考量違約頻率具自我傳染效應之動態違約相關性描述

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(1) 考量違約頻率具自我傳染效應 . ‧. ‧ 國. 學. 政治大之動態違約相關性描述立 . n. al. Ch. engchi. y. i Un. National Chenchi University . 2010.4.16 . sit. io. National Chenchi University 王盈心 Ying‐Hsin Wang 國立政治大學金融學系 . er. Nat. 江彌修Mi‐Hsiu Chiang 國立政治大學金融學系 . v.

(2) 致謝. 首先感謝論文指導教授江彌修老師，於大學到碩士班期間，一路引領著我，於學術上不遺餘力的指導、培養與肯定，亦如朋友般，給予精神上的支持與鼓勵，分享生活中屬於歡樂、苦悶的點滴，將會永遠珍惜每個煎熬、痛苦、歡笑的片刻-理查、牛角、忽必烈、懶骨頭、索餅條萬字花、湛藍浪花、堆疊如山的參考文獻。此外，感謝口試委員岳夢蘭教授、許瑋元教授的寶貴意見，使本文觀點更完備。. 政治大. 感謝共同學習的同學們，相互幫助、砥礪、成長，永遠記得同時豁然開朗的瞬間那如釋重負的微笑。特別感謝美君、宇賢、興展，用著我們共通的語言，訴說、紀錄著碩士生涯的點點滴滴：大口喝酒、大口吃肉、嬉鬧起鬨、正經八百的進行學術會議。感謝寶貴，在 M506 無數個清晨初曉時分，一同瞇著惺忪的雙眼，嘴角刁著牛角麵包、啜著香醇的咖啡，埋首於密密麻麻的文字與數字，於夢境與現實中來回穿梭。謝謝星旅、小菜、以姍一直以來的支持與幫助，此外，有滿腹經書的百威、細心的秀瑩、聰明伶俐的嘉玲、體貼的玟瑜、骨感迷人的陳愛可、犀利熱心的郭桂格、嫁為人婦的倪狗狗、雙眼迷濛的羊岱璇，使過程更顯的多采多姿。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. i Un. v. 感謝我的家人，最溫暖的依靠，謝謝盈翔在身邊的叮嚀與督促，支持我撐過艱難的關卡，向前挺進。最後，將本文獻給所有關心我的人，分享這份榮耀與喜悅。. Ch. engchi.

(3) 摘要本文建立動態違約模型，以混合卜瓦松跳躍過程（Mixed Poisson Jump Process）描述單一標的資產動態存活機率，以跳躍來描述信用事件之發生對存活機率下降之影響及衝擊，信用事件分別由系統性因子及非系統性因子驅動，沿用因子聯繫模型條件獨立的概念，假設債權群組內所有標的資產之存活機率在給定系統信用事件發生次數下為條件獨立，以條件違約機率建構債權群組織之聯合損失分配，進一步以隨機變數刻劃信用事件發生頻率，假設非系統信用事件發生頻率為兩參數伽瑪分配；系統信用事件發生頻率分別同為兩參數伽瑪分配，及帕雷圖分配(Pareto Distribution)，反映信用事件發生次數於特定期間內具叢聚性質之不確定性，改變常數設定下信用事件相互獨立之性質，使具備自身傳染性。在不涉及複雜積分及模擬之情況下沿用因子聯繫模型中條件獨立之概念建立聯合損失分配，可廣泛應用於信用資產群組之評價與風險分析，本文以 iTraxx Europe 為例進行評價及風險分析。模型中所有參數均可以信用擔保債權之市價予以校準, 並且理論價格與市價十分相近，可合理地評價信用資產群組之價值。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v.

(4) 目錄圖目錄............................................................................................................................................. III 表目錄.............................................................................................................................................IV 第 1章. 簡介 ............................................................................................................................ 1. 第 2章. 文獻回顧 .................................................................................................................... 5. 第 3章. 基本假設與模型設定 ................................................................................................ 9. 3.1. 單一標的公司之動態存活機率設定 ...................................................................... 10. 3.2. 信用事件發生之機率 .............................................................................................. 11. 3.3. 違約叢聚性與信用事件危害程度 .......................................................................... 19. 第 4章. 數值結果與分析 ...................................................................................................... 24. 4.1. 簡化模型參數估計方法 .......................................................................................... 26. ‧. ‧ 國. 3.4. 學. 3.5. 治政大聯合損失分配 .......................................................................................................... 19 立參數校準 .................................................................................................................. 22. 4.1.1 以信評資料及市價進行雙伽瑪分配參數及危害程度校準........................ 26. y. Nat. io. 以市場價格對多參數模型進行參數校準 .............................................................. 40. n. al. er. 4.2. sit. 4.1.2 利用市場價格進行危害程度校準................................................................ 34. i Un. v. 4.2.1 雙伽瑪(Gamma)分配參數估計方法............................................................. 41. Ch. engchi. 4.2.2 系統性信用事件發生頻率為帕雷圖分配之參數校準................................ 48 4.2.3 帕雷圖假設與伽瑪假設的差異性分析........................................................ 53 4.3. 敏感度分析 .............................................................................................................. 59 4.3.1 無風險利率.................................................................................................... 59 4.3.2 回復率............................................................................................................ 60 4.3.3 信用事件危害程度........................................................................................ 62 4.3.4 系統信用事件發生頻率分配之參數............................................................ 64. . I.

(5) 4.3.5 非系統信用事件發生頻率分配之參數........................................................ 69 第 5章. 結論 .......................................................................................................................... 73. 參考文獻........................................................................................................................................ 75 附錄 A ............................................................................................................................................ 77 附錄 B............................................................................................................................................. 79. . 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. . Ch. engchi. II. i Un. v.

(6) . 圖目錄圖 1.1 伽瑪分配:相同尺度參數 β ，不同形狀參數 α ............................................. 13 圖 1.2 伽瑪分配:相同形狀參數 α ，不同尺度參數 β ............................................. 13 圖 2.1 給定不同 α ，非系統信用事件次數之機率分配 .......................................... 14 圖 2.2 給定不同 β ，非系統信用事件次數之機率分配 .......................................... 14 圖 3.1 給定不同形狀參數 α 2 之帕雷圖機率密度函數 ............................................. 17 圖 3.2 給定不同最小值 λ0 之帕雷圖機率密度函數 ................................................. 18 圖 4. 信用事件發生頻率之分配，相同尺度參數雙伽瑪分配（市價+信評） .... 29 圖 5.1 分券持有期間無信用事件發生之機率 .......................................................... 30 圖 5.2 分券持有期間恰發生 1 次信用事件發生之機率 .......................................... 30 圖 5.3 分券持有期間恰發生 10 次信用事件發生之機率 ........................................ 30 圖 6.1 分券持有期間權益分券之期望單位剩餘本金 .............................................. 32 圖 6.2 分券持有期間其他分券之期望單位剩餘本金 .............................................. 32 圖 7.1 信用事件發生頻率，相同尺度參數之伽瑪分配（2007 市價） ................. 35 圖 7.2 信用事件發生頻率，相同尺度參數之伽瑪分配（2008 市價） ................. 35 圖 8.1 高斯因子模型 5 年期分券之隱含相關係數（2007 市價） ......................... 38 圖 8.2 雙伽瑪設定及常數設定之 5 年期分券隱含信用事件危害程度 .................. 38 圖 9.1 高斯因子模型 7 年期分券之隱含相關係數（2007 市價） ......................... 39 圖 9.2 雙伽瑪設定及常數設定之 7 年期分券隱含信用事件危害程度 .................. 39 圖 10. 信用事件次數發生頻率之分配，雙伽瑪分配 .............................................. 42 圖 11. 市價隱含系統性信用事件危害程度，雙伽瑪分配 ...................................... 44 圖 12. 市價隱含非系統性信用事件危害程度，雙伽瑪分配 .................................. 45 圖 13. 信用事件發生頻率分配校準結果，帕雷圖+伽瑪分配 ................................ 49 圖 14. 市價隱含系統信用事件危害程度，帕雷圖+伽瑪分配 ................................ 50 圖 15. 市價隱含非系統信用事件危害程度，帕雷圖+伽瑪分配 ............................ 51 圖 16. 信用事件發生頻率機率密度函數（2007 年市價） ..................................... 55 圖 17. 信用事件發生頻率機率密度函數（2008 年市價） ..................................... 56 圖 18. 系統信用事件危害程度 .................................................................................. 57 圖 19. 非系統信用事件危害程度 .............................................................................. 58. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. . . III. i Un. v.

(7) 表目錄 . 表 1 iTraxx Europe 2007 年 1 月 30 日市場價格 ..................................................... 24 表 2 歐洲區投資等級公司之降評率及違約率統計 ............................................... 27 表 3 2007 年分券市價隱含信用危害程度（信評+市價） .................................... 28 表 4 表 3 估計值之絕對誤差 ................................................................................... 28 表 5 iTraxx Europe 2008 年 3 月 31 日市場價格 ..................................................... 33 表 6 2008 年分券市價隱含信用危害程度（信評+市價） .................................... 33 表 7 市價隱含信用事件危害程度，同尺度參數雙伽瑪分配（2007 市價） ...... 36 表 8 表 7 估計值之絕對誤差 ................................................................................... 36 表 9 市價隱含信用事件危害程度，同尺度參數雙伽瑪分配（2008 市價） ...... 37 表 10 表 9 估計值之絕對誤差表 ............................................................................... 37 表 11 2007 年市價隱含信用事件危害程度之絕對誤差，雙伽瑪分配 .................. 47 表 12 2008 年市價隱含信用事件危害程度之絕對誤差，雙伽瑪分配 .................. 47 表 13 2007 年市價隱含信用事件危害程度之絕對誤差，帕雷圖+伽瑪分配 ........ 52 表 14 2008 年市價隱含信用事件危害程度之絕對誤差，帕雷圖+伽瑪分配........ 52 表 15 無風險利率敏感度分析‐雙伽瑪分配.............................................................. 60 表 16 無風險利率敏感度分析‐帕雷圖+伽瑪分配.................................................... 60 表 17 回復率敏感度分析‐雙伽瑪分配...................................................................... 61 表 18 回復率敏感度分析‐帕雷圖+伽瑪分配............................................................ 61 表 19 系統信用事件危害程度敏感度分析‐雙伽瑪分配.......................................... 62 表 20 系統信用事件危害程度敏感度分析‐帕雷圖+伽瑪分配................................ 63 表 21 非系統信用事件危害程度敏感度分析‐雙伽瑪分配...................................... 64 表 22 非系統信用事件危害程度敏感度分析‐帕雷圖+伽瑪分配............................ 64 表 23 系統信用事件發生頻率： α 2 敏感度分析‐雙伽瑪分配................................. 66 表 24 系統信用事件發生頻率： β 2 敏感度分析‐雙伽瑪分配................................. 66 表 25 系統信用事件發生頻率： α 2 敏感度分析‐帕雷圖+伽瑪分配....................... 68 表 26 系統信用事件發生頻率變動比率： α 2 敏感度分析‐帕雷圖+伽瑪分配....... 68 表 27 系統信用事件發生頻率： λ0 敏感度分析‐帕雷圖+伽瑪假設模型 ............... 68 表 28 非系統信用事件發生頻率： α1 、 β1 敏感度分析‐雙伽瑪分配..................... 71 表 29 非系統信用事件發生頻率： α1 、 β1 敏感度分析‐帕雷圖+伽瑪分配........... 71. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. .   . . . IV. i Un. v.

(8) 第 1章. 簡介 . 合成型信用擔保債權(Synthetic Collateralized Debt Obligations) 是一種轉移信用風險之金融商品。標的公司債持有人欲避免承擔違約產生之信用風險，透過特殊目的機構(Special Purpose Vehicle)簽訂一籃子信用違約交換 (Credit Default Swaps)，將承擔之信用風險轉移予信用擔保債權之投資人，即信用保護賣方。信用風險之移轉過程, 包含發起人(Issuer)、特殊目的機. 政治大色，首先由發起人即信用保護買方與特殊目的機構簽訂債權群組之違約交立換，於契約期間須定期支付特殊目的機構固定額度之信用保護貼水. 構(Special Purpose Vehicle)、及投資人三者。特殊目的機構擔任中間人的角. ‧ 國. 學. (Protection Premiums)，特殊目的機構於違約發生時承擔債權群組之相關損失。接著，特殊目的機構將信用增強後之債權群組依風險承擔之先後, 重. ‧. 新包裝成信用等級不同之分券，售予投資人。同樣地，特殊目的機構依不同分券之信用價差(Credit Spread)，於契約期間定期支付保護貼水予投資. sit. y. Nat. 人；而投資人則依據所投資之分券，承擔發生違約時對分券所造成之損失。 . al. er. io. iTraxx 指數（iTraxx Index）為標準化的信用擔保債權，由 Markit 公司. n. 編列，指數由某一地區一籃子信用違約交換所構成，地區跨足歐洲、日本、. Ch. i Un. v. 澳洲、和日本以外的亞洲國家。iTraxx 指數當中，iTraxx Europe 指數是交易. engchi. 量最大且最頻繁的，由編制指數前六個月歐洲地區最具流動性且評為投資等級之 125 檔信用違約交換契約構成，依承擔損失先後次序分割為 5 檔分券：權益分券(Equity Tranche) 承擔 0 至 3%的本金損失，次償分券(Mezzanine Tranche) 承擔 3 至 6%之本金損失, 其他分券分別承擔 6 至 9%、9 至 12%、 12 至 22%之本金損失。本文以標準信用擔保債權(Collateralized Debt Obligations) iTraxx 指數為例，其為具有多標的資產(Multi‐Name)之債權群組(Reference Pool)，商品的評價關鍵在於聯合損失的建立，即個別標的公司違約發生之機率刻劃及彼此違約相關性的描述。債權群組間之相關性對於信用風險影響甚劇，信用擔保債權組合中標的公司之間的違約相關性會隨著市場的總體經濟條件而發生變化，如景氣衰退、市場原物料價格飆漲、借貸資金成本上升、產品. . 1.

(9) 市場需求下降、新興法規限制其營業項目導致收益遽減等情形，造成標的公司獲利減少、影響其償債能力。此外，影響個別標的公司獲利情況之個別公司特有之非系統因素如管理階層蓄意掏空、政策制定錯誤、勞資糾紛、產品品質出現瑕疵等等情形，亦會造成該標的公司債信品質的惡化甚至發生違約的情形。因子聯繫模型（Latent Factor Model）即捕捉因總體市場條件惡化之系統性因素或影響個別標的公司債信條件之非系統因素導致違約機率上升的情況。因子聯繫模型假設債權群組標的組成之公司在給定相同總體因子（ Common Factor ）的情況下，條件違約機率（ Conditional Default Probability）彼此獨立，利用條件獨立之性質導出條件聯合違約機率，計算. 政治大. 條件聯合損失分配（Conditional Loss Distribution）後，對於總體因子進行積分，以求得該債權群組非條件下之聯合損失分配（ Unconditional Loss . 立. Distribution）。 . ‧ 國. 學. 根據Das et al.（ 2007）、Kay Giesecke & Stefan Weber（2003）中指出，債權群組的違約相關性不僅藉由總體經濟條件之系統性因子驅動，債權群. ‧. 組中標的公司的違約機率藉由相同貿易網絡、關係企業的資金連結使得違約事件具有傳染性（Contagion Effect），單一公司債性品質惡化時也會造. y. Nat. sit. 成其他公司債信品質隨之下降，市場條件惡化時，投資者易因而信心不足. er. io. 加強此違約效果使得傳染效果趨顯著。如2005年油價標漲，身為通用汽車（General Motor）最大汽車零件供應商的特耳非（Delphi）因資金取得不. n. al. Ch. i Un. v. 易而面臨破產危機，差點連帶拖垮通用汽車。銀行間的同業拆款協定使得. engchi. 銀行間得以利用較低之拆款利率取得大量資金，期間從隔日至數月不等，若某間銀行發生財務危機，這些缺乏擔保品的拆款即可能導致其他銀行也面臨相同的財務困境，因此金融體系間存在著明顯的傳染效果。經濟體緊密結合的歐元區，近日因南歐四國：葡萄牙、義大利、希臘、西班牙的債信危機亦不排除恐有拖垮歐元區其他國家的可能。本模型於因子聯繫模型中系統性及非系統性因子的概念架構下，加入違約傳染效果描述違約機率整體上升的違約叢聚性。承接 Hull and White (2008) 以縮減式模型建構信用擔保債權之動態違約機率，模型假設債權群組中單一資產之存活率生成函數服從一個卜瓦松跳躍過程（Poisson Jump Process），存活率向下跳躍代表信用事件發生使違約可能性之上提，跳躍非即違約之假設延續 Giesecke(2003)。信用事件的發生根據其缘由進一歩. . 2.

(10) 區分為市場系統性因素引發之系統性信用事件或非系統性因素造成之非系統性信用事件。市場系統性因素代表著市場整體的經濟環境，當系統信用事件發生時，會造成債權群組內所有標的資產違約機率同時上升；非系統性因素如管理階層蓄意掏空、勞資糾紛，非系統信用事件發生時會造成單一標的資產違約機率上升之效果。延伸因子聯繫模型中條件獨立的概念，債權群組所有標的資產為同質假設，單一資產標的之動態存活機率在給定系統信用事件發生次數下，彼此獨立，根據此累積存活機率條件獨立的假設下，即可以二項分配求得任一時點信用擔保債權之損失分配及其合理之信用價差。此外，信用事件發生頻率(Jump Intensity)有別於 Hull and White (2008). 政治大. 僅假設信用事件發生頻率為固定常數，每段時段內所發生之信用事件相互獨立，忽略了違約事件的傳染效果及叢聚現象。本模型進一步假設信用事. 立. 件發生頻率為隨機變數，反映信用事件發生次數在特定期間內具有叢聚. ‧ 國. 學. 性，同時隨機變數的設定使得信用事件發生頻率具有自身傳染的效果，此傳染效果顯現在信用事件發生次數之機率的提升，即前期發生的信用事件. ‧. 越多會導致後期發生多次信用事件的可能性提高，不影響給定信用事件發生次數條件下之累積存活機率，整合因子模型中條件獨立及前文所提及之. y. Nat. 違約傳染性的概念。非系統信用事件發生頻率假設為兩參數伽瑪分配. sit. (Gamma Distribution)，沿用波士頓第一信貸(CSFB, Credit Suisse First Boston) . er. io. 於 1997 年在 CreditRisk+中用以刻劃「違約事件」發生頻率之設定。系統. al. n. iv n C 為兩參數伽瑪分配，簡化後之模型特例即為中用以描述「違 h e n g c h credit risk+1997 i U 約事件次數」發生機率之模型。第二種分配假設為帕雷托分配 (Pareto 性信用事件發生頻率的設定有兩種，第一種與非系統信用事件發生頻率同. Distribution)，著重於反應市場環境中偶發性叢聚違約之巨災性質，以厚尾特性捕捉發生極度密集違約的可能性。跳躍強度（Jump Size）為單次信用事件造成存活機率下降的幅度，即信用事件危害程度，可衡量系統及非系統信用事件對債權群組內標的資產存活機率的影響程度。系統信用事件發生次數多或單次造成之危害程度大皆造成違約機率同時大幅上升，故債權群組中違約的群聚現象可由系統信用事件發生之頻率及危害程度來共同反應。本模型之參數可以市價校準, 校準之方法為尋求一組參數使模型結果與市價之絕對誤差最小。本文所建構之模型參數較多，簡化模型設定時，. . 3.

(11) 可先利用信評資料以動差法估計信用事件機率分配之參數，其餘參數續以市價校準，減少參數估計耗費之時間；亦可將所有參數均由市價校準。多參數之校準方法參考 Longstaff (2008)，不同之處在於極小化絕對誤差總合非極小化誤差平方和。根據上述模型設定與校準方法，由市價求得各分券之隱含跳躍強度 (Implied Jump Size)，假設系統與非系統信用事件危害程度相同時，將信用事件危害程度與 Hull & White (2006)所提之隱含相關性(Implied Correlation) 相比，兩者可獲得一致之訊息。恢復相異之信用事件危害程度假設時，以不同時期之市價、不同模型設定下分別進行校準，藉由觀察各分券之信用事件危害程度比較各分券受系統性或非系統性市場風險影響的程度，結合. 政治大. 信用事件發生頻率，可推論各分券承受之主要風險來源與市價呈現之整體市場風險狀況。此外，與 Hull &White (2008) 之評價結果相比，大幅降低. 立. 與市價之誤差，表本文模型之設定與實際情況更加接近。 . ‧ 國. 學. 最後進行敏感度分析，敏感度分析中探討各個參數變動對於評價結果之影響，並分析各個參數對不同分券影響效果之差異：如提高系統性信用. ‧. 事件發生頻率或危害程度時，先償分券價格上升幅度最顯著，權益分券價格較不受影響；增加非系統信用事件發生頻率或危害程度時，先償分券價. y. Nat. sit. 格波動程度小，權益分券或 3%~6%次償分券之信用價差反而大幅提升。 . n. al. er. io. 本文後續章節主要內容依序為第二章之文獻回顧，第三章之基本假設. i Un. v. 與模型設定，第四章利用市價校準之數值結果與分析，最後於第五章總述本文結論。 . Ch. engchi. . . . 4.

(12) . 第 2章文獻回顧信用擔保債權憑證的評價重點在於聯合預期損失之估計，故債權群組內所有標的資產間違約相關性的描述即為估計標的債權群組損失分配之關鍵，成為信用擔保債權之評價重要議題。目前信用模型主要可區分為結構式模型與縮減式模型。 . 政治大. 結構式模型(Structured‐Form Model) 最早由 Merton (1974)提出，以公. 立. 司本身的資本結構來刻劃信用風險，當公司資產價值小於負債價值時即視. ‧ 國. 學. 為違約，運用 Black and Scholes 選擇權定價理論之概念，將股東權益價值視為一個歐式買權，以公司資產價值在到期日當天是否小於公司負債價值. ‧. 來決定買權是否被執行，若公司到期時無法支付負債即發生違約，因此信用風險只發生在負債到期日。Black and Cox (1976)進一步考慮違約發生在. y. Nat. 債券發行後至到期前之任一時點之可能性，設定破產門檻，提出首次通過. sit. 時間模型(First Passage Time Model)，當公司資產價值於到期日前首次觸及. n. al. 確切估計，難以界定是否發生違約。 . Ch. engchi. er. io. 破產門檻則立即發生違約，然而公司真實資產價值與負債價值往往難以從. i Un. v. 縮減式模型，或稱違約強度模型(Intensity‐Based Models)，無需計算公司資產價值，以外生變數決定違約事件之發生，以市場資料如信用評等或信用交換違約價差反推隱含違約強度（default intensity）、回復率（recover Rate）。Jarrow and Turnbull (1995)及 Jarrow et al. (1997) 在外生給定回復率下，假設違約事件之發生為隨機且服從一跳躍過程，以馬可夫鍊(Markov Chain) 建立信用評等移轉矩陣(Transition Matrix)，描述公司信用評等之轉移過程，求算各個信用等級之債券隱含之違約機率。 Li (2000) 以聯繫函數(copula) 描述違約事件彼此之相關性，藉由縮減式模型中以違約時點來定義違約發生與否，建構單一資產之違約密度函數 (default intensity function)。違約密度函數，一般稱之為信用曲線 (credit curve)，以此建立標的資產之違約時點與違約機率一對一的關係，透過違. . 5.

(13) 約時點之相關性建立違約事件的相關性。藉由聯繫結構函數，將標的資產個別邊際分配串聯成聯合機率分配，產生債權群組(reference pool) 之聯合違約機率分配。所以使用不同的連繫結構函數相當於事先給定違約時點之間的相關性結構。Li (2000) 模型可假設資產群組中各資產之名目本金、回復率、違約率及相關性等參數均不相同，然而，若債權群組之資產數目眾多，將面臨高維度之問題，使得計算執行上較為相當耗時。因此，具條件獨立(conditional independence) 特性的因子聯繫模型(Latent Factor Model) 便逐漸被應用於評價多重標的之信用衍生性商品。因子聯繫模型假設債權群組之標的資產受到系統性因子（ common factor）影響，在給定系統性因子下，標的資產彼此獨立，僅受標的資產之. 政治大. 個別非系統因子支配，故有條件獨立之稱。以條件違約機率建構債權群組之條件損失分配(conditional loss distribution), 再對系統性因子積分, 以求. 立. 得到債權群組之非條件損失分配(unconditional loss distribution)，因此聯合. ‧ 國. 學. 違約機率分配之維度不再由標的資產之個數決定，而是由影響資產價值之系統性風險因子之個數決定。以單一系統因子為例，以單維度積分即可計. ‧. 算債權群組之聯合違約機率分配。此類評價模型包含了 Laurent and Gregory (2003)、Andersen et al. (2003)，及 Hull and White (2004)。其中. y. Nat. Laurent and Gregory (2003)利用快速傅立葉轉換(Fast Fourier Transform，. sit. FFT)，由債權群組損失之特徵函數(characteristic function)得到債權群組之. er. io. 損失分配。此模型允許標的公司之違約強度為隨機 (stochastic default . al. n. iv n C 結構假設於模型中，但數學運算複雜，且使用快速傅立葉轉換時所取的點 hengchi U 數不同會影響運算時間以及損失分配之精確度。Andersen et al. (2003)在各. intensities)、名目本金與違約回復率也不需相同，且可採用不同的相關性. 資產名目本金為損失單位之倍數的假設下，提出以遞迴法則 (Recursive Method)考慮個別資產依序加入債權群組所產生的違約情形，以求算債權群組之條件損失分配函數。Hull and White (2004) 以 Andersen et al. (2003) 為基礎同時保有 Laurent and Gregory (2003)對於資產名目本金、回復率假設之彈性，提出機率勺斗法則(Probability Bucketing Method)來建構債權群組之損失分配。其基本概念和 Andersen et al. (2003)類似，也是考慮資產依序加入債權群組之違約情形。 Hull and White (2004) 將損失分為數個區間，根據條件違約機率得到整個債權群組損失金額落在各個區間之機率，進而建構條件損失分配函數，最後同樣對於系統性風險因子進行數值積分以得到債權群組損失分配函數。然而聯繫結構函數與因子聯繫模型對於違. . 6.

(14) 約關聯性的假設，多為事先給定違約相關型態下，求得聯合違約機率分配，其靜態的性質無法描述違約環境之演變。 Hull and White (2008) 重新以縮減式模型，建構動態違約之信用擔保債權評價模型，相較於靜態模型，能夠整合違約環境演變之訊息刻劃各時點聯合損失非配。模型假設一資產之存活率生成函數服從卜瓦松跳躍過程，延續 Giesecke (2003)定義跳躍僅造成資產違約的機率提升，不一定會造成違約發生(non‐fatal)之非致命性跳躍，描述信用事件的發生對存活機率下降，提升違約可能性。令其所驅動之存活率期望值與信用價差期間結構所隱含之存活率相同，以描述違約環境之演變。在假設債權群組中所有資產均為同質且獨立下，即可以二項分配求得任一時點信用擔保債權之損失分. 政治大雖然條件獨立模型具有計算的便利性，但近期許多實證研究提出債權立配，及其合理之信用價差。 . 群組之違約機率在條件獨立模型設定下，明顯低估違約密集發生之機率。 . ‧ 國. 學. 債權群組的違約相關性不僅藉由總體經濟條件之系統性因子驅動，債權群組中標的公司的違約機率可能藉由相同貿易網絡、關係企業的資金連結使. ‧. 得違約事件具有傳染性（contagion effect），單一標的債信品質惡化可能造成其他公司債信品質也隨之下降，尤其於市場條件惡化之環境，投資者. y. Nat. sit. 更易因而信心不足而加強違約傳染效果。Das, Duffie, Kapadia & Saita (2007). er. io. 以美國1970年至2004年公司違約資料為研究根據，發現在不考慮違約傳染效果的情況下，明顯低估違約密集發生的機率。Azizpour and Giesecke (2008). n. al. Ch. i Un. v. 提出自我傳染模型（self‐exciting model），加入傳染效果及不可觀察到之不. engchi. 確定風險（frailty）刻劃違約密度，試圖捕捉違約叢聚現象，以1970至2006 年美國之公司資料進行研究，顯示在給定相同系統性因子與不可觀察到之不確定因的條件下，加入傳染效果顯著增加標的公司違約機率叢聚發生之機率。本模型以 Hull and White（2008）之動態違約模型為基礎，在 Hull and White（2008）中假設信用事件發生頻率為常數，使得卜瓦松過程每段時段內發生之信用事件互相獨立。本模型藉由引入信用事件發生頻率為隨機變數的設定，導入上述之違約傳染效果於模型中，使得信用事件發生頻率具有自身傳染性，此傳染性顯現在信用事件發生頻率的提高，即信用事件發生次數之機率的上升，改善常數設定之忽略傳染性及較僵固之缺點。同時延續因子聯繫模型中條件獨立的概念，假設引發信用事件之原因可區分為. . 7.

(15) 市場系統性因素及非系統性因素，在給定系統性信用事件發生次數下，債權群組內各標的資產之違約機率彼此條件獨立，以此條件獨立之模型設定，整合前述信用事件違約傳染性，架構動態違約相關模型。此外，非系統信用事件發生頻率之分配設定沿用 CreditRsik+1997 中描述「違約事件」發生次數之伽瑪分配（Gamma Distribution ），系統信用事件發生頻率則分別予以兩種不同之設定：第一種同樣沿用伽瑪分配，第二種試以帕雷圖分配（Pareto Distribution）描述信用事件因總體系統因素密集發生的情形。在眾多討論巨災風險的文獻中，多以帕雷圖分配的極度厚尾性質來捕捉發生巨型災害的機率，如 Allen, L. and Bali, T. G. (2007)以帕雷圖分配來描述金融機構因利率、匯率、股價、期貨價格或、信用品質發生. 政治大. 劇烈變化而造成可能引發的巨災型風險，進一歩來計算風險值（VaR）。於產物再保險（Property Reinsurance）領域中帕雷圖分配也應用廣泛，描. 立. 述地震、洪水、或火災等等事件的發生對保險公司造成極大損失的情形。下. n. al. er. io. sit. y. Nat. . ‧. . ‧ 國. . 學. 一章即為本文模型設定與其他基本假設之詳述內容。 . . Ch. engchi. 8. i Un. v.

(16) 第 3章基本假設與模型設定多重標的(Multi‐Name)之信用衍生性金融商品之債權群組內包含眾多債權標的公司，信用擔保債權之合理信用價差評價關鍵為債權群組內聯合損失分配的建立。本研究假設債權群組內之單一標的公司存活機率受到市場上的信用事件的發生而下降，存活機率下降相當於違約機率上升，信用事件根據其發生缘由區分為兩大類，分別為由市場的系統性因素或非系統性因. 政治大. 素所驅動。市場的系統性因素引發的信用事件簡稱為系統信用事件，市場系統性因素代表著市場整體的經濟環境，同時影響著信用擔保債券群組裡. 立. 的所有標的，當系統信用事件發生時，即造成資產群組內所有組成標的之. ‧ 國. 學. 違約機率的上升。市場非系統性因素為影響單一標的公司的個別事件，如管理階層蓄意掏空、政策制定錯誤、勞資糾紛、產品出現瑕疵使得消費者. ‧. 信心下降信譽受損、失去價格優勢導致訂單劇減、經營權歸屬發生嚴重法律訴訟等等情形導致信用事件的發生。 . y. Nat. sit. 債權群組中各標的違約關聯性之考量，延伸因子聯繫模型中條件獨立. er. io. 的概念，假設債權群組中單一資產標的之動態存活機率在給定系統信用事件發生次數下，彼此獨立。根據此累積存活機率條件獨立的假設下，建構. n. al. Ch. i Un. v. 債權群組之聯合損之分配，債權群組中違約的群聚現象可由系統信用事件. engchi. 發生之頻率及危害程度來反應。 . 單一資產標的之存活機率設定，除了具非隨時間遞增(Non increasing in time)的特性外，強調信用事件的發生導致存活機率下降，信用事件由一個跳耀過程(Jump)來描述，對於存活機率的衝擊由信用事件發生次數及該信用事件對於單一資產標的之存活機率的危害程度(jump size)來刻劃。系統信用事件對於債權群組內所有標的之存活機率具同質性的影響，即所有單一資產標的之系統信用事件發生的次數及對於單一資產標的存活機率之下降幅度皆相同。由非系統因素所引發的信用事件則隨個別資產標的在次數及下降幅度皆獨立發生。本評價模型運用混和卜瓦松分配(Mixed Poisson Distribution)來分別描. . 9.

(17) 述系統信用事件發生次數及非系統信用事件發生次數的機率，信用事件的發生頻率為隨機變數，不同於 Hull &White（2008）中信用事件發生頻率為常數的設定，本模型採用隨機變數的設定，反映信用事件發生次數在特定期間內具有叢聚性，同時隨機變數的設定使得信用事件發生頻率具有自身傳染的效果，即前期發生的信用事件越多會導致後期發生多次信用事件的機率提升，此外不同於常數的設定，隨機變數的設定使得模型更具彈性。由非系統信用事件發生頻率設定沿用 credit risk+1997 中由形狀（shape）參數及尺度(scale)參數共同決定的伽瑪分配（Gamma Distribution）。系統性信用事件發生頻率的設定有兩種假設，第一種與非系統信用事件發生頻率同為兩參數伽瑪分配，於此設定下，系統性信用事件發生頻率及非系統信用事件發生頻率分別由兩個互相獨立的兩參數伽瑪描述，若假設兩伽瑪分. 政治大參數伽瑪分配來驅動系統性與非系統性信用事件發生頻率總合，此簡化後立配之尺度參數相同，經簡化後，兩個獨立的伽瑪分配可合成為單由一個兩. 的模型特例即為 credit risk+1997 中用以描述「違約事件次數」發生機率之. ‧ 國. 學. 模型。第二種分配假設為帕雷托分配(Pareto Distribution)，著重於反應市場環境中偶發性叢聚違約之巨災性質，以厚尾特性捕捉發生極度密集違約的. ‧. 可能性。 . y. Nat. 系統信用事件與非系統信用事件分別以不同的信用事件危害程度來刻. sit. 劃，即信用事件發生單次跳躍幅度為常數，以不同的信用事件危害程度描. n. al. er. io. 述系統及非系統信用事件造成各分券信用價差波動的劇烈程度。 . Ch. i Un. v. 3.1 節為單一標的公司之動態存活機率的設定，3.2 節為造成存活機率. engchi. 下降的信用事件發生頻率及信用事件發生次數分配的設定，於 3.3 節利用單一標的公司的存活機率建構出債權群組的聯合損失分配後即得出各分券之信用價差，3.4 節闡述模型參數的校準方法。 . 3.1. 單一標的公司之動態存活機率設定 . 本文定義 S ( t ) 為從時點 0 到時點 t，單一資產之累積存活機率，介於[0,1] 且具非隨時間遞增(Non increasing in time)性質，表示隨這時間的推移，從時點 0 至時點 t 的累積存活機率會下降或持平，定義 S ( 0 ) = 1 ，表示時點為. . 10.

(18) 0 時，債權群組中的標的不會有任何違約的情況發生，令 X ( t ) = − ln S ( t ) 時，則累積存活機率可表示為下列式子： d ‐lnS ( t ) = dX ( t ) = μdt + dq1 + dq2 （3.1）（3.1）式中 P(dq1 = H1 ) = λ1dt, P(dq2 = H2 ) = λ 2dt,H1 ,H2 , λ1 , λ 2 , μ > 0， q1 及 q2 分別由非系統及系統性因素所驅動的跳躍過程， H1 及 H 2 分別為跳躍對存活機率造成的下降程度，本文將其解釋為信用事件的發生對於單一資產造成的危害程度，非系統性信用事件危害程度為 H1 ，系統性信用事件危害程度為 H 2 ，當信用事件的發生對於單一資產造成相當大的損害導致存活率下降，模型中會以較大的跳躍幅度 H 刻劃資產存活率的下降。 μ >0，為一漂浮項，表動態存活機率除了受到可觀察到的信用事件影響而導致機率下降. 政治大信用事件發生之負面消息對動態存活機率造成的影響，故動態存活率同時立. 外，亦不排除任何無法觀察到之信用事件（Frailty）或任何尚未導致任何. 被可觀察及不可觀察到之信用事件所支配著。此外，隨著時間的推移，資. ‧ 國. 學. 產的不確定性應合理的上升，故設定 μ >0。另外， λ1 及 λ2 分別為非系統及系統性因素引發之信用事件的發生頻率，即單位時間內的發生次數。重新. ‧. 整理（3.1）式，單一資產標的之動態存活機率可以下式表示： J1. J2. i =1. i =1. er. io. al. sit. y. Nat. S(t , J1 , J2 ) = exp(−M ( t ) − ∑ H1 −∑ H2 ) （3.2） . v. n. （3.2）式中， M( t ) = ∫ μ ( s ) ds 為漂移項對時間積分值， J1 為非系統信用 t. 0. Ch. engchi. i Un. 事件發生次數，次數的密集程度由非系統信用事件發生頻率 λ1 驅動， J 2 為系統信用事件發生次數，由系統信用事件發生頻率 λ2 驅動。當信用事件發生的次數 J1 、 J 2 越多，信用事件危害程度 H1 、 H 2 越大，或市場上無法觀察到的隱性信用事件越多都會造成單一資產標的之動態存活機率下降。 . 3.2. 信用事件發生之機率 . 本模型沿用 credit risk+(1997)中求得單一資產發生「違約次數」的概念 1 ，                                                         1. 在 creidtrisk+1997 文中資產組合群內發生違約的機率彼此獨立，個別債權標的之違約機率可經. 由機率產生函數（Probability Generating Function）之泰勒展開式求得為一混何卜瓦松分配，配合. . 11.

(19) 設定債權群組內單一標的公司「非系統信用事件發生次數」及「系統信用事件發生次數」的機率為分別為兩個獨立的混何卜瓦松分配（Mixed Poisson Process），單位時間內信用事件發生次數的機率取決於的頻率的設定，進一歩影響債權群組內各個標的之動態存活機率。在 Hull&White (2008)中假設信用事件發生頻率為常數 λc ，信用發生次數為卜瓦松過程（Poisson process），發生頻率為常數的設定使得模型在互不重疊的時段內信用事件發生次數彼此獨立。但是一家公司在未來發生系統或非系統信用事件多寡的機率應合理的受過去紀錄影響，當一家公司一旦發生信用事件，市場上的投資人亦或是給予融資的銀行都可能因此而降低對於該公司的信賴程度進而影響到該公司接下來的表現。常數頻率的假. 政治大. 設下無法適當描述信用事件的發生機率在前後期存在的相關性，發生頻率為隨機變數的設定下，若給定時點 s 發生 m 次信用事件，在 t 時點發生 n 次信用事件的機率 Pnm | (t +s|s) = P{ Jt+s =n|Js =m} ,t ≥0，則 m. n−m. P ( Jt +s = n ) P ( J s = m). （3.3）. ‧. ⎛ n ⎞⎛ s ⎞ ⎛ t ⎞ Pn|m (t + s | s) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ m ⎠⎝ t + s ⎠ ⎝ t + s ⎠. 學. ‧ 國. 立. y. Nat. （3.3）式 2 說明在混何卜瓦松的假設下，時點 t 發生 m 次信用事件的. sit. 機率會受時點 s 所發生信用事件的次數影響，即信用事件發生次數的機率. er. io. 會受過去的影響，非彼此獨立。此外，信用事件的發生頻率也受發生過之. n. al. ni Ch 數的發生頻率如式子（3.4）示： U engchi. v. 信用事件影響，若在時點 s 時已發生 m 次信用事件下，則條件信用事件次. λ1 ( s + t )|( N1 ( s ) = m ) =. ( m + n ) + 1 Ps ( m + n + 1) , n = N1 ( s + t ) for n ≥ m （ 3.4 ） s+t Ps ( m + n ). （ 3.4 ）中 N ( t + s ) = n 為 t+s 時點非系統性信用事件的發生次數，表示信用事件發生頻率在給定已發生的非系統性信用事件次數 m 的條件下，隨著 m 值上升呈現非嚴格遞增的性質 3 ，即若一家公司在前期已發生的信用.                                                                                                                                                             單位時間內發生違約頻率服從兩參數的伽瑪分配的假設，求得發生違約次數的機率可簡化為一個負二項分配，本文利用此概念應用在計算發生非系統性信用事件事件次數的機率。 2. 推導請參照 Mixed Poisson Process by Jan Grandell 1997,Chapman& Hall, ch4 推導請參照 Mixed Poisson Process by Jan Grandell 1997,Chapman& Hall, ch4 證明請參照 Lundberg 1964 3. . 12.

(20) 事件次數越多，後期信用事件發生的頻率就跟著增加，此為信用事件自身，傳染效果隱含在信用事件發生次數的機傳染效果（ self contagious effect ）率內，故隨機變數的設定得以補足常數設定的不足，更符合真實市場條件。本模型對於非系統信用事件發生頻率 λ1 之分配設定 U1 引用 credit . risk+(1997) 中兩參數的伽瑪分配 Γ(α1 , β ) （ Gamma Distribution ），其機率密度函數如下表示： . dU1 (λ1 ) =. 1 λ1α1 −1β α1 e − βλ1 , λ1 > 0 (3.5) Γ(α1 ). （ 3.5 ）式中 α1 及 β 為正。期望值為 α1 / β ，變異數為 α1 / β 2 ，非系統信. 政治大. 用事件發生頻率 λ1 為一不對稱的分配， β 為尺度參數（ scale parameter ），決定隨機變數分配的分散程度， β 越小則表示信用事件發生頻率之分散程. 立. 度越大，β 越大則表示信用事件發生頻率之分布越集中，而兩個尺度參數 β. ‧ 國. 學. 相同的伽瑪分配具分配加成性。 α1 決定伽瑪分配的形狀，稱為形狀參數（ shape parameter ），在由 β 支配的尺度內，若 α1 越大，機率分配集中區域. ‧. 由左邊端點漸漸往右移，直到期望值 α1 大到一個程度，伽瑪分配會近似常態分配。其機率密度函數如下圖所示：. Nat. f(x). . sit. al. n. 1.5. er. io. . y. 圖 1.1 伽瑪分配:相同尺度參數 β ，不同形狀參數 α . 2. 1. Ch. . engchi. i Un. v. 0.5. α =1,β=2 α =2,β=2 α =3,β=2 α =4,β=2 α =5,β=2. 0 . 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 圖 1.2 伽瑪分配:相同形狀參數 α ，不同形狀參數 β 3. . . 2 f(x). . 1. 0. . β=2, α =3 β=4, α =3 β=6, α =3 β=8, α =3 β=10,α =3. 0. 0.5. 1. 1.5. 2. 13. 2.5. 3. 3.5. 4.

(21) 在 λ1 為兩參數伽瑪分配假設下，混合卜瓦松可簡化為一個負二項分配（ Negative Binomial distribution ）。表示如下，推導請參照附錄 A ：. ⎛ J1 + α1 − 1⎞ t J1 β α1 (λ1t )J1 e− λ1t ) ( ) dU1 (λ1 ) = ⎜ ⎟( J1 J1 ! ⎝ ⎠ t+β t+β 0. ∞. P( J1 , t ) = ∫. J1 = 0,1, 2,... （ 3.6 ） . 在同一時點 t 下，跳躍發生次數的機率分配隨著 α 值的上升，發生少次非系統信用事件的機率會下降，發生多次非系統事件的機率會提升，機率分配右尾增厚。 β 值下降與 α 值上升有類似的效果，發生少次非系統信用事件的機率明顯的減少，發生多次非系統信用事件的機率提升，機率密度函數右尾增厚。下圖為 t = 4 時， λ1 為兩參數伽瑪分配假設下，單一標的公司發生信用事件次數的機率分配： . . 政治大. 立. ‧ 國. . a4 l. 6. n. 2. sit. io 0. y. . Ch. v 14 i n. 8 10 12 Jump number. engchi U. er. 0.1 0. . α =20,β=5 α =40,β=5 α =60,β=5 α =80,β=5 α =100,β=5. ‧. 0.2. . Nat. P(J1,t). 0.3. 學. 圖 2.1 給定不同 α ，非系統信用事件次數之機率分配(t=4) 0.4. 16. 18. 20. 圖 2.2 給定不同 β ，非系統信用事件次數之機率分配(t=4) 0.8. P(J1,t). . 0.4. . 0.2. . 0. . β=5, α =20 β=15,α =20 β=25,α =20 β=35,α =20 β=45,α =20. 0.6. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 Jump number. 14. 16. 18. 20. 系統信用事件發生頻率於本模型中給予以下兩種不同的假設：（ 1 ）假設 λ2 同樣服從兩參數伽瑪分配，與 λ1 具備相同尺度參數 β ，即 Γ(α 2 , β )。（ 2）. . 14.

(22) 假設 λ2 服從帕雷托分配 (Pareto Distribution )。當 λ2 同樣沿用 creditrisk+1997 中的伽瑪分配時，同上述對於 λ1 的推導過程可得到從時點 0 至時點 t 發生 J 2 次系統信用事件的機率如下： . ⎛ J 2 + α 2 − 1⎞ t J 2 β α 2 (λ2t )J 2 e− λ2t ) ( ) dU 2 (λ2 ) = ⎜ ⎟( J2 J2 ! t+β ⎝ ⎠ t+β 0. ∞. P( J 2 , t ) = ∫. J 2 = 0,1, 2,... （ 3.7 ） . 假設 λ2 與 λ1 具備相同的尺度參數 β 使得模型具備參數校準優點，若欲以信評資料所獲得的信用事件發生次數來估計信用事件發生頻率的參數時，由於無法區分信用事件發生由市場非系統性因素或是市場系統性因素所驅動，只能估計發生頻率之加總值，即 λ = λ1 + λ2 。多個具相同尺度參數. 政治大. β 伽瑪分配具有分配加成性，即 λ = λ1 + λ2 ~ Γ(α1 + α 2 , β ) ，因此於此分配設定下，能夠利用信評資料來估計 α1 + α 2 及 β 。進一歩將 P ( J1 , t ) 與 P ( J 2 , t ) 相. 立. 乘即可求得單一標的公司在 t 時點發生 J1 次非系統信用事件及 J 2 次系統信. ‧ 國. 學. 用事件的機率，表示如下：. ⎛ J1 + α1 − 1⎞⎛ J 2 + α 2 − 1⎞ t J1 + J 2 β α1 +α 2 ) ( ) P ' ( J1 , J 2 , t ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟( J1 J2 t+β ⎝ ⎠⎝ ⎠ t+β. ‧. J1 , J 2 = 0,1, 2,... （ 3.8 ）. y. Nat. 由於信用事件發生次數為隨機變數的假設，使得（ 3.8 ）式中所求得 t 時. sit. 點所有可能信用事件發生次數之機率總合不一定為 1 ，故信用事件發生次. er. io. 數機率分配應做如下調整： . n. al. C= P(t , J , J ) h 1. 2. i Un. v. P '(t , J1 , J 2 ) （ 3.9 ） ∑∑ P '(t , J1 , J 2 ). engchi J1. J2. 本模型對於系統信用事件發生頻率 λ2 的第二個分配假設為帕雷圖分配，為具有極厚尾性質的分配，以義大利經濟學家里歐（ Pareto Distribution ）佛雷多 . 帕雷圖（ Vilfredo Pareto ）命名。起初用於描述社會上財富在人口的分配情形，描述少數人掌握大多數財富的財富所得分配情形，帕雷圖發現人口的改變或者是對於財富的精確定義的改變並不會影響 α 2 的值。帕雷圖分配的厚尾性質於精算保險領域刻劃巨型災害的發生，用來描述地震、洪水、或火災等等事件的發生對保險公司可能造成的極大損失的情形，或是資本市場中股票價格大幅度下跌造成巨大損失的偶發情形等等。一些常見的分配如常態分配、 t 分配、伽瑪分配其厚尾性常常不足以描述巨型災. . 15.

(23) 害的發生機率，在這些分配的假設下，極端值出現的機率幾乎是零，極端值出現的機率被嚴重低估，而在具備極厚尾性質的帕雷圖分配假設下，能夠合理的描述巨型災害的發生機率。亞洲金融風暴發生時，信用事件的發生是市場中叢聚的連鎖反應，當假設系統信用事件發生頻率 λ2 為帕雷托分配時，其厚尾性能夠合理反應系統信用事件的發生次數具有密集叢聚的巨災性質，刻劃現實中發生的密集信用違約現象的可能性，改善伽瑪分配可能低估極端值發生機率的情形。雷圖分配有兩個參數， α 2 及 λ0 可表示為 Pareto (α 2 , λ0 ) ，其機率密度函數如下表示：. . 政α λ 治大立f (λ ) = λ , λ > λ ,α > 0 α2. 2. 2. 0. （ 3.10 ）. 2. Var ( λ2 ) =. α 22 λ0 ,α 2 > 2 （ 3.12 ） 2 (α 2 − 1) (α 2 − 2 ). ‧. ‧ 國. 學. E ( λ2 ) = α 2 λ0 / (α 2 − 1) ,α 2 > 1 （ 3.11 ） . sit. y. Nat. . 2 0 α 2 +1 2. er. io. 式子（ 3.10 ）中系統信用事件發生頻率有一最小值 λ0 的設定，且 α 2 >0. al. iv n C 表示期望值存在，若 α >2，則二階動差存在，圖 h e n g c h i U 3.1 為相同最小值 λ 設定下，具有不同形狀參數 α 之帕雷圖分配的機率密度函數，當 α 越小表示此 n. 為此分配的形狀參數，當 α 2 >k，表示帕雷圖分配的 k 階動差存在，若 α 2 >1， 2. 0. 2. 2. 分配的厚尾性質越嚴重，即發生極端值的機會較高，描述市場系統性信用事件叢劇發生之巨災性風險的提升。圖 3.2 為不同最小值設定下帕雷圖分配的機率密度函數，隨著最小值增加，機率密度函數中的曲線整個往右上方移動，信用事件發生的頻率整個向上提升，故較大的最小值 λ0 闡述市場整體系統性風險的增加。 . . . 16.

(24) 圖 3.1 給定不同形狀參數 α 2 之帕雷圖機率密度函數 . 20. α =1, λ0=0.20 α =2, λ0=0.20. 15. f(λ2). α =3, λ0=0.20 10. 政治大. 5. 3. ‧ 國. 0.4. 0.45. 0.5. 0.55. 0.6. 0.65. 0.7. α =1, λ0=0.20. y. sit. α =2, λ0=0.20. al. er. α =3, λ0=0.20. n. 4. 0.35. λ2. io. f(λ2). 5. 0.3. Nat. 6. 0.25. ‧. 7. 立. 學. 0 0.2. 2. Ch. engchi. i Un. v. 1 0 0.25. 0.3. 0.35. 0.4. 0.45. 0.5. λ2. . . 17.

(25) 圖 3.2 給定不同最小值 λ0 之帕雷圖機率密度函數 45 40. α =2,λ0=0.05. 35. α =2,λ0=0.10 α =2,λ0=0.15. f(λ2). 30. α =2,λ0=0.20. 25 20 15 10 5 0. 立. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. λ2. 學. ‧ 國. 0. 政治大. . 給定 α 為任意正整數，時點 0 至時點 t 發生 J 2 次系統信用事件的機率分. ∞. ∫x λ. J 2 −α 2 −1 − x. e dx , J 2 = 0,1, 2," （ 3.13 ） . y. Nat. α 2 λ0α 2 t α 2 ((λ2t )J 2 e − λ2t P( J 2 , t ) = ∫ dU (λ2 ) = J2 ! J2 ! λ0. 0t. sit. ∞. ‧. 配表示如下，推導過程請參照附錄 B ： . al. er. io. （ 3.13 ）式中右邊為一不完整伽瑪函數（ Incomplete Gamma function ），依. v. n. J 2 − α 2 可能的三種情況（正數、零、負數）可將（ 3.13 ）式分別如下表示： . Ch. engchi. i Un. J 2 −α 2 −1 ⎧α 2 λ0α 2 t α 2 (λ0t )k − λ0t ( ) Γ − J α e for J 2 − α 2 > 0 ( 3.14.1 ) ∑ 2 2 ⎪ ! ! J k = 0 k 2 ⎪ ⎪⎪ α λ α 2 t α 2 P ( J 2 ,t ) = ⎨ 2 0 E1 (λ0t) for J 2 − α 2 = 0 ( 3.14.2 ) ⎪ J2 ! α 2 − J 2 −1 ⎪ α λ α 2 t α 2 (−1)α 2 − J 2 (−1)k k ! [ E1 (λ0t ) − e− λ0t ∑ ] for J 2 − α 2 < 0 ( 3.14.3 ) ⎪ 2 0 k +1 ⎪⎩ J 2 ! (α 2 − J 2 )! k = 0 (λ0t ). ∞. （ 3.14.2 ）及（ 3.14.3 ）中的 E1 (λ0t ) = ∫ x −1e −( λ0t ) x dx 為指數積分（ Exponential 1. Integral ），相同的步驟，計算岀 P ( J 2 , t ) 後即可得到聯合信用事件次數機率分配 P ( J1 , J 2 , t ) 。 . . 18.

(26) 3.3. 違約叢聚性與信用事件危害程度 . 債權群組中各標的之動態存活機率分別由市場系統性因素所引發的信用事件及公司個別之非系統性因素所引發的信用事件共同支配，系統性信用事件發生頻率的提高表示單位時間內發生的系統性信用事件增加，債權群組內的每一個標的資產皆同時受到波及，此時整體的違約機率會因此而上升；反之，系統性信用事件發生頻率的下降，表示單位時間內系統性信用事件減少，債權群組整體的違約機率下降，故系統性信用事件發生頻率與因子模型中相關係數角色類似。 . 政治大. 此外，系統性信用事件對於分券的危害程度為單一信用事件對資產違約發生機率的增幅，在 Hull and White（ 2008 ）中，假設信用事件發生頻率. 立. 為常數時，由市價反推的信用事件危害程度與因子聯繫模型中的隱函相關. ‧ 國. 學. 係數（ Implied Correlation ）有相同走勢，顯示違約的叢聚性可由信用事件的危害程度反應。信用事件危害程度增加反應的是集體違約機率的提高，. ‧. 不同於因子模型的相關係數，僅隱含高相關係數之高集體違約的可能性，並不會提高集體存活機率，故信用事件危害程度描述的是違約相關性中可. sit. y. Nat. 能發生集體違約的部分。 . er. io. 故危害程度 H 的增加和系統性信用事件發生次數增加對於違約機率的提升有類似的效果，引此違約發生的叢聚性應由系統性信用事件發生頻率. n. al. Ch. 的提高或危害程度的上升來觀察。 . . 3.4. engchi. i Un. v. 聯合損失分配 . 信用擔保債權分劵之合理信用價差評價關鍵為債權群組內聯合損失分配的建立，債權群組中各標的之違約關聯性的設定延伸因子聯繫模型中條件獨立的概念，在給定系統信用事件次數 J 2 下，假設債權群組中單一標的公司在 t 時點之動態存活機率彼此獨立，當系統性信用事件 J 2 發生次數密集時，債權群組內所有標的公司違約機率同時大幅提升，造成當期債權群組內高違約相關性。條件獨立假設與自身傳染效果並不衝突，自身傳染效果. . 19.

(27) 顯現在信用事件 J1 、 J 2 發生之機率的提高，故在給定相同的系統信用事件次數 J 2 下，各標的公司之存活機率彼此獨立。條件獨立假設下，債權群組之整體違約機率由個別資產標的之違約機率相乘，故在 t 時點發生 J1 次非系統信用事件及 J 2 次系統信用事件的情況下，有債權群組內 N 個標的公司中有 n 個標的公司違約的機率表示如下： . Φ(n, t | J1 , J 2 ) = b(n , N ,1 − S (t , J1 | J 2 )) （ 3.15 ） N （ 3.15 ）式中 b(n, N , p) = ( ) p n (1 − p)N − n 為一個二項式，表示給定 J 2 的情 n 況下，各個標的之存活機率彼此獨立，此外給定 J 2 的存活機率 S (t , J1 | J 2 ) 即. 政治大. 為 S (t , J1 , J 2 ) 。市場系統性因素同時影響著債權群組中的所有標的之存活機率，如市場利率非預期大幅上升、天然災害的發生導致普遍性的損失、通. 立. 貨膨脹、市場景氣循環、匯率的變動皆可能為造成系統性信用事件的發生. ‧ 國. 學. 原因，受到系統性信用事件的影響，債權群組內的標的公司之動態存活機率皆因而下降，存活機率下降的幅度除了受到該次信用事件發生次數影響. ‧. 外，危害程度增加亦使存活機率下降幅度增加。非系統性因素引發之信用事件在只對該單一標的之動態存活機率造成影響，如 A 公司之跳票事件， B. y. Nat. 公司受到該原物料價格非預期上漲而導致成本標漲，盈餘受到嚴重壓縮甚. n. al. Ch. er. io. 用事件在不同標的公司間具備獨立的特性。 . sit. 至虧損，C 公司發生高層挪用大筆公司資金等，故由非系統性因素引發之信. i Un. v. 根據各分券的損失始賠點 aL （ attachment point ）及損失止賠點 aH. engchi. （ detachment point ），可得到各分券在 n 個標的發生違約的情況下所剩餘的單位本金如下（假設分券期初本金為 1 元）： . w(n) = min(max(. aH − n(1 − R)/ N , 0),1), n ≤ N , 0 ≤ R ≤ 1 （ 3.16 ） a H − aL. （ 3.16 ）中 R 為回復率（ Recovery Rate ），當違約發生時，分券持有人在期初投入每單位本金能夠拿回 R 單位，損失 (1 − R ) 單位，本文假設債權群組內的組成標的具備同質性，故單一標的公司違約時造成的損失比例同為 n(1 − R)/ N 。剩餘單位本金 w(n) 依損失比例是否落入該分券所提供的信用保護層可分為三個階段，第一個階段當損失程度尚未觸及損失起始點 aL （即 n(1 − R)/ N ≤ aL ），該分券的剩餘單位本金保持為 1，並未侵蝕該分券的. . 20.

(28) 本金。第二階段當分券損失程度介於損失起始點 aL 與損失停止點 aH 之間（ aH ≤ n(1 − R)/ N ≤ aH ），該分券的剩餘單位本金隨著由發生違約家數 n 增加而下降，該分券本金漸漸流失。第三階段當分券損失比例已超過該分券損失停止點時 n(1 − R)/ N ≥ aH ，分券本金已損失殆盡，故隨著違約家數 n 的增加，剩餘單位本金 w(n) 保持為 0。根據（ 3.15 ）式的聯合違約機率後及 w(n) ，可計算出給定非系統性信用事件及非系統性信用事件次數 J1 、 J 2 的條件下，該分券在 t 時點的期望單位本金如下： N. E (t | J1 , J 2 ) = ∑ Φ(n, t | J1 , J 2 )w(n) （ 3.17 ） n=0. 接著針對（ 3.17 ）式中條件期望單位本金（ conditional expected priciple ）. 政治大即可推得無條件下 t 時點該分券期望單位本金：立. E (t | J1 , J 2 ) 所給定的信用事件發生次數發生機率 P ( J1 , J 2 , t ) 乘積進行加總，. ‧ 國. J1. J2. 學. E (t ) = ∑∑ E (t | J1 , J 2 )P(t , J1 , J 2 ). （ 3.18 ） . ‧. 假設分券付息日為 t0 , t1 , t2 "t K ， t0 = 0 ，故分券剩餘單位本金 E (t = 0) 在期初為 1 ，隨著時點的推移，分券剩餘單位本金因為違約的發生漸漸減少。. y. Nat. sit. 信用擔保債券分券信用價差 s 決定於未來可能現金流入與現金支出折現. er. io. 值，對於分券持有人，即信用保護賣方而言，未來的現金流入現值是在各個付息日 t0 , t1 , t2 "tm 依據分券的剩餘本金乘上信用價差 s 折現後的加總，假. n. al. Ch. i Un. v. 設違約發生於兩個付息日之中點時，需加入應計利息（ Accural Interest ）項. engchi. 目，即因違約造成剩餘單位本金的減少價值與信用價差 s 相乘後再以相鄰付息日中點 tti = 0.5(ti −1 + ti ) 折現，分券持有人的現金收入即為此即為信用保護買方應支付之金額（ Payment Lag ），表示如下： m. PL = s ∑ (tk − tk −1 )[ E(tk )v(tk ) + [ E(tk −1 ) − E(tk )]v(ttk )], ttk = 0.5(tk + tk −1 ) （ 3.19 ） k =1. （ 3.19 ）中的 v(tk ) 為折現因子，其中分券信用價差 s 及付息日皆於契約初期已確立，故分券持有人現金收入端的不確定因素來自於各付息日分券剩餘價值的變動。作為信用保護賣方的分券持有人的現金支出端為違約造成分券期望剩餘本金減少的折現（ Default Lag ）： . . 21.

(29) m. DL = ∑[ E (tk −1 ) − E(tk )]v(ttk ) （ 3.20 ） k =1. 令期望收入等於期望支出 PL = DL ，即可求岀信用債權群組各分券之合理信用價差 s ，表示如下： m. s=. ∑ (t k =1. k. − tk −1 )[ E(tk )v(tk ) + [ E(tk −1 ) − E(tk )]v(ttk )] （ 3.21 ） . m. ∑[ E(t k =1. k −1. ) − E(tk )]v(ttk ). . 3.5. 參數校準 . 立. . 政治大. ‧ 國. 學. 本文以動差估計法對於信用事件發生頻率之分配參數進行估計，利用一段時間內觀察所統計之信用事件發生次數，來估計「發生頻率」‐ 單位時間內. ‧. 信用事件發生次數的參數分配，欲利用信用評等機構統計資料進行估計時，只能夠觀察到系統性及分系統性信用事件發生次數總合，對於每次信. y. Nat. sit. 用事件的發生並無法區分其發生原因，只能得知發生次數（頻率）之加總. er. io. 值，即 λ = λ1 + λ2 ，故當系統性及非系統性信用事件為兩個具同尺度參數 β 之伽瑪分配時，分配具有加成性，信用事件發生頻率總合即可表示為. n. a. v. l為 λ = λ1 + λ2 ~ Γ(α1 + α 2 , β ) ，此 C 應用參數估計法時n信i 用評等機構資料的限. hengchi U. 制，雖然無法分別估計岀 α1 、 α 2 ，但是可以估計岀其加總值。信用事件發生次數總合 J = J1 + J 2 的機率分配可表示為混合卜瓦松分配： . ⎛ J + α − 1⎞ t J β α (λ t )J e − λt dU (λ ) = ⎜ ) ( ) ⎟( J ! β β J t + t + ⎝ ⎠ 0. ∞. P( J , t ) = ∫. J = 0,1, 2,... (3.22). 其單位時間事件發生次數（事件發生頻率）之一階動差及二階中央動差為： E (λ ) =. . α α , Var (λ ) = 2 β β （ 3.23 ） . 22.

(30) 經由（ 3.23 ）式以動差估計法即分別估計岀 αˆ 及 βˆ ，如下表示： E (λ ) = ∑ i. Var (λ ) = ∑. λi N. ( λ − λˆ ). i. αˆ βˆ. (3.24). αˆ = 2 βˆ. (3.25). = 2. i. N. . 當系統性信用事件與非系統信用事件分別假設為不具有相同尺度參數. β ；或系統性信用事件發生頻率假設為帕雷圖分配，非系統性信用事件發生頻率假設為伽瑪分配時，兩個分配不具有上述性質故無法以信用評等資料估計分配參數，此為參數估計上的限制。. 政治大. 本章論述模型假設下之建構理論及步驟，推導出信用債權群組之各分券合理信用價差，並提供可行之校準方法，第四章將詳細說明如何利用實. 立. 際信用評等資料及市場價格進行參數校準之數值分析結果，進一步比較不. . y. sit er. al. n. . io. . Nat. . ‧. . ‧ 國. 敏感度分析。 . 學. 同時期之市場價格與模型校準結果彌合度與其所隱含的意義，及各參數之. Ch. engchi. . . 23. i Un. v.

(31) 第 4章. 數值結果與分析 . 本章運用第三章所建立的評價模型，對於 iTraxx Europe tranche 之市場價格進行評價，參數校準及相關之數值分析。 iTraxx Europe 又稱作 Master . Inde x，由歐洲區最具流動性的 125 個信用違約交換標的（ credit default swap ）組成，故並不包含如奇異家電（ GE ）、通用汽車（ GM ）、福特汽車（ Ford ）等非歐洲區之標的，並排除 Baa3/BBB‐ 等級以下（含）具有負向觀. 政治大. 望之標的，每個標的公司占有相同的比重，風險程度相當分散。下表為 2007 年 1 月 30 日之市場價格： . 立. 學. ‧ 國. 表 1：iTraxx Europe 2007 年 1 月 30 日市場價格 . 5 年 (b.p.) 7 年 (b.p.) 10 年 (b.p.) . aH(%) . 0 . 3 . 10.25(%). 24.25(%). 3 . 6 . 42.00 . 106.00 . 6 . 9 . 12.00 . 31.50 . 12 . 5.50 . 14.50 . 38.25 . 22 . 2.00 . 5.00 . 13.75 . 23.00 . 31.00 . i Un. 42.00 . C h. engchi. 316.00 . y. 82.00 . sit. er. al. n. Index . io. 12 . 39.30(%) . ‧. 9 . Nat. aL(%) . v. 表 1 中除 0%~3% 之權益分券外，分券持有人於分券每個付息期間依該分券剩餘本金收取由市場所決定之信用價差，如 7 年期 3%~6% 之權益分券持有人每單位剩餘本金於每期可收取 106 基本點（ b.p; basis point ）之利息。 0%~3% 之權益分券市價表示方法不同於其他分券，以契約初期信用保護買方須支付信用保護賣方（即分券持有人）之本金的百分比例表示，稱為初期費用（ Up Front Fee ），此後之付息期間皆依該分券剩餘本金收取固定 500 基本點之利息，如 5 年期 0~3% 分券之市場價格為 10.25% ，表示契約期初分券持有人即可獲得該分券本金 10.25% 的比例，後續付息期間固定獲得依剩餘本金之 500 基本點的利息收入。此初期費用主要於保障信用保護賣方在契約初期尚未獲得任何信用保護買方所支付之費用（即利息），即因債券群組之違約事件導致分券本金損失之風險。故當模型計算出每期合. . 24.