前導階段研究

第四章研究結果

第二節前導階段研究

在前小節中個人已分析李師對於數學教學的觀點，而當把這樣的觀點放入實

9. 數學解釋 88

表4-3︰前導研究的「對學生使用的數學」編碼次數統計表

次數次數

1. 使用學生錯誤 3 2. 引出學生回答 11

4. 使用具體操作物說明數學數學概念

1 3. 使用學生成果 9 5. 回答學生問題 3

(一) 教學模式

Gilbert, Boulter 與 Elmer (2000)認為，模型可以是一個物件、事件、想法或現象的表徵，他們在模型的本體論中談到「教學模型」(model of pedagogy)，它指的是教師在課堂中使用的模型，並且考量學科的本質、學科教學的本質和學科學習的本質。李師的教學模式多半是採取先做班級經營，再概念回顧，接著才進入該堂課的主題課程，當介紹完主要的數學概念後，再由他講解或學生操作(演練)講義例題。

比較特別的是，在剛開始教授 2-4 空間平面方程式、2-5 空間直線方程式以及兩歪斜距離的內容時，他會在介紹完主要概念之後，先對概念或解法做總結，

接著，舉例並解題，之後再做一次總結。真正開始操作講義例題則是在下一節課。

以2-4 (A,20091027)和 2-5 (A,20091106)為例，做總結次數分別有 4 次和 3 次(請參見附錄一(8))。在空間兩直線關係的部份，他也有做總結，不過並非在概念之後，而是在解題的過程當中。個人推測，前兩個單元他特別強調總結的原因是考量到章節的開始，因為，章節的主要概念都會在第一節課教完，故李師想要不斷地告訴學生要點為何，也呼應他「以一貫之」的教學觀點。在課堂中，他時常會給學生一分鐘的沉澱思考，再進行下一個階段的教學，在訪談中他也提到你數學要沈澱完了以後再出去才是你自己的東西。所以有時候是在拉她們的速度，但也要懂得這些概念(D,20091110)。所以，他會刻意將教學的速度放慢，並沒有在該

堂課立刻切入講義的例題。個人推測，他會特別強調兩歪斜線距離的結論是因為這是典型的考題，而且分數比重多，所以，他在介紹概念時也花了許多時間，並且使用三種模型做講解。例如他曾經表示，ㄟ這種考試必考嘛，百分百一定考的嘛，你回去看我們學校歷年的考題，哪一年沒有考歪斜線？那表示老師外星人，

這有點難度，但是是一定要考的觀念，這樣聽懂不懂(A,20091112)。這也呼應了他「實用取向」的教學觀點。

其他課堂中，大部分以李師解題為主，學生操作的部份佔少數，多是李師認為學生容易算錯或者是較簡單的題型(例如，只需帶公式計算或前面已提過類似算法)。學生操作片段的平均時間為 166 秒，在學生操作過後，李師多不再進行講解而是直接要求學生的答案。師生互動的方式多是教師主動而學生被動，學生很少主動表達意見與困惑。

綜觀而言，雖然本階段研究的研究單元為 2-4 和 2-5，然而，在前導研究中發現，李師同時也邊檢討2-1、2-2 及 2-3 的習題，這正是所謂的「螺旋式教學」。

李師強調，學生在學習後需要時間沉澱吸收，故很多東西等上完之後再回過頭來看它，反而會覺得更為清楚，所以，大約有1～2 週的緩衝時間，待學生回家自行閱讀完課本，並完成習題和數學科補充教材後，再帶領學生檢討題目順便也做為複習。例如他曾多次表示︰

2-5 這一段是相當難的一段喔，那後面很多蠻抽象的一些概念我想該講的老師也講，不該講的老師也都講進去了喔，可以吧，那老師的估算是大概下禮拜就可以把直線比較告一個段落。那2-6 本身兩三節課就可以把它結束掉了，你們這個時候要趕快把2-3、2-4 趕快把它給完稿喔。(A,20091106)

有時候老師上完2-5 再拉回來講 2-4，很多題目上會變得非常非常簡單

，不會說好像凹的那麼辛苦啦。所以老師有時候用這種螺旋式，反正上過以後再上第二次。(A,20091118)

李師的教學偏向講述式教學，帶領者主要是教師而非學生，雖然不同的師生

會共同發展出不同的教學模型，但是，個人認為李師有可能因為數學內容的不同

，而自行微調教學模型，卻不會因為學生的不同而產生極大差異。李師教學年資相當的長、教學經驗豐富，故基本上他的教學模型已固定，並不會因單元屬性的不同而有太大的改變，而且，長期下來學生已習慣他所經營的學習氣氛，上課安靜聽講，按部就班地跟著教師的步伐走。

(二) 教學概念與實作

在本階段研究的過程中，個人發現李師教學的許多面向適合用Ma (1996)所提出的PUFM(對基礎數學的深刻理解)和知識包裹(knowledge package)來剖析。

所謂的深刻意指具有廣度、深度和透徹性，Ma 也提到，具有 PUFM 的教師在教學上具有連通性、多重觀點、一致性和基本概念(the basics)四項特質(或特徵)。

李師對於教學單元用打包的手法，將想要教的概念串好放在一個包裹內，再全部交給學生，即是「知識包裹」(包括概念結、關鍵片段、序列)，觀察李師的知識包裹，可發現他的主要教學軸線。本小節中個人依據編碼分為不同段落，再由編碼結果對應回原始的教學情形，使用敘述的方式說明李師的教學與PUFM 相互呼應之處，最後提出李師在發展研究單元的數學概念時所展現的知識包裹。

1. 「概念連結」、「比較」與「提示教材地位」

以空間平面方程式為例，首先，在一開始的引入，李師先複習平面直線方程式，並且推測空間平面方程式應該形如ax+by+cz=d，得到一個可能的方程式，

部分教學片段轉譯如下︰

通常我們在講平面的時候會回想到原來平面上的直線，我想應該是這樣推嘛，一維二維三維這樣推出來的嘛，好，所以我們稍微來想一下喔，如果平面上，我們現在講的是平面上的直線，當初它的方程式長的什麼樣子，是不是 ax+by=c 這個樣子，那早期一點，你們在國中時

代，譬如說通過(1,1)(2,2)那你怎麼帶？是不是把(1,1)帶進去，(2,2) 帶進去對不對，然後得到 a：b：c 的關係以後，再把它那個位數給去掉，譬如說它是 x-y=0，那就變成 a=a，b=–a，c=0，然後把它給推出來對不對？那你再想三點應該有幾個變數？有人在考慮它應該是形如什麼座標，z 座標，其他都一樣嘛，可以吧。(A,20091105)

我們回想一下喔，當初這條直線如L₁:a x+b y+c =0、₁ ₁ ₁ L₂:a x+b y+c =0 ₂ ₂ ₂ 學)出現的很頻繁，特別是 2-4 (A,20091027)和 2-5 (A,20091106)的第一堂課，分

別佔了總片段數的

能夠合適地調整教材，使整個教學保持流暢性和銜接性。若教師具有這樣的能力

，也說明他對整個教材具有「透徹性」的理解。例如在平面族的課程中，李師認為平面族若沒有2-6 二元一次方程組的概念做基礎，學生會比較不能夠理解，故他先跳講2-6 再回到平面族，從學生熟悉的加減消去法去表達平面族的概念。平面族並不屬於課本內容，因為數學科補充教材有，所以才編寫，他提到，整個教學中平面族並不是高中課程的核心，故他的教學並不會牽涉到太多平面族的概念

。同樣的情形也出現在空間三角形面積，由於它恰巧為兩向量所構成之平面法向量長度的2

1，李師選擇先將2-6 的這個概念拉到前面，配合例題的說明一起講解

，這樣的教學脈絡選擇若沒有對課程足夠的了解，無法真正將課程銜接得宜。以下就是與此相關的兩段教學片段轉譯：

27 頁我們就拉開從後面角度來跟你講，就要從 42 頁這邊開始來講，

因為這邊才會很輕鬆的介紹說平面族的概念它從哪邊來的，它的來源就是哪邊，加減消去法。(A,20091030)

要不要講它的證明給你看阿，要也是可以同時先拉開也無所謂啦，早晚都是要講，來，老師拉開來講喔。(A,20091105)

2. 「為了數學概念的數字、例題及脈絡的選擇」

對於「為了數學概念的數字、例題及脈絡的選擇」，個人認為李師是以教學流暢為考量，再者，也會衡量學生當時的學習狀況，對教學內容或者教材做適當的調整。例如法向量(2,4,6)為了方便操作選擇(1,2,3)；因為學生某類型容易算錯，

在例題的編排中會多放一題；原本只有要求空間三角形的重心內心，因為學生當時精神還不錯，所以連同外心垂心一起講。這也說明了李師重視學生當下的學習狀態，而且他的教學是具有彈性的。例如以下一段訪談摘錄：

像我每一個班上課的順序都不一樣，我都看她們的感覺反應是怎麼樣啦，其實有時候你眼角瞄一下，有些已經開始在傻眼了，就知道這個地方不能夠講下去啊，那回去的時候我就會稍微做一下筆記啊，我就稍微記一下這一班哪邊沒有教到，找個時間到時候再卡回來啊。

(D,20100114)

在教學內容的選擇上，關於法向量的求法，李師和課本一樣避談外積，反而稱呼

3. 「數學描述」、「數學解釋」與「選擇正確的操作物或可見的具體模型去表示

即是在課程中「做總結」。若以2-4 (A,20091027)和 2-5 (A,20091106)第一堂課做概念發展為例，他分別做了4 次和 3 次總結(請參見附錄一(8))，強調求解平面方

程式或者直線方程式就是想辦法取得「點和向量」。Ma (1996)曾經提到，具有 PUFM 的教師的教學特質之一是「基本概念」或者是「深度」，亦指教師可以察覺到學科中簡單而有力的基本原則，卻足以撐起整個大架構的基本概念，並且能夠不斷地重複回顧和增強它。然而，總結有時只是出現在另一種課程形式中(例如教師示範例題或者概念回顧)，並不必然被單獨拉出來作為一個教學片段，或者成為該片段的主要形式，但是，以個人在李師實際教學場域中的感受，他的教學會不斷圍繞住那些基本原則，而且重複的頻率很高。

如此簡而有力的結論，讓李師在帶領學生分析題目時有很大的幫助，例如

「那你想一下，AB 這條線其實就是它的什麼線，是不是它的法線？法向量有啦

，還需要一個點。(A,20091029)」這樣引導式的問句時常出現在課堂中。在前導研究中，個人發現李師解釋題意十分清楚，由編碼結果可看出，李師在進行解題之前，會使用類似上述這樣的問句，讓學生了解題意並且思考解題的下一步，使得他在示範例題時，時常會出現對題目做「數學解釋」。但是，在解題過程中卻

在文檔中資深高中數學教師教學知識與教學構思的個案研究 (頁 90-115)

第四章 研究結果

第二節 前導階段研究