3.3 歐幾里德之窗
4.2.3 第五設準的問題在哪裡
從這幾本科普書的內容，歸納出歐幾里得之後的數學家，認為第五設準 有問題的部分：（1）和其他四個設準相比，138字數多、結構複雜且沒有那麼不 證自明。（2）連歐幾里得本人都不喜歡這個設準，因為他在前 28 個命題中，
都盡量避免使用此設準，一直到第 29 個有關平行線的證明，才使用到它。
筆者引述《爺爺的證明題》中，法官和爺爺的對話
VS（維傑‧薩尼）：就是說一個特定的設準無法從其它設準中推演而 來。而從這裡我們就會接觸到充滿問題的設準 5。
設準 5：如果一條直線落在這兩條直線上，所形成的同側內角之和小於 兩個直角，那麼這兩條直線如果延伸下去，會在內角小於兩個直角的那 一側相交。
JT（泰勒法官）：這看起來很複雜。[停頓]光以字數來說，它似乎比前 四個加起來還多。我甚至不確定我懂它想表達什麼。
VS:我在瞭解它的精確措詞之前，也花了點時間思考。最後，畫圖幫了我 非常多。我畫給你看。
圖 4.2.5
VS：法官，我可以從你的眼神中看出來，你已經抓到設準 5 的意義了。
138 前四個設準請參考本論文第 2 章第 2 節。
JT：是的。你畫的角 1＋角 2 會小於兩個直角，而這兩條線會在這兩個 內角的同一側相交。[停頓]不過，我還是對這個設準感到有點不自在。
和你一樣，他們被它的複雜和多字困擾著。我曾讀到，人類花了無數個 小時企圖顯示設準 5 會和前四個設準一樣簡明易懂。但是，他們的努力 都失敗了。
JT：真的嘛！那歐幾里得一定也注意到這個設準的複雜性了?
VS：是的，有令人信服的證據顯示歐幾里得本人對這個設準不是很滿 意。例如，他在前 28 個命題裡，都儘量不用這個設準，只有在絕對需要 的時候，才會使用它。昨天晚上，當我重新翻閱《幾何原本》前幾頁 時，我可以鮮明的想像，他試著將第五個設準拆成更簡單的構成要素，
但卻無法成功。也許最後他直覺地認為任何的來源都是不可能的，因 此，要使用這個結論的唯一辦法，就是將它視為一個設準。139
閱讀完上述對話，讀者除了理解第五設準的問題處外，法官的疑惑和爺 爺的回答，可以說是揣摩當時對第五設準有所疑惑的數學家心情。對第一次看 到第五設準的讀者而言，小說中的對話，或許更能貼近讀者學習數學的經驗，
這也是另一種可以引發「引導式的再發現/再發明」（guided discovery/invention）成效的例證。140
而對於歐幾里得本人也避免使用第五設準，在《歐幾里得之窗》中，出 現過兩次相關的敘事內容：
歐幾里得的第五條設準稱為平行設準，顯然沒有其他設準那麼明白易 懂。這是歐幾里得自己發明的設準，並非來自他收集的龐大知識記錄。
不過，他自己顯然不喜歡這條設準，因為他總是盡可能避免使用。後來
139 高瑞夫（Gaurav Suri）與哈托許（Hartosh Singh Bal）著（洪萬生、洪贊天、林倉億合譯），
《爺爺的證明題》，頁 155-156。
140 由荷蘭數學家與數學教育家 Hans Freudenthal(1905-1990）所提出。
的數學家也不喜歡這條設準，覺得這不夠單純，不適合作為設準使用，
142 李奧納多．曼羅迪諾(Leonard Mlodinow) (陸劍豪譯)，《歐幾里得之窗》，頁 119。
有些時候，我幾乎要相信包含於這設準中的訊息是獨立於另外四個的。
但在其它時候，當我對自己的力量更有自信時，我認為一定有某種可以 成功的方法。這個追尋的過程已讓我筋疲力竭，我無法睡超過一個小 時，醒來的時候又是想著同一件事：「有方法證明第五設準嗎?」
今天，我下定決心，這極度消耗精力的追尋必須結束了，我再也無法忍 受這種糾纏，它會把我逼瘋的!
僅管有很多的誘惑，我仍避免在第一冊的前 28 個命題中使用第五設準。
但，現在我到了不得不使用它的時候了。…………有趣的是，使用它之 後，它就立刻給予我完成第一冊所需的全部力量，那些簡潔而有力的定 理，一下子就全通了。必方說，從它可以很快得到……143
這一篇歐幾里得日記內容雖然是虛構的，但作者將歐幾里得內心的掙扎 與轉變描寫的活靈活現，以筆者做為讀者的角度來評論，這種將數學家進行數 學研究時有血有肉的形象、讓情緒衝突化、劇情有對比轉折的敘事方式，更能 加深讀者對整件事情的記憶。
4.2.4 與第五設準等價的其它設準
在和第五設準等價的其它設準中，最值得一提的就是普雷菲爾設準，本 論文 2.2.6 節有其相關的討論。而在《上帝是數學家？》裡，作者對普雷菲爾設 準的敘述如下：
今天最常援用、相當於這「第五」設準的版本首先出現於西元五 世紀希臘數學家普洛克洛斯（Proclus）的評論中，但它一般被稱作「普 雷菲爾公理」（Playfair axiom），144以蘇格蘭數學家約翰‧普雷菲爾
（John Playfair，1748─1819）為名。它是這麼說的：「如果有一條直線
143 高瑞夫（Gaurav Suri）與哈托許（Hartosh Singh Bal）著（洪萬生、洪贊天、林倉億合譯），
《爺爺的證明題》，頁 205-206。
144 《上帝是數學家？》中譯者將普雷菲爾譯為波雷費，本論文統一將 Playfair 譯為普雷菲爾。
和一個點，點不在直線上，我們便有可能畫出一條既通過那個點，又與 那條線平行的直線。」145
圖 4.2.6
至於為什麼會最常援用，《歐幾里得之窗》的作者認為這一項等價設準對於空 間的敘述格外清處。146在此書〈第三部—托勒密的麻煩〉裡，作者甚至用紐約 第五大道和其它地圖上的建築物與到道路來取代普雷菲爾設準中的線與點，試 圖用這樣可具體想像的方式來說明普洛克洛斯的論點。147
在《爺爺的證明題》中，對於此一設準的評價如下：
JT：嗯，普洛克洛斯的敘述對我來說的確直觀多了，不過，我學到要自 己負責，不能只靠字面意思就認為它與歐幾里得的第五設準等價。如何 證明它們等價？
VS：問得好！這兩個設準等價是因為它們包含一模一樣的訊息，一個必 然包含另一個。現在你可以猜猜我們要如何證明這件事。
JT：假設一個成立去證明另外一個，然後反過來再做一次，是這樣嗎？
VS：正是如此!
或許是因為普羅菲爾設準具有普遍性與直觀性，在《用漫畫學幾何》當中，作 者直接用普羅菲爾設準取代了第五設準，詳細敘述如下：
145 引自馬里歐．李維歐(Mario Livio)著 (洪世民譯)，《上帝是數學家？》，頁 203。
146 參考李奧納多．曼羅迪諾(Leonard Mlodinow) (陸劍豪譯)，《歐幾里得之窗》，頁 51。
147 參考李奧納多．曼羅迪諾(Leonard Mlodinow) (陸劍豪譯)，《歐幾里得之窗》，頁 121~126。
第五設準為－「通過直線 l 以外一點 P，只能夠畫出一條與 l 平行的直線」
圖 4.2.8《用漫畫學幾何》第五設準
同學：這也是在任何情況下都成立的!
筆者猜測作者採用普雷菲爾設準取代第五設準的可能原因如下：（1）作 者誤以為普雷菲爾設準就是第五設準。（2）作者其實知道第五設準的原來形 式，但由於以漫畫為文類，需考量字數多寡是否能放入對話格中，故選此設準 來代替。就認知理解上，普雷菲爾設準也較原來的設準清楚明白。在上述的考 量下，作者決定採用普雷菲爾設準，也使整本書在講解非歐幾何歷史時，可以 跳過說明第五設準與普雷菲爾設準的這一部分，讓敘事內容更為簡單易懂。148
148 原圖請見岡部恆治著、藤岡文世繪（劉雪卿譯），《用漫畫來學幾何》，頁 207。
4.3 非歐幾何歷史中的重要人物
關於這一節中的敘事內容十分豐富，每一本書的內容中提及的人物與數 學內容有多有少，但是四本科普書中不約而同都有提到的薩凱里、高斯、波利 耶和羅巴切夫斯基，這四位對非歐幾何貢獻極大的數學家。以下將以這四位數 學家為主角，分析敘事方面有不同差異的幾個主題。