第四章 研究結果
第一節 數學成就高低的學生解題歷程、解題行為與表現的差異性
二、 四位個案其解題歷程成分之差異性
在這一小節當中，研究者將根據原案資料(如附錄 I)和原案分析(如附錄 J)來 分析比較高低數學成就學生在面對不同題目時，所呈現的解題想法、解題策略和 驗證過程有何不同。說明如下：
（一） 高成就組：
1. 小威（高自我調整學習策略策略）：
(1) 解題歷程：從（附錄 I）的原案資料中，研究者將其解題歷程順序和時間圖 整理如表 4-1-18，從表中可以得知小威的解題歷程大部分都是呈現一次的往 返過程，亦即從讀題階段→分析階段→探索階段→計畫階段→執行階段→驗 證階段，只有在【睡眠時間】這題中因為在探索階段中遇到困難，所以重新 又回到讀題階段，再完成整個解題歷程。
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表 4-1-18 小威在五個情境題時所呈現的解題歷程階段和時間分配圖 題
目
階段 解題歷程階段順序和時間 各個解題階段所占
的時間比率(%) 睡
眠 時 間
讀題(R) 3.85
分析(A) 5.77
探索(E) 32.42
計畫(P) 1.37
執行(I) 38.74
驗證(V) >”< 17.85
時間(秒) 9 11 53 5 10 65 5 141 65 解題時間：364 秒 100 生
日 蛋 糕
讀題(R) 41.56
分析(A) 22.08
探索(E) 0
計畫(P) 6.49
執行(I) 25.97
驗證(V) ^.^ 3.90
時間(秒) 20 6 3 3 1 7 8 2 14 1 5 3 3 1 解題時間：77 秒 100
披 薩
讀題(R) 26.67
分析(A) 3.33
探索(E) 0
計畫(P) 6.67
執行(I) 46.67
驗證(V) >”< 16.66
時間(秒) 16 2 4 28 10 解題時間：60 秒 100
說明： 表示解題成功、 表示解題失敗
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表 4-1-18 小威在五個情境題時所呈現的解題歷程階段和時間分配圖 題
目
階段 解題歷程階段順序和時間 各個解題階段所占
的時間比率(%)
木 匠
讀題(R) 29.85
分析(A) 33.58
探索(E) 0
計畫(P) 27.61
執行(I) 4.48
驗證(V) >”< 4.48
時間(秒) 40 1 2 2 13 30 2 5 31 5 2 1 解題時間：134 秒 100
匯 率
讀題(R) 36.58
分析(A) 4.88
探索(E) 29.27
計畫(P) 14.63
執行(I) 12.20
驗證(V) 2.44
時間(秒) 15 2 12 6 5 1 ^.^ 解題時間：41 秒 100 說明： 表示解題成功、 表示解題失敗
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(2) 解題歷程階段分析：研究者參考本研究之解題歷程階段區分表（參考第二 章），再從原案資料（附錄Ｉ）中，得知小威在五個題目中的解題歷程階段 所出現的次數，如表 4-1-19 所示：
從表 4-1-19 中知道小威在面對五個題目時的各個解題歷程階段所表現的解題 行為分別說明如下：
閱讀階段：小威在五個題目中大部分都只閱讀題目一次，只有在只有在【睡 眠時間】這個題目中，才重新閱讀題目中的條件和描述。
表 4-1-19 小威在五個題目中各個解題階段出現的次數 題目
解題階段分類
睡眠 時間
生日 蛋糕
披薩 木匠 匯率 總和 (次數) 讀題 R1 1 3 1 1 1 7
R2 1 ＊ ＊ ＊ ＊ 1
分析
A1 ＊ 1 1 ＊ 1 3 A2 1 2 ＊ ＊ ＊ 3 A3 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 0 A4 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 0 A5 ＊ ＊ ＊ 1 ＊ 1 A6 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 0 A7 ＊ ＊ ＊ 2 ＊ 2 探索
E1 1 ＊ ＊ ＊ ＊ 1 E2 ＊ ＊ ＊ ＊ 1 1 E3 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 0 E4 2 ＊ ＊ ＊ ＊ 2 計畫 P1 1 2 1 3 1 8 P2 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 0 執行 I1 1 3 1 3 1 9 I2 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 0 驗證 V1 ＊ 3 1 2 1 7 V2 1 ＊ ＊ ＊ ＊ 1
說明：「＊」表示個案學生未表現出該解題階段。
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分析階段：小威在五個題目中所使用的分析行為包括：重述題意(A1)、辨別 條件(A2)和測試或嘗試錯誤(A7)，有時候一個題目中會使用兩種的分析行 為，例如：在【生日蛋糕】中就使用了重述題意(A1)和辨別條件(A2)，而在
【木匠】中則使用了辨別條件(A2)和嘗試錯誤(A7)。
探索階段：小威在五個題目中所使用的探索行為包括：找到新的切入點 (E1)、嘗試(E2)和考慮題目中條件和目標的關聯性(E4)，其中我們可以發現 小威並非在每個題目中都有經歷探索階段，只有在【睡眠時間】使用找到新 的切入點(E1)和嘗試(E2)兩種不同的探索策略，另外在【匯率】中，他則使 用了考慮題中條件和目標的關聯性(E4)的探索策略。
計畫階段：小威在五個題目中，大部分都是針對明確的目標和方向進行全面 的計畫(P1)，但卻沒有經歷隨時監控這個計畫是否可行的階段(P2)。
執行階段：小威在五個題目中，大部分都會依據所擬定的計畫去執行和運算 (I1)，但卻沒有隨時監控本身的解題行為(I2)。
驗證階段：小威在五個題目中，大部分都會在執行階段結束之後，重新檢查 結果是否合理(V1)，然而，在【睡眠時間】中卻經歷了逐步檢查每個解題步 驟的驗證過程(V2)。
從表 4-1-3 中得知小威在【睡眠時間】這個題中目，因為無法清楚的辨別題 目中的條件和目標間的關係，因此導致他的解題失敗，接著，從表 4-1-18 中也 可以得知小威在這個題目中的解題歷程並不如其他題目流暢，最後，從表 4-1-19 中，我們可以更深入的發現：當小威在遇到讓他感到挫折的題目時，他會表現出 重新閱讀題目(R2)、考慮題目中條件和目標的關聯性(E4)和逐步檢查每個計算步 驟(I2)等較深入的解題行為。由此可知，小威在面對有所把握的題目時，會先閱 讀題目，然後分析題目中的條件和目標間的關係，然後跳過探索階段，直接進入
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計畫、執行和驗證階段，但是當他面對有所疑惑的題目時，他則會重新閱讀題目 和逐步地檢查每個計算過程，為了可以獲得最後的正確答案。
(3) 解題階段時間分配比例：
研究者將小威在五個題目中，各個解題階段所需的時間佔全部解題時間的百 分比整理如表 4-1-20 所示：
表 4-1-20 小威在五個題目中之各個解題階段所需時間佔解題時間之百分比 題目
解題階段
各個解題階段所占的時間比率(%)
睡眠時間 生日蛋糕 披薩 木匠 匯率 讀題階段 3.85 41.56 26.67 29.85 36.58 分析階段 5.77 22.08 3.33 33.58 4.88 探索階段 32.42 0 0 0 29.27 計畫階段 1.37 6.49 6.67 27.61 14.63 執行階段 38.74 25.97 46.67 4.48 12.20 驗證階段 17.85 3.90 16.66 4.48 2.44
解題成敗 失敗 成功 失敗 失敗 成功
從表 4-1-20 中可以發現高成就的小威（高自我調整學習策略），他在在解題 的過程中，會花比較多的時間比例在讀題和分析題意上，相對的，花較少的時間 比例在計畫和驗證階段上。而這和 Mayer (1992) 的研究發現雷同，他認為專家 在解題的過程中，會運用本身具有的所有知識去分析題目中的條件，並思考何種 解題策略可以適時的完成解題任務，相反的，生手則會就表面的現象去思考，無 法進一步的考慮到問題中的限制和其他的面向，因此，常常會表現出邊做邊思考 的解題行為，而專家則會有更多的餘力去監控整個解題過程和結果。
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2. 小優（低自我調整學習策略策略）：
(1) 解題歷程：從（附錄 I）的原案資料中，研究者將小優其解題歷程順序 和時間圖整理如表 4-1-21，從表中可以得知小優在【生日蛋糕】第二小 題、【披薩】和【木匠】三個題目中，都在分析完題目中的條件之後，
又重新閱讀題目一次，所以呈現兩次的解題往返過程（紅色框線圈出部 分）。除此之外，小優的解題歷程大致上還是呈現一次的往返過程，且 在【睡眠時間】、【生日蛋糕】、【木匠】及【匯率】四個題目中，從分析 階段直接跳過探索階段，進入之後的計畫階段、執行階段和驗證階段。
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表 4-1-21 小優在五個情境題時所呈現的解題歷程階段和時間分配圖 題
目
階段 解題歷程階段順序和時間 各個解題階段所占
的時間比率(%) 睡
眠 時 間
讀題(R) 4.95
分析(A) 9.46
探索(E) 0
計畫(P) 23.87
執行(I) 49.10
驗證(V) ^.^ 12.62
時間(秒) 11 21 53 109 28 解題時間：222 秒
生 日 蛋 糕
讀題(R) 18.56
分析(A) 35.57
探索(E) 6.19
計畫(P) 22.16
執行(I) 14.95
驗證(V) ^.^ 2.57
時間(秒) 7 18 10 18 35 10 12 13 15 2 4 19 3 18 9 1 解題時間：194 秒
披 薩
讀題(R) 11.63
分析(A) 4.65
探索(E) 9.30
計畫(P) 9.30
執行(I) 54.65
驗證(V) >”< 10.47
時間(秒) 7 2 3 2 8 8 47 9 解題時間：86 秒
說明： 表示解題成功、 表示解題失敗
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表 4-1-21 小優在五個情境題時所呈現的解題歷程階段和時間分配圖 題
目
階段 解題歷程階段順序和時間 各個解題階段所占
的時間比率(%)
木 匠
讀題(R) 10.24
分析(A) 18.05
探索(E) 15.12
計畫(P) 10.73
執行(I) 45.37
驗證(V) ^.^ 0.49
時間(秒) 2 13 12 12 31 2 24 12 18 5 2 2 35 5 29 1 解題時間：205 秒
匯 率
讀題(R) 18.84
分析(A) 2.17
探索(E) 0
計畫(P) 3.62
執行(I) 36.23
驗證(V) ^.^ 39.14
時間(秒) 26 3 5 50 54 解題時間：138 秒
說明： 表示解題成功、 表示解題失敗
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(2) 解題歷程階段分析：研究者參考本研究之解題歷程階段區分表（參考第 二章），再從原案資料（附錄Ｉ）中，得知小優在五個題目中的解題歷 程階段所出現的次數，如表 4-1-22 所示：
從表 4-1-22 中知道小優在面對五個題目時的各個解題歷程階段所表現的解 題行為分別說明如下：
閱讀階段：小優在五個題目中，首先都會先閱讀題目一次，但是在【生日蛋 糕】、【披薩】及【木匠】三個題目中，都重新再一次地閱讀題目中的條件和 描述。
表 4-1-22 小優在五個題目中各個解題階段出現的次數 題目
解題階段分類
睡眠 時間
生日 蛋糕
披薩 木匠 匯率 總和 (次數) 讀題 R1 1 2 1 1 1 6
R2 ＊ 1 1 3 ＊ 5
分析
A1 1 2 1 1 ＊ 5 A2 ＊ 2 1 1 1 5 A3 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 0 A4 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 0 A5 ＊ ＊ ＊ 1 ＊ 1 A6 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 0 A7 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 0 探索
E1 ＊ ＊ 1 ＊ ＊ 1 E2 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 0 E3 ＊ ＊ ＊ 1 ＊ 1 E4 ＊ 1 ＊ ＊ ＊ 1 計畫 P1 1 3 1 2 1 8 P2 ＊ ＊ ＊ 1 ＊ 1 執行 I1 1 3 1 4 1 10
I2 ＊ ＊ ＊ 1 ＊ 1 驗證 V1 ＊ 2 1 1 1 5 V2 1 ＊ ＊ ＊ 1 2
說明：「＊」表示個案學生未表現出該解題階段。
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分析階段：小優在面對五個題目時，除了【睡眠時間】以外，其餘的四個題 目皆表現出兩種或兩種以上的分析行為，分別為：重述題意(A1)、辨別條件 (A2)和回憶相關訊息(A5)。
探索階段：小優只有在【生日蛋糕】、【披薩】和【木匠】三個題目中表現出 探索的行為，分別為：考慮題目中條件和目標的關聯性，並列出可能的計算 式(E4)、找到新的切入點(E1)和使用不相關的計算方法(E3)。
計畫階段：小優在五個題目中，大部分都是針對明確的目標和方向進行全面 的計畫(P1)，另外，在【木匠】這個題目中，出現了會隨時監控這個計畫是 否可行(P2)的行為。
執行階段：小優在五個題目中，大部分都會依據所擬定的計畫去執行和運算 (I1)，另外，也在【木匠】這個題目中，出現了隨時監控本身的行為(I2)。
驗證階段：小優在五個題目中，大部分都會在執行階段結束之後，重新檢查 結果是否合理(V1)，然而，在【睡眠時間】和【匯率】中卻經歷了逐步檢查 每個解題步驟的驗證過程(V2)。
從表 4-1-22 中可以發現高成就的小優（低自我調整學習策略），他在解題的 歷程中，會出現重新閱讀題目的行為，另外，也可以發現在每個解題階段中，會 表現出不同層級的解題行為，例如，在【木匠】這個題目中的分析階段，他就表 現了重述題意(A1)、辨別條件(A2)和回憶相關訊息(A5)來幫助自己理解題目中的 條件和目標間的關係。此外，從表 4-1-17 中已經知道小優有足夠的數學知識和 問題表整及解決的能力，因此，也許他可以遊刃有餘的表現出不同的解題行為以 利解題的進行。
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(3) 解題階段時間分配比例：
研究者將小優在五個題目中，各個解題階段所需的時間佔全部解題時間的百
分比整理如表 4-1-23 所示：
從表 4-1-23 中可以發現高成就的小優（低自我調整學習策略），他花較多的 時間比例在執行階段和驗證階段上，其次才是讀題階段，另外，他會較少的時間 比例在探索和計畫階段上。和小威不同的是，小優在五個題目中，皆迅速的閱讀 完題目之後，就直接進入執行和驗證階段，也許他因為足夠的數學知識、問題表 徵能力和問題解決能力，讓他可以迅速的掌握題目中的所有訊息，並將多餘的時 間運用在執行和驗證階段上，而這和 Mayer (1992)的研究結果也吻合。
表 4-1-23 小優在五個題目中之各個解題階段所需時間佔解題時間之百分比 題目
解題階段
各個解題階段所占的時間比率(%)
睡眠時間 生日蛋糕 披薩 木匠 匯率 讀題階段 4.95 18.56 11.63 10.24 18.84 分析階段 9.46 35.57 4.65 18.05 2.17 探索階段 0 6.19 9.30 15.12 0 計畫階段 23.87 22.16 9.30 10.73 3.62 執行階段 49.10 14.95 54.65 45.37 36.23 驗證階段 12.62 2.57 10.47 0.49 39.14
解題成敗 成功 成功 失敗 成功 成功
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（二） 低成就組
1. 阿信（高自我調整學習策略策略）：
(1) 解題歷程：從（附錄 I）的原案資料中，研究者將阿信其解題歷程順序和時 間圖整理如表 4-1-24，從表中可以得知阿信在五個情境題中所呈現的解題歷 程階段和時間分配圖，從表中可以發現阿信在【睡眠時間】中的解題歷程呈 現六次的往返過程，另外，在【生日蛋糕】的第二小題和第三小題的解題歷 程中則呈現兩次的往返過程，其他的三個題目的解題歷程則呈現一次的往返 過程。