代數相關概念及數學解題策略之探究

許多專家對於代數相關概念及數學解題策略有各自的見解，其中數學的解題 歷程包含許多複雜的心智活動，實在值得探討深究，茲將許多研究者所提出的相 關概念與採用的解題模式整理一併討論。

壹、代數相關概念

數句是數學中常用的表徵方法，劉秋木（1996）認為數句是一種比通俗語言 更為簡潔、抽象且能代表某一具體情境的表達方式，學生學習數句的寫法，主要 是讓學生利用數句來表徵問題情境，使問題變得更清楚、明確，藉此提升其理解 能力。林碧珍（2001）研究培養學生形成數學問題的能力，尤其在形成問題的過 程中，學生必頇掌握題目中的數學概念和題目的表徵，此釐清過程將有助於學生

認知能力的提昇。表徵活動是學習數學及解決問題的重要歷程，而表徵的目的是 將問題敘述以另一種形式呈現出來，且能和原題目提供同樣的訊息，然後達到解 題與溝通的目的。詹勳國等人（2004）指出解文字題的幾項重點如下：

1、研究解文字題時，學生必頇以自己的語言將問題轉譯為他們能接受的形式，

此時凸顯出語言的重要性。

2、部分－全體概念的建立，此能幫助學生釐清問題中各組成要素間的關係。

3、學生要學習利用題目中所有出現的資料。

4、將某個文字題模式化，可幫助學生在符號化的過程中理解符號的表徵。

算式填充題是算式活動中的一部分，同時亦是代數學習歷程中的一個重要概 念，甯自強（1993）認為算式是量的操作活動的表徵，包含了兩個重要成份：(一) 量的操作活動的兩個前提量及活動後產生的新量；(二)量的操作活動的組織。國 小的算式填充題和國中的代數方程式有許多不同，國小算式填充題的未知數以括 號呈現，此括號表示只能填入一個數字，但國中代數方程式的未知數則代表一個 可進行運算的數，所以在國小的代數教學中，除了強調算式填充題的認識、解題 的原理原則外，更重要的是為將來的代數學習建立基礎。梅文慧（2003）發現學 生在加減法算式填充題之主要錯誤類型為：使用錯誤的運算符號、使用錯誤的數 字運算、進退位錯誤及位值觀念錯誤，其中又以不了解題意而使用錯誤的運算符 號最多，故學生在分析問題的能力方面確實有待加強。

Kieran (2004)指出國小的數學常以大量應答為主，且將等號視為一個分隔問 題與結果的符號，或者當成一個由左至右計算的方向記號，故學生從算術過渡到 代數需做許多的調整。Knuth and Stephens (2006)認為學生在算術與代數的轉換過 程中會遇到很多困難，其中最主要的是誤解等號的意義。黃富麟（2010）研究指 出國小六年級教師對等號的基本概念有相當程度的了解，而在進行教學時，多數 教師以加強對等號意義的解釋或列式解說為主，故學生是否能真正理解等號的意 義，教師如何引導便顯得十分重要。陳嘉皇（2008）發現兩邊運算的情境對於引

導學生理解等號的關係是最有效的，給予學生更多的等價觀念並使其進行等號兩 邊的運算，可提升學生對等號意義的理解。其指出正確解題的學生在進行等號兩 邊的運算時，會採取的解題策略為下列 5 種：

1、直接進行等號兩邊的運算。

2、等式兩邊移位進行解題。

3、代入答案來解題。

4、代入並配合補償推理來解題。

5、利用關係來解題。

謝闓如（2010）研究指出學童對等號的認知和成人有下列幾點不同：

1、等號必頇在算式的右方。

2、等號的一方應是另一方的立即結果。

3、等號的右方應是所有數字運算的結果。

4、算式中一定要有運算符號。

5、等號是由外而內運算。

6、算式中必頇要有未知的部分。

貳、數學解題策略

Polya 是第一位以系統化方式將解題歷程加以區隔的學者，在其「怎樣解題」

一書中將數學解題活動共分為四個階段（引自蔡坤憲，2006），茲整理如下：

一、了解問題：題目的敘述必頇是學生能理解的，且學生要能指出問題中的已知 數、未知數及已知條件等。

二、擬定計畫：解題過程中最重要的就是構思出解題計畫，同時老師要適時的協 助學生找到解題的方法。

三、執行計畫：學生在執行計畫的時候，老師必頇要求學生檢查每個解題步驟的

正確性。

四、驗算與回顧：藉由回顧解題歷程，再次去驗算答案，依照此思考過程，學生 便可培養解題所需的能力。

Schoenfeld (1985)於「數學解題」(Mathematical problem solving)一書中，將解 題歷程共分成六個階段：

一、閱讀：詳讀以理解題目。

二、分析：將題目的敘述簡化。

三、探索：找出解題條件及其關聯性。

四、計畫：擬定解題計畫。

五、執行：實行計畫。

六、驗證：檢查答案是否合理。

Mayer (1992)將解題歷程分為兩個階段，而各階段又分成二個步驟，詳細的 敘述如下：

一、問題表徵階段

1、問題轉譯：將題目敘述轉換成可理解的表徵方式。

2、問題整合：利用圖畫、符號或其他方式將訊息結合。

二、問題解決階段

1、解題的計畫與監控：發展計畫直到找出解題的線索。

2、解題的執行：實施並完成計畫。

代數牽涉到許多概念的學習，如題目分析、利用符號列出正確的式子、理解 等價關係等，尤其從算術過渡到代數，四則運算的原理原則不變，但等號意義的 改變、文字符號的表徵、未知數的運算等都是學習的重點，教師要如何引導學生 從算術跨到代數確實是一大難題，尤其是那些連四則運算都不太熟悉的學生更是 一大挑戰。有學者發現算式填充題是一種較高層次的計算，能讓學生對於數字、

符號及運算性質有更深入的了解，故九年一貫數學課程在國小課程中加入了算式

填充題來加強學生對代數的理解。數學的解題策略大致可分為了解問題、擬定計 畫、執行計畫、驗算與回顧，有些學生在了解問題的階段已遇到困難，尤其有部 分學生尚未真正理解題意就急著解題，而發生解題錯誤， Polya 認為解題過程中 真正重要且困難的是在擬定計畫的階段，由於學生在解數學問題時，必頇真正理 解題目後，再找出題目中的未知數、已知數及其之間的數量關係，然後依據這些 條件來列式、解題。學生在計算方面通常不太有問題，反而在一開始的列式便顯 得十分困難(王佳文，1994）。可見老師要如何引導學生構思解題的計畫確實是一 大重點，完成解題後，再經由回顧解題的歷程去檢驗答案，才能真正培養出解決 問題的能力。