國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
0 時，債權群組中的標的不會有任何違約的情況發生，令X t
( )
= −lnS t( )
時，則累積存活機率可表示為下列式子：
( ) ( )
1 2d ‐lnS t = dX t = μdt + dq + dq （3.1）
（3.1）式中P(dq = H ) = λ dt,1 1 1 P(dq = H ) = λ dt,H ,H , λ , λ , μ > 0，2 2 2 1 2 1 2 q 及1 q 分2 別由非系統及系統性因素所驅動的跳躍過程，H 及1 H 分別為跳躍對存活2 機率造成的下降程度，本文將其解釋為信用事件的發生對於單一資產造成 的危害程度，非系統性信用事件危害程度為H ，系統性信用事件危害程度1 為H ，當信用事件的發生對於單一資產造 成相當大的損害導致存活率 下2 降，模型中會以較大的跳躍幅度 H 刻劃資產存活率的下降。
μ
>0，為一漂 浮項，表動態存活機率除了受到可觀察到的信用事件影響而導致機率下降 外，亦不排除任何無法觀察到之信用事件（Frailty）或任何尚未導致任何 信用事件發生之負面消息對動態存活機率造成的影響，故動態存活率同時 被可觀察及不可觀察到之信用事件所支配著。此外，隨著時間的推移，資 產的不確定性應合理的上升，故設定μ
>0。另外，λ
1及λ
2分別為非系統及 系統性因素引發之信用事件的發生頻率，即單位時間內的發生次數。重新 整理（3.1）式，單一資產標的之動態存活機率可以下式表示：( )
1 21 2 1 2
1 1
( , , ) exp( )
= =
= − −
∑ ∑
J − Ji i
S t J J M t H H （3.2）
（3.2）式中，
( )
t( )
M t = μ s ds
∫
0 為漂移項對時間積分值，J 為非系統信用1事件發生次數， 次數的密集程度由非系統信用事件發生頻率
λ
1驅動，J 為2 系統信用事件發生次數，由系統信用事件發生頻率λ
2驅動。當信用事件發 生的次數J 、1 J 越多，信用事件危害程度2 H 、1 H 越大，或市場上無法觀2 察到的隱性信用事件越多都會造成單一資產標的之動態存活機率下降。
3.2 信用事件發生之機率
本模型沿用 credit risk+(1997)中求得單一資產發生「違約次數」的概念1，
1在 creidtrisk+1997 文中資產組合群內發生違約的機率彼此獨立，個別債權標的之違約機率可經 由 機率 產 生 函 數（ Probability Generating Function）之泰勒展開式求得為一混何卜瓦松分配，配合
‧
2推 導請 參 照 Mixed Poisson Process by Jan Grandell 1997,Chapman& Hall, ch4
3推 導請 參 照 Mixed Poisson Process by Jan Grandell 1997,Chapman& Hall, ch4 證明請參照 Lundberg
‧
傳染效果（self contagious effect），傳染效果隱含在信用事件發生次數的機 率內，故隨機變數的設定得以補足常數設定的不足，更符合真實市場條件。‧
Jump number
P(J1,t)
Jump number
P(J1,t)
（Negative Binomial distribution）。表示如下，推導請參照附錄 A：
1 1
‧
假設λ 服從帕雷托分配(Pareto Distribution)。 2
當
λ
2同樣沿用 creditrisk+1997 中的伽瑪分配時，同上述對於λ 的推導1（Pareto Distribution），為具有極厚尾性質的分配，以義大利經濟學家里歐 佛雷多.帕雷圖（Vilfredo Pareto）命名。起初用於描述社會上財富在人口 的分配情形，描述少數人掌握大多數財富的財富所得分配情形，帕雷圖發
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
圖 3.1 給定不同形狀參數
α
2之帕雷圖機率密度函數0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0
5 10 15 20
λ2 f(λ2)
α=1,λ0=0.20 α=2,λ0=0.20 α=3,λ0=0.20
0.250 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
1 2 3 4 5 6 7
λ2 f(λ 2)
α=1,λ0=0.20 α=2,λ0=0.20 α=3,λ0=0.20
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
3.3 違約叢聚性與信用事件危害程度
債權群組中各標的之動態存活機率分別由市場系統性因素所引發的信用事 件及公司個別之非系統性因素所引發的信用事件共同支配，系統性信用事 件發生頻率的提高表示單位時間內發生的系統性信用事件增加，債權群組 內 的 每 一 個 標 的 資 產 皆 同 時 受 到 波 及 ， 此 時 整 體 的 違 約 機 率 會 因 此 而 上 升；反之，系統性信用事件發生頻率的下降，表示單位時間內系統性信用 事件減少，債權群組整體的違約機率下降，故系統性信用事件發生頻率與 因子模型中相關係數角色類似。
此外，系統性信用事件對於分券的危害程度為單一信用事件對資產違 約發生機率的增幅，在 Hull and White（2008）中，假設信用事件發生頻率 為常數時，由市價反推的信用事件危害程度與因子聯繫模型中的隱函相關 係數（Implied Correlation）有相同走勢，顯示違約的叢聚性可由信用事件 的危害程度反應。信用事件危害程度增加反應的是集體違約機率的提高，
不同於因子模型的相關係數，僅隱含高相關係數之高集體違約的可能性，
並不會提高集體存活機率，故信用事件危害程度描述的是違約相關性中可 能發生集體違約的部分。
故危害程度 H 的增加和系統性信用事件發生次數增加對於違約機率的 提升有類似的效果，引此違約發生的叢聚性應由系統性信用事件發生頻率 的提高或危害程度的上升來觀察。
3.4 聯合損失分配
信用擔保債權分劵之合理信用價差評價關鍵為債權群組內聯合損失分配的 建立，債權群組中各標的之違約關聯性的設定延伸因子聯繫模型中條件獨 立的概念，在給定系統信用事件次數J 下，假設債權群組中單一標的公司2 在 t 時點之動態存活機率彼此獨立，當系統性信用事件J 發生次數密集2 時，債權群組內所有標的公司違約機率同時大幅提升，造成當期債權群組 內高違約相關性。條件獨立假設與自身傳染效果並不衝突，自身傳染效果