科普書中的數學史敘事--以非歐幾何為例

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士論文指導教授：. 洪萬生蔡蓉青. 博士博士. 科普書中的數學史敘事－以非歐幾何為例. 研究生：鄭宜瑾. 中華民國. 103. 年. 7. 月.

(2) 摘要由於非歐幾何在數學史中的戲劇性和重要性，許多科普作者紛紛於作品中提及此一主體。鑒於此，本篇論文挑選了幾本廣受推薦，且分屬不同文類的科普作品，做為研究對象。這幾本書分別是高瑞夫與哈托許所著的數學小說《爺爺的證明題》、日本數學家岡部恆治的數學漫畫《用漫畫來學幾何》、李奧納多‧曼羅迪諾的《歐幾里得之窗》與馬里歐．李維歐的《上帝是數學家》。本論文亦參考專業數學史書籍 The Historical Roots of Elementary Mathematics、Victor J. Kats 的《數學史通論》與 Morris Kline 的《數學確定性的失落》與專業數學史網站 Mactutor，作為數學史實的一個標準。筆者從文本分析著手，比較不同科普作者，針對非歐幾何此一主題，在數學史的敘事上有何異同。而科普書和專業數學史的敘事相比，又有何差異。. 研究結果發現，在這四本科普書中，不約而同提到歐幾里得《幾何原本》的重要地位、第五設準的問題、非歐幾何歷史中的重要人物與非歐幾何對於數學本質之觀點的影響，這四個主題，是作者在勾勒非歐幾何歷史中不可或缺的因素。另一方面，科普作家在科普書中提及的數學內容，並非完全符合史實。作者可能是為了符合敘事內容的連貫性，或者是顧及讀者在數學內容的理解力，不管真正原因為何，這種現象皆可視為一種作者與數學文本商量的結果。而在科普書與專業數學史敘事的比較中，筆者發現科普作者在提及數學家時，傾向加入專業數學史敘事中未提及的軼事，並深入描寫數學家的性格與心情轉折，勾勒數學家們有血有肉的形象，企圖利用此種寫作手法，讓讀者產生共鳴，進而減低對數學的疏離感。關鍵字:非歐幾何、科普書、幾何原本、第五設準、數學史敘事。.

(3) 目錄第 1 章緒論................................................................................................................... 1 1.1 研究動機......................................................................................................................... 1 1.2 文獻探討......................................................................................................................... 4 1.2.1 數學科普書 ............................................................................................................. 4 1.2.2 數學史敘事 ............................................................................................................. 5 1.2.3 數學與敘事在教育上的運用 ................................................................................. 5 1.3 研究問題......................................................................................................................... 8. 第 2 章專業數學史的觀點 ........................................................................................ 13 2.1 歐幾里得與《幾何原本》的重要性 ........................................................................... 13 2.1.1 關於歐幾里得 ...................................................................................................... 13 2.1.2《幾何原本》的影響 ............................................................................................ 14 2.1.3《幾何原本》的架構內容 .................................................................................... 16 2.1.4 《幾何原本》的缺陷 ........................................................................................... 17 2.2 與第五設準相關的問題............................................................................................... 19 2.2.1 關於設準（Postulates） ....................................................................................... 19 2.2.2 第五設準是什麼？ .............................................................................................. 19 2.2.3 第五設準與平行的關係 ....................................................................................... 20 2.2.4 第五設準的問題在那裡 ....................................................................................... 22 2.2.5 數學家對於第五設準所做的努力 ....................................................................... 24 2.2.6 與第五設準等價的其它設準 ............................................................................... 24 2.3 非歐幾何歷史中的重要人物 ....................................................................................... 26 2.3.1 高斯之前的數學家們............................................................................................ 26 2.3.2 高斯 ....................................................................................................................... 30 2.3.3 羅巴切夫斯基與波利耶........................................................................................ 32 2.4 非歐幾何對於數學本質之觀點的影響 ....................................................................... 34. 第 3 章四部數學科普作品簡介 ................................................................................ 37 3.1 《用漫畫學幾何》....................................................................................................... 37 3.1.1 作者簡介................................................................................................................ 37 3.1.2 內容簡介 ............................................................................................................... 37 3.1.3 漫畫創作的特色 .................................................................................................. 45 3.2 《爺爺的證明題》....................................................................................................... 46 3.2.1 作者簡介 ............................................................................................................... 46 3.2.2 內容簡介 ............................................................................................................... 46 3.2.3 本小說文本分析.................................................................................................... 49 3.3 歐幾里德之窗............................................................................................................... 55 3.3.1 作者簡介................................................................................................................ 55 3.3.2 內容簡介 ............................................................................................................... 55 3.3.3 本書敘事內容 ....................................................................................................... 56 3.4 《上帝是科學家嗎？》............................................................................................... 57 3.4.1 作者簡介................................................................................................................ 57 3.4.2 內容簡介 ............................................................................................................... 57 3.4.3 本書內容分析 ....................................................................................................... 57. I.

(4) 第 4 章科普書之敘事比較與討論 ............................................................................ 61 4.1 歐幾里得與《幾何原本》的重要性........................................................................... 61 4.1.1 關於歐幾里得 ...................................................................................................... 61 4.1.2《幾何原本》的架構、重要性和影響 ................................................................ 62 4.1.3 關於公理系統 ....................................................................................................... 64 4.2 與第五設準相關的問題............................................................................................... 67 4.2.1 關於設準（Postulate） ......................................................................................... 67 4.2.2 第五設準與平行設準是否相同。 ....................................................................... 69 4.2.3 第五設準的問題在哪裡 ....................................................................................... 72 4.2.4 與第五設準等價的其它設準 ............................................................................... 75 4.3 非歐幾何歷史中的重要人物....................................................................................... 78 4.3.1 關於薩凱里的方法................................................................................................ 78 4.3.2 高斯在哥廷根求學時與老師凱斯特納的關係 .................................................... 80 4.3.3 高斯與波利耶的關係 ........................................................................................... 82 4.4 非歐幾何對於數學本質上的影響............................................................................... 84. 第五章結論 ................................................................................................................ 86 5.1 研究結論....................................................................................................................... 86 5.1.1 科普書與數學史專書的數學史敘事比較 ........................................................... 86 5.1.2 科普書中數學史敘事的比較 .............................................................................. 88 5.1.3 與 HPM 相關的問題 ............................................................................................ 89 5.2 建議............................................................................................................................... 91. 參考文獻 ..................................................................................................................... 92. II.

(5) 圖目錄圖 2.2.1......................................................................................................... 20 圖 2.2.2......................................................................................................... 25 圖 2.3.1......................................................................................................... 26 圖 2.3.2......................................................................................................... 27 圖 2.3.3......................................................................................................... 29 圖 2.3.4......................................................................................................... 30 圖 3.1.1......................................................................................................... 41 圖 3.2.1 《爺爺的證明題》非歐幾何模型................................................ 53 圖 4.2.2......................................................................................................... 69 圖 4.2.3......................................................................................................... 70 圖 4.2.4 《歐幾里得之窗》中的平行設準................................................ 71 圖 4.2.5......................................................................................................... 72 圖 4.2.6......................................................................................................... 76 圖 4.2.8《用漫畫學幾何》第五設準......................................................... 77 圖 4.3.1《數學確定性的失落》薩凱里的證明方式................................ 78. III.

(6) 表目錄表 1.4.1........................................................................................................... 9 表 1.4.2........................................................................................................... 9 表 2.3.1 薩凱里的數學證明思路 ................................................................ 29 表 3.1.1 《用漫畫學幾何》內容摘要........................................................ 38 表 3.2.1 《爺爺的證明題》敘事內容摘要................................................ 49 表 3.3.1 《歐幾里得之窗》內容摘要........................................................ 56 表 5.2.1 科普書與數學史專書的建議修正表 ............................................ 91. IV.

(7) 第 1 章緒論 1.1 研究動機近年來，中研院和國家圖書館等學術單位，紛紛開始推廣數學科普書的閱讀。例如在中研院數學研究所和其它單位共同建製的網站「向社會推薦優良數學科普書籍」中，1推薦了 76 本數學科普作品，並且提供每本作品簡單的內容介紹和難度分類，讓欲接觸數學科普書的讀者在選書時有個參考。除了科普書推廣外，對於數學科普書的研究，也累積不少成果，例如在「百部數學普及作品的內容與形式之研究計畫」（NSC 96-2511-S-003），提供了百本數學科普書的深度書評，集結在臺灣數學博物館科普特區中的深度書評中，2該網站目前已有超過上百篇深度書評，並且持續累積中。. 筆者閱讀科普書的經驗，源起於大三上微分幾何課。當時任課老師指定全班同學閱讀《歐幾里德之窗》這本甫剛出版的新書，並要求繳交一篇讀後心得。老師並沒有著墨太多要同學閱讀此書的理由，因此習慣接受「純數學」訓練數學系同學們，多少感到不知所措。然而，閱讀本書卻也為我學習數學的方式帶來另一個轉捩點。當時的我正為數學課本上符號的抽象性、不知如此完美的定理從何而來，為什麼要將定理寫成這種難以親近的形式表示……，諸如此類與傳統數學學習看似無相關的問題，常常從我的腦袋冒出來，卻又不知如何解答，課本上完美的定理和抽象符號離我越來越遠，原本對於數學的熱愛也轉變為一種投降的無力感。然而，在閱讀《歐幾里德之窗》這本書時，該書提供的數學歷史發展脈絡，讓我又再次憾動於數學之美，只是這一次結合了數學知識活動的另一個面向。有了這次經驗，我瞭解到或許教科書編排內容和老師上課方式，並不那麼適合我，我試著在圖書館內找尋微分幾何的相關書輯，搭配當時課堂所學一步步用自己能理解的方式學習，也讓我重新找回學習數學的樂趣。. 1 2. 參考網址為 http://w3.math.sinica.edu.tw/mrpc_jsp/book/。參考網址為 http://museum.math.ntnu.edu.tw/view.php?menuID=2。. 1.

(8) 綜合個人經驗與當前數學社群不遺餘力推廣數學科普書的閱讀，科普書對於提升讀者的學習興趣，應有無庸置疑的助益。而讓科普書變有趣的一大關鍵，在於作者的敘事能力。即便在同一主題之下，不同作者也可以有完全不同的呈現方式。關於數學與敘事的研究結果，可見本論文文獻分析之處。然而針對同一主題分析不同作者的敘事方式，目前尚未見到相關研究，筆者認為這是值得切入的研究問題。. 數學科普書的撰寫內容極為廣泛，但總有一些主題出現頻率頗高，例如數學家高斯小時候利用等差級數求 1 到 100 和的故事、機率中的三門問題等等。其中「幾何」這個主題亦受科普作家青睞，筆者挑選幾何相關科普書為研究主題的原因有以下三點：（1）一般大眾在學校時期皆學習過基礎的幾何知識，對此一主題具有熟悉感；（2）在國中數學中，常以形式推理出現的幾何論證3，常讓學生感覺幾何很難，這些談及幾何學的科普書中，作者呈現幾何學其它有趣的面向，或許能做為引發學生學習興趣的良好媒介；（3）幾何的發展史極富戲劇性，從歐氏幾何發展到非歐幾何，跨越了兩千多年，其中非歐幾何的發現，更撼動了數學知識的確定性，也間接影響近代科學諸如相對論與弦論的發展。. 由於本論文的研究重點在於敘事方式的比較，因此刻意挑選不同文類與不同專業背景作家所寫的科普作品，以增加本論文所分析之廣度。另一方面，科普作家在寫作時為了增加敘事流暢度，製造情節的衝突性與兼顧讀者閱讀時的趣味性，有時會改寫或增刪數學史內容。事實上，數學史實的正確性亦十分重要，也因此本論文援引專業數學史的研究資料，歸納出最貼近此一主題的「正確史實」，以做為與科普書比較時的參考標準。. 3. 關於幾何與證明相關的議題，可參考洪萬生，〈教改爭議聲中，證明所為何事？〉，《師大學報第四十九卷第一期 2004 年 4 月科學教育類》。. 2.

(9) 筆者以國中數學教師的角度閱讀這幾本科普書與數學史專書時，亦發現書中有許多內容可作為 HPM 參考，4例如歐幾里得在幾何原本中的尺規作圖，其實是一種存在性的證明。而《爺爺的證明題》中，法官與爺爺的諸多對話，更充份展現「引導式再發現」的過程和意義。. 藉由本論文的研究，筆者希望能整理出非歐幾何學的歷史脈絡，提供讀者一個概括的輪廓，再從 HPM 與敘事的觀點分析這幾本科普書的內容，為數學科普書的閱讀與推廣，略盡棉薄之力。. 4. 所謂 HPM（International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics），是指隸屬於國際數學教育委員會（ICMI）的一個研究群，專門推動數學史與數學教學之關聯。簡單地說，它是數學史學對數學教育的一種應用，目的當然是利用數學史的研究成果、以及數學史與數學教育的互動，來提升數學教師的教學品質與學生的學習成效。引述自洪萬生，〈HPM 通訊發刊詞〉，1998。. 3.

(10) 1.2 文獻探討 1.2.1 數學科普書在科普書的創作中，作者會因為某些原因，改寫或刪減某些史實，以符合其創作目的。即使是同一創作主題，因每位作者參考的歷史材料並非全部相同，加上個人敘事風格，不同作品會強調出不同的重點，讀者在閱讀後，亦會有不同省思與認知。有時後更接近史實，有時後更遠離。5即使科普書中的歷史敘事不完全符和史實，但它們仍然具有數學知識的普及功能。也因此，分析不同科普書在數學史上的敘事脈絡，可以比較出作者在進行數學科普書創作時，欲強調的數學知識面向，以及用何種敘事包裝來吸引讀者，創造出貼近讀者認知的閱讀經驗。. 在數學科普書的書寫方面，作者通常以何種理念進行創作，筆者引述下面這段話：. 除了觸及歷史文化脈絡與數學知識活動的相互影響之外，也希望提供一些至今仍具有意義的數學知識。歷史文化的脈絡意義，誠然一直在更新或改變，但數學知識卻歷久彌新，譬如『畢氏定理』的內容，甚至它的古典證明，也具有永恆不朽的學習價值。透過一些具體實例的呈現，我們希望可以更加「貼近」數學知識成長的歷史意義，從而凝聚出一致的科普數學書寫（popular mathematics writing）的主張。6. 更明白的說，數學科普書的書寫不僅要重視歷史敘事的包裝，也要注意敘事過程中，是否能提供讀者在數學知識上的學習認知。. 基於以上討論，本論文在分析數學科普書的文本內容時，會分別從兩個面向切入：（1）數學家傳記的敘事包裝。（2）數學知識概念的敘事方式。. 5 6. 邱珮瑜，《科普讀物裡的性別信念》，頁 5。洪萬生等，2008，頁 2。. 4.

(11) 1.2.2 數學史敘事. 科普書中必然有許多說故事的地方，也因此離開不了數學史敘事，筆者先引述《溫柔數學史》書中，兩位作者對歷史與故事之連結的觀點：. 我們已經盡可能精確地反映今日被熟悉的歷史事實。然而，歷史畢竟不是嚴正科學（exact science），而且不完備或相互衝突的來源，在學者之間，經常導致他們針對事實的無法相容的判斷。有些有關人物與事件的故事已經演化多年，形成一種極少文獻證據支撐的「傳說」。僅管這些對於歷史學者不無困擾，然而，很多這類故事卻深具價值，他們就像每一個文化中的傳說一樣，發揮了寓言的啟發作用，或者勾起記憶的「引子」，以幫助你或你的學生記住某一個數學概念。與其完全忽視這些軼事而喪失其價值，我們不如精選最有趣的幾則納入本書相關題材，連同適當的提醒以避免過於表面的對待。7. 以上看法，當然也結合兩位作者在數學方面的研究、寫作與教學經驗。而這樣的看法對於數學科普書中的數學史敘事同樣重要，以此為標準，筆者將從科普書的敘事中，觀察在同一主題下不同作者對於歷史事實的敘述差異，並佐以數學史專書，分析不同科普作者在寫作時，是否遭遇歷史事實上的不完備與相互衝突，在這樣的狀況下科普作者如何取捨其手邊的素材而完成創作；另一方面科普書中援引的歷史故事，哪些是真實史料，又有哪些其實是缺乏文獻支撐的「傳說」；科普作家在引用這些「傳說」時，是否加入適當的提醒，以免讀者過於表面的對待。. 1.2.3 數學與敘事在教育上的運用. 科普書中除了數學知識外，還有許多有關數學或數學家的故事，若教師能將此融入教學，常常都是在課堂中最受歡迎的教學插曲。關於數學家傳記如 7. 引述自柏林霍夫/辜維亞，《溫柔數學史》，頁 1。. 5.

(12) 何融入數學教室活動之中，筆者先說明課堂上可以如何運用數學史，以下引述〈數學與敘事在教育上的應用：以通識教育和 HPM 為例〉中作者洪萬生與林芳玫的看法：. 大致說來，後者可以分為三個層次，第一，當然就是前述的「說故事」！然則怎麼「說」呢？我們認為史實的「求真」固然重要，但由於我們的目的在於數學的教與學之成效，所以，只要能夠提振學生的士氣與興趣，就已經達到初步的目的了。當然，學生如果因此而得到人格與認知兩方面的啟發，那麼，數學史的運用價值就更高了。此外，如果可以在引入傳記的脈絡中，「從歷史的角度注入數學知識活動的文化意義，在數學教育過程中實踐多元文化關懷的理想」，那就更是「善莫大焉」了。8. 科普作者取材與呈現的數學史敘事，某一程度反應了作者心中「用有趣的方式來說故事」的標準。而在人格與認知的啟發，我們可以從將數學或數學家人性化的方式，來降低學生對數學的冷漠與焦慮，甚至能讓他們心中挫折且無助的感覺得到抒發。9如要達到最後一項目標，則科普書中的敘事需要有足夠的數學知識內容，如果只是約略連結到數學，則無法達成此效果。10. 最後對於數學與敘事的連結做一個必要提醒：「故事或敘事固然可以吸引一般人對於數學文化的興趣，但是，過度花俏的裝飾可能無助於基本概念的澄清」，11如何將故事編得生動有趣，使得融入這些敘事的數學概念，能讓讀者在閱讀科普書時，產生學習認知上的「引導式的再發現/再發明」（guided discovery/invention），12也是本論文所關注的重點。而作者為了達成此學習認. 8. 洪萬生等，〈數學與敘事在教育上的應用：以通識教育和 HPM 為例〉，頁 3。洪萬生等，〈數學與敘事在教育上的應用：以通識教育和 HPM 為例〉，頁 5。 10 參考柏林霍夫/辜維亞，《溫柔數學史》，頁 1。 11 參考 Mazur，2005。 12 荷蘭數學與數學教育家 Hans Freudenthal 提出。 9. 6.

(13) 知上的目地，通常會適當地向歷史上的數學家或數學文本「商量」，13關於這樣的現象，本論文試著在這幾本科普書中找到合適的例證。. 13. 洪萬生等，〈數學與敘事在教育上的應用：以通識教育和 HPM 為例〉，頁 10。. 7.

(14) 1.3 研究問題綜合以上討論，本論文列出以下三個研究問題（1）比較不同科普書中，針對非歐幾何此一主題的敘事，有何相異之處。（2）就非歐幾何此一主題，科普書中的敘事方式與數學史專書有何異同。（3）討論此一主題中，數學史專書與科普書如何與 HPM 相關。. 8.

(15) 1.4 研究方法關於研究材料的挑選，除了這幾本書的內容與研究主題相稱外，亦參考了臺灣數學博物館科普特區與《HPM 通訊》、中研院數學所「向社會推薦優良數學科普書籍」這兩個網站中的書單，再加上教育部高中數學學科中心所推薦的數學科普書籍名單。14以下表格呈現上述三網站中所查尋到相關資料的結果：15. 表 1.4.1 臺灣數學博物館. 中研院「向社會. 高中數學學科中. 科普特區或. 推薦優良數學科. 心所推薦的數學. 《HPM 通訊》. 普書籍」. 科普書籍名單. 《歐幾里得之窗》. ✓. ✓. ✓（2007 ）. 《用漫畫來學幾何》. ✓. ✗. ✓（2011 ）. 《爺爺的證明題》. ✓. ✗. ✓（2010 ）. 《上帝是數學家？》. ✓. ✗. ✓（2012 ）. 書名. 由於中研院數學所「向社會推薦優良數學科普書籍」推薦書單定稿於 2007 年，之後即不再更新，因此 2012 年出版的《上帝是數學家？》和 2009 年出版的《爺爺的證明題》，當然不會出現在推薦書單之列。《用漫畫來學幾何》雖未列入此名單中，但因其文類特別，為較少見的數學漫畫類作品，故仍為本論文選為研究之材料。. 這幾本科普書除了受到數學社群的肯定與推廣外，也有不少數學教育工作者針對他們撰寫深入書評，筆者將相關書評羅列如下：表 1.4.2 《用漫畫來學幾何》. 1.. 葉吉海，《HPM 通訊》。16. 14. 網址為 http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/MCenter/Center/ExtendRecommendedBooks.aspx。「✓」表該網站可查尋到此本科普書內容，「✗」為該網站無提供相關內容。 16 全文請見 http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol3no12e.htm。 15. 9.

(16) 《歐幾里得之窗》. 1. 中研院。17 2. 陳敏皓，《HPM 通訊》。18. 《爺爺的證明題》. 1. 林倉億，《HPM 通訊》（同時刊登於高中數學學科中心）。19 2. 洪萬生，《HPM 通訊》（同時刊登於高中數學學科中心）。20. 《上帝是數學家？》. 1. 洪萬生，《HPM 通訊》（同時刊登於高中數學學科中心）。21. 文本分析是本論文最主要採取的研究方法，筆者反復閱讀此四本科普書內容，將書中文本記錄下來，最後歸納出幾個在四本書中都出現的主題，做為分析敘事的主要內容，分別是（1）歐幾里得與《幾何原本》的重要性（2）與第五設準相關的問題（3）非歐幾何歷史中的重要人物（4）非歐幾何對於數學本質上的影響。. 為了提供科普書敘事分析在歷史事實上的一個標準，本論文援引專業數學史書輯中的研究資料，在第二章中歸納出最貼近上述主題的「正確史實」，以做為與科普書比較時的參考標準。參考的專業數學史資料，分別為 Morris Kline 所著的《數學確定性的失落》、Victor J. Katz 的《數學史通論》、Lucas N.H. Bunt 等人合寫的 The Historical Roots of Elementary Mathematics 與 MacTutor History of Mathematics 的數學史網站。22第一本書採用趙學信與翁秉仁所翻譯的正體中文版本，第二本書則參考李文林等人翻議的簡體中文版，第三本書則是由洪萬生暨 HPM 團隊所翻譯的版本，但目前尚未出版。前三本書皆在臺灣師大數學系數學史和數學社會史課程中，推薦為值得一讀的好書，甚至為課程指定閱讀的內容。除此之外，為了避免翻譯過程造成語意上的誤解，筆者在分析此三本書時，亦參考原文內容以達正確性。. 17. 全文請見 http://w3.math.sinica.edu.tw/mrpc_jsp/book/57.jsp?page=6&id=57。全文請見 http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol6no7c.htm。 19 全文請見 http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/eArticleDetail.aspx?id=84dc7ab515ca-4946-8b0c-4d12821df4fe。 20 全文請見 http://museum.math.ntnu.edu.tw/fulltext/415_20100722120623.pdf。 21 全文請見 http://museum.math.ntnu.edu.tw/fulltext/527_20120411233100.pdf。 22 該網站的文獻相當可靠，詳細評價可參考 http://museum.math.ntnu.edu.tw/fulltext/3_20090325.pdf。 18. 10.

(17) 本書第三章為四本數學科普書的摘要與介紹，讓未讀過此四本科普書的讀者，在讀過本章後，對這幾本書能的內容有概略性的認識。另一方面，這幾本書所涉及的數學知識非常豐富，例如《爺爺的證明題中》除了歐氏幾何與非歐幾何外，還囊括數學史上另一個極為精彩的思想革命─康托爾的連續統問題，但這並非本論文著重分析之處。故筆者在第三章的內容中，除了介紹這四本書的概要外，亦會說明本論文著重分析的敘事部份。. 關於本論文重點—科普書敘事分析將會放在第四章，針對第二章中提出的四個主題，將此四本書中與非歐幾何相關的敘事內容進行細致的比較。第五章中的結論中，將會援引第四章的比較結果，以回答筆者所提出的三個研究問題。. 11.

(18) 12.

(19) 第 2 章專業數學史的觀點本章所引述的數學史觀點主要來自以下三本著作 The Historical Roots of Elementary Mathematics、A History of Mathematics An Introduction、《數學確定性的失落》，並參考專業數學史網站 The MacTutor History of Mathematics archive 中的內容，23針對各節所提出的問題，歸納出筆者認為最有可能的回答，並以此為標準，在第四章中與科普書中的論述作進一步的比較。. 2.1 歐幾里得與《幾何原本》的重要性 2.1.1 關於歐幾里得這幾本數學史專書，都承認對於歐幾里得的生平瞭解甚少，關於歐幾里得生平的相關史料，在普洛克魯斯（Proclus，410~485）的作品《評注》中，有少量的記載，24而現今對歐幾里得的認識，引述 Morris Kline 的說法如下：. 我們相當確定西元前 300 年前後，歐幾里得住在亞歷山卓，並在該地教書。至於他本人的教育，則可能是得自於柏拉圖的學園。我們對歐幾里得個人生平所知到，也就是只有這些。25. 在《數學史通論》中，Katz 進一步說明歐幾里得從事教書與學術研究的狀況：. 一般認為，歐幾里得曾在亞里山大博物院（Museum）和圖書館任教並進行學術活動，這個複合機構是在約公元前 300 年，托勒密一世索特（Soter，馬其頓的將軍，在公元 323 年亞歷山大死後，統治了埃及）建立的。「Museum」意思是「繆思女神」廟，它實際上是政府研究組織，它為成員提供生活費與飲食費用且免征個人所得稅，托勒密一世及其繼承者希望用這種方法從希臘各地吸引優秀人才。事實上，博物院和圖書 23. 網址為 http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/。參考 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 49。 25 引自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 26。 24. 13.

(20) 館不久便成為希臘人文科學和自然科學最高級的學術研究中心，因為在那裡也聚集了許多年輕的學生，所以這些成員不久便轉向教學。圖書館的目標則是搜集希臘所有最實用的文獻並使之系統化，為此，外出的船隊被指示在他們返航時從經過的每個港口帶回各種書卷。26. 從上述的文字中，我們可以想像歐幾里得身處的學術環境。而對於歐幾里得在數學上的成就，數學史專家有以下的評價：. 雖然他並沒有留下特別重要的數學發現，但是，從他的作品之中，幾可推斷他是一位傑出的數學教師。他為往後的數學研究樹立了典範，這也使得數學漸為歷代的學習者們所理解。他最偉大的貢獻在於集前人之大成，特別地，我們從歐基里德的《幾何原本》之中發現了泰阿泰德（Theaetetus）和歐多索斯（ Eudoxus ）等人的研究成果，極可能是因為幾何原本的實用性，終使得它能夠被保存並流傳下來。27. 雖然我們對歐幾里得詳細的生平瞭解不多，但從當時他所處的生活環境與學術氛圍，可想像出促成歐幾里得完成《幾何原本》的背景與動機：歐幾里得身處在希臘最高級的研究中心，所有的數學知識可以說是唾手可得，加上他本人擔任教師的工作，對於這些數學知識有一定的熟稔程度，或許基於他本人教書上的需求，又或者想將數學知識完備化，寫出一本可供後人參考，且邏輯架構無懈可擊的數學百科。不管他的動機為何，若歐幾里得從沒在亞歷山大任教，從來未取得過亞歷山大圖書館豐富的館藏藏量，他應該無法完成這一項集前人大成的重要工作。. 2.1.2《幾何原本》的影響 26. 引自 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 49。 Lucas N. H Bunt 等著（黃俊偉譯，未出版），The Historical Roots of Elementary Mathematics，頁 205。 27. 14.

(21) 世人對於歐幾里得的認識，大部分都是藉由《幾何原本》而來的，而數學史上對於《幾何原本》的評價，筆者引述經典的數學史著作《數學史通論》中的文字：希臘時期乃至整個人類歷史上最重要的數學著作就是歐幾里得的《原本》，28它寫成于約 2300 年前，是除《聖經》外發行量最大的著作。29 《聖經》是形塑西方文化極重要的一本書，Katz 將《幾何原本》與《聖經》對比，代表《幾何原本》亦是對西方文化影響極為深遠的一本著作。. Kline 在他的《數學確定性的失落》則更進一步闡述《幾何原本》對於西方文化所影響的面向：. 推動這種以邏輯的、數學的方式來研究自然的思路，主要必須歸功於歐幾里得的《原本》。雖然這部著作的主旨是物理空間的研究，但它的架構、巧思和清晰性，不僅激發了其他數學領域（例如數論）採用公設─ 演繹法，甚至所有科學學門都群起仿效。透過這部作品，知識界建立了以數學為基礎，運用邏輯組織所有物理知識的觀念。30. 《幾何原本》最主要產生的影響是西方科學與數學的研究方法，換句話說，也就是數學與科學知識的本質面貌與與該學科的呈現方式。而《幾何原本》所展現的數學結構之美，也吸引了許多數學家投身於數學研究的行列：. 許多著名數學家的傳記中都指出，歐幾里得這本書是最早把他們引入數學研究並激勵和促使他們成為數學家的著作。《原本》給他們提供了「純數學」的模式，嚴密的公理、準確的定義、仔細陳述的定理和邏輯一致的證明。31. 28. 本論文參考李文林等譯的簡體中文版本，譯者採用《原本》此一書名，臺灣一般使用《幾何原本》來稱呼 Elements。 29 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 48。 30 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 35。 31 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 48。. 15.

(22) 而這些都要歸功於歐幾里得在撰寫此本書時所取材的內容以及書寫架構。. 2.1.3《幾何原本》的架構內容接下來我們來討論《幾何原本》中的內容與成書架構：. 歐幾里得的《原本》共由 13 卷組成，但內容在整體上並不統一，從其內部結構和援引的希臘數學史的資料可看出，《原本》是歐幾里得把當時許多數學著作中的不同內容重新組織後寫的一部概要。但是，《原本》在結構上卻是完整的。32. 就第一點內容在整體上並不統一，指的是歐幾里得《幾何原本》13 卷中的內容包含了平面幾何、數與量、比例、三維立體幾何、因此就內容而言《幾何原本》可以說是一本數學知識大全。另外一方面，為何 Katz 認為《幾何原本》的結構是完整的呢？以 The Historical Roots of Elementary Mathematics 這本書的觀點，作者認為歐幾里德滿足了柏拉圖對於數學知識的要求：數學知識只能藉由論證來獲得。不該僅僅從圖形之中覺察性質，而應給予每個性質一個嚴格而精確，並且不使用任何圖形的證明。33除此之外，歐幾里得在撰寫本書時，也依照亞里斯多德的觀點來建構一個數學演繹系統：. 依據亞里斯多德的想法，建構一個數學系統必需從作為所有演繹學基礎的共有概念（ common notion ）出發，並且，也必需從假設了數學之基本概念的存在性，……，這些已定義概念的存在性也必需被證明。我們不難發現歐基里得正是依循著亞里斯多得的指示來建構他的數學系統。34. 32. 引自 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 49。參考 Lucas N. H Bunt 等著（黃俊偉譯，未出版），The Historical Roots of Elementary Mathematics，頁 142。 34 參考 Lucas N. H Bunt 等著（黃俊偉譯，未出版），The Historical Roots of Elementary Mathematics，頁 142。 33. 16.

(23) 歐幾里得撰寫《幾何原本》時，將數學知識重新組織建構，符合了哲學家柏拉圖和亞里斯多德的要求，建立了數學的公理演繹系統。另外也有這樣的觀點，歐幾里得並非是第一位考慮數學公理演繹系統完備性的數學家：. 根據普羅拉斯（ Proclus ）所言，大約早於歐基里德 100 年的時代，希波克拉提斯（ Hippocrates ）匯編了一部「原本」，在他之後，另外幾個希臘數學家也制定了類似的系統。現今所保存下來，最早的原本即為歐基里德的《幾何原本》。35. 由於希波克拉提斯與其他希臘數學家所制定的類似系統，皆已不可考。我們無從判斷這些早於歐幾里得的數學家，是否制訂出符合現代數學標準的公理系統，也因此，一般皆同意歐幾里得的《幾何原本》是將數學知識公理演繹化的最早著作。. 目前我們所研究的《幾何原本》內容，並非 2300 年前歐幾里得寫好的版本，《幾何原本》留存至今已傳抄無數多次，並在內文中留有前人給予的評論注釋，目前已知共有超過 1000 多種不同版本的《幾何原本》。這幾本數學史專書與本論文所引用的版本，皆為 Thomas Heath 的英文譯本，此英文譯本翻譯自 19 世紀 80 年代丹麥學者海伯格所編輯，最接近權威的希臘文本。36. 2.1.4 《幾何原本》的缺陷. 《幾何原本》雖然備受推崇，對整個西方數學與科學的影響也無庸置疑，但從現代數學的觀點來看，《幾何原本》的邏輯架構仍然有一些缺陷之處，例如在一些證明之中，某些來自於觀察圖形而得到的性質，被視為理所當然，而這些性質並未被證明。在第一卷命題 1 的證明中，兩圓交點的存在性即是其中一個例證。37. 35. 參考 Lucas N. H Bunt 等著，The Historical Roots of Elementary Mathematics，頁 142。引自 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 49。 37 參考 Lucas N. H Bunt 等著，The Historical Roots of Elementary Mathematics，頁 205。 36. 17.

(24) 除了上述在邏輯架構上的小瑕疵外，歐幾里得的《幾何原本》，與當時其他數學家阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》這類著作，著重在整理和呈現已獲得的數學成果，卻省略了這些數學知識的用途，省略導出定理的線索，也略過不提追求這些數學的動機。也因此許多數學家在評論古典希臘數學時，會聲稱當時的數學家所關切的只是純粹的數學本身。但其實希臘人真正的目的是研究大自然，因此與物理空間密不可分的幾何真理，遂成為數學家們所關切的對象。若我們僅閱讀歐幾里得《幾何原本》的內容，的確無法獲知這些數學知識的用途與研究這些知識的動機。38. 38. Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 28。. 18.

(25) 2.2 與第五設準相關的問題非歐幾何可說是長久以來，數學家們對於第五設準的研究成果。而第五設準究竟有什麼樣的問題，讓數學家們長期以來致力於相關研究，若要回答此提問，我們必需先從第五設準的內容談起。. 2.2.1 關於設準（Postulates）歐幾里得等希臘數學家都是從公設為起點來進行數學概念的推理，公設指的是顯而易見，因此無人會懷疑其正確性的真理。這類真理的存在性，我們可以用柏拉圖的追憶理論來支持。亞理士多德對於公設有另外的看法，他認為公設是心智可以毫不懷疑地接受與理解的原理，而他又把公設區分成設準（Postulates）和共有概念（Common notions）。這兩者的差別在於，共有概念（Common notions）在所有思想領域均為真，而設準（Postulates）則適用於某一特定學科，例如幾何學。亞理士多德對於設準的要求是，若該設準無法顯而易見或不具自明性（self-evidency）時，由該設準推導出來的結果必須能支持它的成立。但數學家在設準上的要求則更嚴格一些，數學家希望設準一樣具備不證自明的特性。39. 2.2.2 第五設準是什麼？以下是關於第五設準的英文版敘述： Postulate:5 And that, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. 40. 39 40. 改寫自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 23。 Lucas N. H Bunt 等著，The Historical Roots of Elementary Mathematics，頁 146。. 19.

(26) 設準 5:若一直線落在兩直線上，使得同側內角和小於兩個直角，那麼如果延長這兩條直線，它們將在內角和小於兩個直角的那一側相交。41. 在《數學確定性的失落》中，Kline 更進一步說明第五設準的意義，他畫了下面的圖，42並做了以下說明：如果角 1、角 2 的和小於 180 度，那麼直線 a、b 若延伸得夠遠，必會相交。. 圖 2.2.1. 2.2.3 第五設準與平行的關係在《數學確定性的失落》與《數學史通論》中，都將第五設準稱為平行設準，而在《幾何原本》中，第一次出現與平行相關的定義，則是定義 Ι.23：. 定義 Ι.23、平行的直線是落在同一平面上，往兩個方向持續不斷地延長時，彼此不會相交的直線。43 Parallel straight line are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.. 41. Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 97。 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 23，圖 4.1。 43 Lucas N. H Bunt 等著（黃俊偉譯，未出版），The Historical Roots of Elementary Mathematics，頁 144。 42. 20.

(27) 而在《數學史通論》中，中文譯本將此定義翻譯為「平行直線是在同一平面內的直線，它們向兩個方向無限延長，不論在哪個方向都不相交。」44 請注意不同譯者對於 “produced indefinitely”的詮釋，前者譯為「持續不斷地延長時……」，後者則使用到無限延長的概念。對於此定義，Katz 有如下的評價：. 但歐幾里得對平行線的定義有些讓人感到奇怪，在實際中如何應用這一定義，又如何確定兩條直線永不相交呢？因為不可能作出無限長的直線，所以歐幾里得承襲了柏拉圖式的理想平面上理想直線的概念。45. 平行定義中所牽涉到無限長直線的概念，也影響了歐幾里得在選擇第五設準的敘述方式，筆者將會在下一節中進行更進一步的討論《幾何原本》的內容，大多是前人所留下的數學成果，但關於第五設準，Katz 則推論歐幾里得是最早提出此設準的人：. 事實上亞里士多得曾指出，在他的時代平行理論並沒有堅實的基礎，這使我們相信歐幾里得所提出的第五公設是平行理論的起點。46 The fact that Aristotle notes that in his time the theory of parallels was not on a firm footing lends credence to the belief that Euclid is responsible for the fifth postulate, a starting point for this theory. 47 然而，在歐幾里得之後的許多數學家，48嘗試證明第五公設應該是一個定理（Theorem），49而非不証自明的公設（Postulate）。然而這些前仆後繼的. 44. Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 50。 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 51。 46 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 51。 47 Victor J. Katz，A History of Mathematics：An Introduction，頁 62。 45. 48. 在簡體中文譯本中譯為「當歐幾里得提出這一個公設後，當時的許多數學家……」，英文原文為 ”Nevertheless, ever since Euclid’s time various mathematicians have attempted ……”，筆者認為將 ever since 翻譯為「在歐幾里得之後的數學家……」較為恰當。 49 定理是利用公設或已證明的定理證明得來，但設準則無法證明，需要相信它具有不證自明的正確性，詳細討論請參考本論文 2.2.1。. 21.

(28) 數學家們都未能成功。歐幾里得後來將這個性質納入公設，這個決定顯露出他在數學方面的才華。這是 Katz 對於歐幾里得處理第五設準的高評價。50. 2.2.4 第五設準的問題在那裡《數學. 確定性的失落》作者 Morris Kline 認為歐幾里得幾何原本中的第五. 設準（Postulate）讓許多數學家困擾，原因在於這條設準的敘述方式，而不是這條設準的正確性。51而 Victor J Katz 則認為，第五設準是歐幾里得五個設準中最複雜的一個，它不像前面四個設準那麼不證自明。底下筆者列出這五個設準的英文與中文譯文以便比較。52. POSTULATES Let the following be postulated：假設下面的敘述為真： Ⅰ.To draw a straight line from any point to any point. 從任何一點到任何一點可畫一直線。 Ⅱ.And to produce a finite straight line continuously in a straight line. 且一條有限直線可以持續地延長。 Ⅲ.And to describe a circle with any center and distance. 且以任意點為圓心及任意距離可以畫圓。 Ⅳ.And that right angles are congruent to one another. 且凡直角都相等。 Ⅴ.And that, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side onwhich are the angles less than the two right angles. 且如果一條直線與另兩條直線相交，若同一側的兩個內角和小於兩直 50. Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 51。 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 97。 52 英文譯文引述自 http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html，中文譯文引述自 Lucas N. H Bunt 等著（黃俊偉譯，未出版），The Historical Roots of Elementary Mathematics，頁 146。 51. 22.

(29) 角，則這兩條直線不斷延長後，會在內角小於兩直角的那一側相交。. 從上面引述的五個設準，不難看出第五設準的字數比起其它四個設準都還多，因此 Morris Kline 也說：「歐幾里得用於表達平行公設的方式似乎過於複雜，缺乏其它公設的簡潔性。」53除此之外，歐幾里得本人對這個版本的平行公設也不滿意，他在前 28 個定理中，一直都沒有使用第五設準，直到把一切都不需要用到第五設準的定理證明完畢後，才使用這個設準。54. 既然歐幾里得本人都對這個設準不滿意，那為何他還是堅持用我們現在所知道的複雜方式，來呈現第五設準呢？關於這個問題，Morris Kline 認為歐幾里得之所以採用如此迂迴的敘述方法，而不直接用我們現在所熟悉的方式：「如果角 1、角 2 的和等於 180 度，那麼直線 a，b 將永不相交。」是因為「歐幾里得怯於去假定會有永不相交的無窮直線。」55無窮直線的概念無法在我們的物理經驗中獲得保證，而設準應該要有不證自明的特性，讓我們能從物理世界中理解的真理，因此，歐氏才在第五設準中，採取不會使用到「無窮直線」這樣的敘述方式。對於這個部份的討論，Morris Kline 是這樣說的：. 歐幾里得謹慎地假設，我們可以把有限長度的線段只延伸到必要的距離，所以即使是延伸線段也仍然是有限的。然而歐幾里得仍間接暗示了無窮直線的存在；因為如果它們是有限的，就無法在任何情況下，都能延伸到必要的距離。56. 從上述的討論可以得到以下結論：歐幾里得第五設準的敘述，在結構上的確較複雜，歐幾里得本人也盡量避免使用這個設準。但歐幾里得採取如此複雜的敘述方式，能避免直接指涉無窮直線的概念。. 53. 引述自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 98。參考 Lucas N. H Bunt 等著（黃俊偉譯，未出版），The Historical Roots of Elementary Mathematics，頁 170 與引述自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 98。 55 引述自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 98。 56 引述自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 98。 54. 23.

(30) 2.2.5 數學家對於第五設準所做的努力希臘時代之後的兩千多年裡，數學家們就不斷嘗試解決歐幾里得第五設準所產生的問題。他們的方法大致上可分為兩類：. （1）以看來更為自明的敘述來取代平行設準。（2）試圖從另外九條歐氏公設（包含五個共有概念與前四個設準）來導出平行設準，如果成功，那麼平行設準其實只是一條定理，也就毋需多加質疑了。57. 經由這些數學家的努力，衍生出許多替代設準，就 Morris Kline 的觀點，所有提出來的替代設準，雖然比較簡潔，但卻都直接涉及到空間中直線的「無窮延伸」，其它沒有直接涉及到「無窮」的替代版本，反而更加複雜。也因此這些替代版本都不能比原始版本更令人滿意。58. 2.2.6 與第五設準等價的其它設準其中值得一提且廣為人知的替代設準是普雷菲爾設準，其內容為「設有一直線 l 和線外一點 P，在 P 和 l 所在的平面上，通過點 P 恰有一條直線與 l 永不相交」59這是以數學家普雷菲爾（John Playfair，1748～1819）在 1795 年，於其著作中提出後所命名的。60事實上，此設準早在五世紀時，就被希臘學者普. 57. 引述自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 98。原文將平行設準譯為平行公設。 58 引述自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 100。 59 引述自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 98。 60. 在 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 99 中，作者僅說明此設準在 1795 年被普羅菲爾提出，但卻未提及普羅菲爾並非提出此設準的第一人，這個部分容易造成讀者的誤會，例如在本書頁 100 中的這一段文字：「薩凱里（1667~1733）從與歐幾里得版本等價的普雷菲爾公設著手 ……」，薩凱里年代明顯早於普羅菲爾，但卻使用普羅菲爾設準來進行其研究，對於僅閱讀本書的讀者來說，會有年代上的衝突。關於此等價設準的其他討論，請見本論文 2.3.1。. 24.

(31) 洛克洛斯（Proclus ，410-485）），於其評論《幾何原本》的著作中提出，61這個版本也成為中學裡最常拿來教授的版本。62. 圖 2.2.2. 61. 參考 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html， MacTutor History of Mathematics，該網站連結亦存在於臺灣數學博物館中，網站內容頗受數學社群信賴，許多數學家需援引相關數學史料時，常參考該網站。 62 參考 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 99。. 25.

(32) 2.3 非歐幾何歷史中的重要人物早自古希臘時代，就有許多數學家試著解決歐幾里得平行設準所引發的問題，他們的方法可分為兩類：第一種是以看起來更為自明的敘述來取代第五設準；第二類則是試圖證明第五設準只是一條定理，也就是從其它九條公設來推導出第五設準。在這一節中，筆者將羅列出其中幾位數學家，他們在第五設準的研究上皆有重要成果，而這些數學家，也是替非歐幾何奠定基礎的先驅。 63. 2.3.1 高斯之前的數學家們五世紀的普洛克洛斯（Proclus，410~485）為《幾何原本》寫了評注，他明白指出托勒密（Claudius Ptolemy）試圖從其它四個設準推導出第五個設準時所犯的錯誤，但接下來，他自己也給了一個錯誤的證明。但是，最重要的是他在評注中提出了和第五設準等價的設準：. 設有一直線l和線外一點P，在P和l所在的平面上，通過點P恰有一條直線與l永不相交. 圖 2.3.1 雖然這個替代設準早在普洛克洛斯的時期就有紀錄，但它卻是在1795年 John Playfair（1748~1819）替《幾何原本》寫的評注中，再次出現後，才變的. 63. 引述自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 99。. 26.

(33) 廣為人知，也因此我們將此設準命名為普雷菲爾設準。64 在接下來的歷史裡，值得一提的研究結果來自身兼耶穌會教士與帕維亞大學教授的數學家薩凱里（Saccheri quadrilateral，1667~1733），65他最重要的貢獻在於所採取的證明方法，也就是我們現在所理解的歸謬證法（proof by contradiction）：66「先假設第五設準是錯誤的，再嘗試從錯誤的假設中推導出矛盾，便能證明第五設準的正確性。」更詳細的說，他的想法如下：. 如果採用一條與平行公設根本不同的公設，那麼所導出的定理或許會與其它歐氏幾何相悖。這種矛盾即表示那條和平行公設相反的公設，亦即此處唯一改變的前提，有謬誤，所以平行公設必定為真；也就是說，它是另外九條公設的結果。67. 而薩凱里的詳細推導方法如下，他假設了一個四邊形ABCD，其中 CA  DB 且兩線段都同時垂直於底邊 AB 。薩凱里僅依靠歐幾里得第五設準之外. 的其它命題，證明出 C  D ，以下是證明過程。. 證明1：. 圖 2.3.2 AD  CB 、 AB  AB 、 A  B  90o 64. 參考 JJ O’Connor 等，History topic：Non-Euclidean geometry，網站 The Mactutor History， http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/。 65 參考 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 486。其他薩凱里的相關資料，可參考 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Saccheri.html。 66 黃哲男，〈反證法教學感想〉，《HPM 通訊》，第二卷第十一期。 67 引述自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 100。. 27.

(34) 所以∆ABD≅∆BAC （SAS）由∆ABD≅∆BAC 得 AC  BD 加上 DC  DC 與 AD  BD 的條件則可知∆ADC≅∆BCD （SSS），故 ADC  BCD 。. 已上的證明僅用到三角形的全等，而三角形全等的證明也只用到命題4與命題8，這兩個命題都是在未使用第五設準前就證明完畢的。68 接下來，薩凱里假設 C 和 D 具有三種可能性，即同為直角，同為鈍角或同為銳角。他將它們對應的稱為直角假設、鈍角假設與銳角假設，這些假設分別等價於 CD  AB 、 CD < AB 、 CD > AB 。薩凱里詳細的數學證明過程，可參考《數學史通論》14.3.2的內容，筆者將其證明思路整理成表格2.3.1，做為與科普書敘事內容比較時的參考標準。. 和其它所有早期的研究學者一樣，薩凱里心中唯一真實的可能性，就是直角假設，也就是說，他深信第五設準具有正確性。因此薩凱里所做的努力，就是不斷嘗試從其它兩個假設（鈍角與銳角假設）中推導出第五設準，如此一來，前面兩個假設都將導致矛盾，而第五設準則可以從設準變成定理，歐幾里得《幾何原本》中多餘公設的瑕疵將被徹底消除。69. 薩凱里最後的確在鈍角假設下推導出矛盾，但在銳角假設下，卻證明出許多有趣的定理，直到他證出一條似乎太奇怪的定理，遂決定這條定理與先前的結果矛盾，並以為自己已完成了第五設準是定理的證明。於是在1733年出版了一本名為《歐幾里得無罪開釋》（Euclides ab omni naevo vindicatus）的書。但後來的數學家發現，薩凱里其實在銳角假設下並未導出矛盾，因此第五設準的問題仍然懸而未決。70. 68. 歐幾里得在前 28 個命題（Proposition）中都沒有用到第五設準，詳細討論看參考本論文 2.2.4 與 4.2.3 的討論。 69 證明參考 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 487。 70 參考 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 100。. 28.

(35) 圖 2.3.3. 表 2.3.1 薩凱里的數學證明思路四邊形ABCD，已知 A = B = 90 o ，且 AD  CB 由《證明一》得 C = D 做以下三種假設 C = D = 90 o. C = D > 90 o. C = D < 90 o. 直角假設. 鈍角假設. 銳角假設. CD  AB. CD < AB. CD ＞ AB. 證明了「如果其中一個假設對於任一個四邊形為真，那麼它對於所有的四邊形都為真。」接下來，薩凱里研究以下的命題。命題8（參考圖2.3.4）任給三角形ABC，角B為直角；延長 CA 到任何一點X，通過點A作直線HAD垂直於 AB ，點H位於 XAB 之中，可以斷定，依照直角假設、鈍角假設或銳角假設為真的情形，外角XAH將分別等於、小於、大於相應的內角 ACB，對應如下。 XAH = ACB. XAH < ACB. XAH > ACB. 從命題8，又可以導出一個更為重要的命題9：在任何直角三角形中，另兩個銳角之和在直角假設下等於一個直角，在鈍角假設下大於一個直角，但在銳角假設下小於一個直角。事實上就等價於下面命題。三角形內角和為 180o. 三角形內角和大於 180o. 三角形內角和小於 180o. 在《數學確定性的失落》中，作者將直角、鈍角與銳角假設改下如下表。過直線l外一點P，恰有一條直線與l永不相交. 過直線l外一點P，所有經過P. 過直線l外一點P，有二條. 點的直線均和l不平行. 以上直線與l永不相交. 薩凱里確實導出矛盾。. 29. 薩凱里以為導出矛盾，但事實上沒有。.

(36) 圖 2.3.4. 1766年，蘭伯特（Lambert）採用和薩凱里相似的進路，但他和薩凱里不同的地方在於，他從未認為銳角假設（過直線l外一點P，有二條以上直線與l永不相交），可以導出矛盾。除此之外，他還瞭解到任何一組不會產生矛盾的假設，提供了一種幾何。這樣的幾何即使和真實世界的形體無關，它的邏輯結構仍然可以成立。換句話說，蘭伯特體認到某種非歐幾何的存在。71. 2.3.2 高斯在非歐幾何理論被正式發表前，高斯可以說是研究第五設準中，成就最顯赫的數學家。在其有關曲面的著作中，高斯確立了曲率與曲面上三角形角度之和的關係，72而這個關係被認為與第五設準有密不可分的關聯。從本論文表 2.3.1 的內容中，即可知第五設準與三角形內角和的等價關係。. 事實上，高斯對非歐幾何並沒有提出一套完整的演繹系統，我們現在之所以能夠知道他在這方面的想法與研究成果，是來自於學者在高斯去世後，於其遺留的文件中，進行研究後發現的。像是寫於 1831 年的筆記、他與朋友的通信，以及 1816 年和 1822 年在《哥廷根學報》（Gottingische gelehrte Anzeigen）發表的短評。. 71. 參考 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 102。參考 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 598。更近一步的數學內容可參考康明昌，http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_08_2_01/page5.html，〈5.3 微分幾何〉。 72. 30.

(37) 高斯在 1831 年告訴他的朋友舒馬赫（Schumacher），他早在 1792 年（高斯當時 15 歲），就已經想到了可能會有非歐幾何的存在。但是，一直到 1799 年，高斯仍試著從其它假設來導出第五設準，即使他可以想像非歐幾何是合乎邏輯的，在那個時後，他仍然相信歐氏幾何才是空間的真實幾何。. 在 1799 年 12 月 17 日，高斯寫信給數學家朋友沃夫岡．波利耶（Wolfgang Bolyai）的信中提到他在第五設準的研究。73而在 1824 年 11 月 8 日，高斯寫給朋友陶利努斯（Franz Adolf Taurinus，1794~1874）的信中，說他從內角和小於 180 度的假定下，發現可以產生有趣的幾何，這樣的幾何與歐氏幾何差異頗大，但邏輯卻是徹底一致；高斯另外還說，這種幾何的定理看似矛盾，外行人可能會覺得荒謬，但經過冷靜的思考，可以發現這種幾何未包含任何不可能的東西。而在 1829 年 1 月 27 日寫給數學家暨天文學家貝塞爾的信中，高斯再一次地說明第五設準是無法從《幾何原本》中的其它公設證明出來。74換句話說，這時候的高斯已經相信非歐幾何的存在，而對於非歐幾何也能用來描述物理空間的性質，Kline 認為高斯是第一個得到這項洞見的數學家。 75. 根據某一位高斯傳記中的內容，高斯曾試圖驗證非歐幾何與物理空間相符的這項信念。他注意到在歐氏幾何中，三角形的內角和是 180o ，在他研究的非歐幾何中，三角形內角和則小於 180o 。1820 年至 1825 年，高斯領導了漢諾威王國的測繪工作，76也留下相關測量資料。在一篇 1827 年完成的著名論文裡，探討其測量出的三角形內角和並非 180o ，雖然差的量極小，並沒有超過誤差範圍，但這可以視為高斯對於這種新幾何，在空間適用性上的探索。77. 73. 詳細內容參考 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 102。沃夫岡．波利耶即本論文 2.3.3 的老波利耶，他是非歐幾何創始人之一約翰．波利耶的父親。 74 參考 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 103。 75 改寫自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 106。 76 參考 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 598。 77 改寫自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 106。. 31.

(38) 高斯不願發表他在非歐幾何方面的研究可能有以下原因：在高斯寫給貝塞爾的信中寫道：「害怕比奧亞人（Boeotians）喧喧嚷嚷」。比奧亞是傳說中一個非常愚笨的希臘部落，換句話說，由於當時的整個知識界大致上仍以康德的想法為主流，78深信歐氏幾何是唯一可能的幾何，高斯害怕發表後會被嘲笑，也希望能避免不必要的爭議，因此高斯從未正式發表他在非歐幾何上的相關研究。79. 2.3.3 羅巴切夫斯基與波利耶這兩位數學家是總結先前一連串精采故事的終曲，數學界一般公認俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobatchevsky，1973~1856）與匈牙利數學家約翰．波利耶（Johann Bolyai，1802~1860）是非歐幾何的創始人，主要原因就是他們提出了系統性演繹的論述，並公開發表。. 羅巴切夫斯基就讀於俄羅斯的卡山大學，自 1827 年到 1846 年擔任該校的教授和校長，在 1826 年於卡山大學的一次演講中，簡介了他的非歐幾何—過已知的一點 P，有多於一條的直線會平行於給定的直線 l。之後他用俄文出版了《關於幾何的基本原理》，將演講中的內容加以延伸，在接下來的十幾年裡，他發表了一系列的論文，闡述了對他所發現的新幾何學的研究，這些論文中包括 1840 年以德文出版的一篇詳細摘要《平行線理論的幾何研究》。80. 約翰．波利耶是匈牙利的陸軍軍官，他的非歐幾何研究論文共達二十六頁，被父親老波利耶放入自己的著作《寫給勤學青年的數學入門》的附錄中， 81. 於 1832~33 年出版。雖然波利耶的論文出版晚於羅巴切夫斯基，但波利耶似. 乎在 1825 年就發展出非歐幾何的想法，而且他當時就相信這種新幾何不會產生. 78. 參考 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Saccheri.html。本小節內容主要參考 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 104。並輔以 Mactutor 中的資料。 80 此段文章參考 Victor J Katz（李文林等譯），《數學史通論》，頁 603。 81 老波利耶即本論文 2.3.2 中，與高斯通信的沃夫岡．波利耶。本論文將約翰．波利耶簡稱為波利耶，沃夫岡．波利耶簡稱為老波利耶。 79. 32.

(39) 自身矛盾。他在 1832 年 11 月 23 日給父親的信中寫到：「我得到了如此奇妙的發現，連我自己都驚歎不已。」82. 雖然數學界一般公認羅巴切夫斯基與波利耶是非歐幾何的創始人，但非歐幾何的出現絕非一人之力，筆者引用 Morris Kline 的這一段話：. 沒有任何一門主要的數學分支、甚至特定一項重要結果，會是一人獨力的研究成果。頂多，某個關鍵性的步驟或主張也許可以歸功於一個人。數學發展的累積模式當然也適用於非歐幾何。如果非歐幾何指的是一組包括非平行公設的公設系統所推導出的結果，那麼功勞最大的要屬薩凱里，但即使是薩凱里也受益於其它許多試圖找出替代公設者的研究。如果非歐幾何的創立指的是認識到另有歐氏幾何之外的幾何，那麼創立者應該是克魯格和蘭伯特。但是，關於非歐幾何的最重要事實是，它可被用於描述物理空間的性質，而且精確性不亞於歐氏幾何。歐氏幾何並不是物理空間不可或缺的；沒有任何先驗的根據來確保它的物理真確性。這項領悟並不需要任何技術性的數學新發展，因為所有技術性的工作均以完成；而第一個得到這項洞見的是高斯。83. Morris Kline 的這一個看法，則可提醒我們用更宏觀的角度看待非歐幾何歷史中，這些數學家的定位。. 另外在這幾本數學史專書中，並未直接提到高斯與另外兩位發表非歐幾何理論的數學家之間的互動，最多是提到高斯與老波利耶的通信。而科普書中，則有高斯與這兩位數學家的軼事，詳細討論請見本論文 4.3。. 82 83. 參考 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 104。引自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 106。. 33.

(40) 2.4 非歐幾何對於數學本質之觀點的影響在古希臘時期，希臘人藉由數學研究和科學的探索所提出的許多證據，來證明宇宙是依照數學原理設計的。換句話說，數學是描述大自然結構的真理。84. 推動這種以邏輯的、數學的方式來研究自然的思路，主要必須歸功於歐幾里得的《原本》。雖然這部著作的主旨是物理空間的研究，但它的架構、巧思和清晰性，不僅激發了其他數學領域（例如數論）採用公設─ 演繹法，甚至所有科學學門都群起仿效。透過這部作品，知識界建立了以數學為基礎，運用邏輯組織所有物理知識的觀念。因此，希臘人奠立了數學與研究大自然設計原理之間的聯繫，自此之後，這也成為現代科學的基礎。直到十九世紀後半葉，追尋數學設計依然等同於追尋真理。 85. 希臘文明之後，歐幾里得的嚴密的公理系統與論證過程，奠定了形式完美的演繹數學，而歐氏幾何從希臘時期，就被視為描述物理世界的真理，一直到了康德，仍然堅信歐氏幾何即是物理空間的幾何，歐氏幾何就是空間真理。這類思維已經深植人心，一直到非歐幾何的出現。. 直到 1800 年左右，最好的數學家、科學家和哲學家都認為它是嚴格證明的理想……但是非歐幾何的研究揭露出歐氏幾何的太多瑕疵，使得人們再也無法崇仰它的邏輯完美性。非歐幾何是導致歐氏幾何邏輯結構擱淺的礁石。一片被深信不疑地認為極為堅穩的土地，結果卻是沼澤。86. 84. 詳見 Lucas N. H Bunt 等著（黃俊偉等譯，未出版），The Historical Roots of Elementary Mathematics，頁 35。 85 詳見 Lucas N. H Bunt 等著（黃俊偉等譯，未出版），The Historical Roots of Elementary Mathematics，頁 36。 86 引述自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 130~131。. 34.

(41) 不幸地，既然數學家已經拋棄了上帝，所以這位神聖幾何學家拒絕揭示在這種相互競爭的幾何中，祂選擇何種來設計宇宙。數學家只能倚賴自己的資源。高斯的筆記材料在他 1855 年去世後公諸於世，此時他的名聲已無可匹敵，再加上黎曼 1854 年的演講於 1868 年出版，這些說服了許多數學家相信非歐幾何可以是物理空間的幾何，我們再也無法確信何種幾何才是真的。單單想到可以有多種替代幾何就已夠棘手了，更令人驚駭的是我們無從確定其中何種為真，甚至可能全都不真確。情況似乎越來越清楚：數學家只是根據有限的經驗，就以為採用的幾何公設是正確的，從而也誤以為它們就是自明的真理。87. 非歐幾何的出現動搖了歐氏幾何知識的確定性，本來認為經由嚴格論證，則能保證獲得正確的幾何知識，但在非歐幾何出現後，發現數學公理系統可能僅是依靠人類有限的經驗建構出來，並不具知識上的絕對客觀性，而後數學家們在數學知識確定性上，打了一個大問號。. 87. 引述自 Morris Kline（翁秉仁等譯），《數學確定性的失落》，頁 111。. 35.

(42) 36.

(43) 第 3 章四部數學科普作品簡介在這一個章節中，筆者會針對此四本數學科普書做摘要與介紹，讓未讀過這些書的讀者們，能從本章的內容，對這幾本書有概略性的認識。另一方面，這幾些科普書所涉及的數學知識非常豐富，例如《爺爺的證明題中》除了歐氏幾何與非歐幾何外，還囊括數學史上另一個極為精彩的思想革命─康托爾的連續統問題，但這並非本論文著重分析之處。故筆者在第三章的內容中，除了介紹這四本書的概要外，亦會說明本論文著重分析的敘事內容。另外，作者的學術背景與生活經驗，可能對敘事風格有所影響，故每一小節中，也會有該本科普書的作者簡介。. 3.1 《用漫畫學幾何》 3.1.1 作者簡介作者岡部恆治畢業於東京大學數學系，研究領域為拓樸學（topology）， 1999 年本書於臺灣出版時，作者擔任埼玉大學經濟學系教授，現則為埼玉大學名譽教授，同時兼任日本數學協會副會長之職位，岡部先生長期致力於數學普及作品的創作，並且關注數學教育的議題。88. 3.1.2 內容簡介在談論幾何的書籍裡，本書創新地以「漫畫」為創作形式，並且融入了大量的數學史和數學知識。作者希望能讓讀者以愉快的方式閱讀本書，輕鬆學習幾何並享受訓練頭腦的樂趣。本書企圖破除一般大眾對於「幾何＝論證」的誤解，讓讀者能理解「論證」只是數學形式上的訓練，真正的幾何學具有豐富而多變的面貌。. 88. 最新的作者資料參考自 http://www.books.com.tw/products/0010591816?loc=006_063&utm_source=eric101&utm_medium=a p-books&utm_content=recommend&utm_campaign=ap-201402。. 37.

(44) 本書以博學多聞、富有教學熱忱的老師和四位性格各異的學生為主角，這四位學生分別為五郎、凡太、秀作和明奈，他們在本書中擔任的角色，具有畫龍點睛的作用，以下引述深度書評中的內容：. 四位學生當中，作者安排兩位程度較高、行為正經，與老師互動性高的明奈和秀作，藉以引出重要觀念。另兩位是五郎和凡太，程度明顯較低，但富有創造力與想像力，全書的笑點幾乎都出自於這兩位。值得注意的是，雖然後兩位程度低但透過這種聊天對話輕鬆自在的方式，他們還是很樂於學習一般人聞之色變的「幾何」。這或許是作者刻意安排的情節，即不管你程度如何，透過這種學習方式，你可以自然而然獲得令人傷腦筋的知識。書中的情境就像孔子帶領門徒在閒話學問，也似逍遙學派優遊的學習方式。另外，作者巧妙的運用了漫畫的無厘頭方式亦增添此書的可看性。89. 本書共分成十三個章節，筆者將這 13 節的內容概要以表格呈現如下，以提供未讀過此書的讀者，能對本書有概略性的理解。. 表 3.1.1 《用漫畫學幾何》內容摘要章節/標題/. 內容概要. 頁數. 幾何學顧名思義，和「圖形」有極大的關連。老師提出「如何將圖形分類」的問題？四位學生回答了四個不一樣的分類第一章如何看圖形頁 10~32. 方法，而學生的分類方法，剛好可以歸納成相似、全等、傾斜（投影幾何）、膠膜幾何學（Topology），這四個不同的幾何學。老師以下列這段話總結學生的分類方法：「就圖形而言，有很多種看法，每種看法都有其意義。對圖形的看法不同，幾何就會發生變化」，也為本書接下來要介紹的不同的幾何學理論埋下伏筆。. 89. 引自葉吉海，〈我讀《用漫畫學幾何》〉，《HPM 通訊》第三卷第十二期。. 38.

(45) 作者為了引起讀者共鳴，在本章中也提出幾個國中和國小的幾何問題─例如兩個全等的三角形拼在一起，可以拼出平行四邊形；利用已知的平行四邊形面積算法，及可求得三角形的面積公式。這幾個初等數學的例子，展現出用不同方式看待圖形，的確會產生出不同解決問題的方法。. 39.