教師信念所分離，它與教師教室 行為的影響以及學生學習有密切關聯。雖然，我們已有這樣初步的理解，但是，
教師知識的每個組成都需要針對定義、變因和與其他組成的關係再做更深入的研 究。他們認為，教師知識的組成包含了教學知識、數學知識、學習者對數學認知 的知識以及信念四項。數學知識包含了所教單元的概念、程序和問題解決的過程，
更包含程序背後的概念、概念間的相互關聯，以及概念和程序如何被使用到不同 類型的問題解決當中。教學知識是指關於教學程序的知識，例如，計畫有效的教 學策略、教室常規、行為管理技巧、教室組織的程序和動機技巧。關於學習者的 認知，教師必須要知道學生如何思考和學習，特別是，這樣的知識如何發生在所 教的單元中，以及知道學生如何獲取知識，理解學生所使用的步驟和預期失敗或 成功的發生。
Fennema 與 Franke (1992)提出「在脈絡下發展的教師知識」的架構圖(請參 見圖2-1)，強調每個組成都要在脈絡下發生，脈絡能定義知識的組成並使信念發 生作用，當四者發生互動可帶領教室行為，它展現了教師知識互動和動態的本質
。另外，教師知識的部分組成會藉由教學產生演化，知識建立在教師的教學知識 之上，透過在教室中與學科和學生的互動而發展。Shulman (1987)曾提出教學的
「transform」(轉換)，說明教師需將他們複雜的知識，用某種方式做改變，為了 使他們的學生能夠與教材互動並且學習，而這正是Fennema 與 Franke 架構圖中 數學知識與教學知識的交界處。改變的程度決定在教師的知識基礎，和它的複雜 性以及關聯性。認知心理學中假設教師知識會影響思考，而思考會影響他們在教
「transform」(轉換)，說明教師需將他們複雜的知識，用某種方式做改變，為了 使他們的學生能夠與教材互動並且學習，而這正是Fennema 與 Franke 架構圖中 數學知識與教學知識的交界處。改變的程度決定在教師的知識基礎，和它的複雜 性以及關聯性。認知心理學中假設教師知識會影響思考，而思考會影響他們在教