2.4 非歐幾何對於數學本質之觀點的影響
3.1.2 內容簡介
在談論幾何的書籍裡，本書創新地以「漫畫」為創作形式，並且融入了 大量的數學史和數學知識。作者希望能讓讀者以愉快的方式閱讀本書，輕鬆學 習幾何並享受訓練頭腦的樂趣。本書企圖破除一般大眾對於「幾何＝論證」的 誤解，讓讀者能理解「論證」只是數學形式上的訓練，真正的幾何學具有豐富 而多變的面貌。
88 最新的作者資料參考自
http://www.books.com.tw/products/0010591816?loc=006_063&utm_source=eric101&utm_medium=a p-books&utm_content=recommend&utm_campaign=ap-201402。
本書以博學多聞、富有教學熱忱的老師和四位性格各異的學生為主角，
作者為了引起讀者共鳴，在本章中也提出幾個國中和國 小的幾何問題─例如兩個全等的三角形拼在一起，可以拼出平行 四邊形；利用已知的平行四邊形面積算法，及可求得三角形的面 積公式。這幾個初等數學的例子，展現出用不同方式看待圖形，
的確會產生出不同解決問題的方法。
第二章 旋轉鉛筆
頁 34~56
針對「角度」這個中學階段曾學習過的幾何知識，作者解 識了用「數值」來表式角度的必要性，因為有了明確的數值，
不同角度才能做比較。而
360
o代表轉一圈的度數法，和蘇美人 採用 60 進位或 360 很接近一年的天數都可能有關。作者認為在所有的角度問題中，「三角形的內角和」是最 重要的問題。作者利用平行線內錯角相等的性質，證明三角形 內角和為
180
o，除了這個方法外，作者也提供另外一個適合國 小學生的理解方式，將三個角剪下來，拼成一個平角，用操作 的方式來說明三角形內角和為180
o，除此之外老師又介紹了第 三種小學生也可理解的「鉛筆旋轉法」，這個方法除了處理三 角形內角和外，亦可應用在討論其它圖形的角度上，但這個方 法卻因精確性不足，無法廣泛推廣 。另一個值得一提的部份，在於球面幾何的介紹。90當我們 要在地球上畫三角形時，球面上的大圓（球面和通過球心平面 的交集），相當於平面上的直線。在校園般大的地方畫三角 形，其內角和幾乎會等於
180
o，若將三角形放大到地球的尺度 下，因為每個角都是90
o，則三角形內角的內角和為270
o（如 圖 3.1.1），此時用「移動鉛筆」這個方法就會出現爭議，而這 個模型恰巧也是非歐幾何中的一個例證。91
90 參考岡部恆治著、藤岡文世繪（劉雪卿譯），《用漫畫來學幾何》，頁 51~54。
91球面幾何屬於黎曼提出的另一種非歐幾何-橢圓幾何，在這樣的曲面上，三角形內角和會大於 180 度。而波利耶與羅巴切夫斯基提出的非歐幾何－《雙曲幾何》，三角形內角和會小於 180 度。故球面僅能作為前者的模型，但不能做為後者的模型。
圖 3.1.1
第三章 論證與計算
頁 58~76
作者在這一章主要想要表達兩點看法：「幾何與論證並非 一體」、「除了論證以外，還有更重要的事」。92作者在本章 節提供了畢氏定理的五種證明，93提供讀者不同的思考進路，
這也是數學學習上，一題多解的展現。作者亦想要強調，除了 證明外，「發現」也是幾何學中很重要的事情，像是畢氏定理 之所以稱之為畢達哥拉斯定理，是因為畢達哥拉斯發現，即使 直角三角形三邊長 a、b、c 不是整數，也一樣會讓等式成立。
據說他想證明這個定理，卻沒有真成功，但此定理最後仍舊以 他的名字命名。同樣案例，還有著名的費馬最後定理，雖然是 費馬發現的，但卻一直到最近才被威爾斯證明出來。94
畢氏定理讓人類發現了無理數的存在，也推翻畢氏學派一直 以來的理論：任何數都一定可以表示成兩個整數的比（也就是 我們現在通稱的有理數）。在這本書裡面，將畢氏學派描述成 不對外發表資訊的秘密社團，無理數的存在對他們來講是一件 醜聞，洩漏無理數這項秘密的人會被溺斃。95而希臘人為了能 避免提及無理數，提出了「將所有的數都用圖形表示出來」的
92 參考岡部恆治著、藤岡文世繪（劉雪卿譯），《用漫畫來學幾何》，頁 76。原文中為「論 証」，筆者將「証」改寫為較常使用的「證」。
93 參考岡部恆治著、藤岡文世繪（劉雪卿譯），《用漫畫來學幾何》，頁 66~67。譯者在此處 將「畢氏定理」譯為「三平方定理」。
94 參考岡部恆治著、藤岡文世繪（劉雪卿譯），《用漫畫來學幾何》，頁 64。譯者在此處將
「費馬最後定理」譯為「費爾馬定理」。
95 參考岡部恆治著、藤岡文世繪（劉雪卿譯），《用漫畫來學幾何》，頁 73~74。
方法，也因此影響歐洲的數學發展，從數論轉變成圖形。
而作者也認為提出理型論（idealism）的柏拉圖，他讓
第十章