國小五 年級學生 數學解題 歷程的自 我調整 學 習策略

國小五 年級學生 數學解題 歷程的自 我調整 學 習策略

與動機 信念之個 案研究

國立中山大學 教育研究所 碩士論文

Institute of Education

National Sun Yat-sen University Master Thesis

國小五年級學生數學解題歷程的自我調整學習策略與 動機信念之個案研究

A case study of self-regulated learning strategies and motivation beliefs in mathematical problem

processes of fifth grade elemantary school children

研究生：李昱葳 Yu-Wei Lee

指導教授：梁淑坤 博士

Dr. Shuk-kwan S. Leung

中華民國 一百零四年一月 January 2015

國立中山大學教育研究所

103

碩士論文

研究生 ： 李昱葳

學年

度

國立中山大學 教育研究所 碩士論文

Institute of Education

National Sun Yat-sen University Master Thesis

國小五年級學生數學解題歷程的自我調整學習策略與 動機信念之個案研究

A case study of self-regulated learning strategies and motivation beliefs in mathematical problem

processes of fifth grade elemantary school children

研究生：李昱葳 Yu-Wei Lee

指導教授：梁淑坤 博士

Dr. Shuk-kwan S. Leung

中華民國 一百零四年一月

January 2015

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誌 謝

本研究得以順利完成，首先要感謝指導教授梁淑坤老師的細心指 導、啟發及修正，其次要感謝口試委員陳崢淑及周珮儀兩位教授，對 本論文提供許多寶貴的意見及指正，讓我有更多的省思與學習，使論 文得以更臻完善。

感謝高雄市愛國國小前任校長蘇明唱給我進修的機會，另外要感 謝愛國國小五年級老師所給予的協助與鼓勵，也要感謝參與研究的四 位學生與其家長。

最後要感謝家人的支持與關懷，給我進修的動力與支持，謝謝你 們不斷激勵我，讓我完成一個多年的夢想。

本篇論文的完成有周遭的家人、同事及同學的支持與協助，僅以 誠懇的心感謝所有協助的人，不管是學生、同事、同學，還是朋友，

謝謝你們。

iv

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摘要

本研究主要是探討國小五年級高低數學成就的學生數學解題歷

程的自我調整學習策略與動機信念之差異性。首先，研究者依據 PISA(2002)試題中編選出符合國小五年級數學課程綱要能力指標之 五個非例行性數學問題，作為之後放聲思考收集解題歷程的試題。接 著，利用 MSLQ 學習策略動機量表（Motivated Strategies for Learning Questionnaire） （Pibtrich &Groot, 1990）挑選出合適的自我調整學習策 略與動機信念之差異性的樣本對象。最後，輔以訪談的方式深入的理 解學生的自我調整學習策略和學習動機。研究結果發現數學成就高的 學生其解題歷程較數學成就低的學生流暢，解題表現也較好。另外，

自我調整學習策略程度較高的學生在解題歷程的階段中，會花比較多 的時間在讀題、分析和驗證階段上；相反的，自我調整學習策略程度 較低的學生則會較多的時間在執行上。此外，自我效能較高的學生在 解題的歷程中，會較自我效能低的學生表現出較高的堅持度。最後，

內部價值偏向精熟目標導向的學生在解題的歷程中，較願意嘗試使用 不同的解題策略，相反的，內部價值偏向表現目標導向的學生會則會 優先模仿老師和課本所提供的解題策略。本研究結果可提供相關的建 議給老師，使其有效地提升學生的解題能力和學習動機。

關鍵詞：解題策略、自我調整學習過程、自我效能、內部價值、非例行性試題

vi

Absract

This study was to investigate the differences in problem solving processes fifth grade math student mathematical achievements when varying in self-regulated learning strategies and motivation beliefs. The researcher selected and edited five non-routine problems from PISA (2002) and based on fifth grade math according to curriculum standards, and these problems will be tools for collecting thinking aloud protocal. And then, I used Motivated Strategies for Learning Questionnaire(MSLQ)(Pibtrich

&Groot, 1990) to select a sample of four students with high-low self-regulated stratege, high-low motivated beliefs. Last, I interviewed students to understand their self-regulated strategies and learning motivation. Results are: students with high mathematics achievement were having problem solving processes and performances that were more fluent and better than students of low mathematics achievement. In

addition, high self-regulated students spent more time on reading and analyzing stages in problem solving processes. Besides, low

self-regulated students spent more time on execution stages in problem

solving processes. Also, high self-efficacy students will show higher

persistance than low self-efficacy students. Last, when students had

mastery goal oriented internal values, they would try to search for

different solutions. On the other hand, when students had performance

goal oriented internal values, they would generate solutions modelled

from teachers or text books. The results of this study yielded suggestions

to teachers on how to raise students’ problem-solving ability and learning

motivation.

vii

Keywords: problem solving、self-regulated learning strategies、

self-efficacy、intrinsic values、non-routine problems

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ix

目錄

第一章 緒論 ... １

第一節 研究動機... 1

第二節 研究目的 ... 3

第三節 待答問題 ... 3

第四節 名詞解釋 ... 3

第二章 文獻探討 ... 5

第一節 數學解題的意義及重要性... 5

第二節 數學解題的歷程 ... 5

第三節 影響學生解題行為的相關因素及研究 ... 13

一、 自我調整學習策略策略的定義、結構及和數學解題相關的研究 ... 13

(一) 自我調整學習策略的定義 ... 14

(二) 影響自我調整學習策略的決定因素 ... 17

(三) 自我調整學習策略在數學課室中的應用 ... 20

二、 認知策略對解題歷程、解題行為與解題表現的影響 ... 23

三、 自我效能和內部價值對解題歷程、解題行為及解題表現的影響 ... 25

(一) 自我效能對數學解題的影響及相關的研究 ... 25

(二) 學習學習目標導向對數學解題的影響及相關的研究 ... 26

第三章 研究設計與程序 ... 29

第一節 研究設計... 29

第二節 研究工具 ... 29

第三節 研究樣本的選取 ... 33

第四節 預試 ... 35

第五節 資料分析 ... 36

第六節 研究程序 ... 39

x

第四章 研究結果 ... 41

第一節 數學成就高低的學生解題歷程、解題行為與表現的差異性... 41

一、 五個題目之解題歷程成份及個案解題歷程差異 ... 41

二、 四位個案其解題歷程成分之差異性 ... 59

第二節 自我調整學習策略對解題歷程、解題行為與表現的差異性 ... 87

第三節 自我效能和內部價值對解題歷程、解題行為與表現的差異性 ... 97

第五章 結論與建議 ... 105

第一節 研究結論與建議... 105

第二節 對未來研究的建議 ... 111

參考文獻 ... 113

中文部分：... 113

英文部分： ... 113

附錄 ... 119

（附錄 A）放聲思考練習題( P1、P2)：... 119

（附錄 B）非例行性試題： ... 120

（附錄 C）非例行性試題學生作答情況： ... 122

（附錄 D）學生數學解題表現的動機與自我調整學習策略之研究問卷： .... 123

（附錄 E）學生學期成績與自我調整學習信念之平均分數與 z 分數： ... 127

（附錄 F）放聲思考指導語： ... 128

（附錄 G）半結構性解題自我調整行為晤談大綱： ... 129

（附錄 H）半結構性個人背景晤談大綱： ... 130

（附錄 I）原案資料： ... 131

（附錄 J）原案分析： ... 146

（附錄 K）個案晤談內容： ... 176

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圖目錄

圖 2-1-1 Polya (1945) 解題歷程 ... 6

圖 2-1-2 Garofalo & Lester (1985) 認知－後設認知數學解題模式 ... 7

圖 2-3-1 Zimmerman (2002) 自我調整的面向和次過程 ... 14

圖 2-3-2 Boekaerts (1999) 自我調整學習策略的三個層次 ... 15

圖 2-3-3 Zimmerman (1989) 自我調整功能的三元分析 ... 16

表目錄

表 2-1-2 Garofalo 和 Lester (1985)之認知－後設認知數學解題模式 ... 8

表 2-1-3 Schoenfeld (1985)之解題原案巨觀分析架構表 ... 10

表 2-1-4 本研究之解題歷程階段區分表 ... 12

表 3-1-1 非例行性的試題對照表 ... 30

表 3-1-2 非例行性的試題難度與鑑別度 ... 31

表 3-3-1 非例行性試題施測對象 ... 34

表 3-4-1 非例行性的試題 ... 36

表 3-5-1 解題歷程階段順序時間圖 ... 37

表 3-6-1 研究程序進度表 ... 40

表 4-1-1 【N-01 睡眠時間】應具有的解題能力 ... 42

表 4-1-2 四名個案在【睡眠時間】所表現之解題策略 ... 43

表 4-1-3 【N-01 睡眠時間】四個個案解題歷程成分比較 ... 43

表 4-1-4 【N-02 生日蛋糕】應具有的解題能力 ... 44

表 4-1-5 四名個案在【生日蛋糕】所表現之解題策略 ... 45

表 4-1-6 【N-02 生日蛋糕】四個個案解題歷程成分比較 ... 46

表 4-1-7 【M-01 披薩】應具有的解題能力 ... 47

表 4-1-8 四名個案在【披薩】所表現之解題策略 ... 48

xii

表 4-1-9 【M-01 披薩】四個個案解題歷程成分比較 ... 49

表 4-1-10 學生在【M-02 木匠】中所應具有的解題能力... 50

表 4-1-11 四名個案在【木匠】所表現之解題策略 ... 51

表 4-1-12 【M-02 木匠】四個個案解題歷程成分比較 ... 52

表 4-1-13 學生在【L-01 匯率】中所應具有的解題能力 ... 53

表 4-1-14 四名個案在【匯率】所表現之解題策略 ... 53

表 4-1-15 【L-01 匯率】四個個案解題歷程成分比較 ... 54

表 4-1-16 四名學生之解題策略、解題表現和解題行為之差異性 ... 55

表 4-1-17 影響四名學生其解題表現之可能因素 ... 56

表 4-1-18 小威在五個情境題時所呈現的解題歷程階段和時間分配圖 ... 60

表 4-1-19 小威在五個題目中各個解題階段出現的次數 ... 62

表 4-1-20 小威在五個題目中之各個解題階段所需時間佔解題時間百分比 .. 64

表 4-1-21 小優在五個情境題時所呈現的解題歷程階段和時間分配圖 ... 66

表 4-1-22 小優在五個題目中各個解題階段出現的次數 ... 68

表 4-1-23 小優在五個題目中之各個解題階段所需時間佔解題時間百分比 .. 70

表 4-1-24 阿信在五個情境題時所呈現的解題歷程階段和時間分配圖 ... 72

表 4-1-25 阿信在五個題目中各個解題階段出現的次數 ... 74

表 4-1-26 阿信在五個題目中之各個解題階段所需時間佔解題時間百分比 .. 76

表 4-1-27 阿布在五個情境題時所呈現的解題歷程階段和時間分配圖 ... 78

表 4-1-28 阿布在五個題目中各個解題階段出現的次數 ... 80

表 4-1-29 阿布在五個題目中之各個解題階段所需時間佔解題時間百分比 .. 82

表 4-1-30 四名學生解題行為之差異性 ... 83

表 4-1-31 四名學生在五個題目之各個解題階段所表現的總次數 ... 84

表 4-1-32 比較四個不同類型的學生其數學解題表現 ... 86

表 4-2-1 高低自我調整學策略對解題行為的影響 ... 94

表 4-2-1 高低自我效能和內部價值對解題行為的影響 ... 103 表 5-1-1 高低自我調整學策略對高低數學成就學生之解題行為與表現的影107

xiii

表 5-1-2 高低自我效能和內部價值對高低數學成就學生之解題歷程、解題 行為與表現的影響 ... 109

xiv

1

第一章 緒論

第一節 研究動機

我國九年一貫數學領域課程綱要中明確地指出：「我國國中、小學生除了需 要具備數學知識以外，同時也需要有演算能力、抽象能力及推論能力」(教育部, 2011)，也就是說，一般學生在國中及國小階段中應該具備有相關的數學知識和 技能。然而，相關研究卻發現多數的學生對於「數學」學科感到困難及挫折 (Walshaw & Anthony ,2008)，可能的原因也許是學生很少有機會直接參與數學知 識形成的過程，所以他們無法有意義地建構自己的數學知識

(Lampert , 1990)，

另外，也有可能是因為學生本身缺乏自己就是數學知識建構中介者的概念，所以 他們不會主動地設定學習目標，有效地安排自己學習的時間，或是進一步地去採 取有效的學習策略等，而這又和學生的自我調整學習策略相關 (Zimmerman , 2002)。學者認為自我調整學習策略指的是學習者在面對一個新的學習情境或任 務時，會主動地調整自身的認知、動機和行為，為了達到最後的目的 (Zimmerman , 1989)。

另外，學習者本身對數學問題的態度、興趣及解題能力的覺知等情意因素也 會影響他們的學習表現。例如：Montague & Applegate (1993 a) 研究發現低成就

的學生在解題過程中，他們的認知知識及後設認知能力皆較高成就的學生低落，

即使他們有很高的數學態度，但因為無法正確地表徵問題、預測適當的解決策略 及有效地監控，因而導致學習成就低落。此外他們同時也發現有些學生，雖然有 足夠的數學知識和技能卻無法有效地應用在相似的情境上或對題目中相同的暗 示做出適當地反應，所以數學成就表現也不如預期高。

另一方面，Chapman (1988) 則發現有學習障礙的學生比一般的學生有較低

2

在面對困難或有挑戰性的任務時會表現出較低的堅持度和完成度。由此可知，在 一般的數學課室中，不同的學生所表現的個別差異性不僅會直接地影響他們的學 習成就表現，同時也會間接地影響三個交互作用的關係，包括：老師和學生、學 生和學生以及學生和教材內容。

一般來說，學生在面對一個數學問題時，他們通常會主動地思考需要採取何 種有效的解題策略以獲得最後的正確答案 (Kilpatrick , 1985)，而這個解題策略過 程包含理解、計畫、執行、驗證四個階段 (Polya , 1957)，亦即如果解題者要成 功地答對一個題目不僅需要有足夠的數學概念和知識以外，同時也需要有監控解 題表現和評鑑解題結果的後設認知能力。因此，研究者認為當學生完成一個解題 歷程時，同時也經歷了一次的自我調整學習策略。例如：Desoete, Roeyers 和

Buysse (2001) 研究發現學生的解題表現會和他們本身的自我調整學習策略相 關，也就是說當學生在面對數學問題時會透過調整本身的認知、動機和行為等方 式來完成所設定的目標。

本研究主旨是為了學生的自我調整學習策略、自我效能及內部價值交互作用 所產生的結果如何影響他們的解題歷程、解題行為與表現。因此，本研究將以 1. 高成就高自我調整學習策略、2. 高成就低自我調整學習策略、3. 低成就高自 我調整學習策略及 4. 低成就低自我調整學習策略等四名國小五年級不同學習特 質的學生作為本研究之研究對象，並藉此給予教學者相關的意見，可以有效地幫 助每個學生提升他們之解題表現和學習動機。

3

第二節 研究目的

本研究目的在理解高低數學成就的學生其自我調整學習策略、自我效能及學 習目標導向之解題歷程、解題行為與表現的差異性，藉此提供相關的建議給老 師，使其有效地幫助學生提升其解題表現和學習動機。

第三節 待答問題

根據上述的研究動機和目的，本研究之待答問題為：

一、 數學學業成就高低學生的解題歷程、解題行為與表現有何差異性？

二、 自我調整學習策略高低學生其解題歷程、解題行為與表現有何差異性？

三、 自我效能與內部價值高低學生的解題歷程、解題行為與表現有何差異性？

第四節 名詞解釋

一、 數學學業成就 (mathematical achievement)：指的是學生在數學方面的解題 能力及推理能力，本研究以學生四年級下學期數學領域之平均分數代表。

平均分數落在一個標準差以上的為數學高成就，相反的，平均分數或在一 個標準差以下的為數學低成就（詳見第三章）。

二、 非例行性問題題(non-routine problem)：解題者在面對題目時，無法立即想 到求解途徑的題目，需要融會貫通原有的知識，並運用策略以求得解答，

因此，對解題者來說，只有當問題為非例行性問題時，解題才會發生（陳 怡靜、劉祥通，2013）。

三、 解題 (Problem solving)：學生在面對一個數學問題時，可以從過去的生活 經驗和學習過程中去分析題目中的條件、條件和所求目標間的關係、採取 可行的解題策略、並完成此策略求得最後的答案，同時，在整個解題的過 程中，會隨時監控解題結果和表現。

4

四、 自我調整學習策略 (self-regulated learning)：指的是當學生在面對一個問題 時，他們會主動地調整本身的認知策略、動機及行為表現，為了可以達到 所追求的目標。例如：他們在學習數學的過程中，會主動的練習大量的題 目、畫出題目中的關鍵字幫助自己分析題目中的條件和目標間的關係，或 採取適當的解題策略以獲得好的成績表現等。而在本研究中，學生的高低 自我調整學習策略程度主要是藉由 MSLQ 學習策略動機量表(Pintritch &

Groot, 1990)來測量 (詳見第三章)，並輔以訪談蒐集相關資料。

五、 動機信念：在本研究中指的動機信念包含兩個部分：自我效能 (self-efficacy) 和內部價值 (intrinsic values)，自我效能指的是學生對自己是否有能力完成 解題工作的自信心，而內部價值指的是學生對解題任務的目標設定，包括 精熟目標導向和表現目標導向兩種。

5

第二章 文獻探討

第一節 數學解題的意義及重要性

在過去的數學教育中，我們所強調的是學生解題後的答案是否正確，因此我 們提供給學生所練習的習作多是偏向記憶的練習題。然而相關的研究也發現當學 生面對這類題目時，他們可以迅速地求得正確的答案，但當他們面對未曾遇過或 曾經失敗過的題目時，則多感到困惑不知如何求得正確的答案 (Mayer, 1998；

Schoenfeld, 1992 )。有鑑於此，數學教育學家轉而開始強調數學解題的重要性，

也就是說他們認為培養學生有效地應用所學得的數學知識和技巧，並有效地將這 些知識技巧轉移到其他的情境中，以上所述是目前數學教育所重視的。

而 Stanic 和 Kilpatrick (1988) 認為我們可以從三個面向來說明解題的重要 性，包括：情境、技巧和藝術。其中在情境這個面向中，數學問題被認為是達到 課程目標的一個傳遞工具，它同時扮演了五種角色，包括：1.老師教學的判斷 2.

提升學生解題的動機 3.創作力 4.發展新的數學技巧 5.讓學生有練習的機會。由此 可知，數學解題不僅是學生所追求的學習目標，同時也可以提升他們的數學成 就。因此，在本研究中，將要更進一步的探討學生在數學解題的過程中，其所經 歷的解題歷程及影響解題行為和表現的可能因素。

第二節 數學解題的歷程

Polya (1945) 在如何解題 (How to solve it) 一書中最早提到解題的歷程分為

以下四個階段：1.理解問題 (Understanding the problem) 、2.擬定計畫 (Plan) 、

3.完成計畫 (Carrying out the plan) 、4.回顧解答 (Looking back) ，如圖 2-1-1 所

示，從途中我們可以知道 Polya (1945) 強調解題策略的教與學，因此他在每個階

段中都提出了許多的解題問題，也就是所謂的捷思 (heuristics) 希望藉此可以提

升學生的解題能力。

6

圖 2-1-1 Polya (1945) 解題歷程

Polya 的解題歷程內容，詳述如表 2-1-1：

表 2-1-1 解題歷程的四個階段 (Polya, 1945)

第一步 瞭解問題

必須了解問題 未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？可

能滿足條件的每個部份嗎？條件足夠決定未知數 嗎？

做一個圖，導入適當的計畫。

分開條件的每個部份，你可以分別寫下來嗎？

第二步 擬定計畫

找出未知數和已知數之間 的關係，如果找不到，就必 須考慮一些輔助的問題。想 辦法擬定一個計劃去解決 問題。

你以前見過它嗎？或有寫過相似的問題呢？

你知道什麼相關的問題嗎？你知道有什麼可用的 原理嗎？

請你看著未知數，想想看有什麼相似的問題呢？

這裡有一個你曾經解決過的問題，你能應用它 嗎？

你能應用它的結果嗎？你能應用它的方法嗎？

你可以用自己的話重新地再把題目再說一遍嗎？

你可以想到一些相關的問題嗎？

你可以解決這個問題的一部分嗎？

你可以從已知數得到那些線索嗎？

還有其他的已知數可以用來決定未知數呢？

你能改變未知數或已知數嗎，使新的未知數和新 的已知數關係可以更接近。

你已經用了所有的已知數嗎？你用了所有的未知

（Undersatnd）

擬訂計畫

（Plan）

回顧解答

（Look back）

完成計畫

（Carry out）

7

數嗎？你考慮到問題中所有的觀念了嗎？

第三步 實施計畫

實行你的計劃 執行你所擬定的所有計畫，檢核每一步驟，你可

以看出哪些步驟是正確的嗎？你可以證明它們是 正確的嗎？

第四步 回顧解答

校核所得到的解答 你可以檢查所得到的結果嗎？

你可以用不同的方法得到相同的結果嗎？

你可以把這些結果應用在其他的問題上嗎？

（引自莊裕庭, 2012 第 17 頁）

另外，Garofalo 和 Lester (1985)更進一步地整合 Polya (1945) 所提出的解題 歷程與 Flavell 和 Wellman (1979) 所提出的後設記憶 (meta-memory) 之概念，

提出了認知－後設認知數學解題模式，包含以下四個成分：1.定向(Orientation)、

2.組織 (Organization)、3.執行 (Execution)、4.確認 (Verification)，這個模式和 Polya (1945) 所提出的解題歷程模式很相似，但他們更強調解題過程中的後設認 知部分對解題行為的影響，如圖 2-1-2 所示：

圖 2-1-2 (Garofalo & Lester , 1985) 認知－後設認知數學解題模式

定向

（Orientation）

組織

（Organization）

執行

（Execution）

確認

(Verification)

8

Garofalo & Lester (1985) 認知－後設認知數學解題模式之內容，詳述如表 2-1-2：

表 2-1-2 認知－後設認知數學解題模式

類別 後設認知決策的例子

定向(Orientation) :評量和理解一個問 題的策略行為，包括有：

1. 理解策略

2. 資訊和情境的分析 3. 和相關任務的評鑑 4. 最初和之後的表徵

5. 困難層次的評鑑和成功的改變

我只要找尋關鍵字，而這些關鍵字將告 訴我怎麼做。

這題的數字對我來說太大了。

我不知道如何解決這個問題。

這題的數字太多，和我之前做過的題目 不太一樣。

組織(Organization）:行為的計畫和活 動的選擇，包括有：

1. 目標和次目標的確認 2. 全面的計畫

3. 局部的計畫（為了執行全面的計 畫）

我想這題要求「解答」。

我可以經由發現數字而求出「答案」

我想我應該先對這些數字做「運算」。

我不確定要如何做，但我想「運算」、

「策略」會有助於我解決這類型的題 目。

我不確定我要做什麼，但或許我可以先 用猜的。

我想這是某一類型的題目，或許我可以 先用這種解題方法去計算。

執行(Execution) :為了完成計畫所表 現的行為所做的調整，包括有：

1. 局部活動的表現

2. 為了完成局部和全面的計畫所作 的監控妥協所做的決定（譬如：速 度和正確性；精緻的程度）

我草率地正在做「運算」，所以最好放 慢我的速度。

這個題目很複雜，所以我最好小心地運 算每一個步驟，如果這個方法不行，那 麼我就是是看別的方法。

為了幫助我不離題，所以我會覆誦我正 在做的事情。

我會寫下每一個運算步驟。

確認(Verification) :所做的決定的評鑑 和執行計畫的結果

1. 定向和組織的評鑑 (1) 表徵的適當性

(2) 有組織的、適當的、決定的 (3) 局部計畫和全面計畫的一致性 (4) 全面計畫和所要達到目標的一

因為我可能不夠小心，所以每個步驟最 好都要再檢查一次。

我不確定這個步驟是否適合。

我最好再重頭檢查一次。

我不確定是否已經了解題意了。

我會重新再讀一次題目。

這個答案似乎太大了，我想要再重新檢

9

致性 2. 執行的評鑑

(1) 活動表現的適當性 (2) 活動和計畫的一致性

(3) 計畫中局部結果和問題情境的 一致性

(4) 最後結果和問題情境的一致性

查一遍。

(引自 Garofalo & Lester , 1985 第 171 頁)

此外，Garofalo & Lester (1985) 也認為透過這個認知與後設認知整合解題模 式可以用來分析學生數學表現的後設認知層面，同時也可以用來分析和解釋學生 的數學表現。

另外，Schoenfeld (1985) 認為影響解體的成敗因素包括有以下四點：1.資 源：就是個人所擁有的數學知識和技巧，2.捷思：就是個人的解題策略和方法，

3.控制：如何選擇和執行策略，如何分配資源和決定計畫和監控等，4.信念系統：

也就是個人的數學世界觀，而 Schoenfeld (1985) 認為其中又以控制對解題行為 影響最大。同時他也認為過去對學生的解題歷程分析常常只注意到解題過程中明 顯的行為加以編碼，然而這種分析方法卻可能會忽略許多重要的資訊，因為有很 多的解題策略是內隱的，因此，他提出了用巨觀的方式去分析學生的解題歷程，

並從控制的角度來檢視學生的解題行為，並將解題歷程區分為七個階段，包括：

1.讀題 (Reading) 2.分析 (Analysis) 3.探索 (Exploration) 4.計畫 (Planning) 5.執行

(Implementation) 6.驗證 (Verification) 及 7.過渡(Transition) ，如表 2-1-3 所示：

10

表 2-1-3 解題原案巨觀分析架構表 (Schoenfeld, 1985)

1. 讀題：包括開始的讀題，攝取問題的狀況，讀題之後的沉默與重讀題目等，

相關的問題有：

R1：是否有注意到問題的所有條件，它們有被明顯的注意到嗎？或 只是模糊的被注意到呢？

R2：是否正確的注意到目標狀態呢？

R3：你目前有和這個問題相關的知識嗎？

2. 分析：在讀完題目後若無明顯的進展，則下一個階段就是分析，而分析就是 企圖去了解題目，再選擇適當的觀點，並考慮可以採用那些適當的原 則或行動來簡化題目，而相關的問題有：

A1：你會採取什麼觀點呢？這種選擇是明確的還是假設的？

A2：你會根據問題的條件來採取適當的策略嗎？

A3：你會根據問題中的目標來採取適當的策略嗎？

A4：你覺得問題的條件和目標是否一致呢？

A5：在這個階段中是否前後是一貫的？整題而言，學生在這個階段中 所表現的行動是否合理？

3. 探索：分析與探索的差別在於分析比較有結構性，且會和問題的條件及目的 做緊密的連結，相反的，探索則屬於結構性，其行為可能離題意較遠，

如果解題者發現新的資訊，他可能會回到原來的分析階段，而在探索 階段中，學生可能會呈現較多樣的捷思策略，如檢驗相關的問題或分 類等，相關的問題有：

E1：學生的探索是題目中的條件所引起的還是題目中的目的所引起的 呢？

E2：學生所採取的行動有方向性或明確的目標嗎？

E3：學生在解題的過程中有監控的行為嗎？而這個監控的行為對學生 的解答有影響嗎？

E4：在這個階段中學生的解題行為是否前後一貫？解題者所採取的策 略是否合理？

4. 計畫：這個階段學生需要關心的是是否有好的結構？計畫的執行是否有順序 性？

P1：學生是否有表現出擬定計畫的證據？學生是否可以從局部或整體 的觀點來評鑑整個解題行為？

PI2：學生所擬定的計畫和問題的解決方法有相關性嗎？是否恰當？

是否有良好的結構性？

5. 執行：解題的過程中是否有監控的行為？學生是否會從局部或整體的面向去 評鑑目前的解題行為？相關的問題有：

I1：學生是否會去評鑑這個計畫的合適性、相關性呢？

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I2：學生是否有按照計畫執行他的解題行為呢？

I3：學生是否會從局部或整體的觀點去評鑑整個計畫的執行？

I4：評鑑的有無對解題的結果是否有影響？

6. 驗證：其相關的問題有：

V1：學生在解題的過程中是否會回顧整個解題方法？

V2：學生是否會運用其他的解題方法來檢驗他的答案是否正確？如果 有，如何進行？

V3：學生是否會對自己的解答進行評鑑？學生對於解題結果的評鑑有 否信心？

7. 過渡：指各階段之間的連結關係，相關的問題有：

T1：對於目前的解題狀況是否會加以評鑑？若放棄一種解題途徑，學 生是否會利用其中有用的部分？

T2：對於先前放棄的解題途徑，學生是否會從局部或整體的效應加以 評鑑？

T3：學生對於採取的新的解題方法是否會評鑑它對解答有否造成短期 或長期的影響？或是直接跳到新的方向去？

T4：學生對於新的解決方向是否會加以評鑑，而這個新的解題方向對 於解題中局部或整體的效應為何？此行動是否合適或有必要性 呢？

（引自莊裕庭, 2012 第 21 頁）

由於本研究所要探討的是不同學習特質的學生在面對不同情境的數學問題

時，會表現出何種解題歷程、解題行為與表現。由於 Schoenfeld (1985) 之解題

原案巨觀分析架構可以較清楚地從學生外在的解題行為去探究其內在的解題想

法，因此，研究者將參考此架構，重新自編一份適合五年級學生的解題歷程階段

區分表作為本研究的分析架構，由於國小階段五年級的數學題目其解答方法較不

複雜，因此，研究者將選取解題歷程之前六個階段，並依據原本的架構內容訂定

符合國小階段學生解題歷程的項目，如表 2-1-4 所示：

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表 2-1-4 本研究之解題歷程階段區分表

階段 內 容

1.讀題(R) R1：閱讀題目：包括閱讀問題中所有或部分問題的條件與描述。

R2：重讀題目：學生在解題的過程中會重新的閱讀題目。

2.分析(A) A1：重述題意

A2：辨別條件：知道已知數、未知數和隱含的條件 A3：畫圖表徵

A4：以字詞、圖形或符號等方式來簡化問題

A5：回憶相關訊息（如相關的概念、問題或方法等）

A6：尋找規則

A7：測試或嘗試錯誤：解題者先以數字代入測試

3.探索(E) E1：找到新的切入點：學生可以找到題目中的條件或目標思考可 能的解題方法或方向。

E2：嘗試：學生會先用數字算算看

E3：使用不相關的計算方法：學生會想要嘗試看看不同的解題方 法，而這些解題方法可能無法完成題目所要的目標。

E4：考慮題目中條件和目標的關聯性，並列出可能的計算算式，

求得最後的答案。

4.計畫(P) P1：有明確的目標和方向並對解題行為進行局部或全面的計畫。

P2：會隨時監控這個計畫是否可行。

5.執行(I) I1：學生會依照擬定的計畫運用算式或之前學過的數學技巧進行 解題。

I2：學生會隨時監控自己的解題行為

6.驗證(V) V1：檢查結果是否合理：學生可以用任何的方法去檢查他們所得 的結果是否符合題意。

V2：會逐步的檢查每個解題的步驟。

從上述討論我們也可以知道目前的數學教育強調的是學生的解題過程而非

以往所重視的解題結果，因此，我們可以從學生解題方法的正確性、完整性、精

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第三節 影響學生解題行為的相關因素及研究

Kilpatrick (1978)認為影響學生解題行為相關因素包括有：學生本身的因素，

例如：學生的性別、教育程度、數學態度、數學能力、數學信念、數學成就、認 知風格等。另外，Mayer (1998) 認為成功的解題者具備以下三個條件：1.學生需

要有特定領域知識和技巧，2.具備控制和監控認知過程的能力，3.需要有高度的 意願。此外，Hoffman 和 Spatariu (2008) 則認為 1.學生本身的自我調整信念同

由於本研究想要了解不同數學成就高低的學生其自我調整學習策略策略和 動機信念對他們的解題歷程、解題行為及解題表現的影響，因此，以下研究者將 分為以下三個部分來說明：1. 自我調整學習策略策略的定義、結構及和數學解 題相關的研究，2.認知策略對解題歷程、解題行為與解題表現的影響，3.自我效 能和內部價值對解題歷程、解題行為及解題表現的影響。

一、自我調整學習策略的定義、結構及數學解題相關的研究：

過去三十年中，多數的教育研究者致力於找出合適的教學方法，希望可以幫 助學生提升他們的認知努力、後設認知策略的使用及學習動機等，而自我調整學 習策略被認為是學生在學習的過程中為了達到所設定的目標，他們會主動地調整 他們的後設認知、學習動機和行為 (Zimmerman, 1989)。而學生的認知和行為的 自我調整是影響他們在課業和學習表現的重要因素 ( Zimmerman & Pons, 1986 ; Pintrich 和 Groot , 1990)。因此，如果我們可以教導學生自我調整學習策略的相關 技巧，也許可以幫助他們從外在經驗中學習自我調整學習策略的過程，變成一個

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具有策略性的、動機的和獨立的學習者(Paris 和 Paris, 2001)。以下將說明自我調 整學習策略的定義及影響的因素：

（一）自我調整學習策略的定義

Zimmerman (2002) 認為個人在完成一個任務的過程中，會經歷事先考慮階 段 (forethought phase)、實行階段 (performance phase) 和自我反思階段

(self-reflection phase) 三個階段過程：如圖 2-3-1 所示：

圖 2-3-1：自我調整的面向和次過程 (引自 Zimmerman, 2002, p.67)

實行階段

（Performance Phase）

自我控制(Self-control) 印象(Imagery) 自我說明(Self-instruction) 集中注意力(Attention focusing)

任務策略(Task strategies) 自我觀察(Self-observation)

自我紀錄(Self-recording) 自我實驗 (Self-experimentation)

自我反思階段

（Self-Reflection Phase）

自我判斷 (Self-Judgement) 自我評鑑 (Self-evaluation) 因果歸因 (Causal attribution)

自我再反應 (Self-Reaction) 自我滿足/自負的 (Self-satisfication/affect)

適應/防禦 (Adaptive/defensive)

事先考慮階段（Forethought phase）

任務分析(Task-Analysis) 目標設定 (Goal-setting) 策略計畫(Strategic planning) 自我動機信念(Self-Motivation

Believes) 自我效能(Self-efficacy)

結果期待(Outcome expectations) 內部興趣/價值 (Intrinsic interest/value)

學習學習目標導向 (Learning goal orientation)

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從圖 2-3-1 中可以知道自我調整包含許多層面，不過和學生學習及課業表現 相關的主要三個層面為：1. 為了計畫、監控和模式化他們的認知所採取的後設 認知策略 2. 經營和控制在課業表現上所投入的努力 3. 學生用在學習、記憶和理 解教材內容所使用的認知策略 (Pintrich & Groot , 1990)。

另外，Boekaerts 和 Corno (2005) 認為在一般的課室中，學生所追求的目標 形式往往會因為和外在環境等因素交互作用而更顯複雜，也就是說，學生的自我 調整學習策略會受到個人和環境及行為事件的影響，也就是說，學生最後所呈現 的學習行為是個人因素及外在資源彼此交互作用後的產物，如圖 2-3-2 所示：

從社會認知理論來看，Bandura (2002) 甚至認為在某些情境下，環境的影響 遠遠大於個人及行為的因素。Paris 和 Paris ( 2001) 也認為學生在引導式的參與、

鷹架的協助和師徒制等社會認知的過程中，不僅會重新的修正自己的目標和行 為，同時在任務完成後，也會提升本身的自我效能。例如：有些研究者會透過教 學的方式訓練低成就學生學習合適的自我調整學習策略策略，幫助他們成為一個

自我 調整 學習

認知策略的選擇 學習過程的調整

使用後設認知的技巧和知識 引導其學習方向

目標和資源的選擇 自我的調整

圖 2-3-2：自我調整學習策略的三個層次 (Boekaerts, 1999)

模式處理的調整

課室環境

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自我調整學習策略者(Corno, Collins & Capper, 1982)，或是透過外在物理情境及 社會化的經驗下，培養學生自我反思、自我監控和自我解釋的能力，逐漸地培養 他們自我調整學習策略的能力(Nicol & Macfarlane-Dick, 2006)，從上述皆說明當 學生在一個具有架構的課程中或是環境中時，他們會被引導使用不同的自我調整 學習策略策略，而這也是本文章所要探討的焦點。

圖 2-3-3 主要說明學習者個人在環境中如何轉換本身的自我調整，他們會調 整自己的行為和環境來決定最後採取的策略，而這個過程會依賴本身的自我效能 及對行為和環境的監控所產生的回饋，如果發現自我效能不足的話，則他們就會 選擇其他的策略或是當他們發現學習環境過於吵雜的時候，則他們就會選擇到一 個安靜的地方或是暫時休息等。而上述這些都呈現了學生的自我調整學習策略會 受到個人、行為和環境三個因素交互作用的影響。

因此，Zimmerman (1989) 認為應該鼓勵學生使用自我評鑑的策略，例如：

重新檢查是否計算錯誤，如此不僅可以獲得答案是否正確的資訊，同時也可以提 個人

(自我)

環境 行為

行為的自我調整

環境的自我調整 自我調整的轉換 策略的使用

回饋

圖 2-3-3：自我調整功能的三元分析 (Zimmerman, 1989)

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升個人的自我效能。另外，學習者也會因為個人對環境中的任務或其他因素（像 是：獎懲制度）而有不同的學習目標導向（像是：精熟目標或表現目標）而調整 學習策略。例如：Cifarelli, Goodson-Espy 和 Chae (2010) 研究發現當大學生自我 調整學習策略策略如果較偏向手段理解信念時，則他們比較會採用模仿模式化的 解題策略，相反的，如果比較偏向關係理解信念的時候，則他們比較會傾向有系 統地去嘗試錯誤方法找到最後的解題方法。最後，從社會認知理論來看，個人的 後設認知過程和情緒可能也會受到他人經驗和回饋所影響，例如，Shunk (1986) 研究發現，當學生受到其他班的同學皆可以成功的完成些數學題的暗示時，則他 們在最後也可以成功地答對所有的題目。Shunk (1986) 認為這是因為學生透過他 人的成功經驗進而提升了本身的自我效能，最後也完成的數學題目。因此，我們 可以知道影響學生自我調整因果關係的模式包括以下三個因素：1. 個人自我調 整的努力，2. 行為表現的結果，3. 環境情境的改變 (Bandura, 1986)。

（二）影響自我調整學習策略的決定因素

從上述討論得知影響學生自我調整學習策略的成分包括有：個人的影響、環 境的影響和行為的影響，分別說明如下：

1. 個人的影響：

Boekaerts & Corno (2005) 認為自我調整學習策略可以分為兩種類型，

分別為上－下自我調整學習策略及下－上自我調整學習策略，前者指的是當 學生覺知自己有足夠的能力可以完成這個任務時，他們便會主動的選擇學習 和追求目標，並且努力的沿著目標前進，這個過程中，他們會尋求和採取任 何一個可以達到目標的策略。相對的，後者指的是學生會依據可能的表現結 果和外在回饋來決定將採取何種後設認知策略。更進一步的來說，學生在面 對一個新的學習情境和任務時，會先運用本身的陳述性知識和程序性知識去

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做分析，並思考可行的自我調整學習策略策略，再決定要做何種類型的自我 調整學習策略。

此外，學習者對任務的分析也會影響他們本身的學習動機，例如：有些 學生可能會因為過去失敗的經驗而對考試感到焦慮，或者有些學生只是為了 得到獎賞而努力表現等。因此，學習學習目標導向、情感因素和自我效能等 動機信念也會影響他們對學習策略的選擇 (Pintrich & Groot, 1990 ;

Zimmerman & Bandura ,1994 ; Paris & Paris , 2001 )。其中，自我效能更被認 為是影響學生學習行為的中介因素，例如：Schunk, Hanson 和 Cox (1987) 研 究發現自我效能愈高的學生對他們的課室表現及認知努力會表現出更高的 堅持度和使用更多的認知策略。Pintrich & Groot (1990) 研究也發現精熟學 習目標導向的學生除了會使用更多的認知策略以外，也比較願意投入在後設 認知活動上。

從 Zimmerman (2002) 所提出的自我調整學習策略面向架構的事先考慮 階段中（如圖 2-2-1 所示），可以清楚地知道學習者在面對一個新的任務時，

會先經歷任務分析及自我動機信念兩個次過程，而這和他們的陳述性知識、

程序性知識、任務特徵和學習情境有關係。

2. 行為的影響

Paris 和 Paris (2001) 認為學習者應該對自己所學的內容、所付出的努力 及所學習的技巧做深刻的自我評鑑，如此便可以達到學習的目的。

Zimmerman (1989) 則認為課室中的學生會透過自我觀察

(self-observation)、自我判斷 (self-judgment) 及自我再反應 (self-reaction) 來 改變自己的學習行為，而所得到的學習表現會透過回饋的方式改變本身的認

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知知識、後設認知知識和策略及動機信念等，當然，學生也會視當時的情境 加以判斷和決定最後的自我調整學習策略策略，說明如下：

(1) 自我觀察(self-observation)：隨時監控自己的表現，而自我觀察也會 受 到個人的自我效能、目標設定、後設認知計畫及行為所影響。在這個 過程中，學生會重新檢視和評鑑自己的能力、知識狀態和認知策略。

通常在課室中，教師會要求學生透過作筆記的方式或是把個人行為和 反應做量化的紀錄來達到自我觀察的目的。

(2) 自我判斷(self-judgement)：透過計畫、矯正錯誤、使用修正後的策略或 和他人的表現或標準去做比較以達到監控和調整學習行為的目的。而 這通常和個人的自我效能、目標設定及相關的知識和標準有關。一般 來說，教師會要求學生對自己的答案做再一次的確認。另外，相關的 研究也發現自我效能愈高的學生其自我判斷的能力也愈好 (Collins, 1982)。

(3) 自我再反應 (self-reaction)：學生在經過自我觀察和自我判斷等過程 後，不僅會重新尋求可能的解題策略，同時也會提升自己的認知知識 和動機信念，甚至會改變所處的學習環境。所以我們可以知道自我再 反應屬於個人內部的反應過程，但同時也會透過正向的自我評鑑而加 以維持（如圖 2-3-1 所示）。

3. 環境的影響

Bandura (2002) 認為從觀察他人經驗和結果表現所得到的回饋中學習 是改變個人自我效能和認知知識最有的方法。例如：Shunk (1984) 研究發現 透過有效地獎勵制度和引導方式，可以有效的提升學生的自我效能及學業表 現。然而，卻有研究發現獎勵制度會影響部分的學生對解題策略的選擇性，

例如，他們可能會選擇模仿老師和課本的解題方法，而不願思考其他的解題

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方法(Cigarelli, Goodson-Espy & Chae , 2010)。另外，Zimmerman (1989) 研究 也發現透過語言的傳達，學生會學到更多的認知、情感和課業的技巧。而 Paris & Paris( 2001) 則認為課程和評量活動的設計會影響學生的自我調整 學習策略，例如：探究式的課程就比較會引起學生主動學習的意願，而形成 性的評量怎給予學生更多的機會去練習監控、計畫和調整他們的學習。

從上述討論中知道，學生在課室中的自我調整學習策略過程會受到個人、行 為和環境間交互作用的影響，而 Zimmerman (1989) 認為如果可以增強學生本身 的能力，包括：認知知識、後設認知知識及技巧、學習動機信念的話，不僅可以 提升他們的自我控制，也比較不容易受到行為和環境的影響。因此，研究者認為 如果可以提供機會讓學生們進行討論，說明和解釋自己的想法，不僅可以幫助他 們達到自我調整學習策略的目的，同時也可以提升他們的學習動機。

(三) 自我調整學習策略在數學課室中的應用

數學教育學者希望學生可以主動地採取可行的策略和自我調整他們的認 知、後設認知及學習動機 (Pape, Bell & Yetkin, 2003)，然而，Bielaczyc, Pirolli 和 Brown (1995) 卻發現有些學生無法獨力完成數學解題，所以他們會選擇模仿老 師的作法或記憶課本的內容來回答問題。而造成此現象的可能原因在於他們無發 將課本中的內容轉換成自己有意義的知識，或是他們在學習過程中缺少一些關鍵 的過程，例如：目標的設定、時間的經營、學習的策略、自我評鑑、自我歸因、

尋求幫助和缺少重要的自我動機信念 (Zimmerman , 2002)。

Corno, Collins 和 Capper (1982) 認為學生為了完成任務，他們會先應用本身 的認知基模來處理複雜的資訊，及幫助他們推理相關的事情，因此，如果我們可 以透過課程和教學的介入也許可以幫助學生自我調整他們的學習行為和提升他

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們的學習表現。例如：Bielaczyc, Pirolli 和 Brown (1995) 研究發現透過要求學生 自我解釋他們的解題想法和策略時，一方面可以幫助他們監控自己的解題行為，

同時也可以達到自我調整學習策略的目的。同樣地，Pape, Bell 和 Yetkin (2003) 也認為課室對談可以幫助每個學生檢驗他人和自己的想法，且深入的思考和推理 數學概念間的關係。而 Paris 和 Paris (2001) 認為透過間接的經驗、直接的教學 和練習可以提升學生對自我調整學習策略的理解。例如：讓學生知道再一次地確 認他們的答案並不會花太多的時間，且可以增加更大的準確度。另外，老師在教 學的過程中也應該詳細的說明每個解題步驟，讓學生可以學習應有的知識和技 巧，同時也可以增加他們的動機信念。最後，可以透過小組合作學習的方式讓學 生有機會表達自己的想法，即使說明的內容不完整，但在參與和練習的過程中，

依然會需要自我調整學習策略。

另外，Nicol 和 Macfarlane-Dick (2006) 則利用學習的任務和評量的設計來幫 助學習者的自我調整學習策略，在這個模式中，包括：1. 設定好一個課業任務，

2. 要求學生運用先備知識對這個任務進行有意義的解釋，以便形成他們的任務 目標，3. 學生所訂定的目標雖然較為籠統，但可以幫助他們形成自己的解題策 略和手段， 4. 在完成任務的過程中，內部的情感和動機信念也會有所改變，而 外部也同時可以觀察到行為表現及結果。此外，他們也認為外在的回饋可以幫助 學生具體化他們對這個任務的解釋和學習步驟，而回饋的原則包括：1. 必須告 訴學生什麼是好的表現，2. 幫助學生連結學生目前的表現和所要達到的目標間 之關聯性，3. 提醒學生如何做可以達到最終的目標。

Paris 和 Paris (2001) 也說明自我調整學習策略活動設計所需注意的事項：

1. 自我評價會引起學生做深入的理解：

(1) 分析個人學習風格和學習策略，並和他人加以比較，藉此增加不同的學

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習方法和策略。

(2) 自我評鑑是否理解課程內容，藉此辨別自己對所學內容理解的程度，並 對努力和時間做有效地分配。

(3) 週期性的自我評鑑學習過程和結果，藉此修正解題策略和自我效能。

2. 自我經營本身的思考、努力及情感，如此會產生更有彈性的解題方法：

(1) 設定可以達到的目標。

(2) 有效地計畫時間的安排和資源的取得，如此可以克服解題時所遇到的挫 折，並提升他們解題時的堅持度。

(3) 複習自己所學過的內容，並對自己所犯的錯誤加以訂正，藉此自我監控 和允諾自己可以有更好的表現。

3. 用多元的方法教導學生自我調整學習策略：

(1) 可以透過外在的教學方法、直接的反思、後設認知的討論等來教導學生 自我調整學習策略。

(2) 可以透過評量、圖表和討論來知道個人成長的證據。

另外，Kazemi 和 Stipek (2001) 認為在做數學討論的過程中，必須注意以下 幾點，才得以有意義的建構他們的數學知識：

(1) 所提出的解釋包含數學論證，而不是只有過程描述而已。

(2) 所做的數學思考必須包含理解不同策略之間的關係。

(3) 對於問題所犯的錯誤可以提供重新概念化的機會、也可以藉此探索解題 方法中的矛盾並追尋另外一個不同的解題策略。

(4) 小組合作包括個人的責任及透過數學論證達到小組成員中的共識，得到 一個大家都可以接受的解答方法。

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如此一來，學生的數學概念就會從表面的數學操弄過程的概念活動進一步地 發展到較上位的數學演繹和推理的能力。此外，相關的研究也發現在活動最初的 時候，他們無法清楚且具體地說明自己的解題策略和過程，甚至他們會觀察同學 和老師的反應後再修改自己的解答方法，所以，教師必須透過不斷地練習讓他們 理解和熟悉數學概念才是解釋和判斷的基礎 (Cobb & Yackel, 1996)。接著，他們 要學習如何從數學的角度思考並提出讓大家都可以理解及接受的解釋，並以此做 為更深入討論的物件 (Blanton & Stylianou, 2002)。

二、 認知策略對解題歷程、解題行為與解題表現的影響

認知心理學家 Mayer (1985) 發現有些學生無法正確的回答出正確的答案是 因為他們無法完全的理解題目的意思，換言之，這類的學生具有數學的基本技 巧，但卻缺少了正確表徵題目的能力，因此，Mayer (1992) 認為學習者在解題的 過程中，會試圖的將題目中的文字敘述（語言形式）轉變成數學的運算型式（符 號形式），而這個過程可以分為以下兩個步驟，如下所示：

1. 問題表徵 (Problem representation) ：學生會將題目中所提供的圖案和文字轉 換成心裡表徵，而這個過程又包含兩個成分：

(1) 問題轉譯：把問題中所呈現的句子轉譯成內在的心理表徵，而這個需要 有很好的陳述性及程序性的知識。

(2) 問題整合：學生必須將題目中的句子整合成連貫的表徵，而這個需要有 很好的基模知識去區分問題的類型。

2. 問題解決 (Problem solving) ：從對問題的心智表徵到最後求得答案的過 程，而這個過程包含了以下兩個部分：

(1) 解決方法的計畫與監控：學生需要去計畫和監控所採取的解題策略是否

可以完成任務目標。

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(2) 解決方法的執行：學生需要應用正確的程序性知識及算則去執行計算的 工作。

此外，Bassaninic 和 Duval (2006) 研究發現學生在數學應用題的表現和他們 的閱讀理解力有相關性，也就是說當學生在閱讀一個題目的時候，他們會透過內 部資訊處理的過程，再重新編碼和提取適當的資訊完成解題任務，研究也發現數 學應用題的解題表現和有技術性的閱讀技巧相關，例如：有技巧性地去做文字推 理和閱讀方法等。

因此，Mayer (1992)將解題時所需的知識分為以下五種範疇：

1. 語言知識 (Linguistic knowledge)：和題目中每個字、句子的結構相關的 知識，例如：理解題目中相關的條件和所求目標間的關係。

2. 語意知識 (Semantic knowledge )：和實際生活相關的知識，例如：數字 相同的加減法在改變型和合併型的情境中有相同的語意。

3. 基模知識 (Schematic knowledge)：和問題型態相關的知識，例如：長方 形的面積是長乘以寬。

4. 策略知識 (Strategic knowledge ) ：可以使用不同的解決方法進行解題，

例如：先用數字算算看，尋求可行的計算方法。

5. 程序知識 (Procedure knowledge)：和解題策略相關的計算知識，例如：

應用九九乘法表求得最後的答案。

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三、自我效能和內部價值對解題歷程、解題行為及解題表現的影響：

Zimmerman (2000) 研究也發現學生在概念改變的過程中，動機扮演著中介 的角色，例如：認知心理學家 Mayer (1998) 研究發現當學生對一個情境中的數 學題目感興趣時，則他們會願意花較多的時間和努力在解題上，因此，我們可以 知道即使具有相同背景和知識的學生，可能會因為動機的不同而造成之後數學成 就的不同。學生動機主要包含兩個成分：1.學生對於學習任務的內部信念（例如：

學習目標導向、興趣等），2.完成此任務的能力的內部信念（例如：自我效能、

歸因理論、控制信念等），其中又以學習學習目標導向和自我效能對於學生的自 我調整學習策略表有較大的影響 (Pintrich, Marx & Boyle, 1993)。因此，本研究 的焦點將在學生本身對於數學解題的自我效能及學習目標導向上，詳細說明如 下：

（一）自我效能對數學解題的影響及相關的研究

自我效能 (Self-efficacy) 指的是學生對於他們組織和完成數學任務能力的 一種判斷 (Bandura, 1993)，因此，學生的自我效能會影響他之後學業上的調整及 對課業任務的精熟程度，而相關的研究則發現自我效能在大學生的解題表現中扮 演著預測者和中介者的角色 (Pajares & Miller, 1994)，所以我們可以從學生的自 我效能中預測他們學業上的表現及認知策略的使用

當學生面對一個具有情境的數學問題時，則他們的解題表現就會受到本身自我效 能的影響，而相關的研究也發現自我效能較高的學生在面對具有挑戰性的問題

時，不僅會投入較多的努力和時間在解題上，同時也會表現出較高的自我調整學

習策略策略，包括有：自我監控、自我判斷及自我反應，因此，在課業成就上自

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1985 ; Schunk, 1991 ; Zimmerman, Bandura & Martinez-Pons, 1992 ; Pajares &

Graham ,1999 ; Zimmerman, 2000)。此外，Cifarelli, Goodson-Espy 和 Chae (2010)

Pajares (1996)認為可以透過詢問學生有多少的自信完成數學解題，或是願意 投入多少的努力在自我調整學習策略上，例如：「你覺得你有多少的自信在沒有 適合算式的情況下可以完成這個數學問題？」或是「你可以使用哪些策略讓你的 表現會更好？」等，透過這些問題，我們就可以知道學生對這個任務所投入的努 力及意願有多少了。最後，有些研究者會發展一個關於自我效能的量表去判斷學 生對於學業表現的自信程度及能力，而本研究將採取量表及晤談的方式去了解學 生對於數學解題的自我效能。

（二）學習學習目標導向對數學解題的影響及相關的研究

另一個影響動機的認知過程就是個人對任務的目標設定，當我們教導學生設

定好一個目標時，他們很可能會透過本身的自我效能覺知去達到這個目標，但如

上述所討論的，如果學生覺知他們沒有能力完成這個目標時，他們很可能會傾向

逃避這個任務，相反的，若他們覺得有足夠的能力和自信可以完成這個任務，則

他們會願意花較多的時間和努力去達到所設定好的目標，因此，我們可以知道目

標的設定會間接地影響學生的課業表現，通常目標的動機信念會依賴任務的特

質，包括有近側性 (proximity)、特殊性 (specificity)和困難度 (difficulty)，其中

近側性的目標會比遠的目標更容易引起學生的自我效能和動機，因為學生比較容

易判斷眼前的過程；另外特別的目標也會比普通的目標更容易引起學生的自我效

能和動機；最後雖然學生容易使用可獲得的技巧去完成簡單的目標且也比較容易

提升他們的自我效能和動機，但是研究卻發現學生在面對困難的目標時，因為需

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要付出較多和能力相關的訊息，因此反而會在技巧發展的同時也提升他們的自我 效能覺知 (Schunk, 1999)。

另一方面，Pajares 和 Miller (1994) 認為學生在面對一個任務時，本身會先 判斷這個任務的實用性來決定他們之後的行為表現，亦即所謂的學習目標導向信 念(Goal Orientation Beliefs)，可以分為以下三類：

1. 內部目標 (Intrinsic) 和外部目標 (Extrinsic)：具有內部目標的學生在學 習的過程中比外部目標的學生，例如：外在的獎賞，會使用更深入的學 習策略及後設認知和自我調整的學習策略。

2. 精熟導向 (mastery) 和表現導向(performance)：精熟導向的學生在學習過 程中會比較深入及願意投入較多的努力，而表現導向的學生在學習過程 中則比較會傾向獲得好成績或好表現。

3. 任務包含目標(task-involved orientation)和自我包含導向(ego-involved orientation)：任務包含導向的學生比自我包含導向的學生在學習的過程 中會採用較深入的學習策略，同時也會傾向選擇具有挑戰性的問題及表

從上述中得知學生本身的認知概念、後設認知知識和策略及環境因素會影響

他們的自我調整學習策略，進而影響他們之後的解題行為、解題表現和學習動

機。由於相關的研究發現成就愈高的學生其自我效能也較高，且也傾向精熟學習

目標導向 (Collins, 1985)，另外，自我效能高的學生其自我調整學習策略的程度

會較自我效能低的學生高 (Pintrich, Marx & Boyle, 1993)，另外，也有學者發現

高成就的學生在面對具有挑戰性或困難的問題時，會使用較有彈性的解題方法並

表現出較高的堅持度完成問題。因此，在本研究當中，研究者將採用 Pintrich 和

Groot (1990) 所編制的「學習策略動機量表」中自我效能、內部價值、自我調整

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學習策略和認知策略四個部分的分數，藉此評量學生的高低自我調整學習策略和

高低自我效能和學習學習目標導向（詳見第三章）。並進一步比較分析高成就高

自我調整、高成就低自我調整、低成就高自我調整和低成就低自我調整的學生其

解題歷程、解題行為、解題策略和解題表現之差異性，同時也透過晤談的方式輔

以了解學生自我效能和學習學習目標導向對其解題行為和自我調整學習策略的

影響。

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第三章 研究設計與程序

本章主要是說明本研究之研究設計、研究工具、研究樣本的選取、預試、資 料分析、研究程序，分述如下：

第一節 研究設計

Kilpatrick (1986) 認為：「數學教育的研究正面臨一個新的變革，質的研究比 實驗設計的研究更為理想」。因為每個學生的心智模式不同，解題經驗也不相同，

唯有透過特定、詳實和描述性的觀察，才可以真的瞭解學生的想法、信念與價值 觀（莊裕庭, 2001）。因此，本研究將透過個案處理之質性研究的方式，深入的觀 察並分析學生的解題歷程，同時透過放聲思考法及晤談的方式收集學生關於數學 解題歷程及數學學習相關經驗等資料，且全程配合錄影、錄音等方式將所蒐集到 的資料經轉錄的方式處理，並製成原案，接著再對學生的解題原案進行分析，以 探討學生動機信念及自我調整學習策略策略對其解題行為表現的影響。

第二節 研究工具

本研究的研究工具有三個，分別是非例行性試題、MSLQ 學習策略動機量表

（Motivated Strategies for Learning Questionnaire）（Pintrich &Groot, 1990）、和晤 談工具，包括：半結構性解題自我調整行為晤談大綱（如附錄Ｇ），及半結構性 個人背景晤談大綱（如附錄Ｈ），說明如下：

一、非例行性試題的編制：

（一）試題取材範圍：

本研究的第一個研究工具是非例行性的試題，本試題的設計主要是參考

「PISA 數學樣本試題 (OECD, 2006 )」、「台灣 2011 數學素養試題」、五年級南一

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版第九冊數學課本及習作內等題目編製而成，共六題。

（二）試題編選原則：

為了可以讓數學低成就的學生有成功解題的機會，因此，本研究試題的編寫 原則會以國小高年級學生生活題材和經驗相關為原則，讓高低數學成就的學生都 有意願去思考可能的解題策略並求得最後的答案，且為了避免學生採用單一機械 式的方法回答，每個題目都有兩種或以上的解法。

（三）題型分類：

在進行正式解題之前研究者會先讓學生先練習兩個數學題目（P1, P2）（如 附錄Ａ所示），藉此熟悉放聲思考的解題方式。接著，研究者分別以「數與量」

（N）、「圖形與空間」（M）及「邏輯與推理」（Ｌ）三個向度作為編選題目的分 類依據。其中在「數與量」這個向度中有 3 題，「圖形與空間」向度有 2 題，而

「邏輯與推理」向度有 1 題，共六題，而題目類型包含有題組（不只一個問答的 題目）及非題組（只有一個問答的題目）（如表 3-1-1 所示）。至於相關的對應能 力只表如附錄Ｂ所示。

表 3-1-1 非例行性的試題對照表

代號 單元名稱 數學概念 題型

N-01 睡覺時間 分析推論 非題組

N-02 生日蛋糕 代數求解 題組

N-03 集點活動 求整數解 非題組

M-01 披薩 面積體積概念 非題組

M-02 木匠 周長概念 非題組

L-01 匯率 分析推論 題組