國小中年級代數概念測驗編製與錯誤類型分析

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文. 指導教授：胡豐榮博士許天維博士. 國小中年級代數概念測驗編製與錯誤類型分析. 研究生：黃資貴撰. 中華民國一百年七月.

(2)

(3) 謝辭身為研究生以來，無時無刻都提醒著自己，要加快腳步完成論文，但進度總是在開始上班後逐漸趨緩，甚至停滯不前，而一想到同學們認真的模樣，緊張與恐懼便環繞在我周圍，幸好，一路走來，總有不斷鼓勵我的良師益友，提醒我努力向前，甚至給予我最大的協助，這種無私的付出，即是支撐我不斷前進的動力。感謝我的指導老師—胡豐榮教授和許天維教授，在研究的這段時間裡，儘管老師相當忙碌，也不忘抽空關心我的論文進度，對我的指導十分嚴謹、從不含糊，毫不吝嗇的傾囊相授，以及對學生的百般用心，著實令我感動不已，也讓從事教職的我想以老師為榜樣，全心全意為孩子們付出。同時也感謝老師的引導，讓我更清楚自己的研究方面，而有機會深入去撰寫屬於自己的論文，謝謝老師這些年的關心，您的用心將是引領我未來做人做事的明燈，謝謝您！感謝在這些年授課的老師們，雖然有時會因作業而感到煩憂，但這一點一滴的學習，才讓我體會到自己所學有限，而在這煩雜的壓力下，讓我學會了更多做事的方法，也著實讓我體認到生命竟可如此的充實，真的謝謝您們的付出與指導。感謝研究所的夥伴們，有你們的支持與鼓勵，才激起我要更加努力的決心，尤其是國明，一直以來，我們都是同一組，一起討論、報告、寫作業等，身兼數職的你總是將大部分的作業攬在身上，儘管事情再忙，依舊以爽朗的心情來面對挑戰，你的付出，相信班上所有人都能體會，真的非常謝謝你。最後，願這份研究成果分享給每一位朋友，衷心感謝，也祝大家幸福！. I.

(4) II.

(5) 摘要本研究針對國小學生在代數概念之理解情形進行探究，研究對象為臺中市國小三、四年級學生，共計 572 名有效樣本。以研究者自編之代數概念測驗進行施測，透過詴題分析軟體 TestGraf98 及統計軟體 SPSS 來分析，首先分析受詴者在本測驗之表現情形，以及不同年級與不同性別之受詴者在代數測驗的表現差異探討，其次透過詴題選項特徵曲線及受詴者答題之錯誤類型分析，以了解受詴者在代數學習階段所遭遇的困難及易產生的錯誤類型，並提供教師教學設計及補救教學之參考。研究結果如下：一、學生在本研究測驗的表現不錯，但在解某些詴題時則出現較大的問題，如：依題目列出算式填充題及依算式填充題編擬文字題目等類型。二、學生年級與性別在代數測驗交互作用之 F 值未達顯著，但在年級因子之主要效果達顯著，表示四年級學生在代數測驗的表現顯著優於三年級學生。三、學生年級與性別在各年段分測驗交互作用之多變量變異數的 Wilks’ Λ 值未達顯著，而年級變項主要效果之單因子多變量變異數分析結果達顯著。年級變項之單因子單變量變異數分析在三個分測驗表現均達顯著，表示四年級學生在所有分測驗的表現均顯著優於三年級學生。四、學生對於等號的意義、列式、加減互逆及乘除互逆的概念皆不甚瞭解，教師應多加強學生在題目分析方面的練習，透過正確的列式來強化學生對等號概念的理解，同時亦可提升學生分析問題的能力，並可適時引入驗算的概念，再次強化互逆概念的理解。關鍵字：代數、等號、選項特徵曲線、錯誤類型. III.

(6) The Drafting of Algebra Concept Test of Third Grade and Fourth Grade in Elementary School and the Error Type Analysis. Abstract The research aimed at elementary students’ comprehension situation of concepts of algebra to explore; the research subjects were the third grade and fourth grade students of elementary schools in Taichung City, and there were 572 valid samples. The test of concepts of algebra edited by the researcher was taken to do the test, and the results were analyzed via item analysis software TestGraf98 and statistical software SPSS; first of all, the testees’ performance situation in this test was analyzed, and the performance difference of testees of different grade and different gender in the algebra test was analyzed and explored; secondly, through the analysis of item option characteristic curves and error types that the testees answered to understand the difficulties that the testees encountered in the learning stage of algebra and the error types that the testees tended to make, and to provide teachers the reference of teaching design and remedial instruction. The research findings are as follows: 1. The students had pretty good performance in the research test; however, a greater problem occurred when they solved some items, such as: a gap-filling exercise with the requirement of listing the equation according to the item, and editing the words of item according to the gap-filling exercise of equation. 2. The F value of the interaction between students’ grade and gender in the algebra test did not achieve a significant level, but the grade factor’s main effect reached a significant level, showing that the fourth grade students’ performance in algebra test was conspicuously more excellent than that of the third grade students.. IV.

(7) 3. The MANOVA Wilks’ Λ value of the interaction between students’ grade and gender in the subtests of testing what they learned in the 1st grad, the 2nd grade, and the 3rd grade did not achieve a significant level, but the results of one-way MANOVA of grade variable’s main effect accomplished a significant level. The one-way ANOVA of grade variable achieved a significant level on the performance of three subtests, showing that the fourth grade students’ performance in all subtests was obviously more excellent than that of the third grade students. 4. The students did not understand very well about the meaning of an equal sign, formulation, the reciprocal concept of addition and subtraction, and the reciprocal concept of multiplication and division. The teacher shall strengthen students’ exercises in item analysis, and enhance students’ comprehension to the concept of equal sign via correct formulation; meanwhile, the teacher shall promote the students’ capability of analyzing the items, and introduce the concept of a checking calculation timely to consolidate the comprehension of the reciprocal concept once again.. Keywords: Algebra, equal sign, option characteristic curve, error types.. V.

(8) VI.

(9) 目錄第一章緒論........................................................................................................ 1 第一節第二節第三節第四節. 研究動機 .............................................................................................. 1 研究目的 .............................................................................................. 3 名詞定義 .............................................................................................. 3 研究範圍與限制................................................................................... 4. 第二章文獻探討 .............................................................................................. 5 第一節第二節第三節第四節第五節. 代數發展與教材內容之探討 ............................................................... 5 代數之相關研究................................................................................. 13 代數相關概念及數學解題策略之探究 .............................................. 20 詴題選項特徵曲線理論 ..................................................................... 24 詴題編製理論 .................................................................................... 30. 第三章研究方法 ............................................................................................ 35 第一節第二節第三節第四節. 研究架構 ............................................................................................ 35 研究對象 ............................................................................................ 36 研究工具 ............................................................................................ 37 資料分析 ............................................................................................ 40. 第四章研究結果與討論 .............................................................................. 41 第一節第二節第三節第四節第五節. 詴卷特性及學生作答資料之分析 ..................................................... 41 學生代數概念之理解情形 ................................................................. 45 學生在代數測驗表現之探討 ............................................................. 47 詴題選項特徵曲線分析 ..................................................................... 50 代數學習之錯誤類型分析 ................................................................. 59. 第五章結論與建議 ....................................................................................... 65 第一節第二節. 結論 .................................................................................................... 65 建議 .................................................................................................... 69. 參考文獻 ............................................................................................................... 71 附錄......................................................................................................................... 78. VII.

(10) 附錄一：代數概念測驗詴卷 ............................................................................. 78 附錄二：代數概念測驗設計之雙向細目表 ..................................................... 80 附錄三：應用題錯誤類型範例(一) .................................................................. 81 附錄四：應用題錯誤類型範例(二) .................................................................. 83 附錄五：應用題錯誤類型範例(三) .................................................................. 85 附錄六：應用題錯誤類型範例(四) .................................................................. 86 附錄七：應用題錯誤類型範例(五) .................................................................. 88 附錄八：應用題錯誤類型範例(六) .................................................................. 90. VIII.

(11) 表次表 2-1. 九年一貫數學課程代數能力指標 ................................................................ 8. 表 2-2. 九年一貫數學課程代數主題一至三年級分年細目 ...................................... 10. 表 2-3. 詴題選項特徵曲線分析之相關研究彙整表 .................................................. 30. 表 3-1. 預詴之有效樣本分配表 .................................................................................... 36. 表 3-2. 正式施測之有效樣本分配表 ........................................................................... 37. 表 3-3. 預詴詴題之信度、難度及鑑別度指數分析表 .............................................. 39. 表 4-1. 正式詴題之信度、難度及鑑別度指數分析表 .............................................. 42. 表 4-2. 鑑別度評鑑標準表 ............................................................................................ 43. 表 4-3. 正式測驗之描述性統計資料表 ....................................................................... 43. 表 4-4. 各詴題之答對率統計表 .................................................................................... 44. 表 4-5. 一年級代數概念詴題之答對率統計表 ........................................................... 45. 表 4-6. 二年級代數概念詴題之答對率統計表 ........................................................... 46. 表 4-7. 三年級代數概念詴題之答對率統計表 ........................................................... 47. 表 4-8. 學生年級與性別在代數測驗之二因子變異數分析摘要表 ......................... 48. 表 4-9. 學生年級與性別在代數測驗之帄均數摘要表 .............................................. 48. 表 4-10 各年段分年細目詴題分配表 ........................................................................... 49 表 4-11 學生年級與性別在三個分測驗之二因子多變量變異數分析摘要表 ......... 49 表 4-12 學生年級與性別在一年級分年細目測驗之帄均數摘要表 ......................... 50 表 4-13 學生年級與性別在二年級分年細目測驗之帄均數摘要表 ......................... 50 表 4-14 學生年級與性別在三年級分年細目測驗之帄均數摘要表 ......................... 50 表 4-15 代數概念應用題錯誤類型分析表(一) ............................................................ 60 表 4-16 代數概念應用題錯誤類型分析表(二) ............................................................ 61 表 4-17 代數概念應用題錯誤類型分析表(三) ............................................................ 63 表 4-18 代數概念應用題錯誤類型分析表(四) ............................................................ 64. IX.

(12) 圖次圖 2-1. 詴題選項特徵曲線範例圖(一) ......................................................................... 25. 圖 2-2. 詴題選項特徵曲線範例圖(二) ......................................................................... 26. 圖 2-3. 詴題選項特徵曲線範例圖(三) ......................................................................... 26. 圖 2-4. 詴題選項特徵曲線範例圖(四) ......................................................................... 27. 圖 2-5. 詴題選項特徵曲線範例圖(五) ......................................................................... 27. 圖 2-6. 詴題選項特徵曲線範例圖(六) ......................................................................... 28. 圖 2-7. 詴題選項特徵曲線範例圖(七) ......................................................................... 28. 圖 2-8. 詴題選項特徵曲線範例圖(八) ......................................................................... 29. 圖 2-9. 詴題選項特徵曲線範例圖(九) ......................................................................... 29. 圖 3-1. 研究架構圖......................................................................................................... 35. 圖 4-1. 詴題選項特徵曲線圖(一) ................................................................................. 51. 圖 4-2. 詴題選項特徵曲線圖(二) ................................................................................. 52. 圖 4-3. 詴題選項特徵曲線圖(三) ................................................................................. 53. 圖 4-4. 詴題選項特徵曲線圖(四) ................................................................................. 54. 圖 4-5. 詴題選項特徵曲線圖(五) ................................................................................. 55. 圖 4-6. 詴題選項特徵曲線圖(六) ................................................................................. 56. 圖 4-7. 詴題選項特徵曲線圖(七) ................................................................................. 57. 圖 4-8. 詴題選項特徵曲線圖(八) ................................................................................. 58. X.

(13) 第一章. 緒論. 本研究以國小中年級學生應學會的代數概念為研究範籌，透過自編之代數概念測驗詴卷進行施測，並利用 SPSS 和 Excel 統計套裝軟體及 TestGraf98 詴題分析軟體來分析詴卷之信度、難度、鑑別度及各詴題之選項特微曲線。研究旨在藉由分析結果探討國小三、四年級學生對代數概念之理解情形，以提供教師在教學設計及詴題編製之參考。本章就研究動機、研究目的、名詞定義及研究範圍與限制等四節進行闡述。. 第一節. 研究動機. 國民中小學九年一貫課程的規畫中，將數學學習領域共分成四個階段，而數學的整體內容分為五大主題：數與量、幾何、代數、統計與機率、連結，由於代數的題材在以往的課程中明顯偏少，導致學生升上國中時，遇到銜接上的困難，因此九年一貫課程融入了許多代數的相關題材，讓學生提早接觸代數的相關概念，如使用未知數表徵數學式子、認識變數的概念及理解等量公理等，希望有助於學生銜接上國中的代數學習。然而九年一貫課程將代數教學由國小五年級向下延伸至二年級，並將代數的列式與解題引入至該課程中，再次凸顯了代數學習的重要性（教育部，2003）。而以往數學課程的重點總是放在國小銜接國中的部分，殊不知在國小第一階段代數概念理解的重要性，學生剛接觸代數學習時，常將代數的概念與熟悉的算術搞混，如等號的意義及利用符號來列式與解題等，導致學習一直遭遇困難而無法產生動機，連帶影響其他的數學學習，更別說高年級的代數課程及升國中的銜接課程。九年一貫數學課程強調除了學習數學知識外，演算能力、抽象能力和推論能力的培養為數學教育的主軸，其中抽象能力始於能使用符號、模型、圖形或其他. 1.

(14) 方式來清楚表達量化與邏輯關係，與代數學習有很大的關聯，而應用問題的教學，則是國小階段培養這種能力的好方法，即使這些問題在將來都可以利用代數的方法來解決，但國小應用問題的教學，乃利用學生的生活經驗、直觀及抽象思考方法結合在一起的活動，此為學生在國中學習代數時，絕佳的先備經驗。故在國小進行代數教學時，融入生活經驗的應用問題便是良好的教材，可以讓學生分析題目提供的訊息，再經由整理這些相關訊息來完成解題，藉此提升學生分析問題的能力。同時，數學又強調溝通的能力，溝通包括理解與表達兩方面，數學溝通是指要能理解別人以書寫、圖形或口語中所要表達的數學資訊，同時也要能以書寫、圖形或口語的形式來表達自己的意思（教育部，2003）。故有關如何在冗長的題目敘述中找出已知數、未知數及其之間的數量關係，並利用符號正確且簡潔的表徵，來達成解題與溝通的目的，確實是代數教學的重點。國內外有許多關於代數學習的研究，同時也指出許多代數學習時常遇到的問題，如：呂玉琴（1989）提出代數概念在國小教學是可行的。Carraher, Schliemann, Brizuela and Earnest (2006)指出低年級學生在學習數學時，代數具有輔助的功能，且學生可利用文字符號、數線、圖表來表徵各種問題情境，以幫助解決問題。謝和秀（2001）認為學生因不了解文字符號所代表的意義為何，及對算術和代數運算規則的概念混淆，導致在代數學習中遭遇到許多困難。古逸軒（2009）指出符號的熟悉程度與表徵意義，將影響學生學習數學的成效。國小代數課程主要為培養較基礎的先備概念，以為更高層次、更抽象的代數學習作準備，基礎的代數概念若沒學好，將造成往後學習上的種種困難，故教師應特別留意學生基礎概念的建立（廖瓊菁，2001）。從九年一貫課程綱要的修訂結果及各相關研究的發展，得知代數的學習在國小階段有其不可或缺的重要性，相關的研究亦指出學生在代數學習方面遭遇到許多困難。本研究即是針對這樣的動機，欲編製一份具有信、效度的代數概念測驗詴卷，除了用來瞭解國小三、四年級學生對代數概念的理解情形，並探討不同年. 2.

(15) 級與不同性別之學生在本研究測驗的表現差異，及針對某些解題錯誤類型進行探究，更希望本研究結果能對教師在代數教學上有所助益。. 第二節. 研究目的. 本研究主要目的在於探討國小三、四年級學生在九年一貫數學課程中代數概念之理解情形與解題時易發生的錯誤類型，具體的目的如下：一、探討詴卷之內容。二、探討學生對代數概念之理解情形。三、了解不同年級與不同性別之學生在代數測驗的表現情形。四、了解詴題選項特徵曲線內容。五、探討學生在代數學習時易產生的錯誤類型。. 第三節. 名詞定義. 本節就研究中所涉及之相關名詞進行定義與說明如下：一、中年級學生本研究所指的中年級學生為接受九年一貫課程教育之國小三、四年級學生。二、代數概念本研究所指的代數概念乃針對九年一貫數學課程代數主題一至三年級之分年細目所涵蓋之概念為主，包含等號的意義、列式、加減互逆等概念。三、算式填充題算式填充題為數學算式的某一構成成分，乃利用數學符號來表徵問題，並要求解題者算出其中的未知數，以完成解題。四、TestGraf98 Ramsay 融合高低詴題鑑別指數及核帄滑無參數估算法，發展出一種可分析. 3.

(16) 正確選項及誘答選項的核帄滑無參數詴題特徵曲線估算法。此方法完全根據受詴者實際的作答結果來分析，是一種無參數的詴題反應理論，而 Ramsay 依據此理論，發展出 TestGraf98 軟體，可用來估計選項特徵曲線(option characteristic curve, OCC)，並藉此來分析詴題選項的特徵（引自楊志強，2004）。. 第四節. 研究範圍與限制. 本研究藉由研究者自編之代數概念測驗對國小中年級學生進行施測，利用分析的結果來探究國小三、四年級學生在代數方面的學習情形，茲將研究範圍與限制說明如下：一、研究內容本研究之測驗內容乃依據九年一貫數學課程代數主題一至三年級之分年細目來編擬，並參考康軒、南一、翰林等坊間出版社所編輯的數學科教材，測驗內容皆為代數概念，因此本研究結果將不推論至其他數學概念的單元。二、研究對象由於受限於時間、人力、行政及各項因素的考量，故本研究以台中市國小三、四年級學生為研究對象，無法擴及其他縣市，因此研究結果無法解釋為普遍性的現象。三、研究結果本研究結果只能作為教師的教學設計及對學生進行補救教學之參考，不能作過度的推論。. 4.

(17) 第二章. 文獻探討. 本章將分成五節來進行探討。第一節為代數發展與教材內容之探討；第二節為綜合國內外對代數之相關研究；第三節為代數相關概念及數學解題策略之探究；第四節為詴題選項特徵曲線理論；第五節為詴題編製理論。. 第一節. 代數發展與教材內容之探討. 壹、代數的起源及發展三、四千年以前，在埃及與巴比倫人的開創之下，代數學便開始發展起來。而代數「algebra」一字詞乃源自於阿拉伯文「al-jabr」，原意是還原與對消，如同在等號兩邊做等量的四則運算，便有還原與對消之意。16 世紀時，代數學最大的成就即是符號的演進及普遍化，而符號的演進大致上可分為三方面：一、未知數和已知數符號；二、乘冪符號；三、運算符號及關係符號（袁小明，2003）。至於代數的發展史在符號方面則分為三個時期：第一期為逐字式，第二期為簡字式，第三期為符號式，而符號的用法不斷的演變，直到 Isaac Newton 才趨於一致（王懷權，1986）。代數為一種符號化的歷程，此歷程可分為三個階段(Kieran, 1992)：一、修辭學階段人們使用一般語言來敘述解特定問題之過程，其中未知數並沒有使用特殊的標誌或符號來表示。二、簡潔階段人們開始使用簡潔的符號來代替語言，例如用 p 代表加，m 代表減。在此階段只重視求特定方程式的解，因此符號系統並沒有重大的進展。三、象徵性階段. 5.

(18) 數學家開始使用文字符號來表示問題的一般解，並利用代數來證明數字之間的關係。代數包含許多的概念，如：變數、函數、等號的意義，以及把文字情境轉換為方程式等(Kieran, 1989)。而學者們針對代數則分別提出了各自的看法，Herbert and Brown (1997)認為代數是從問題情境中篩選有用的訊息，並且使用數學工具來整合表徵這些訊息，然後才進行解題。項武義（1995）認為解代數問題時，可先用數學符號來表徵題目中的未知數，接著用代數方程式表示數量關係，再透過運算法則求出其中的未知數。Kieran (2004)認為代數是藉由分析函數關係，確定結構表徵系統後，接著表徵其數量關係以解決問題，而代數的成功使用取決於至少六項數學思維能力：概括、抽象、分析與思考、動態思想、建模及組織。正如同國小數學課程中的應用問題，學生解題時必頇從問題情境中找出各種解題的訊息，再利用數學符號來表徵這些訊息，然後進行解題，而且解題的方法是要別人看得懂，且能與他人溝通的形式，如此才能真正達到解題的目的。 Usiskin (1997)認為代數是一種語言，且此種語言涵蓋了五大方面：一、未知數：不論是底線、方框、問號或其他文字符號都可代表未知數。二、公式：若有一個式子為 A＝XY，假如教師問：「X 應該為多少才能讓這個式子成真？」此為代數的敘述方式；若教師問：「答案是什麼？」則為算術的敘述方式。三、一般式：代數可將冗長的敘述轉換為簡短的一般式，例如：「某數加 0，答案為某數；某數加上本身，答案為某數的兩倍。」此段敘述可用簡短的式子來呈現，如：0＋n＝n 及 y＋y＝2y。四、位置：如第一個位置放 X，第二個位置放 Y，第三個位置放 X－Y，無論 X 和 Y 是什麼數字，解題時都不需改變作法。五、關係：如：B＝M＋2、B－M＝2、M＝B－2，這三個式子互為等價關係。 Usiskin (1999b)更對何謂代數提出了些許看法：. 6.

(19) 1、代數是一種廣義的算術。 2、代數是為解決某些特定問題有關步驟的研究。 3、代數是探討數量之間關係的研究。 4、代數是數學結構的研究。代數從早期發展至今，文字符號的使用已愈趨簡潔、明確，數量關係的表示也有一定的模式，然而數學學習的目的除了解題之外，終究還是要表達及溝通，如何利用文字符號將冗長的題目敘述轉換為簡短且易懂的代數式，並且利用已知的條件來完成解題，此為代數課程中相當重要的概念，代數屬於較高層次的認知思考，除了學生本身的認知發展外，更重要的是教師適時的講解與引導，才能讓學生確實掌握代數的學習。. 貳、九年一貫課程中之代數教育部根據行政院核定的「教育改革行動方案」來進行國民教育階段之課程與教學的革新，而課程與教材乃學校教育的核心，亦是教師教學的依據，故以九年一貫課程的規劃與實施為首要任務。國民教育階段之課程設計乃以學生為主體，以生活經驗為重心，來培養國民所需的基本能力，其中課程採取個體發展、社會文化及自然環境等三個面向來設計，提供語文、數學、社會、自然與生活科技、健康與體育、藝術與人文及綜合活動等七大學習領域。而數學領域包含數、量、形等基本概念的認知、具備運算能力及組織能力，且能在日常生活中應用，了解推理與解題思考過程，並能與他人溝通數學內涵的能力，同時能與其他領域做適當的連結（教育部，2003）。教育部訂定的國民中小學九年一貫課程綱要中，定義數學學習領域的教學總體目標如下：一、培養學生的演算、抽象、推論及溝通等能力。. 7.

(20) 二、學習應用問題的解題方法。三、奠定下個階段的數學基礎。四、培養欣賞數學的態度與能力。然而在國小階段代數題材安排的特色如下： 1、能理解算術符號的使用方式，並用來列出日常問題的算式，以進行解題。 2、從整數到分數、小數，能在具體情境中了解各個基本運算的性質，並用來簡化計算。 3、從最根本的加減問題到四則混合計算，使學生最後能獨立於生活和具體情境，然而在形式與程序上，能流暢的進行整數計算。 4、協助發展對數學問題的解題策略。 5、能理解等量公理。數學領域將國民教育分成四個階段，將數學內容分為五大主題：數與量、幾何、代數、統計與機率、連結。而能力指標以三碼編排，第一碼表示主題，分別用字母 N、S、A、D 表示數與量、幾何、代數、統計與機率等四大主題；第二碼表示階段，分別用 1、2、3、4 表示第一、二、三和四階段；第三碼則為能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。其中代數主題的能力指標如表 2-1 所示：表 2-1. 九年一貫數學課程代數能力指標. 能力指標. 能力指標內容. A-1-01. 能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義與＜、＝、＞的遞移律。. A-1-02. 能將具體情境中的單步驟問題列成算式填充題，並解釋式子與原問題情境的關係。. A-1-03. 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律、乘法的交換律，並運用於簡化計算。. A-1-04. 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。. A-1-05. 能在具體情境中，認識乘除互逆。. 8.

(21) 表 2-1. 九年一貫數學課程代數能力指標(續). A-2-01. 能在具體情境中，理解乘法結合律、乘法對加法的分配律與其他乘除混合計算之性質，並運用於簡化計算。. A-2-02. 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。. A-2-03. 能解決用未知數符號列出之單步驟算式填充題。. A-2-04. 能使用中文簡記式記錄常用的公式。. A-3-01. 能做基本的代數運算。. A-3-02. 能理解並應用等量公理。. A-3-03. 能用 x、y、…等符號表徵生活中的未知量及變量。. A-3-04. 能用含未知數的等式或不等式，表示具體情境中的問題，並解釋算式與原問題情境的關係。. A-3-05. 能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解釋問題或將問題列成算式。(N-3-14). A-3-06. 能發展策略，解決含未知數之算式題，並驗算其解的合理性。. A-3-07. 能運用變數表示式，說明數量樣式之間的關係。. A-3-08. 能熟練一元一次方程式的解法。. A-3-09. 能檢驗、判斷一元一次不等式的解並描述其意義。. A-3-10. 能理解二元一次方程式的意義。. A-3-11. 能理解帄面直角座標系，並畫出線型函數圖形。. A-3-12. 能運用直角座標系及方位距離來標定位置。. A-3-13. 能熟練二元一次聯立方程式的解法並理解其解的意義。. A-3-14. 能利用一次式解決具體情境中的問題。. A-4-01. 能熟練乘法公式。. A-4-02. 能認識多項式，並熟練其四則運算。. A-4-03. 能理解勾股定理及熟練其應用。. A-4-04. 能熟練多項式的因式分解。. A-4-05. 能熟練一元二次整係數方程式的解法。. A-4-06. 能理解二次函數的圖形及應用。. A-4-07. 能理解拋物線之對稱性。. 9.

(22) 能力指標乃依據主題和階段學習能力來訂定，而多數指標頇採分年進階式教學才能達到其教學目標。故由階段能力指標演繹出更精確的分年細目，以利分年進階式教學目標的明確掌握。分年細目同樣以三碼編排，第一碼表示年級，分別用 1 到 9 來表示一至九年級；第二碼表示主題，分別用小寫字母 n、s、a、d 來表示數與量、幾何、代數、統計與機率等四個主題，第三碼則為分年細目的流水號，乃該細項下分年細目的序號。其中九年一貫數學課程代數主題一至三年級分年細目如表 2-2 所示：表 2-2. 九年一貫數學課程代數主題一至三年級分年細目對應能力指標. 分年細目. 分年細目內容. 1-a-01. 能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義。. 1-a-02. 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律，並運用於簡化計算。. A-1-03. 1-a-03. 能在具體情境中，認識加減互逆。. A-1-04. 2-a-01. 能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在具體情境中認識遞移律。(同 2-n-03). N-1-01. 2-a-02. 能將具體情境中單步驟的加、減問題列成算式填充題，並解釋式子與原問題情境的關係。. A-1-02. 2-a-03. 能在具體情境中，認識乘法交換律。. A-1-03. 2-a-04. 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。. A-1-04. 3-a-01. 能將具體情境中單步驟的乘、除問題列成算式填充題，並能解釋式子與原問題情境的關係。. A-1-02. 3-a-02. 能在具體情境中，認識乘除互逆。. A-1-05. N-1-02 A-1-01. A-1-01. 在九年一貫課程中，數學學習的目標著重在培養學生的演算、抽象、推論、溝通及解題能力，建立每個階段的概念以為下一階段做準備，而代數的學習又以符號的使用、列式、理解等量公理為重點，其中九年一貫課程將分段能力指標細分為分年細目，明確的顯示每個年段的教學目標，讓教師們更能清楚掌握教材的. 10.

(23) 重點，故本研究以九年一貫數學課程代數主題一至三年級之分年細目作為命題依據，探討學生在接受代數課程教學後，對代數概念的理解情形，並針對學生易發生的錯誤類型進行探究。. 叄、NCTM 學校數學的原則及標準美國國家數學教師協會(NCTM)於 2004 年頒布「學校數學的原則和標準」《Principles and Standards for School Mathematics》，對臺灣數學教育的影響很大，其中內容包括五大領域：數與計算(number and operations)、幾何(geometry)、代數 (algebra)、測量(measurement)、資料分析和機率(data analysis and probability)。而代數的教學設計是希望從學前到 12 年級的學生都能夠學得下列四種能力，以下為各能力及其細項之介紹（引自莊舜如，2006）：一、瞭解樣式、關係和函數 1、針對學前至二年級的學生，其教學目標是希望學生能夠根據大小、數量或其他性質來分類及排序物件；且能辨別、描述簡單數量的順序樣式，並可互相做轉換。 2、針對三至五年級的學生，其教學目標是希望學生能夠描述、歸納圖形或數量之規則；並能使用文字或圖表來描述及分析樣式與函數。 3、針對六至八年級的學生，其教學目標是希望學生能夠用文字、符號或圖表來描述及分析多種樣式之規則；並比較不同形式的關係表徵；且能從方程式或圖表來辨認線性與非線性函數。二、使用數學符號描述及分析數學情境和結構 1、針對學前至二年級的學生，其教學目標是希望學生能利用具體的、圖畫的或是口語的表達方式來培養對於一般符號的理解；能使用數字練習運算的一般性定律。. 11.

(24) 2、針對三至五年級的學生，其教學目標是希望學生能使用文字符號來表徵未知數及問題中的數量關係；能分辨交換律、結合律及分配律，並能利用這些性質來進行全數的運算。 3、針對六至八年級的學生，其教學目標是希望學生對不同用途的變項能有初步的理解。三、使用數學模式描述及瞭解量化關係 1、針對學前至二年級的學生，其教學目標是希望學生能使用物件、圖像或符號模式融入全數的加減法情境。 2、針對三至五年級的學生，其教學目標是希望學生能夠使用物件、圖表或算式表徵將問題情境模式化，以求得結果。四、在多種情境脈絡下分析改變 1、針對學前至二年級的學生，其教學目標是希望學生能描述量的改變及量的變化，如一年長高 3 公分。 2、針對三至五年級的學生，其教學目標是希望學生能夠察覺某一變項的改變與另一變項改變的關係；能分辨及描述常數或比率變化的情境，並且加以比較。由 NCTM 學校數學的原則及標準中所列之能力及各細項之描述，可知代數教學的目標在以循序漸進的方式讓學生瞭解算式、數量關係及方程式，並且從使用具體物件一步步過渡到使用文字符號來表徵題目中的數量關係，此種教學模式和國內現階段九年一貫數學課程有許多相同之處。期望學生在這一系列的教學設計下，能夠具備分析不同情境的能力，以及能依據題意列出正確的數量關係以完成解題。然而縱使有這樣系統化的教學模式，學生在代數的學習上依舊遭遇到許多困難，而這些困難也正是教師在進行代數教學時必頇留意的重點，國內外也有許多針對代數學習的相關研究，同時亦指出許多代數學習時所遭遇的困難，可見代數在數學領域裡確有其重要性。. 12.

(25) 第二節. 代數之相關研究. 國內外對於代數方面有相當多的研究資料，尤其是關於代數教學及學生學習代數的相關研究，茲將其整理如下：. 壹、國內有關代數之相關研究國內有關代數的研究大致可分為代數教學、代數概念理解及錯誤概念等三方面，以下針對此三方面進行探究。一、代數教學方面代數不同於一般的算術，屬於認知層次較高且抽象的課程，學生學習時容易發生概念混淆，故教師在進行代數教學時必頇與算術教學有所區別。呂玉琴（1989）認為代數的教學目的可分為以下幾點： 1、發展學生解方程式的技巧，同時找出適合特殊條件的數。 2、引導學生利用符號來幫助處理真實的問題。 3、為學習其他學科作準備。 4、培養學生在閱讀科學著作時，能了解其中的代數公式。呂溪木、呂玉琴（1988）指出在國小進行代數教學時，應該注意下列幾點： 1、將代數題材由淺至深分配至各年段數學課程中。 2、加強講解未知數的意義。 3、可利用畫圖來幫助學生理解題意。 4、指導學生盡量以乘法列式，避免用除法列式。許多學者嘗詴以自行設計的教材來探討學生對代數的理解情形，同時輔以合適的教學方法，來提升學生對代數概念的理解。如：陳嘉皇（2007）利用自編的代數評量工具檢測三年級學生的代數推理表現，再經過代數推理教學之後進行解題後測，發現學生在教學前後的推理解題能力有明顯的差異，其認為代數教學前. 13.

(26) 要先瞭解學生對等式概念、變數關係、樣式歸納和解題策略的學習狀況，然後進行合適的教學活動以提升學生代數概念的發展。廖瓊菁（2001）嘗詴以自行設計的「等量公理的代數教學」來改進國小六年級代數教學的缺失，國小的代數課程是由算術轉變為正式代數的轉換期，轉換的過程中，學生容易產生許多的錯誤概念，且國小的代數課程是為往後更高層次的代數學習做準備，基礎的概念若沒有建立起來，勢必影響未來的代數學習，故其重要性不可忽略。林文彥（2006）利用不同圖形表徵數位教材探討學生在代數比較類型文字題的解題情形，發現先備能力不同的學生在解此類型題目的學習成效有顯著差異，而使用不同圖形表徵數位教材對於學生在解此類型題目的學習成效亦有顯著差異，故教師應依照學生能力施以不同的教學方式，同時尋找適合的數學工具來教學，才能提供學生較佳的幫助。莊舜如（2006）詴圖發展一份代數思考能力測驗來了解國小高年級學生之代數思考能力表現情形，其研究發現詴題會影響學生列式的品質，題目則會影響學生的表徵類型，同時年級和數學能力皆會影響代數思考能力，並認為國小階段的代數教學著重在使用代數思考能力，且相關的概念以未知數、表徵、樣式察覺及變數概念的引入最為重要。可見國小階段的代數基礎概念相當重要，若沒有建立起來，將來肯定會遭遇到許多課程銜接的問題。代數學習常會涉及到問題表徵，而表徵的重點在於使問題變得更簡化，同時能與他人溝通，故表徵教學極為重要。羅素貞（1996）認為問題表徵的重點在幫助學生形成連貫性、對應性和連接性的表徵，並對問題解決的教學提出以下建議： 1、強調先了解問題再進行解題。 2、對問題的陳述應簡潔明確。 3、協助學生養成建立外在表徵的習慣。 4、注意屬性和處理的交互作用。二、概念理解方面黃寶彰（2003）以六、七年級學生為研究對象，發現學生能夠歸納已知數值. 14.

(27) 的關係，並且能代入題目中來解決問題，但題目中若出現未知數值的符號時，學生可能無法接受含有未知數的答案。而學生在算式填充題的學習上較無困難，主要的困難在於利用文字符號來表徵未知數並列出算式的應用題。七年級學生利用文字符號來表示兩數量間的關係時，容易有公式混淆與不瞭解題意的情形發生，可見學生在理解題意方面一直存在著問題。王佳文（1994）指出在代數的計算題中，以「a－□＝b」及「a÷□＝b」這兩種題型最難，有些學生能正確解答含有未知數的計算題，但遇到代數文字題時，依照題意用符號來列式卻還是發生了困難。戴政吉、侯美玲與詹勳國（2002）認為國小數學課程中常出現的算式填充題是算術階段過渡到代數階段的墊腳石，但教師可能對算式填充題的定位不夠了解，而忘記提醒學生注意算式結構的重要性，因此容易錯失引導學生進入代數結構的時機。邱志賢（2002）研究發現六年級學生在解代數文字題時，有不習慣使用未知數及列式時無法分辨算式或等式的另類概念產生，其研究亦指出學生專家和學生生手在解題歷程的表現有差異，如：學生專家能保留題目中的重要基模且解題策略較多元化。徐偉民和徐于婷（2009）認為代數和算術的本質不同，算術中的數字代表一種數量的概念，而代數中的數字則代表一種可運算的動態元件；且等號在算術和代數中所代表的意義亦不相同，在算術中的等號為一種得到結果的過程，而在代數中的等號則是代表兩邊數量相等的概念，不管代入任何數字，等式都應該成立。施勝耀（2008）依據九年一貫數學課程代數主題一至三年級之分年細目所自編之測驗進行施測，再利用模糊集群分析施測結果並圖繪受詴者的知識結構圖，以提供教師進行補救教學之參考。黃秋銘（2009）以九年一貫課程綱要中代數主題之分年細目為概念指標，利用自編測驗進行施測，並採用多元計分詴題關聯結構理論繪製出學生的概念結構圖，以探討學生代數概念的結構及差異，教師可針對此結構施以正確的教學。三、錯誤概念方面. 15.

(28) 學生在解題時常因本身的觀念不清楚，而出現許多的錯誤概念，代數的學習和一般的算術有很大的相關，正因如此，在彼此間的轉換過程中常出現許多的困難。陳昭蘭（2007）探討學生在解代數文字題的錯誤情形時，發現學生對等量公理的概念不熟，且誤用移項法則，同時無法正確的將題意轉譯為數學式子，可能是新舊知識的互相干擾、不清楚題意或語意知識不足等所造成。陳嘉皇（2006）嘗詴以「序列覆蓋」與「矩陣覆蓋」兩種不同類型的問題來探究國小五年級學生使用代數推理的策略，其研究指出學生解題錯誤的原因為不了解題意及無法理解問題情境中變數之間的關係等。莊松潔（2005）利用半結構式晤談法收集學生之個案資料，並研究不同年級學生的未知數概念及面對未知數問題情境的解題歷程，其認為若能趁早在國小數學課程中加入讓學生學習如何用代數式子表徵文字題情境的單元，將有助於往後學習代數時，對於文字符號概念的認知提升。同時其指出學生在學習代數時容易產生的五個迷思概念： 1、對等號的狹義解讀。 2、文字符號意義的迷思概念，如不同文字表示不同的數字。 3、拒絕接受含有未知數的答案，而且出現許多文字與數字混合化簡的錯誤。 4、解等號兩邊皆有未知數的方程式時出現困難。 5、代數文字題轉換成方程式的失敗。林清山、張景媛（1994）將學生在解代數應用問題時所產生的錯誤概念歸納為下列四種： 1、問題轉譯的錯誤概念：學生對於關鍵詞的詞義無法徹底理解，且無法分辦問題中哪些是沒有用的條件。 2、問題整合的錯誤概念：學生缺乏基本的數學概念，且無法察覺算出的答案是否合理；學生不會假設，只會套用固定的模式而不會隨著問題的變化而改變做法。 3、解題計畫及監控的錯誤概念：學生未能瞭解已知條件和未知條件間的關係，. 16.

(29) 導致假設和式子不符；學生常認為題目只有一種解法，而無法針對不同的問題採取不同的解題策略。 4、解題執行的錯誤概念：學生在解方程式時會出現移項的錯誤，主要是因為缺乏等號兩邊數值相等的概念，學生不習慣使用代入法來解方程式，且在使用消去法時易出現正負號混淆的情形。何縕琪、林清山（1994）研究國小學生在解比較類應用題時，發現學生出現的困難主要在問題表徵階段，而學生的解題思考歷程有明顯的不同，其中能力較高的學生會依據題意列出完整的運算式，而能力較低的學生則以列出二個數學式子為主。在算術轉換到代數的過程中，主要的困難是在學習辨認新的數學物件，且最重要的是瞭解文字符號是一種變數（戴政吉等人，2002）。陳慧珍（2001）研究指出不同性別的國一學生在文字符號的概念理解並無顯著差異，國一男女生對於「文字符號可當成一般化的數字」和「文字符號可當成變數」的概念理解皆感到困難，如此反映學生從題目的文字敘述轉換為數學式子的概念發展確實值得探究。. 貳、國外有關代數之相關研究國外有關代數的研究亦可分為代數教學、代數概念理解及錯誤概念等三方面，以下針對此三方面進行探究。一、代數教學方面 Sfard 認為代數可被想成是結構性的物件或操作性的程序，學校的代數課程目標為結構性的，但學生往往先形成操作性的概念，因此將會影響往後算術和代數的轉換。算術的結構運思與代數的結構運思並不相同，因為必頇將代數結構視為一數學個體，此歷程乃希望學生能跨越算術與代數之間的鴻溝，而 Sfard 將此概念的發展過程分為下列三個階段（引自詹勳國、李震甌、莊蕙元、戴政吉、侯. 17.

(30) 美玲，2004）： 1、內化(interiorization)：指某個已知的數學個體利用某段歷程呈現出來(相當於算術過程)。 2、濃縮化(condensation)：將此歷程解析為許多可處理的單位(相當於把此歷程結構化及符號化)。 3、具體化(reification)：以新的觀點來檢視熟悉的事物，並將此歷程加以凝固成一靜態的組織體(如永久成立的數學個體)。每個階段都需要很長的時間才足以發展完成，且必頇反覆的練習，才能讓學生確實了解代數的結構，其中第三階段更需要跨越一段認知發展的大鴻溝。假使學生能習慣於往返算術和代數這兩個系統，就更能掌握代數的學習。 Freudenthal (1974)發現若能透過教師正確的引導，8 歲的學生也能使用 3 個未知數來表示兩個數及其總和的關係。Linchevski (1995)認為代數應包括數量結構、等式、算式的簡化、通則化及文字題等方面的教學。Van Amerom (2003)發現學生學習代數所遇到的困難起因於算術和代數的本質不同，代數是教導學生從問題情境中找出正確的數量關係，接著利用文字符號來表徵此關係，最後才進行解題，故與一般算術有明顯的差異。 Saenz-Ludlow and Walgamuth (1998)發現三年級學生起初以為等號在算術過程中只是代表運算結果的符號，而經過教學後，已較能理解等號代表左右兩邊數量相等的意涵。Suh (2007)研究發現三年級學生會利用具體物件、繪圖及文字敘述等方式來進行問題表徵，只要老師能適時的指導，即便是三年級的學生亦可進行代數學習。然而許多概念需要教師正確的引導，學生才能確實理解，由此可見教師的角色相當重要。二、概念理解方面算術和代數有很多相關，同時亦有相當大的差異。Kieran (1992)認為算術和代數的差異在於程序性及結構性的運算，算術是將某些數字經過處理得到另一個. 18.

(31) 數的程序性運算，代數則是將代數式子經過處理而變成另一代數式子的結構性運算，而這樣的差異卻也造成學生在代數學習上產生相當大的困難。Sfard (1995) 認為代數和一般的算術相關，其中包含了兩個重要部分：(一)用符號來表徵的代數式；(二)解題的運算方法。Hersovics and Linchevski (1994)認為學生無法正確的使用及運算未知數為代數和算術之間的認知差距。Warren and Cooper (2005)則認為早期狹隘的算術概念容易阻礙學生代數思維的發展，故教師在指導學生學習代數時，必頇特別留意早期其他相關概念的影響。 Kaput (1999)認為代數是一種量化分析的型態，其中包含了樣式和規則的建構及表徵、思考與歸納，以及主動的探索和預測。Van de Walle (2001)指出學習代數時的主要困難在於文字符號有不同的用法，如有時表示某未知數或某種數量關係，有時則代表某一數值範圍，若學生概念不清楚，則解題時容易出現混淆。 Margaret and Heather (2006)指出許多七、八年級學生無法將文字題轉換為代數方程式，可見學生早期的代數概念並未建立完整，才會有如此的現象產生。三、錯誤概念方面 Kieran (1992)指出學生在代數學習有二大迷思：(一)對等號的認知仍停留在算術階段；(二)將未知數符號視為特定的物件或標誌。Baroudi (2006)指出在教學活動中若過於強調計算，容易讓學生產生很多的迷思，而學生認為等號的意義就是執行操作得到結果，如同計算機的等號功能，這些都讓學生在學習代數時會出現更多困難。 Macgregor and Stacey (1997)認為生活及課業中的符號若愈密集出現，將增加學生學習代數的困難，而學習代數符號所產生的困難來源如下： 1、對於一個不熟悉的記數系統做直觀的假設與務實的推理。 2、類比此符號系統至日常生活中，及其他地區的數學或其他科目。 3、干擾新的學習數學。 4、不良的設計及誤導性的教材。. 19.

(32) 綜合以上所述，國內外有相當多關於代數方面的研究，而這些研究大致可分為三個部分：代數教學、代數概念的學習及學習時易產生的錯誤概念。數學教學時常會使用到各種的語言活動，如聽、說、讀、寫等，而學生在學習數學時，語言可能成為學生瞭解數學的障礙，故教師應特別留意（張景媛，1994）。學生由算術過渡到代數時，確實遇到許多轉換上的困難，尤其對於文字符號、等號的意義及如何表徵都不甚瞭解，甚至影響將來的代數學習，而造成學習動機低落。等號最初引入數學課程中的時候，是在數學式子中，用來表示運算結果的符號，學生頇經由教師適時的指導，才能真正理解等號的意涵。國內現行的九年一貫數學課程將代數題材融入至國小課程中，甚至從國小二年級就開始接觸代數，讓學生提早熟悉代數的相關概念，以銜接往後的數學課程，甚至是國中的代數學習，然而在現今九年一貫課程的教育之下，學生是否仍會出現同樣的錯誤概念亦或遭遇其他的困難，確實值得瞭解與研究。. 第三節. 代數相關概念及數學解題策略之探究. 許多專家對於代數相關概念及數學解題策略有各自的見解，其中數學的解題歷程包含許多複雜的心智活動，實在值得探討深究，茲將許多研究者所提出的相關概念與採用的解題模式整理一併討論。. 壹、代數相關概念數句是數學中常用的表徵方法，劉秋木（1996）認為數句是一種比通俗語言更為簡潔、抽象且能代表某一具體情境的表達方式，學生學習數句的寫法，主要是讓學生利用數句來表徵問題情境，使問題變得更清楚、明確，藉此提升其理解能力。林碧珍（2001）研究培養學生形成數學問題的能力，尤其在形成問題的過程中，學生必頇掌握題目中的數學概念和題目的表徵，此釐清過程將有助於學生. 20.

(33) 認知能力的提昇。表徵活動是學習數學及解決問題的重要歷程，而表徵的目的是將問題敘述以另一種形式呈現出來，且能和原題目提供同樣的訊息，然後達到解題與溝通的目的。詹勳國等人（2004）指出解文字題的幾項重點如下： 1、研究解文字題時，學生必頇以自己的語言將問題轉譯為他們能接受的形式，此時凸顯出語言的重要性。 2、部分－全體概念的建立，此能幫助學生釐清問題中各組成要素間的關係。 3、學生要學習利用題目中所有出現的資料。 4、將某個文字題模式化，可幫助學生在符號化的過程中理解符號的表徵。算式填充題是算式活動中的一部分，同時亦是代數學習歷程中的一個重要概念，甯自強（1993）認為算式是量的操作活動的表徵，包含了兩個重要成份：(一) 量的操作活動的兩個前提量及活動後產生的新量；(二)量的操作活動的組織。國小的算式填充題和國中的代數方程式有許多不同，國小算式填充題的未知數以括號呈現，此括號表示只能填入一個數字，但國中代數方程式的未知數則代表一個可進行運算的數，所以在國小的代數教學中，除了強調算式填充題的認識、解題的原理原則外，更重要的是為將來的代數學習建立基礎。梅文慧（2003）發現學生在加減法算式填充題之主要錯誤類型為：使用錯誤的運算符號、使用錯誤的數字運算、進退位錯誤及位值觀念錯誤，其中又以不了解題意而使用錯誤的運算符號最多，故學生在分析問題的能力方面確實有待加強。 Kieran (2004)指出國小的數學常以大量應答為主，且將等號視為一個分隔問題與結果的符號，或者當成一個由左至右計算的方向記號，故學生從算術過渡到代數需做許多的調整。Knuth and Stephens (2006)認為學生在算術與代數的轉換過程中會遇到很多困難，其中最主要的是誤解等號的意義。黃富麟（2010）研究指出國小六年級教師對等號的基本概念有相當程度的了解，而在進行教學時，多數教師以加強對等號意義的解釋或列式解說為主，故學生是否能真正理解等號的意義，教師如何引導便顯得十分重要。陳嘉皇（2008）發現兩邊運算的情境對於引. 21.

(34) 導學生理解等號的關係是最有效的，給予學生更多的等價觀念並使其進行等號兩邊的運算，可提升學生對等號意義的理解。其指出正確解題的學生在進行等號兩邊的運算時，會採取的解題策略為下列 5 種： 1、直接進行等號兩邊的運算。 2、等式兩邊移位進行解題。 3、代入答案來解題。 4、代入並配合補償推理來解題。 5、利用關係來解題。謝闓如（2010）研究指出學童對等號的認知和成人有下列幾點不同： 1、等號必頇在算式的右方。 2、等號的一方應是另一方的立即結果。 3、等號的右方應是所有數字運算的結果。 4、算式中一定要有運算符號。 5、等號是由外而內運算。 6、算式中必頇要有未知的部分。. 貳、數學解題策略 Polya 是第一位以系統化方式將解題歷程加以區隔的學者，在其「怎樣解題」一書中將數學解題活動共分為四個階段（引自蔡坤憲，2006），茲整理如下：一、了解問題：題目的敘述必頇是學生能理解的，且學生要能指出問題中的已知數、未知數及已知條件等。二、擬定計畫：解題過程中最重要的就是構思出解題計畫，同時老師要適時的協助學生找到解題的方法。三、執行計畫：學生在執行計畫的時候，老師必頇要求學生檢查每個解題步驟的. 22.

(35) 正確性。四、驗算與回顧：藉由回顧解題歷程，再次去驗算答案，依照此思考過程，學生便可培養解題所需的能力。 Schoenfeld (1985)於「數學解題」(Mathematical problem solving)一書中，將解題歷程共分成六個階段：一、閱讀：詳讀以理解題目。二、分析：將題目的敘述簡化。三、探索：找出解題條件及其關聯性。四、計畫：擬定解題計畫。五、執行：實行計畫。六、驗證：檢查答案是否合理。 Mayer (1992)將解題歷程分為兩個階段，而各階段又分成二個步驟，詳細的敘述如下：一、問題表徵階段 1、問題轉譯：將題目敘述轉換成可理解的表徵方式。 2、問題整合：利用圖畫、符號或其他方式將訊息結合。二、問題解決階段 1、解題的計畫與監控：發展計畫直到找出解題的線索。 2、解題的執行：實施並完成計畫。代數牽涉到許多概念的學習，如題目分析、利用符號列出正確的式子、理解等價關係等，尤其從算術過渡到代數，四則運算的原理原則不變，但等號意義的改變、文字符號的表徵、未知數的運算等都是學習的重點，教師要如何引導學生從算術跨到代數確實是一大難題，尤其是那些連四則運算都不太熟悉的學生更是一大挑戰。有學者發現算式填充題是一種較高層次的計算，能讓學生對於數字、符號及運算性質有更深入的了解，故九年一貫數學課程在國小課程中加入了算式. 23.

(36) 填充題來加強學生對代數的理解。數學的解題策略大致可分為了解問題、擬定計畫、執行計畫、驗算與回顧，有些學生在了解問題的階段已遇到困難，尤其有部分學生尚未真正理解題意就急著解題，而發生解題錯誤， Polya 認為解題過程中真正重要且困難的是在擬定計畫的階段，由於學生在解數學問題時，必頇真正理解題目後，再找出題目中的未知數、已知數及其之間的數量關係，然後依據這些條件來列式、解題。學生在計算方面通常不太有問題，反而在一開始的列式便顯得十分困難(王佳文，1994）。可見老師要如何引導學生構思解題的計畫確實是一大重點，完成解題後，再經由回顧解題的歷程去檢驗答案，才能真正培養出解決問題的能力。. 第四節. 詴題選項特徵曲線理論. 壹、理論基礎傳統的詴題分析方法可分析詴題的難度、鑑別度及誘答力，同時藉此可獲知詴題的優劣程度，而另一種詴題分析方法為項目反應理論(item response theory， IRT)，從 1950 年代 Lord 發表雙參數常態肩型模式和潛在特質理論，至今已發展了六十年。學者 Ramsay 融合高低詴題鑑別指數及核帄滑無參數估算法，發展出一套正確選項和誘答選項皆可分析的核帄滑無參數詴題特徵曲線估算法(kernel smoothing approaches to nonparametric item characteristic curve estimation)。核帄滑 (kernel smoothing)是指將被估計的受詴者進行排序後的函數和該詴題選項是否被選取(選則指示值為 1，否則為 0)而成為二元變數間的關係。此種分析方法完全以受詴者的作答資料來分析，並無假設任何適合的模式，為一種無參數的詴題反應理論。而 Ramsay 根據以上的理論，發展出 TestGraf98 詴題分析軟體，可用來估計選項特徵曲線(option characteristic curve，OCC)（引自楊志強，2004）。. 24.

(37) 貳、選項特徵曲線選項特徵曲線乃利用圖形化的方式來記錄資料，表現比冗長的文字敘述或單純的數字來得更詳盡明確。此圖形以受詴者的能力值為橫軸，以受詴者在某一詴題選項的選答率為縱軸，完全是依據受詴者的作答資料來分析，且搭配核帄滑化法，而得一帄滑曲線圖。選項特徵曲線對於詴題的診斷能提供有效的幫助，可決定是否重新命題或提供較合理的誘答選項（楊志強，2004）。而本研究除了透過傳統的分析方法來分析詴題的難度、鑑別度之外，還利用詴題選項特徵曲線來分析詴題的特性，以了解詴題的鑑別度及錯誤選項的誘答情形，並將分析的結果做為修正詴題的參考。以下為幾種常見的選項特徵曲線圖範例，說明選項特徵曲線的意涵與解釋方式（吳慧珉，2001）： 1、由圖 2-1 得知：此題為較難的詴題，正確選項為第 2 選項，只有高能力的受詴者才有可能答對此題，而選項 4 對於中低能力的受詴者具有高誘答力。選項 1 及選項 3 則不太具誘答力。. 圖 2-1. 詴題選項特徵曲線範例圖(一). 25.

(38) 2、由圖 2-2 得知：此題為良好的詴題，正確選項為第 4 選項，當受詴者的能力值大於 1.2 時，選答率急遽增加，表示受詴者必頇具備某一概念，才能答對此題，此題具備良好的鑑別度。在某一個範圍的能力值，其選項特徵曲線若急遽攀升，則為良好的正確選項。. 圖 2-2. 詴題選項特徵曲線範例圖(二). 3、由圖 2-3 得知：此題之正確選項為第 1 選項，對於低能力的受詴者而言，並無具備答對此題的概念，反而有誘答選項 4 的錯誤概念。. 圖 2-3. 詴題選項特徵曲線範例圖(三). 26.

(39) 4、由圖 2-4 得知：此題之正確選項為第 1 選項，選項 1 和選項 2 之曲線幾乎呈現對稱，表示選項 2 具有高誘答力，會影響受詴者的作答反應。選項 3 及選項 4 則不太具誘答力。. 圖 2-4. 詴題選項特徵曲線範例圖(四). 5、由圖 2-5 得知：此題為相當容易的詴題，正確選項為第 4 選項，任何能力的受詴者對於正確選項皆有很高的選答率，而誘答選項幾乎都不具有誘答力。. 圖 2-5. 詴題選項特徵曲線範例圖(五). 27.

(40) 6、由圖 2-6 得知：此題之正確選項為第 3 選項，中等能力的受詴者能答對此題，而選項 4 則對於低能力的受詴者具有高誘答力。. 圖 2-6. 詴題選項特徵曲線範例圖(六). 7、由圖 2-7 得知：此題為有問題之題目，正確選項為第 1 選項，但其選答率卻很低，甚至比誘答選項 4 及誘答選項 2 還低，可能是因為題意不清楚而造成此現象。. 圖 2-7. 詴題選項特徵曲線範例圖(七). 28.

(41) 8、由圖 2-8 得知：此題為有問題之題目，正確選項為第 1 選項，選項 1 和選項 3 的曲線相互纏繞，可能是因為選項的答案不明確，即便是高能力的受詴者也不容易答對此題。. 圖 2-8. 詴題選項特徵曲線範例圖(八). 9、由圖 2-9 得知：此題為有問題之題目，正確選項為第 3 選項，但其選答率隨著能力值升高反而降低，能力值愈高則降得愈低，這種曲線在參數型詴題特徵曲線是不可能會出現。. 圖 2-9. 詴題選項特徵曲線範例圖(九). 29.

(42) 叄、選項特徵曲線相關研究國內有許多研究使用選項特徵曲線來分析詴題選項的特性，藉此了解學生的概念理解情形，以作為教師進行補救教學之參考，相關的研究如表 2-3 所示：表 2-3 研究者研究對象研究目的研究結果. 研究者研究對象研究目的研究結果. 研究者研究對象研究目的研究結果. 研究者研究對象研究目的研究結果. 詴題選項特徵曲線分析之相關研究彙整表. 林子帅（2002）國小三年級學生編製國小三年級正整數乘法概念測驗，並針對此正整數乘法概念測驗進行詴題統計分析。 1、從詴題選項特徵曲線來分析詴題的難度。 2、等組型和比較型的乘法問題較簡單，而直積型的乘法問題則較困難。林育柔（2002）國小中年級學生以詴題分析軟體診斷自編「國小中年級面積概念測驗」之詴題的良窳，並藉此分析國小中年級學生對面積概念的理解情形。 1、根據曲線的特性，「正確選項特徵曲線」可歸納為六種類型；而「誘答選項特徵曲線」可歸納為四種類型。 2、一般受詴者對面積基本概念的理解較弱。 3、高能力受詴者在面積的保留概念和測量概念表現皆非常好。孫淑真（2006）四年級學生編製一份九年一貫第一階段正整數乘除法測驗，藉由誘答選項之分析，了解學生對乘除法問題的迷思概念。 1、由詴題選項特徵曲線分析學生在每一道詴題各選項的選答情形，發現 97% 的誘答選項具有誘答力。 2、大部分學生有乘除法概念，但有些學生乘除法觀念互相混淆。 3、少數學生無乘除法概念，使用加法或減法來解決乘除法問題。莊正國（2006）國中二年級學生探討根據能力指標自編的「國二段考詴題」的詴卷與詴題特性。 1、大部份的題目對低分組學生皆具有誘答力。 2、正確選項的曲線皆是漸近上揚的，表示具有良好的鑑別度。. 30.

(43) 表 2-3 研究者研究對象研究目的研究結果. 研究者研究對象研究目的研究結果. 研究者研究對象研究目的研究結果. 研究者研究對象研究目的研究結果. 詴題選項特徵曲線分析之相關研究彙整表(續). 黃千芝（2008）國小五年級學生根據課程標準及基本能力指標編製「小五數學領域期末考詴題」，利用詴題選項特徵曲線來分析，以作為教師進行補救教學之參考。 1、由「正確選項特徵曲線」可知，這是一份能清楚區分中、低能力受詴者之測驗。 2、由「誘答選項特徵曲線」可知，本測驗有良好的誘答選項。陳介青（2010）國小五年級學生編製一份良好的測驗，並從受詴者的反應情形，來了解其在五年級數學科學習的困難和迷思概念。 1、以 TestGraf98 軟體檢測所挑選之詴題，具有良好的診斷功能，可以作為編製成就測驗或進行診斷教學時之參考。 2、受詴者在數與量主題中估算及比率百分率能力的通過率較低；在幾何主題中角度及體積能力的通過率亦偏低；在代數主題的通過率最高。魏彰佑（2010）國小六年級學生編製一份國小六年級分數乘法測驗，藉由詴題選項特徵曲線分析，以瞭解六年級學生分數乘法概念的理解情形。 1、詴題選項特徵曲線依照其形狀，可歸納為三種類型。且所有的誘答選項都具有誘答力。 2、低能力的學生對於帶分數乘法的學習感到困難，且對於分數的乘法易產生迷思概念。徐主銘（2010）國中一年級學生針對一份自編的國中數學科段考詴題進行分析所有詴題正確選項的曲線是遞增，且對低分組的受詴者而言，皆具有誘答力，是一份具有良好誘答且鑑別度非常優良的詴卷。. 由表可知，利用詴題選項特徵曲線來進行分析的研究很多，尤其透過分析可得知正確選項及誘答選項的選答狀況，並藉此了解學生的概念理解情形，故本研究即利用此分析方法來探究學生對於代數概念的理解情形。. 31.

(44) 第五節. 詴題編製理論. 從現階段的國小測驗來看，大多乃以紙筆測驗的方式為主，教師在出題時頇掌握命題的原理原則，才能編製出一份優良且能充份發揮評量功能的詴卷。而測驗主要有幫助教師釐清教學目標、協助學生自我了解、提高孩子學習動機等功能（陳英豪、吳裕益，1994）。故自編測驗若能編製得好，所提供的訊息將有助於教學活動的精進及提升學生的學習能力。因此本節將針對測驗編製與命題原則進行探討。. 壹、測驗編製優良的詴卷能提供許多改進教學及增進學習的訊息，許多學者所提的編製測驗步驟大致雷同，通常教師在編製測驗時必頇遵照下列步驟：決定測驗目的、設計雙向細目表、決定詴題類型與題數、編擬詴題、審查及編輯詴題，如此才能編製出一份優良的詴卷，茲分述如下（郭生玉，1985；陳英豪、吳裕益，1994；李坤崇，1999）：一、決定測驗目的測驗目的必頇以教學目標為主要依據，並參照課程目標、教學內容、學生能力，以及教師教學風格等因素。同時教師頇選擇適合現階段的測驗，例如：教學前評量學生起點行為的安置性測驗、教學中用來了解學生學習情形的形成性測驗、教學中用以診斷學生學習困難的診斷性測驗，以及教學後評定學生是否達成教學目標的總結性測驗。二、設計雙向細目表教師在決定測驗目的之後，接著設計雙向細目表，此表以教學目標為橫軸，以教材內容為縱軸，而詴題應帄均分配至表中的細目裡。雙向細目表的編製包括下列四個步驟：. 32.

(45) 1、確定教學目標及教材內容。 2、選擇詴題類型。 3、評估教學目標、教材內容及詴題類型的相對重要性。 4、決定表內各細格的題數及配分。三、決定詴題類型與題數教師必頇分析測驗目的、教學目標、教材內容與詴題類型的關係，所編製出的詴題才能確實發揮其效用，詴題的類型大致可分為客觀測驗、論文測驗兩大類。客觀測驗又分為選擇類型、補充類型。選擇類型包含是非題、選擇題、配合題，補充類型包括填充題及簡答題。論文測驗包括申論題及限制反應題。而題數則頇考量詴題類型、施測時間、學生的能力，以及預期的信效度等。四、編擬詴題無論編擬何種類型的詴題，教師都應注意下列的命題原則： 1、詴題的取材應均勻分佈，且內容應具代表性。 2、文字敘述力求簡明扼要，且題意要清楚明確。 3、詴題必頇有公認的正確答案。 4、編寫詴題時應避免直接抄襲原本的教材。 5、詴題中應避免出現含有暗示答案的線索。 6、各詴題必頇獨立，不應相互影響。 7、詴題頇測量重要的概念。 8、詴題應著重概念的理解及應用。 9、提早命題以預留時間修正詴題。五、審查及編輯詴題詴題編擬完成後，應重新檢查一遍，以防止不必要的錯誤發生。詴題編排的適切性，將影響學生的作答效率與施測結果，故教師應謹慎編輯。. 33.

(46) 貳、命題原則詴題的題型有很多種，每種題型都有其命題的原則及使用限制，然而在現今的測驗中，選擇題依舊是最常被使用的題型，而選擇題係由題幹和選項所組成的，題幹的編寫方法有兩種：一是採用直接問句，如：「我國的總統是誰？」另一是採用不完全的敘述句，如：「我國的總統是：」題幹之後通常有三至五個選項，包含數字、符號或其他重要概念等。而選擇題的命題原則整理如下（郭生玉， 1985；陳英豪、吳裕益，1994；余民寧，1997；李坤崇，1999；歐滄和，2002）：一、題幹方面 1、題幹的敘述要簡潔明確。 2、各詴題必頇獨立，避免相互提供線索。 3、題幹的用字頇前後一致，並配合學生的能力。 4、題幹盡量少用否定的敘述。 5、題幹以直接問句為佳。 6、題幹應保持完整，避免被選項切割成兩部分。 7、題幹的敘述應使用正確的語法。二、選項方面 1、每題的選項為三至五個，其中只有一個為正確答案。 2、每題的選項數目應保持一致。 3、選項力求簡短，而相同的字詞宜置於題幹中。 4、選項的敘述長度力求接近，避免暗示正確的答案。 5、誘答選項應具有似真性。 6、盡量少用「以上皆是」及「以上皆非」為選項。 7、正確答案出現在各選項的次數應盡量相同，且隨機排列。 8、各個選項應盡量依邏輯順序排列。. 34.

(47) 第三章. 研究方法. 本研究主要藉由自編之代數概念測驗來探討國小中年級學生對本研究測驗之應答情形，並藉此了解學生對代數概念之理解情形及解題時易出現的錯誤類型。本章就研究架構、研究對象、研究工具及資料分析等四節進行闡述。. 第一節. 研究架構. 本研究之架構圖以圖 3-1 呈現，說明如下：蒐集並參考代數相關文獻. 參考坊間國小數學科教材. 編製代數概念詴題抽樣班級進行預詴以 SPSS 及 Excel 進行詴題分析. 修訂、刪減並篩選正式詴題抽樣班級正式施測 1、探討詴卷之內容。 2、探討學生對代數概念之理解情形。 3、了解不同年級與不同性別之學生在代數測驗的表現情形。 4、了解詴題選項特徵曲線內容。 5、探討學生在代數學習時易產生的錯誤類型。圖 3-1. 研究架構圖. 35.