4.1 簡化模型參數估計方法
4.1.1 以信評資料及市價進行雙伽瑪分配參數及危害程度校準
模型與 Hull&White（2008）主要差異為信用事件發生頻率為隨機變數的設 定，而 Hull&White（2008）信用事件發生頻率為常數之設定差異下進行比 較。
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1 2
ˆ E( )/Var( ) = 61.6244, ˆ ˆ ˆ E( ) ˆ 8.151 β = λ λ α α α= + = λ β× =
表 2 歐洲區投資等級公司之降評率及違約率統計，資料來源：’Annual European Corparate Default Study And Rating Transition’ / Global Fixed Income Research by S&P 2005
年度 發行家數 降評率(%) 違約率(%) 信用事件發生頻率 (降頻率+違約率)%
1981 10 10 0 10
1982 12 0 0 0
1983 17 11.76 0 11.76 1984 26 19.23 0 19.23
1985 32 3.13 0 3.13
1986 36 2.78 0 2.78
1987 46 2.17 0 2.17
1988 57 5.26 0 5.26
1989 69 1.45 0 1.45
1990 91 12.09 0 12.09 1991 132 19.7 0.76 20.46 1992 162 20.99 0 20.99 1993 198 13.13 0.51 13.64 1994 250 16.8 0 16.8 1995 329 13.68 0.3 13.98 1996 375 9.87 0 9.87 1997 441 9.07 0 9.07 1998 495 8.69 0 8.69 1999 583 12.86 0.86 13.72 2000 660 14.09 0.45 14.54 2001 735 15.1 1.09 16.19 2002 810 18.52 2.1 20.62 2003 853 15.83 0.82 16.65 2004 881 6.24 0.23 6.47 2005 941 11.26 0.11 11.37
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當系統性信用事件及非系統性信用事件單次對個別標的造成的危害程 度同為 H 時，模型僅存三個未知參數
α
1、α
2、 H ，在給定α α
ˆ1+ 為 8.151ˆ2的條件下，即可校準出市場價格所隱含之信用事件危害程度 H ，詳細步驟 如下：
1. 給定
α α
ˆ1+ ˆ2為 8.151 的條件下，對於所有α
ˆ1及α
ˆ2的可能組合，找到一組 信用事件危害程度 H 使 5 年期、7 年期、10 年期所有分券的模型價格與 市場價格絕對誤差最小。2. 於模型中帶入上述的所有
α
ˆ1及α
ˆ2的組合及所有分券其相對應之信用事 件危害程度 H，找出一組使得所有分券模型價格與市場價格絕對誤差總 合最小之( ,α α
ˆ ˆ1 2, )，此組參數即為利用信用評等資料及市場價格在簡化H 模型假設下所校準出的參數值。根據上述方法，利用表 1 之 2007 年 1 月 30 日市價推導隱含信用事件危 害程度結果如表 3，將校準出的參數帶入模型計算與實際市價誤差結果如 表 4：
表 3 由信評資料及 2007.01.30 市價校準簡化模型之市價隱含 信用事件危害程度
aL(%) aH(%) 5 年 7 年 10 年 0 3 0.0290 0.0435 0.0719 3 6 0.0207 0.0259 0.0403 6 9 0.0297 0.0329 0.0380 9 12 0.0395 0.0416 0.0449 12 22 0.0547 0.0558 0.0585
表 4 表 3 估計值之絕對誤差(b.P)
aL(%) aH(%) 5 年 7 年 10 年 0 3 0.0226 0.0211 0.0002 3 6 0.0038 0.0037 0.0041 6 9 0.0010 0.0023 0.0013 9 12 0.0001 0.0006 0.0000 12 22 0.0001 0.0000 0.0014
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圖 4.1 假設同尺度參數雙伽瑪分配，且系統性與非系統性信用事件危害程 度同為 H 時，利用信評資料及市場價格校準後，系統性 v.s.非系統 性信用事件發生頻率之機率分配
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
0 5 10 15 20 25 30
λ f(λ)
common jump intensity α2=6.5208,β=61.6244 individual jump intensity α1=1.6302,β=61.6244
圖 4.2 假設同尺度參數雙伽瑪分配，且系統性與非系統性信用事件危害程 度同為 H 時，利用信評資料及市場價格校準後，系統性 v.s.非系統 性信用事件發生頻率之機率分配(續)
0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0
1 2 3 4 5 6 7
λ f(λ)
common jump intensity α2=6.5208,β=61.6244 individual jump intensity α1=1.6302,β=61.6244
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剩餘本金仍有 0.9275，另外 6%~9%，9%~12%、12%~22%之分券，由於有 更多信用保護層的保護，持有至到期日之期望單位本金隨著優先償還順序 的上升，期望單位本金越多，如圖 6.2 所示。‧ 國
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圖 6.1 7 年期權益分券時點 t=0 至 t=7 之期望單位剩餘本金，到期時權益 分券期望本金為 0.4995 元
0 1 2 3 4 5 6 7
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Time
E(t)
0%~3%
圖 6.2 7 年期 3%~6%、6%~9%、9%~12%、12%~22%之分券在時點 t=0 至 t=7 之期望單位剩餘本金
0 1 2 3 4 5 6 7
0.92 0.94 0.96 0.98 1
Time
E(t)
3%~6%
6%~9%
9%~12%
12%~22%
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利用信用評等資料來估計參數在一般情況下模型接能夠被校準，且誤 差相當小，但當信用風險大幅提升時，如亞洲金融風暴的發生導致信用風 險大舉上升，信用價差大幅提升且劇烈變動，信評資料無法即時反映突如 其來的市場狀況，因而利用該資料估計的信用事件發生頻率分配嚴重被低 估，無論如何增加信用事件危害程度，模型價格有上限，恆低於市場價格。
表 5 為 2008 年 3 月 31 日，正值金融風暴時期 ITRAXX 之市場價格，所有分 券的信用價差皆暴漲，五年期的平均信用價差由 2007.01.30 的 23.00 暴增 至 123.00，約為 5 倍之多，七年期的平均信用價差由 31.00 增加至 127.00，
十年期的平均信用價差由 42.00 增加至 128.00。表 6 顯示信用風險巨幅提 升時，其權益分券皆無法校準岀相對應的信用事件危害程度，故 4.1.2 節 單獨利用市場價格進行參數校準，避免信用評等資料無法及時反應而造成 信用風險低估的情形。
表 5 iTraxx Europe 2008 年 3 月 31 日市場價格
aH(%) 5 年 (b.p.) 7 年(b.p.) 10 年 (b.p.) 3 40.28(%) 45.63(%) 50.05(%) 6 483.50 569.00 681.70 9 310.00 354.30 397.20 12 216.40 239.20 261.30 22 109.50 121.80 134.40 index 123.00 127.00 128.00
表 6 由信評資料及 2008.03.31 市價校準簡化模型之市價隱含 信用事件危害程度
aL(%) aH(%) 5 年 7 年 10 年
0 3 ∞ ∞ ∞
3 6 0.0607 0.0651 0.0729 6 9 0.0848 0.0839 0.0822 9 12 0.1026 0.0970 0.0908 12 22 0.1336 0.1245 0.1140
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4.1.2 利用市場價格進行危害程度校準
本小節不利用信用評等資料，而直接以市價對簡化模型中的四個參數
α
1、β
、α
2、 H 進行校準，並與 Hull&White（2008）進行結果比較，以下 為校準的詳細步驟：1. 任意給定( , ) 、
α β
1 (α β
2, ) ，將每一組參數帶入每個分券，選擇各分券對 應的信用事件危害程度 H 使得分券價格與市場價格接近。2. 將上述的參數組合( , ) 、
α β
1 (α β
2, ) 及相對應的 H 代入每個分券，計算出 模型價格，找出使 15 個分券之信用價差絕對值總合最小的參數組合。
根據此方法，分別代入兩筆 ITRAXX 市價資料進行校準程序，由 2007 年 1 月 30 日各個分券的市場價格校準分別得到系統及非系統性信用事件 發生頻率參數較準結果如圖 7.1 及圖 7.2，相較於 2007 年初的資料，在 2008 年 3 月時，系統性信用事件發生頻率分配大幅右移，期望值與變異數都大 幅提升，而非系統性信用事件的發生頻率有些微的下降，顯示當時市場風 險主要來源為系統性因子，且系統性信用事件發生頻率的大幅提升顯示在 2008 年 3 月市價隱含相當高的違約叢聚現象。
表 7 及表 9 同樣假設系統性信用事件及非系統性信用事件的發生造成 的相同危害程度 H，經由市價校準後得到各個分券隱含危害程度。表中先 償分券的隱含危害程度皆較次償分券大，先償分券本質上受到權益分券及 其他次償分券的保護，當違約只是個別偶發的情況時，並不會侵蝕到先償 分券的本金，但是發生集體違約的情形時，保護層已侵蝕殆盡，造成先償 分券本金的損失，對於先償分券而言，所承受的是集體同時發生違約的風 險，於此模型中以市價隱含信用事件危害程度較嚴重傳達先償分券隱含之 高違約相關性。同樣的，權益分券或次償分券只要發生個別的違約情況，
及可能造成本金的損失，故其承擔的主要風險主要來自於個別標的非系統 性的違約事件，此簡化模型以較小的市價隱含信用事件危害程度小顯示其 承擔零星違約事件。如 3.3 節所述，當系統性信用事件發生次數相同的情