第四章 研究結果
第一節 數學成就高低的學生解題歷程、解題行為與表現的差異性
一、 五個題目之解題歷程成份及個案解題歷程差異
研究者先表列出五個題目中解題應具有的解題能力，接著，再比較四名學生 解題行為和解題表現之差異性，說明如下：
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（一）睡眠時間
表 4-1-1【N-01 睡眠時間】應具有的解題能力
〈題目〉
快樂國小規定學生必須在早上 7:20 到 7:40 這段時間到校，請問小明每天平均 睡 8 小時，刷牙洗臉 10 分鐘，穿衣服 5 分鐘，吃早餐 20 分鐘，然後從家裡走 到學校至少要 15 分鐘，那麼他最晚必須幾點上床睡覺，第二天才不會遲到?
〈需要具備的能力〉
1 辨別題目中已知的條件
需要知道每天早上和前一天晚上所做的事情共需要花多少時間，亦即
（10+5+20+15）分+8 小時＝8 小時 50 分。
2 確認題目中隱藏的條件
需要知道最晚上床睡覺的時間是以最慢到校的時間為推理的基準，因此，應 該是以 7:40 往前推算最慢睡覺時間才是。
3 理解已知條件和隱藏條件和所求目標間的關係
知道最慢的睡覺時間應該是以最晚上學時間減掉起床後所花的時間和睡覺 時間。
4 列出適當的算式
例如：7：40-8 小時 50 分 5 具有時間計算的知識和能力
例如：7：40－50 分=6：50，然後再往前減 8 小時等於前一晚的 10 點 50 分。
6 驗證能力
例如：可以將所算出的答案再帶回原來的式子中，看答案是否正確，或是將 所列出的式子再重新計算一次，看答案是否正確。
從原案資料中（詳見附錄Ｉ）中可以得知四名學生在【睡眠時間】這個題目 中的解題策略，如表 4-1-2 所示，從表中可以發現四名學生的解題策略皆不相同，
其中小威所採取的解題策略是先將全部所需的時間相加起來，然後再換算成幾小 時和幾分，然後再往回推算睡覺的時間，但中間呈現迂迴的解題過程。相反的，
小優的解題策略十分的簡單和正確。另外，阿信和阿布的解題策略則是錯誤的。
因而導致他們最後的的解題是失敗的。
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表 4-1-2 四名個案在【睡眠時間】所表現之解題策略
學生 解題策略 解題結果
小威 8 時=480 分
480+10+15+20+5=530 分 530÷60=8…50
10+15+20+5=50 8+12=20
20：00-6：30=13：30 8：00-6：30=1：30
12：00－1：30=10：30 答： 10 點半
失敗
小優 10+5+20+15=50 7:40-50=6:50 8-6:50=1:10
12:00-1:10=10:50 答：10 點 50 分
成功
阿信 10+5+20+15=50 7:40-7:20=20 50+20=70 70÷8=8…6
50÷8=6…2 答：差不多是 10 點
失敗
阿布 8 小時=480 分鐘 480+10+5+20+15=530 530 分等於 8 時 30 分 530÷20=26.5
失敗
另外，從原案分析(詳見附錄 J)中可以得知四名學生在【睡眠時間】這個題 目中解題能力的分布，如表 4-1-3 所示：
表 4-1-3 【睡眠時間】四個個案解題歷程成分比較
小威 小優 阿信 阿布
辨別題目中已知的條件 ˇ ˇ ˇ ˇ
確認題目中隱藏的條件 ˇ ˇ × ×
辨別已知條件和隱藏條件 和所求目標間的關係
△ ˇ × ×
列出適當的算式 ˇ ˇ × ×
具有時間計算的 知識和能力
ˇ ˇ ˇ ×
驗證能力 △ ˇ △ ×
說明：「ˇ」表示具有該項解題能力、「△」表示有此能力但發生錯誤、
「×」表示不具有此能力
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從表 4-1-3 中可以得知高、低成就學生在【睡眠時間】這個題目中，高成就 的學生所具備的解題能力比低成就的學生好，其中小威則是因為在辨別題目中條 件和所求目標間的關係上發生錯誤造成解題失敗。相反的，低成就的學生則是因 為缺少大部分的解題能力，例如：阿信和阿布皆因為無法確認題目中的條件和所 求目標間的關係及無法列出適當的算式造成解題失敗。
（二）生日蛋糕
表 4-1-4【N-02 生日蛋糕】應具有的解題能力
〈題目〉
姊姊和妹妹決定送給媽媽一個生日禮物，姊姊說：「我每天有 30 元的零用錢，
如果我每天把零用錢的 1/3 存起來，30 天後就可以買一個大蛋糕送給媽媽了」； 妹妹則說：「如果我每天把零用錢的 1/2 存起來，30 天後我也可以買跟你相同 的蛋糕送給媽媽了」。請問：
(1) 一個生日蛋糕要多少元？
(2) 妹妹一天的零用錢多少元？
(3) 姊姊和妹妹經過商量決定要一起存錢送蛋糕給媽媽，於是，姊姊每天把零 用錢的 1/2 存起來，妹妹每天把零用錢的 1/3 存起來，請問，幾天後他們就 可以送給媽媽生日蛋糕了。
〈需要具備的能力〉
1 知道分數的意義
要知道分數 1/2 和 1/3 表示分成兩等分和三等分的意思。
2 具有分數計算的能力
要知道如何做分數乘法的計算，例如：30 1/3=10 元 3 確認題目中隱藏的條件
知道一天可以存多少錢，例如：姊姊一天零用錢有 30 元，其中的 1/3 是 10 元。
4 理解題目中已知的條件和隱藏條件和所求目標間的關係
可以理解題目中語句間的意思，例如：姊姊一天零用錢是 30 元，其中的 1/3 是 10 元，30 天後可以存到 元，也就是一個蛋糕的價錢。
5 具有逆向思考的能力
例如：在第二小題中，要知道把蛋糕的價錢去除以 30 天，知道一天存多 少元，然後再乘以 2，即可得知妹妹一天的零用錢是多少元了。
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6 知道如何列出式子
需要知道如何列出適當的式子，求出最後的答案。例如：在第三小題中，
首先學生須要先知道姐姐一天存多少元，妹妹一天存多少元，然後再把兩 個人所存到的錢相加起來，最後再用一個蛋糕的價錢去除以兩人所共同存 的錢，這樣就可以知道幾天後就可以買到蛋糕了，亦即：
天
7 驗證能力
例如：可以將所算出的答案再帶回原來的式子中，看答案是否正確，或是 將所列出的式子再重新計算一次，看答案是否正確。另外，在解題的過程 中，也可以隨時監控自己的解答是否合理。
從原案資料中（詳見附錄Ｉ）中可以得知四名學生在【生日蛋糕】這個題目 中的解題策略，如表 4-1-5 所示：
表 4-1-5 四名個案在【生日蛋糕】所表現之解題策略
學生 解題策略 解題結果
小威 30÷3=10；10×30=300
30 元的 1/3 是 10 元；20 元的 1/2 是 10 元；因為兩個人 都是存 30 天，所以妹妹的零用錢是 20 元
30÷2=15
答：300 元、20 元、15 天
成功
小優 30÷3=10，10×30=300
20×30=600，10×30=300，10×2=20 10+10=20，300÷20=15
答：300 元、20 元、15 天
成功
阿信 30÷3=10，10×30=300 15×30=450
1/2 就是 20÷10 300+300=600
答：300 元、10 元、30 天
失敗
阿布 30÷1/3=
30÷1/3=30÷10/30=3/1 1/2=15/30
15/30×30=45/30=1/2
答：1/2 元
失敗
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從表 4-1-5 中，得知小威和小優在【生日蛋糕】這個題目中的解題策略略微不 同，其中在第二小題中，兩人的解題策略都是先猜測妹妹的零用錢為 20 元，然 後在推論其答案的正確性，另外在第三小題中，小威是直接用 30 天除以 2 得到 最後的答案，而小優則是先將兩個每天存的錢加起來，然後再用 300 元去除以 20 元,如此也可以得到相同的答案。另一方面，阿信和阿布的解題策略則顯得較 為凌亂沒有頭緒，如此也導致他們無法成功的獲得最後的答案。
另外，從原案分析(詳見附錄 J)中，可以得知四名學生在【生日蛋糕】這個 題目中解題能力的分布，如表 4-1-6 所示：
表 4-1-6【N-02 生日蛋糕】四個個案解題歷程成分比較
小威 小優 阿信 阿布
知道分數的意義 ˇ ˇ × ×
具有分數計算的能力 ˇ ˇ ˇ ×
確認題目中隱藏的條件 ˇ ˇ × ×
辨別已知條件和隱藏條 件和所求目標間的關係
ˇ ˇ × ×
具有逆向思考的能力 ˇ ˇ × ×
知道如何列出式子 ˇ ˇ × ×
驗證能力 ˇ ˇ △ ×
說明：「ˇ」表示具有該項解題能力、「△」表示有此能力但發生錯誤、「×」
表示不具有此能力
從表 4-1-6 中可以明顯地發現高低數學成就組的學生在本題的解題能力表現 上有很大的差異性，高成就組的學生不僅具有足夠的數學知識和技能，同時也輕 易地理解題目中所描述的語句間的關係。相反的，低成就組的學生則因為缺乏相 關的能力，導致解題上遇到很大的挫折和失敗經驗。此外，低成就組的阿信和阿 布之解題表現最大的差異是阿信會利用平常的生活經驗來判斷所求的答案是否
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合理，因而去修改原本在探索中所得到的答案，而阿布則沒有表現出任何的驗證 動作。
（三）披薩
表 4-1-7【M-01 披薩】應具有的解題能力
〈題目〉
阿寶披薩店供應兩種厚度相同但大小不同的正方形披薩，大披薩的邊長 30 公 分，售價是 600 元，小披薩的邊長 20 公分，售價是 300 元，請問哪個披薩比 較划算，為什麼？
〈需要具備的能力〉
1 知道題目中所求的目標為何
亦即比較大小披薩每平方公分的價錢何者便宜 2 知道隱藏條件和所求目標間的關係
要先算出大小披薩的面積之後，再求出單位面積的價錢 3 列出合理的運算式，並完成計算求得最後的答案
例如：先求出大小披薩的面積，然後再用大小披薩的價錢除以它們的面 積，這樣就可以知道大小披薩單位面積的價錢，如此便可以比較何者便宜 了。
4 驗證能力
例如：可以將所算出的答案再帶回原來的式子中，看答案是否正確，或是 將所列出的式子再重新計算一次，看答案是否正確。另外，在解題的過程 中，也可以隨時監控自己的解答是否合理。
從原案資料中（詳見附錄Ｉ）中可以得知四名學生在【披薩】這個題目中的 解題策略，如表 4-1-8 所示：
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表 4-1-8 四名個案在【披薩】所表現之解題策略
學生 解題策略 解題結果
小威 300÷20=15 元，600÷30=20
答：小的划算
失敗 小優 300÷20=15 元，600÷30=20
答：小的划算
失敗 阿信 300÷20=15 元，600÷30=20
答：小的划算
失敗 阿布 30×30=900，900÷600＝
20×20=400
因為小的面積 400，可是價錢只有賣 300，然後大的面積 900，然後售價賣 600 元，所以把他們的價錢相減，
600-300=300，所以大的蛋糕賣 600 元可以買兩個小的，
所以小的比較划算 答：小的划算
失敗
從表 4-1-8 中得知小威、小優和阿信在【披薩】這個題目中的解題策略皆相 同，亦即都是先算出一公分披薩的價錢，藉此來比較一平方公分披薩的價值何者 划算，而阿布的解題策略則是先算出大小兩個披薩的面積，並在一開始的時候，
欲求一平方公分的價錢，然而，他卻忽然改變原本的解題策略，繼而改以推論和 比較的策略進行解題，由此可知阿布並不十分明瞭如何進行解題，導致最後的解 題過程顯得混亂及無法求得最後的正確答案。
另外，從原案分析(詳見附錄 J)中可以得知四名學生在【披薩】這個題目中 解題能力的分布，如表 4-1-9 所示：
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表 4-1-9【M-01 披薩】四個個案解題歷程成分比較
小威 小優 阿信 阿布
知道題目中所求的目標為何 ˇ ˇ ˇ ˇ
知道隱藏條件和所求目標間 的關係
× × × ˇ
列出合理的運算式，並完成計 算求得最後的答案
△ △ △ ˇ
驗證能力 △ △ △ △
說明：「ˇ」表示具有該項解題能力、「△」表示有此能力但發生錯誤、「×」
表示不具有此能力
從表 4-1-9 中得知高成就組的學生和低成就組的阿信在分析題目中條件和所 求目標間的關係上發生錯誤，亦即他們認為單位長度的價錢等同於單位面積的價 錢，造成解題失敗。另外，低成就組的阿布的解題策略看似正確，但卻在最後的 驗證階段上發生錯誤，因為在這個階段中，他同樣的也認為單位長度的價錢等同 於單位面積的價錢，導致在最後修改原本的答案。由此可知，也許阿布在解題的 最初過程中，僅是照著題目的需要列出計算式，並未深入的思考其合理性，但在 驗證階段中，卻發現原本的想法是不合理的，因此修正了原本的解題方法和答 案，但這同時也顯示了阿布對長度和面積的概念是混淆的。