第五章 結論與建議
第一節 研究結論與建議
一、數學學業成就高低之同學之解題歷程、解題行為與表現之差異性
Polya(1945)認為解題的歷程分為以下四個階段：1.理解問題 (Understanding
the problem) 、2.擬定計畫 (Plan) 、3.完成計畫 (Carrying out the plan) 、4.回顧 解答 (Looking back)，此外，Mayer (1992) 認為解題時需要具備有以下五種知識 範疇：語言知識 (Linguistic knowledge)、語意知識 (Semantic knowledge )、基模
知識 (Schematic knowledge)、策略知識 (Strategic knowledge ) 和程序知識 (Procedure knowledge)，及需要具備有問題表徵能力和問題解決能力，如此才可能得以順利進行解題。
而在本研究中，研究者想要了解數學成就高低的學生其解題歷程和行為表現 有何差異性，因此．研究者參考 Schoenfeld (1985)的解題原案巨觀分析架構表，
重新制定一份符合國小五年級學童之解題歷程階段區分表，藉此來比較分析出成 就高低學生之解題歷程和表現的差異性。說明如下：
1. 高成就的學生數學知識夠，卻不一定可以正確的完成解題任務：
從小威和小優的解題歷程中，他們的確表現出足夠的數學知識和技巧，但 是，卻可能因為問題轉譯的能力不足或錯誤，造成最後的解題失敗。
2. 高成就的學生數學知識夠，所以願意花較多的時間在閱目和分析題目上：
從小威和小優的解題里程中，可以發現他們願意花較多的時間比例在閱讀題
目上，也就是說他們在初次見到一個新的問題時，他們會先研究題目中的條
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件和目標間的關連性，之後才擬定適合的解題計畫和進行運算，由此可知，
了解題目中的條件和目標間的關連性對解題成功與否來說是一個很重要的 階段。
3. 堅持度是影響解題表現的關鍵因素：
從阿信和阿布的解題歷程來看，可以發現他們兩個人的數學知識和技巧皆不 足，但兩人解題歷程中的解題表現卻完全不同，研究發現阿信在解題過程中 即使遇到很大的挫折，但他願意用本身的經驗、重新閱讀題目、嘗試可能的 解題方法，只希望可以找到可能的解題方向，雖然礙於知識的不足而造成解 題失敗，卻表現出很大的毅力和堅持度。相反的，阿布同樣地也因為數學基 本知識的不足夠，屢屢在解題過程中發生錯誤，此時，他會表現出放棄的態 度，不願意在再多花時間試試看去找尋可能的解題方法。
從上述討論可以知道不同的學生有其不同的學習特質和知識技巧，因此，如 果課室中的老師面對高成就的孩子，應該要提升他們的學習動機，鼓勵他們主動 的使用不同的解題策略進行解題獲得最後的答案，也許可以利用非例行性的數學 問題，讓這些高成就的學生有興趣去挑戰看看，藉此提升他們的解題能力。另外，
有一部分的高成就學生也許只是有足夠的數學知識而已，但其問題表徵和問題解 決能力卻是不足的，因此，老師可以利用小組討論的方式，幫助這些學生說出本 身的解題方法，透過大家的回饋幫助他釐清和修正原本的解題方法。
另外，老師在面對低成就的學生則應該優先加強他們的數學基本知識和技
巧，因為從研究結果中發現，數學知識和技巧是影響解題結果和表現的重要因
素，接著，要提升他們的學習動機，老師可以透過讚美的方式和引導的方式，幫
助這些低成就的學生可以增加他們的自信心，如此願意思考可能的解題方法，進
而提升他們的解題能力。
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二、自我調整學習策略高低對解題行為與表現之差異性
Zimmerman (1989) 認為應該鼓勵學生使用自我調整學習的策略，例如：重 新檢查是否計算錯誤，如此不僅可以獲得答案是否正確的資訊，同時也可以提升 個人的自我效能，因此，研究者認為在解題的過程中，如果可以善加利用不同的 自我調整學習策略，也許可以提升他們的解題表現和自我效能。以下研究者將依 據第四章第二節所得到的研究結果整理如表 5-1-1 所示，說明如下：
表 5-1-1 高低自我調整學策略對高低數學成就學生之解題行為與表現的影響 學生類型
解題行為與表現
高自我調整學習 策略策略
低自我調整學習 策略策略 高成就 低成就 高成就 低成就 1. 課後會練習大量的數學題目 ˇ ˇ × ˇ 2. 上課會聽老師和同學的解題方法 △ ˇ ˇ ˇ 3. 閱讀題目時會將關鍵字圈起來 ˇ ˇ × ˇ 4. 會嘗試使用自己的解題方法 ˇ × △ × 5. 會先模仿老師和課本中的解題方法 × ˇ △ × 6. 會透過自我解釋或自我說明的方式
監控自己的解題表現
ˇ ˇ △ ×
7. 會用新的方法檢查答案是否合理 ˇ ˇ × × 8. 遇到困難的題目時會先跳過再回頭
想
ˇ ˇ ˇ ×
說明：「ˇ」表示符合該項說明內容、「×」表示不符合該項說明內容、「△」表示偶而會有 這樣的情況
從表 5-1-1 中，可以發現自我調整學習策略和他們的數學成就表現沒有直接 的關係，例如，阿信具有很豐富的自我調整學習策略，但其數學成就卻不如預期，
相反的，小優則沒有表現出很多的自我調整學習策略，但是他的數學成就卻很 好。因此，在一般的課室中，研究者認為可以透過形成性評量的方式，幫助每個 學生都可以達到隨時監控自己和監控別人想法的目的(Paris 和 Paris, 2001)，另 外，也可以提升班級數學對話的氣氛，如此也是為了幫助大家釐清彼此的解題想
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法和策略是否合適(Bandura , 2002)。此外，老師也應該多觀察每個學生之課後練 習所表現的解題方法，如果有發現錯誤，要立刻給予指導並加以修正等。研究者 認為學生本身的自我調整學習策略會間接地影響他們的解題歷程和表現，但是，
最重要的依然是先提升每個學生的數學知識和技巧，如此才可以進一步的提升他 們的解題能力。
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三 自我效能和內部價值對解題歷程、解題行為與表現之差異性
Zimmerman (2000) 研究也發現學生在概念改變的過程中，動機扮演著中介
的角色，而從和學生晤談的內容中，同樣地也可以發現家長和老師的態度會間接 的影響他們平常的解題歷程和表現。研究者將研究結果整理如表 5-1-2 所示，說 明如下：
表 5-1-2 高低自我效能和內部價值對高低數學成就學生之解題歷程、解題行 為與表現的影響
學生類型 解題行為和表現
高自我效能和內 部價值
低自我效能和內 部價值 高成就 低成就 高成就 低成就 1. 解題歷程中會表現高度的堅持度 ˇ ˇ × × 2. 會仔細閱讀題目中條件和目標間的
關係
ˇ ˇ △ ×
3. 努力地尋求可能的解題方向和策略 ˇ ˇ △ × 4. 努力得到好成績是為了外在的獎賞
或逃避受到處罰
× ˇ ˇ ˇ
5. 比較喜歡計算具有挑戰的題目 ˇ × ˇ ×
說明：「ˇ」表示符合該項說明內容、「×」表示不符合該項說明內容、「△」表示視情況而 定
從表 5-1-2 中可以得知學生本身的自我效能會間接地影響他們的解題行為和 表現，例如：自我效能愈高的學生在解題過程中會表現出較高的堅持度，同時，
也會較仔細地閱讀和研究題目中的條件及目標間的關係。另外，我們也可以發現 學生本身的內部價值同樣地也會間接地影響他們的解題行為，例如：學習目標導 向傾向精熟目標的學生，比較喜歡計算具有挑戰性的數學題目，相反的，表現不 標導向的學生則比較喜歡計算課本中常見的練習題，因為可以得到較高的分數。
從上述討論得知，高低數學成就學生其本身的數學知識和數學能力有所不 同，因此會直接的影響他們的解題歷程、解題行為和表現。然而，更進一步的來
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看，我們也可以發現每個學生的自我調整學習策略來自父母或老師的提醒和教 導，例如：從晤談內容中可以發現多數的老師和父母會教導學生在進行數學測驗 時，一定要再一次地檢查所有的題目，或是在閱讀題目時，要拿螢光筆把關鍵字 圈起來，或是要拿到高分一定要多練習數學題目等自我調整學習策略。甚至，大 人們為了鼓勵學生可以拿到好的數學成績，會施以獎賞或懲罰的手段，如此卻造 成學生為了得到好成績，因而決定採取模仿老師和課本所提供的解題方法或是重 複地大量練習和課本相似的題目，進而愈來愈傾向表現目標導向或對數學失去學 習興趣。
因此，為了提升學生主動學習的意願，也許課室中的老師在面對大部分的學 生時，應該先了解每個學生的學習特質，如此可以有效的進行補救教學以提升他 們的數學知識和能力。因為每個學生在面對數學題目的時候，都會先判斷自己是 否有能力完成這個題目，同時也會進一步的搜尋既有的知識和技巧，為了可以完 成解題，甚至在解題的過程中，會有自己的監控過程 (Zimmerman, 2002)。另外，
也可以透過數學遊戲或非例行性的問題讓學生思考可能的解題方向和策略，如此 可以讓學生在思考的過程中，體悟到數學和生活經驗是緊密相結合的，最後，老
師可以提供足夠的時間讓不同程度的學生思考如何解題，如此不僅可以促進學生 達到目標的動機，同時也可以提升他們解題的技巧和意願。
另外，老師也可以透過非例行性的題目，讓學生進行小組討論，透過同儕間 的回饋和自我解釋及說明的過程，重新審視和修正原本的解題方法，如
Nicol 和 Macfarlane‐Dick (2006)所認為的：好的回饋可以幫助學生重新省思自己的解題想 法和解題方法是否合適和正確，因此，研究者認為，除了傳統的紙筆測驗以外，
老師也可以利用形成性評量的方式來判斷學生學習數學的狀況。
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