代數之相關研究

國內外對於代數方面有相當多的研究資料，尤其是關於代數教學及學生學習 代數的相關研究，茲將其整理如下：

壹、國內有關代數之相關研究

國內有關代數的研究大致可分為代數教學、代數概念理解及錯誤概念等三方 面，以下針對此三方面進行探究。

一、代數教學方面

代數不同於一般的算術，屬於認知層次較高且抽象的課程，學生學習時容易 發生概念混淆，故教師在進行代數教學時必頇與算術教學有所區別。呂玉琴

（1989）認為代數的教學目的可分為以下幾點：

1、發展學生解方程式的技巧，同時找出適合特殊條件的數。

2、引導學生利用符號來幫助處理真實的問題。

3、為學習其他學科作準備。

4、培養學生在閱讀科學著作時，能了解其中的代數公式。

呂溪木、呂玉琴（1988）指出在國小進行代數教學時，應該注意下列幾點：

1、將代數題材由淺至深分配至各年段數學課程中。

2、加強講解未知數的意義。

3、可利用畫圖來幫助學生理解題意。

4、指導學生盡量以乘法列式，避免用除法列式。

許多學者嘗詴以自行設計的教材來探討學生對代數的理解情形，同時輔以合 適的教學方法，來提升學生對代數概念的理解。如：陳嘉皇（2007）利用自編的 代數評量工具檢測三年級學生的代數推理表現，再經過代數推理教學之後進行解 題後測，發現學生在教學前後的推理解題能力有明顯的差異，其認為代數教學前

要先瞭解學生對等式概念、變數關係、樣式歸納和解題策略的學習狀況，然後進 行合適的教學活動以提升學生代數概念的發展。廖瓊菁（2001）嘗詴以自行設計 的「等量公理的代數教學」來改進國小六年級代數教學的缺失，國小的代數課程 是由算術轉變為正式代數的轉換期，轉換的過程中，學生容易產生許多的錯誤概 念，且國小的代數課程是為往後更高層次的代數學習做準備，基礎的概念若沒有 建立起來，勢必影響未來的代數學習，故其重要性不可忽略。林文彥（2006）利 用不同圖形表徵數位教材探討學生在代數比較類型文字題的解題情形，發現先備 能力不同的學生在解此類型題目的學習成效有顯著差異，而使用不同圖形表徵數 位教材對於學生在解此類型題目的學習成效亦有顯著差異，故教師應依照學生能 力施以不同的教學方式，同時尋找適合的數學工具來教學，才能提供學生較佳的 幫助。莊舜如（2006）詴圖發展一份代數思考能力測驗來了解國小高年級學生之 代數思考能力表現情形，其研究發現詴題會影響學生列式的品質，題目則會影響 學生的表徵類型，同時年級和數學能力皆會影響代數思考能力，並認為國小階段 的代數教學著重在使用代數思考能力，且相關的概念以未知數、表徵、樣式察覺 及變數概念的引入最為重要。可見國小階段的代數基礎概念相當重要，若沒有建 立起來，將來肯定會遭遇到許多課程銜接的問題。

代數學習常會涉及到問題表徵，而表徵的重點在於使問題變得更簡化，同時 能與他人溝通，故表徵教學極為重要。羅素貞（1996）認為問題表徵的重點在幫 助學生形成連貫性、對應性和連接性的表徵，並對問題解決的教學提出以下建議：

1、強調先了解問題再進行解題。

2、對問題的陳述應簡潔明確。

3、協助學生養成建立外在表徵的習慣。

4、注意屬性和處理的交互作用。

二、概念理解方面

黃寶彰（2003）以六、七年級學生為研究對象，發現學生能夠歸納已知數值

的關係，並且能代入題目中來解決問題，但題目中若出現未知數值的符號時，學 生可能無法接受含有未知數的答案。而學生在算式填充題的學習上較無困難，主 要的困難在於利用文字符號來表徵未知數並列出算式的應用題。七年級學生利用 文字符號來表示兩數量間的關係時，容易有公式混淆與不瞭解題意的情形發生，

可見學生在理解題意方面一直存在著問題。王佳文（1994）指出在代數的計算題 中，以「a－□＝b」及「a÷□＝b」這兩種題型最難，有些學生能正確解答含有未 知數的計算題，但遇到代數文字題時，依照題意用符號來列式卻還是發生了困難。

戴政吉、侯美玲與詹勳國（2002）認為國小數學課程中常出現的算式填充題 是算術階段過渡到代數階段的墊腳石，但教師可能對算式填充題的定位不夠了 解，而忘記提醒學生注意算式結構的重要性，因此容易錯失引導學生進入代數結 構的時機。邱志賢（2002）研究發現六年級學生在解代數文字題時，有不習慣使 用未知數及列式時無法分辨算式或等式的另類概念產生，其研究亦指出學生專家 和學生生手在解題歷程的表現有差異，如：學生專家能保留題目中的重要基模且 解題策略較多元化。徐偉民和徐于婷（2009）認為代數和算術的本質不同，算術 中的數字代表一種數量的概念，而代數中的數字則代表一種可運算的動態元件；

且等號在算術和代數中所代表的意義亦不相同，在算術中的等號為一種得到結果 的過程，而在代數中的等號則是代表兩邊數量相等的概念，不管代入任何數字，

等式都應該成立。

施勝耀（2008）依據九年一貫數學課程代數主題一至三年級之分年細目所自 編之測驗進行施測，再利用模糊集群分析施測結果並圖繪受詴者的知識結構圖，

以提供教師進行補救教學之參考。黃秋銘（2009）以九年一貫課程綱要中代數主 題之分年細目為概念指標，利用自編測驗進行施測，並採用多元計分詴題關聯結 構理論繪製出學生的概念結構圖，以探討學生代數概念的結構及差異，教師可針 對此結構施以正確的教學。

三、錯誤概念方面

學生在解題時常因本身的觀念不清楚，而出現許多的錯誤概念，代數的學習 和一般的算術有很大的相關，正因如此，在彼此間的轉換過程中常出現許多的困 難。陳昭蘭（2007）探討學生在解代數文字題的錯誤情形時，發現學生對等量公 理的概念不熟，且誤用移項法則，同時無法正確的將題意轉譯為數學式子，可能 是新舊知識的互相干擾、不清楚題意或語意知識不足等所造成。陳嘉皇（2006）

嘗詴以「序列覆蓋」與「矩陣覆蓋」兩種不同類型的問題來探究國小五年級學生 使用代數推理的策略，其研究指出學生解題錯誤的原因為不了解題意及無法理解 問題情境中變數之間的關係等。莊松潔（2005）利用半結構式晤談法收集學生之 個案資料，並研究不同年級學生的未知數概念及面對未知數問題情境的解題歷 程，其認為若能趁早在國小數學課程中加入讓學生學習如何用代數式子表徵文字 題情境的單元，將有助於往後學習代數時，對於文字符號概念的認知提升。同時 其指出學生在學習代數時容易產生的五個迷思概念：

1、對等號的狹義解讀。

2、文字符號意義的迷思概念，如不同文字表示不同的數字。

3、拒絕接受含有未知數的答案，而且出現許多文字與數字混合化簡的錯誤。

4、解等號兩邊皆有未知數的方程式時出現困難。

5、代數文字題轉換成方程式的失敗。

林清山、張景媛（1994）將學生在解代數應用問題時所產生的錯誤概念歸納 為下列四種：

1、問題轉譯的錯誤概念：學生對於關鍵詞的詞義無法徹底理解，且無法分辦問 題中哪些是沒有用的條件。

2、問題整合的錯誤概念：學生缺乏基本的數學概念，且無法察覺算出的答案是 否合理；學生不會假設，只會套用固定的模式而不會隨著問題的變化而改變 做法。

3、解題計畫及監控的錯誤概念：學生未能瞭解已知條件和未知條件間的關係，

導致假設和式子不符；學生常認為題目只有一種解法，而無法針對不同的問 題採取不同的解題策略。

4、解題執行的錯誤概念：學生在解方程式時會出現移項的錯誤，主要是因為缺 乏等號兩邊數值相等的概念，學生不習慣使用代入法來解方程式，且在使用 消去法時易出現正負號混淆的情形。

何縕琪、林清山（1994）研究國小學生在解比較類應用題時，發現學生出現 的困難主要在問題表徵階段，而學生的解題思考歷程有明顯的不同，其中能力較 高的學生會依據題意列出完整的運算式，而能力較低的學生則以列出二個數學式 子為主。在算術轉換到代數的過程中，主要的困難是在學習辨認新的數學物件，

且最重要的是瞭解文字符號是一種變數（戴政吉等人，2002）。陳慧珍（2001）

研究指出不同性別的國一學生在文字符號的概念理解並無顯著差異，國一男女生 對於「文字符號可當成一般化的數字」和「文字符號可當成變數」的概念理解皆 感到困難，如此反映學生從題目的文字敘述轉換為數學式子的概念發展確實值得 探究。

貳、國外有關代數之相關研究

國外有關代數的研究亦可分為代數教學、代數概念理解及錯誤概念等三方 面，以下針對此三方面進行探究。

一、代數教學方面

Sfard 認為代數可被想成是結構性的物件或操作性的程序，學校的代數課程 目標為結構性的，但學生往往先形成操作性的概念，因此將會影響往後算術和代 數的轉換。算術的結構運思與代數的結構運思並不相同，因為必頇將代數結構視

Sfard 認為代數可被想成是結構性的物件或操作性的程序，學校的代數課程 目標為結構性的，但學生往往先形成操作性的概念，因此將會影響往後算術和代 數的轉換。算術的結構運思與代數的結構運思並不相同，因為必頇將代數結構視