雙伽瑪(Gamma)分配參數估計方法

國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

 

4.2.1 雙伽瑪(Gamma)分配參數估計方法 

 

 

假設利率期間結構為水平，回復率為 0.4，漂浮項

μ

為 0，信用事件危害程 度為常數且系統性信用事件危害程度為H ，非系統信用事的危害程度為₂

H ，系統性及非系統性信用事件發生頻率假設分別為兩個獨立伽瑪分配，1

在此模型中需要估計的參數為

α

₁、

β

₁、

α

₂、

β

₂、H 、₁ H 共六個參數。 ₂  

本小節直接以市價對簡化模型中的六個參數

α

₁、

β

₁、

α

₂、

β

₂、H 、₁ H₂ 進行校準，以下為校準的詳細步驟： 

 

1. 任意給定( , )

α β

_{1 1} 、(

α β

₂, ₂)，將每一組參數帶入每個分券，選擇各分券對 應的信用事件危害程度H 、₁ H 使得分券價格與市場價格接近。 ₂

2. 將上述的參數組合( , )

α β

_{1 1} 、(

α β

₂, ₂)及相對應的H 、₁ H 代入每個分券，₂ 計算出模型價格，找出使 15 個分券之信用價差絕對值總合最小的參數 組合。 

3. 若信用價差之誤差總合大於所容忍程度，則再重複執行校準的程序。方 法為以步驟 2 校準出的分配參數( , )

α β

_{1 1} 、(

α β

₂, ₂)各乘上某一倍數當作參 數可能的上下界，切割成更細的區間，重新排列組合成多組可能的參數 組合來代入每個分券，選擇各分券對應的信用事件危害程度H 、₁ H 使₂ 得分券價格與市場價格接近。 

4. 將第 3 步驟中的所有參數組合( , )

α β

_{1 1} 、(

α β

₂, ₂)及其對應的H 、₁ H 代入₂ 每個分券，計算出模型價格，找出使 15 個分券之信用價差絕對值總合 最小的參數組合。 

 

此校準程序分為兩階段，在第一階段事件發生頻率分配之參數給予較 大的範圍，若是在此大範圍中即以相當精細的間隔進行校準，則會耗費相 當多的時間，故第一階段先找出符合市價的參數大致範圍後，再以該組參 數設定出參數合理上下界，尋找符合市價的精確值，以節省校準參數所需 要的時間。 

 

‧

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

接著即以 2007 年 1 月 30 日及 2008 年 3 月 31 日 ITraxx 兩筆市場價格 經上述市價校準程序得到信用事件發生頻率分配及各分券的信用事件危害 程度。 

圖 10 為信用事件次數發生頻率為伽瑪分配假設下參數校準結果，2007 年 市 價 校 準 結 果 指 出 系 統 信 用 事 件 發 生 頻 率 的 期 望 值 高 於 非 系 統 信 用 事 件，非系統信用事件發生頻率的機率分配集中於 0~0.25 的區間，機率從

λ

₁=0 急速下降，顯示於伽瑪分配假設下，反應非系統信用事件發生次數較零星，

且次數波動不大，密集出現的可能性不高；相對而言，系統信用事件發生 較頻繁，且有突然密集出現的機會。圖 11、圖 12 為 2007 年市價信用事件 隱含危害程度，單次系統信用事件對於債權群組內的標的公司造成的危害 程度較非系統信用事件嚴重，如本文 3.3 節所述，藉由同時觀察系統性及 非系統信用事件發生「次數」與「危害程度」可推論市場風險主要來源，

系統信用事件發生的次數多、危害程度大，傳達出市場風險的主要來源為 系統風險。2008 年系統信用事件次數期望值略低於非系統信用事件次數，

但發生頻率之期望值皆高於 2007 年，分配大幅右移，系統及非系統信用 事件發生次數明顯增加，單次系統信用事件危害程度H 亦大幅提升，市價₂ 隱含高度的系統性風險，且系統性風險為主要風險來源。

 

圖 11 列出不同持有期間的各分券市價隱含「系統性」信用事件危害程 度，依分券優先償還順序出現的遞減的趨勢，系統性信用事件對 12%~22%

的先償分券造成最大的危害，接著依序為 9%~12%、6%~9%、3%~6%的次 償分券，最後則是 0%~3%的權益分券。 

12%~22%的先償分券承擔債權群組 12%~22%的損失，本節中假設回覆 率為 0.4，當債權群組內 125 家標的公司超過 25 家發生違約時，才會侵蝕 12%~22%先償分券的本金，當違約事件群聚發生時，12%~22%先償分券的 0%~12%損失保護層之本金可能已消磨殆盡，才導致先償分券的本金受到損 失，故先償分券主要承擔屬於系統性的風險。在本模型中設定系統性信用 事件的發生會同時提高債權群組內所有標的公司的違約機率，增加發生違 約叢聚的可能性，大幅提高 12%~22%先償分券遭受本金損失的可能性，因 此系統性信用事件的發生對 12%~22%先償分券危害最為嚴重，其他分券市 價隱含系統性信用事件危害程度依償還順位優先程度下降而減低影響度。 

 

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

 

圖  11.1   5 年期分券市價隱含系統性信用事件危害程度 

0%~3%0 3%~6% 6%~9% 9%~12% 12%~22%

0.05 0.1 0.15 0.2

Tranche

Implied Jump Size 2007

2008

 

  圖 11.2  7 年期分券市價隱含系統性信用事件危害程度 

0%~3%0 3%~6% 6%~9% 9%~12% 12%~22%

0.05 0.1

Tranche

Implied Jump Size 2007

2008

 

圖 11.3 10 年期分券市價隱含系統性信用事件危害程度 

0%~3%0 3%~6% 6%~9% 9%~12% 12%~22%

0.05 0.1 0.15 0.2

Tranche

Implied Jump Size 2007

2008

 

*模型假設雙伽瑪分配尺度參數相異，系統信用事件危害程度H₂、非       系統信用事件危害程度H₁；利用 2007 年 1 月 30 日 ITraxx 市場資料 代入模型中進行校準得到 5 年期、7 年期、10 年期各分券的系統性信  用事件危害程度。 

 

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

   

圖  12.1   5 年期分券市價隱含「非系統」信用事件危害程度 

0%~3%0 3%~6% 6%~9% 9%~12% 12%~22%

0.02 0.04 0.06

Tranche

Implied Jump Size 2007

2008

 

圖 12.2     7 年期分券市價隱含「非系統」信用事件危害程度 

0%~3%0 3%~6% 6%~9% 9%~12% 12%~22%

0.02 0.04 0.06 0.08

Tranche

Implied Jump Size 2007

2008

 

圖 12.3       10 年期分券市價隱含「非系統」信用事件危害程度 

0%~3%0 3%~6% 6%~9% 9%~12% 12%~22%

0.02 0.04 0.06 0.08

Tranche

Implied Jump Size 2007

2008

 

* 模型假設雙伽瑪分配尺度參數相異，系統信用事件危害程度H₂、非       系統信用事件危害程度H₁;利用 2007 年 1 月 30 日 ITraxx 市場資料代        入模型中進行校準得到 5 年期、7 年期、10 年期各分券的系統性信用        事件危害程度。 

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

圖 12 為不同持有期間的各分券市價隱含「非系統性」信用事件危害程 度 ， 大 致 上 不 同 持 有 期 間 的 權 益 分 券 之 非 系 統 信 用 事 件 為 危 害 程 度 最 嚴 重，12%~22%先償分券之非系統信用事件為危害程度皆最小。比較圖 11、

圖 12 系 統 與 非 系 統 信 用 事 件 的 危 害 程 度 ， 系 統 信 用 事 件 危 害 程 度 在 0.03~0.15 的區間波動，非系統信用事件危害程度在 0~0.04 的區間波動，

各分券在相同信用事件發生頻率之分配下，權益分券、3%~6%次償分券的 非系統信用事件危害程度較非系統信用事件危害程度稍大，其餘分券系統 信用事件危害程度大幅高於非系統性，闡述權益分券及同樣為保護層底端 的 3%~6%分券，同時承擔系統、非系統風險，其餘 6%~9%、9%~12%、12%~22%

分券則風險來源主要為市場系統性風險。 

2008 年市場系統性風險大幅提高之際，系統信用事件發生頻繁，市場 環境不佳的情況下，投資人信心缺乏，先償分券及部分次償分券本金遭受 損失的機會提高，使得單次系統信用事件對於先償分券及其他次償分券造 成的危害程度H 轉劇烈；相對地，權益分券之本金早因初期違約事件而遭₂ 受損失，接續密集發生的違約事件已超過其本金保護範圍，將不構成額外 的虧損，故系統性危害程度H 是持平或是微幅下降的。₂  

表 9 及表 10 為校準後之模型價格與市場信用價差的絕對誤差，誤差皆 相當小，模型校準良好。 

                 

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

 

表  11       根據 2007 年 01 月 30 日 ITraxx 市場資料代入模型中進行校  準，信用價差之絕對誤差(b.p)。模型假設雙伽瑪分配尺度  參數相異，系統及非系統信用事件危害程度相異。 

 

aL(%)  aH(%)  5 年    7 年  10 年  0  3  0.0030  0.0553  0.0000  3  6  0.0016  0.0000  0.0012  6  9  0.0000  0.0020  0.0000  9  12  0.0011  0.0009  0.0004  12  22  0.0000  0.0003  0.0002   

 

表  12         根據 2008 年 03 月 31 日 ITraxx 市場資料代入模型中進行校  準，信用價差之絕對誤差(b.p)。模型假設雙伽瑪分配尺度  參數相異，系統及非系統信用事件危害程度相異。 

 

aL(%)  aH(%)  5 年    7 年  10 年  0  3  0.0343 0.0231 0.0135  3  6  0.0000 0.0027  0.0005  6  9  0.0066 0.0015 0.0021  9  12  0.0002 0.0026 0.0001  12  22  0.0020 0.0003 0.0000   

     

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

4.2.2 系統性信用事件發生頻率為帕雷圖分配之參數校準   

 

4.2.1 節根據市價校準出非系統及系統性信用事件發生頻率之分配參數及 危害程度，本節針對模型在其他假設條件維持不變的情況下，系統性信用 事件發生頻率採用另一個分配假設－帕雷圖分配，同樣以市價對模型中的 六個參數

α

₁、

β

₁、

α

₂、λ 、₀ H 、₁ H 進行校準，詳細校準步驟同₂ 4.2.1 小節。

 

圖 13 為經上述市價校準程序之信用事件發生頻率分配，在同一筆資料 內，觀察系統及非系統信用事件發生頻率，知悉 2007 年的非系統信用事 件發生頻率分配

λ

₁期望值 0.1390，變異數 0.0048，

λ

₁於 0~0.0.3 區間賦予 較 高 之 發 生 可 能 性 ， 非 系 統 信 用 事 件 的 發 生 次 數 多 集 中 在

λ

₁較 小 的 範 圍 內，而系統信用事件發生頻率

λ

₂有一極小值門檻為 0.0775，期望值 0.1162，

變異數 0.1744，

λ

₂的機率分配即從 0.0775 之最高點，隨著

λ

₂增加而下降，

分配特性使得

λ

₂坐落於門檻值 0.0775 的可能性相當高，且頻率極大的可能 性因分配厚尾性質大增，系統信用事件發生頻率

λ

₂>0.4 的可能性極遠遠高 於

λ

₁。故當假設系統信用事件次數頻率為帕雷圖分配下，校準結果顯示非 系統信用事件發生次數較少、波動性較低，而系統信用事件不僅發生次數 較多，且極端值發生的機會也較大。 

2008 年的分析結果更彰顯兩種不同信用事件「發生次數」的差異，系 統信用事件發生頻率

λ

₂最小門檻值拉升至 0.105，期望值、變異數皆上升，

而非系統信用事件發生頻率

λ

₁集中區域左移，集中座落 0~0.2，期望值、變 異數皆下降。故可推論相較於 2007 年的市場狀況，2008 年市場系統信用 事件發生更加頻繁，且發生極多次的可能性亦拉升，非系統信用事件反而 較少。 

信用事件危害程度如圖 14、15，如前所述，系統信用事件危害程度H₂ 除權益分券外，依分券優先償還順位上升而增強，顯示先償分券的承擔之 高系統性風險，同樣地，H 造成違約機率的上升幅度，除了權益分券外，₂ 均較H 嚴重；而非系統信用事件危害程度₁ H 大致上對權益分券造成最嚴重₁ 損害，接著依分券優先順位上升而減低單次事件發生造成的危害。與權益 分券主要承擔非系統性風險，先償分券主要承受系統性風險的結論一致。 

 

在文檔中 考量違約頻率具自我傳染效應之動態違約相關性描述 (頁 48-55)