3.3 歐幾里德之窗
4.1.3 關於公理系統
筆者先引用《爺爺的證明題》中的相關敘述：
JT（泰勒法官）：但是，每個結論不可能永遠是由其他更簡單的事實推 斷來的。在某個地方總得有個東西被認為是已知的事實。
VS（維傑‧薩尼）：你說的沒錯。在數學裡，這些東西叫做公理。公理 是不證自明的最初原理─一個可以因此而推論出新的真理的最清楚真實 的東西。簡單的事實就是由這些公理推論而來的，而更複雜的結論就是 由這些簡單的事實所推論的。……。歐幾里得，希臘的幾何學家，同時 在我眼中是第一個現代數學家，更是從一小組明顯為真的公理，推導出 包括畢氏定理在內的所有幾何學。128
這是爺爺首次在小說內容中，提到數學中的公理系統，而且爺爺認為公 理需要具有不證自明的特性。對於歐幾里得，爺爺認為他是「第一個現代數學 家」，因為《幾何原本》是流傳至今，最早採用爺爺所說的公理與推論系統來 完成的數學著作。
在《用漫畫學幾何》裡，作者則採用國中教科書在證明方面的相關說 明：
127 引用自岡部恆治著、藤岡文世繪（劉雪卿譯），《用漫畫來學幾何》，頁 88~91。
128 高瑞夫（Gaurav Suri）與哈托許（Hartosh Singh Bal）著（洪萬生、洪贊天、林倉億合譯），
《爺爺的證明題》，頁 135。
「所謂「證明」，就是利用已被認為是正確的事物，建立步驟，在從假 設中導出結論。」
老師：「那麼，「被認為是正確的事物」到底是什麼呢？」
學生：「例如，定理就是了！」
老師：「那麼，為了證明定理而利用的「被認為是正確的事物」又是什 麼？ 」
在上述這段文字中，說明完證明的意義後，作者運用老師提出的一個個問題，
在與學生的問答中，引導讀者思考公理的意義與重要性－那就是最一開始被認 為是正確的事物。129
而關於對公理系統的理解，除了上面以引述的內容之外，《爺爺的證明 題》中提供了不止一種的理解方法。在另外一條的故事主線中，主角的數學教 授尼可，舉了一個公理系統應用到日常生活中思考的實例。
至於公理這件事嘛……尼可停了一下，嘆了一個真誠而似乎永無止盡的 息。「這是一個很棘手的議題。思考公理的最好方法，就是它們會讓我 們誠實一點。你由一些公理開使導出新的真理。如果你認定一個公理說 明雨是由雲所帶來的，而看看窗外發現正在下雨，你可能就會因為邏輯 原理和自己的公理而推論外面有雲。但是，你卻不能推論外面有彩虹。
你沒有關於彩虹的公理，所以你的結論站不住腳。因此，數學家將公理 視為『最初的真理』。它們讓我們開始行動。在歐幾里得之後，數學的 每一個分支都有使用公理。」130
第五章的一開頭，作者提供一則真偽不明的日記，歐幾里得在這則信件 中描述他去拜訪另一位幾何學家所發生的事件。在聆聽這位幾何學家講述幾何
129此處的公理指《幾何原本》中的設準(Postulate）與共有概念(Common notion），詳細內容可 參考本論文頁 23。
130 引自高瑞夫（Gaurav Suri）與哈托許（Hartosh Singh Bal）著（洪萬生、洪贊天、林倉億合 譯），《爺爺的證明題》，頁 138。
間，注意到循環論證的問題，也因此激發了歐幾里得完成公理系統的靈感，此 封虛擬日誌頗具啟發性：
歐幾里得：我領悟到要避免循環論證的唯一方法，就是一開使要相信某 些事物。而這也是我要做的事情。我要找出一些設準，而它們必須是無 懈可擊的真實，完全沒有懷疑的餘地，然後，從這些設準上，我會邏輯 地和依序地導出幾何學的所有命題。設準會導出簡單的命題，而簡單的 命題會證明出更複雜的結論，直到所有的幾何學，包括泰利斯、畢達哥 拉斯、尤得賽斯和提耶提特斯等人的定理，會跟隨在我一開始設下的設 準之後。
當然，最需要小心處理的事情，就是挑選出一開始正確的設準。它們必 須簡單到無法用更簡單的設準證明，明顯到沒有任何人可以懷疑它們的 正確性，但卻豐富到可以包含所有幾何學的結論。
我會小心地寫下這些設準和證明，並且對它們的嚴密性必須頑固堅持和 毫不妥協。我知道畢達哥拉斯有想過這個方法，但因為某種原因並沒有 執行；但我將這麼做。這將是我最偉大的成果。歷史也許會記得和崇敬 坦塔洛斯的聰明才智，但是，為人類的知識帶來確定性，也許才是我的 命運。131
歐幾里得在編寫《幾何原本》時定有許多想法，作者模擬其心中 的堅持與考量，活靈活現的在這一段日記中呈現出來。這篇日記的虛擬 內容，大部分皆和數學史專書的觀點一致，但藉由歐幾里得在日記中自 我對話的敘事方式，產生的劇情張力更讓筆者印象深刻。
131 引自高瑞夫（Gaurav Suri）與哈托許（Hartosh Singh Bal）著（洪萬生、洪贊天、林倉億合 譯），《爺爺的證明題》，頁 144。
4.2 與第五設準相關的問題 4.2.1 關於設準（Postulate）
由本文 2.2.1 的討論，我們可知歐幾里得的公理系統是由設準
（Postulates）與共有概念（Common notions）組成，在這幾本科普書中，筆者 將引述與公理相關的內容，首先是出現在小說《爺爺的證明題》中，法官與爺 爺的對話：
JT（泰勒法官）:誰認為這些明顯為真呢?
VS（維傑‧薩尼）：任何一個評估它們，有智慧的人。
JT：那如果我不相信它們，就像你不相信我認為所有事物都是由某個東 西所創造的公理呢?
VS：說真的，你不會不相信歐幾里得的公理。你是一個誠實的人，而且 我完全相信，你不會因為我們哲學上觀點的差異而影響你的判斷。
JT:但是，先生，你卻讓你對信仰的苦怨，阻撓你看見我這個所有事物都 有起因的公理。
VS：一點也不，法官。你口中的「公理」並沒有辦法通過不證自明這個 測試，因此，我無法接受它是個公理。我會顯示歐幾里得的公理給你 看，然後，你就會發現它們的確是不證自明的。歐幾里得以這些公理為 基礎，並且只以理性推進。因此，他聲稱是真實的事物，是不容懷疑 的。懷疑歐幾里得就是懷疑公理本身或理性的可靠性，而這兩者都沒有 懷疑的餘地。我相信人類的每個知識都應該被公理化，而且，那些知識 體的定律都必須由這些最初的公理所推論出來，不管這些知識體是物理 學還是人類行為。而也只有利用這種方法，我們才能獲得真理。其它都 是沒有意義的。132
爺爺再次強調公理需具有「不證自明」的特性，這種特性並不會因人而 異。而歐幾里得的幾何學可以簡化成一組簡單且不證自明的公理，以這些公理
132 引自高瑞夫（Gaurav Suri）與哈托許（Hartosh Singh Bal）著（洪萬生、洪贊天、林倉億合 譯），《爺爺的證明題》，頁 135~136。
為基礎，可以推論出其他幾何學知識。而爺爺也相信這個將知識公理化的模 式，可應用在其它學科，甚至是生命的所有面向。而且也只有這種方法，才能 確保知識的確定性。泰勒法官認為他們目前所討論的「公理的真實」已到達問 題的核心，他期待在下一次談話中，爺爺能展示詳細的數學公理系統，最後爺 爺希望能從圖書館中，借《幾何原本》來閱讀。
4.2.1 第五設準是什麼？
數學史專書對於第五設準的敘述方式，可由本論文 2.2.2 的討論中可知，
133這個版本是選自 Thomas Heath 的海伯格希臘文本的英文譯本，可以說是當今 最接近原著的權威版本。
在本論文選取的四本科普書中，《歐幾里得之窗》、《爺爺的證明題》
這三本皆採用 Thomas Hearth 的英文譯本。敘事差異在於作者引述此設準時搭 配的圖形，與對此設準所做的解釋說明。
在《上帝是數學家？》，作者 Mario Livio 關於第五設準的介紹如下：
前四個歐幾里得公理非常簡單且簡潔。例如第一個公理便是：「任兩點 之間可畫一條直線。」第四個公理說：「所有直角皆均等。」相形之 下，稱之為「平行公設」（parallel postulate）的第五個公理，其結構就 複雜而沒那麼不證自明了：「如果同一平面的兩條直線與第三條直線交 會時，一側內角的角度小於兩個直角和，只要平面能充分延伸，那麼這 兩條線一定會相交。」134
133 請參考本論文頁 23~24。
134 參考馬里歐．李維歐(Mario Livio)著 (洪世民譯)，《上帝是數學家？》，頁 201。
圖 4.2.2
看完這一段敘述，有一個重要的問題可以提出，在第五設準的敘述當 中，完全沒有提及「平行」這兩個字，為何作者會說第五設準可稱之為「平 行」設準呢？在下一段的內容中，筆者試著從科普書與專業數學史書的觀點回 答此問題。
4.2.2 第五設準與平行設準是否相同。
在本論文 2.2.3 節中討論到《幾何原本》中，與「平行」相關的概念，出 現在定義Ι.23，135事實上第五設準中原始敘述的確沒有提到任何平行的概 念，但進一步思考，第五設準所描述的，就是兩條直線不互相平行時所發生 的情況。換句話說，利用第五設準，就能確定兩條線是否平行。這個部份的 詳細討論，筆者援引 The Historical Roots of Elementary Mathematics 書本中討 論平行線的內容：
命題 29 如果兩平行直線被第三條直線所截，則：
（ a ） 內錯角相等。
（ b ） 同位角相等。
（ c ） 同側內角之和等於兩個直角（2R）。
135 詳細請參考本論文 2.2.3 節，頁 23~24。
圖 4.2.3 （a）之證明：（如圖 4.2.3）
假設給定直線 AB 與直線 CD 為平行線，且直線 EF 是第三條直線。我們 將證明內錯角 AGF 與 DHE 相等。如果它們不相等，那麼其中之一會比 較小，令
DHE 是比較小的角。則，我們可得：
DHE <
AGF +
BGF
BGF
DHE +
BGF <
AGF +
BGF 或者，由命題 13，
DHE +
BGF < 2 R。因此，由設準 5，直線 AB 與直線 CD 有一個交點，這與假設相矛盾。由 此可得
AGF 與
DHE 相等。註記：
我們注意到在前述之證明之中，用到了設準 5。命題 29 a （以及 29 b、
29 c ）若不用到設準 5 的話，是無法被證明的。這是歐基里德第一次使 用了設準 5。因為它涉及了平行的概念，設準 5 通常被稱為平行設準或
29 c ）若不用到設準 5 的話，是無法被證明的。這是歐基里德第一次使 用了設準 5。因為它涉及了平行的概念，設準 5 通常被稱為平行設準或