3.3 歐幾里德之窗
4.2.2 第五設準與平行設準是否相同。
在本論文 2.2.3 節中討論到《幾何原本》中，與「平行」相關的概念，出 現在定義Ι.23，135事實上第五設準中原始敘述的確沒有提到任何平行的概 念，但進一步思考，第五設準所描述的，就是兩條直線不互相平行時所發生 的情況。換句話說，利用第五設準，就能確定兩條線是否平行。這個部份的 詳細討論，筆者援引 The Historical Roots of Elementary Mathematics 書本中討 論平行線的內容：
命題 29 如果兩平行直線被第三條直線所截，則：
（ a ） 內錯角相等。
（ b ） 同位角相等。
（ c ） 同側內角之和等於兩個直角（2R）。
135 詳細請參考本論文 2.2.3 節，頁 23~24。
圖 4.2.3 （a）之證明：（如圖 4.2.3）
假設給定直線 AB 與直線 CD 為平行線，且直線 EF 是第三條直線。我們 將證明內錯角 AGF 與 DHE 相等。如果它們不相等，那麼其中之一會比 較小，令
DHE 是比較小的角。則，我們可得：
DHE <
AGF +
BGF
BGF
DHE +
BGF <
AGF +
BGF 或者，由命題 13，
DHE +
BGF < 2 R。因此，由設準 5，直線 AB 與直線 CD 有一個交點，這與假設相矛盾。由 此可得
AGF 與
DHE 相等。註記：
我們注意到在前述之證明之中，用到了設準 5。命題 29 a （以及 29 b、
29 c ）若不用到設準 5 的話，是無法被證明的。這是歐基里德第一次使 用了設準 5。因為它涉及了平行的概念，設準 5 通常被稱為平行設準或 平行公設。136
以上是第五設準如何運用在判別平行線的詳細證明。作者在註記中，特 別說明第五設準被稱為平行設準的理由。第五設準被視為平行設準的原因，在
136 Lucas N. H Bunt 等著（黃俊偉等譯，未出版），The Historical Roots of Elementary Mathematics，頁 170。
《上帝是數學家？》中並沒有說明，而在《歐幾里得之窗》中，作者敘述第五 設準時就有提到這一點，書中的敘事內容與圖如下：
歐幾里得的第五條設準稱為「平行設準」，顯然沒有其他幾條設準那麼 明白易懂。……以下是與歐幾里得原本設準相當接近的形式：
「已知一個線段與兩條線交會，所形成的同側內角和小於兩個直角，則 這兩條線最終必定會（在線段的那一側）交會。」
平行設準是測試來確定到底兩條共面線條會相交、平行，還是偏離，用 圖來表示比較清處。137
圖 4.2.4 《歐幾里得之窗》中的平行設準
根據上述討論，雖然第五設準在沒有任何直接指涉平行線的文字，但在 結合定義Ι.23 與命題Ι.29 後，我們就可以明白第五設準與平行線之間密不可 分的關聯性。除了上述原因外，和第五設準等價的普雷菲爾設準，也是讓大家 稱呼第五設準為平行設準的原因之一，這個部分將在 4.2.4 中詳細討論。至於普 雷菲爾設準為何出現，甚至在數學的發展史上取代第五設準，我們將在接下來 的部分討論。
137 李奧納多．曼羅迪諾(Leonard Mlodinow) (陸劍豪譯)，《歐幾里得之窗》，文字參考頁 50，
圖參考頁 48。