代數發展與教材內容之探討

壹、代數的起源及發展

三、四千年以前，在埃及與巴比倫人的開創之下，代數學便開始發展起來。

而代數「algebra」一字詞乃源自於阿拉伯文「al-jabr」，原意是還原與對消，如同 在等號兩邊做等量的四則運算，便有還原與對消之意。16 世紀時，代數學最大的 成就即是符號的演進及普遍化，而符號的演進大致上可分為三方面：一、未知數 和已知數符號；二、乘冪符號；三、運算符號及關係符號（袁小明，2003）。至 於代數的發展史在符號方面則分為三個時期：第一期為逐字式，第二期為簡字 式，第三期為符號式，而符號的用法不斷的演變，直到 Isaac Newton 才趨於一致

（王懷權，1986）。代數為一種符號化的歷程，此歷程可分為三個階段(Kieran, 1992)：

一、修辭學階段

人們使用一般語言來敘述解特定問題之過程，其中未知數並沒有使用特殊的 標誌或符號來表示。

二、簡潔階段

人們開始使用簡潔的符號來代替語言，例如用 p 代表加，m 代表減。在此階 段只重視求特定方程式的解，因此符號系統並沒有重大的進展。

三、象徵性階段

數學家開始使用文字符號來表示問題的一般解，並利用代數來證明數字之間 的關係。

代數包含許多的概念，如：變數、函數、等號的意義，以及把文字情境轉換 為方程式等(Kieran, 1989)。而學者們針對代數則分別提出了各自的看法，Herbert and Brown (1997)認為代數是從問題情境中篩選有用的訊息，並且使用數學工具來 整合表徵這些訊息，然後才進行解題。項武義（1995）認為解代數問題時，可先 用數學符號來表徵題目中的未知數，接著用代數方程式表示數量關係，再透過運 算法則求出其中的未知數。Kieran (2004)認為代數是藉由分析函數關係，確定結 構表徵系統後，接著表徵其數量關係以解決問題，而代數的成功使用取決於至少 六項數學思維能力：概括、抽象、分析與思考、動態思想、建模及組織。正如同 國小數學課程中的應用問題，學生解題時必頇從問題情境中找出各種解題的訊 息，再利用數學符號來表徵這些訊息，然後進行解題，而且解題的方法是要別人 看得懂，且能與他人溝通的形式，如此才能真正達到解題的目的。

Usiskin (1997)認為代數是一種語言，且此種語言涵蓋了五大方面：

一、未知數：不論是底線、方框、問號或其他文字符號都可代表未知數。

二、公式：若有一個式子為 A＝XY，假如教師問：「X 應該為多少才能讓這個式 子成真？」此為代數的敘述方式；若教師問：「答案是什麼？」則為算術的 敘述方式。

三、一般式：代數可將冗長的敘述轉換為簡短的一般式，例如：「某數加 0，答案 為某數；某數加上本身，答案為某數的兩倍。」此段敘述可用簡短的式子來 呈現，如：0＋n＝n 及 y＋y＝2y。

四、位置：如第一個位置放 X，第二個位置放 Y，第三個位置放 X－Y，無論 X 和 Y 是什麼數字，解題時都不需改變作法。

五、關係：如：B＝M＋2、B－M＝2、M＝B－2，這三個式子互為等價關係。

Usiskin (1999b)更對何謂代數提出了些許看法：

1、代數是一種廣義的算術。

2、代數是為解決某些特定問題有關步驟的研究。

3、代數是探討數量之間關係的研究。

4、代數是數學結構的研究。

代數從早期發展至今，文字符號的使用已愈趨簡潔、明確，數量關係的表示 也有一定的模式，然而數學學習的目的除了解題之外，終究還是要表達及溝通，

如何利用文字符號將冗長的題目敘述轉換為簡短且易懂的代數式，並且利用已知 的條件來完成解題，此為代數課程中相當重要的概念，代數屬於較高層次的認知 思考，除了學生本身的認知發展外，更重要的是教師適時的講解與引導，才能讓 學生確實掌握代數的學習。

貳、九年一貫課程中之代數

教育部根據行政院核定的「教育改革行動方案」來進行國民教育階段之課程 與教學的革新，而課程與教材乃學校教育的核心，亦是教師教學的依據，故以九 年一貫課程的規劃與實施為首要任務。國民教育階段之課程設計乃以學生為主 體，以生活經驗為重心，來培養國民所需的基本能力，其中課程採取個體發展、

社會文化及自然環境等三個面向來設計，提供語文、數學、社會、自然與生活科 技、健康與體育、藝術與人文及綜合活動等七大學習領域。而數學領域包含數、

量、形等基本概念的認知、具備運算能力及組織能力，且能在日常生活中應用，

了解推理與解題思考過程，並能與他人溝通數學內涵的能力，同時能與其他領域 做適當的連結（教育部，2003）。

教育部訂定的國民中小學九年一貫課程綱要中，定義數學學習領域的教學總 體目標如下：

一、培養學生的演算、抽象、推論及溝通等能力。

二、學習應用問題的解題方法。

三、奠定下個階段的數學基礎。

四、培養欣賞數學的態度與能力。

然而在國小階段代數題材安排的特色如下：

1、能理解算術符號的使用方式，並用來列出日常問題的算式，以進行解題。

2、從整數到分數、小數，能在具體情境中了解各個基本運算的性質，並用來簡 化計算。

3、從最根本的加減問題到四則混合計算，使學生最後能獨立於生活和具體情境，

然而在形式與程序上，能流暢的進行整數計算。

4、協助發展對數學問題的解題策略。

5、能理解等量公理。

數學領域將國民教育分成四個階段，將數學內容分為五大主題：數與量、幾 何、代數、統計與機率、連結。而能力指標以三碼編排，第一碼表示主題，分別 用字母 N、S、A、D 表示數與量、幾何、代數、統計與機率等四大主題；第二碼 表示階段，分別用 1、2、3、4 表示第一、二、三和四階段；第三碼則為能力指 標的流水號，表示該細項下指標的序號。其中代數主題的能力指標如表 2-1 所示：

表 2-1 九年一貫數學課程代數能力指標

能力指標 能力指標內容

A-1-01 能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義與＜、＝、＞

的遞移律。

A-1-02 能將具體情境中的單步驟問題列成算式填充題，並解釋式子與原 問題情境的關係。

A-1-03 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律、乘法的交換律，

並運用於簡化計算。

A-1-04 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。

A-1-05 能在具體情境中，認識乘除互逆。

表 2-1 九年一貫數學課程代數能力指標(續)

能力指標乃依據主題和階段學習能力來訂定，而多數指標頇採分年進階式教

重點，故本研究以九年一貫數學課程代數主題一至三年級之分年細目作為命題依 據，探討學生在接受代數課程教學後，對代數概念的理解情形，並針對學生易發 生的錯誤類型進行探究。

叄、NCTM 學校數學的原則及標準

美國國家數學教師協會(NCTM)於 2004 年頒布「學校數學的原則和標準」

《Principles and Standards for School Mathematics》，對臺灣數學教育的影響很大，

其中內容包括五大領域：數與計算(number and operations)、幾何(geometry)、代數 (algebra)、測量(measurement)、資料分析和機率(data analysis and probability)。而 代數的教學設計是希望從學前到 12 年級的學生都能夠學得下列四種能力，以下 為各能力及其細項之介紹（引自莊舜如，2006）：

一、瞭解樣式、關係和函數

1、針對學前至二年級的學生，其教學目標是希望學生能夠根據大小、數量或其 他性質來分類及排序物件；且能辨別、描述簡單數量的順序樣式，並可互相 做轉換。

2、針對三至五年級的學生，其教學目標是希望學生能夠描述、歸納圖形或數量 之規則；並能使用文字或圖表來描述及分析樣式與函數。

3、針對六至八年級的學生，其教學目標是希望學生能夠用文字、符號或圖表來 描述及分析多種樣式之規則；並比較不同形式的關係表徵；且能從方程式或 圖表來辨認線性與非線性函數。

二、使用數學符號描述及分析數學情境和結構

1、針對學前至二年級的學生，其教學目標是希望學生能利用具體的、圖畫的或 是口語的表達方式來培養對於一般符號的理解；能使用數字練習運算的一般 性定律。

2、針對三至五年級的學生，其教學目標是希望學生能使用文字符號來表徵未知 數及問題中的數量關係；能分辨交換律、結合律及分配律，並能利用這些性 質來進行全數的運算。

3、針對六至八年級的學生，其教學目標是希望學生對不同用途的變項能有初步 的理解。

三、使用數學模式描述及瞭解量化關係

1、針對學前至二年級的學生，其教學目標是希望學生能使用物件、圖像或符號 模式融入全數的加減法情境。

2、針對三至五年級的學生，其教學目標是希望學生能夠使用物件、圖表或算式 表徵將問題情境模式化，以求得結果。

四、在多種情境脈絡下分析改變

1、針對學前至二年級的學生，其教學目標是希望學生能描述量的改變及量的變 化，如一年長高 3 公分。

2、針對三至五年級的學生，其教學目標是希望學生能夠察覺某一變項的改變與 另一變項改變的關係；能分辨及描述常數或比率變化的情境，並且加以比較。

由 NCTM 學校數學的原則及標準中所列之能力及各細項之描述，可知代數 教學的目標在以循序漸進的方式讓學生瞭解算式、數量關係及方程式，並且從使 用具體物件一步步過渡到使用文字符號來表徵題目中的數量關係，此種教學模式 和國內現階段九年一貫數學課程有許多相同之處。期望學生在這一系列的教學設 計下，能夠具備分析不同情境的能力，以及能依據題意列出正確的數量關係以完 成解題。然而縱使有這樣系統化的教學模式，學生在代數的學習上依舊遭遇到許 多困難，而這些困難也正是教師在進行代數教學時必頇留意的重點，國內外也有

由 NCTM 學校數學的原則及標準中所列之能力及各細項之描述，可知代數 教學的目標在以循序漸進的方式讓學生瞭解算式、數量關係及方程式，並且從使 用具體物件一步步過渡到使用文字符號來表徵題目中的數量關係，此種教學模式 和國內現階段九年一貫數學課程有許多相同之處。期望學生在這一系列的教學設 計下，能夠具備分析不同情境的能力，以及能依據題意列出正確的數量關係以完 成解題。然而縱使有這樣系統化的教學模式，學生在代數的學習上依舊遭遇到許 多困難，而這些困難也正是教師在進行代數教學時必頇留意的重點，國內外也有