鼓勵主動思考。透過各種策略讓學生進入問題情境。
規劃學習活動（plan the specific learning activities）：甚麼樣的活動可以吸引學生的目光？有哪 些不同的方式可以描述主題？如何讓學生投入活動？
測試學生的理解程度（plan to check for understanding）：不時關注學生是否實際投入學習活動？
準備幾個問題以檢測學生的理解程度？試想學生可能的回答？
準備結語與預告（develop a conclusion and a preview）：簡單扼要地複習與概括整個學習活動的 重點。可以由教師起頭，後續邀請學生回答，或是請學生記下他們今天所學習到的東西，並 透過反問確認學生的理解程度。
設定進程時間表（create a realistic timeline）：列出學習目標的優先順序後，估算每個活動流程 所需時間。
況，發現大多數參與學生都能學會魔術技巧，並引發學習數學的興趣，但大多數學生仍在符號 表達與操作上有困難。本教案搭配八年級之「等差數列」單元，教案學習目標為讓學生透過魔 術去認識等差數列，從中體會等差數列的規律，藉由學習數學魔術，進而培養學生歸納推理的 能力，提升其數量與代數素養。本教案之開場白即利用撲克牌展示數學魔術，讓同學欣賞新奇 的魔術，藉由詢問「魔術如何變的？」問題，啟發同學思考，引發學習數學的動機。
（一）教案內容
1.魔術活動 1-聽牌術：本數學魔術參考林壽福與吳如皓所合著「數學魔術：27 個數學概念奇蹟」
之聽牌術（林壽福、吳如皓，2009）。教學者拿出一副撲克牌，隨機選取一位學生，將牌展開 讓學生從中任意抽取一張，之後請學生將牌展示給全場同學看，但不可讓教學者看到或知道，
請同學記好抽取張的花色和點數後，將牌蓋起來。教學者此時拿起手中剩餘牌湊到耳朵「聽」， 即能講出被抽走的牌之花色和點數。教學者再隨機選取兩位學生，利用同一副牌再展演數學魔 術兩次。魔術表演完後，詢問「魔術如何變的？」先鼓勵同學發問，與同學一起討論，引發興 趣，但先不破解魔術。
2.魔術活動 2-鐵支術：教學者繼續利用同一副撲克牌，問在場同學，玩撲克牌遊戲時最喜歡拿到 哪一種「鐵支（four of a kind）」，即四張花色不同點數相同的牌，在教學者將撲克牌依序發成 三份，再依序合併，連續做兩次後，即可依牌型抽出同學指定的鐵支。魔術表演完後，也是鼓 勵同學發問，與同學一起討論。
3.破解魔術：讓同學試著去分析其中的可能，討論魔術中可能用到的數學。經過一番討論後。展 示魔術所利用的撲克牌（圖 5），讓同學觀察其中點數的數列規律與花色的規律，破解兩套魔 術的原理與技巧。第一套魔術的數量與代數原理為除了四種花色規律排列外（依序為黑桃、紅 心、梅花、方塊），撲克牌點數形成公差d=3 的等差數列（A, 4, 7, 10, K, 3, 6, ……，圖 5），因 為撲克牌點數為 A、2、…、J、Q、K，活動中教導同學模數（modulo）概念，瞭解一個數除 以另一個數的餘數，本次模數為16≡3 (mod 13)。瞭解撲克牌排列規律後，進行魔術表演時，
表演者即可透過觀察被抽走的前一張牌，運用撲克牌規律歸納推理做成功預測。第二套魔術運 用同一套牌，先將撲克牌依序分三份，輪流發牌，全部發完後，依分牌順序將三份牌合併，即 可將撲克牌點數變為公差 d=3×3=9 的等差數列。接著重複一次，再將撲克牌依序分三份，即 變為公差d=3×9=27 的等差數列，而公差 27≡1 (mod 13)。因此經過兩次將撲克牌依序分三份 方式，即可洗出公差d=1 的等差數列，即撲克牌呈連續點數，接著只要依序抽出同學指定的鐵 支，即可完成鐵支術魔術表演。
圖 5 具數學規律的撲克牌
4.測試學生的理解程度：經歷上述等差數列與模數規律說明後，讓同學動手排牌實際運用花色規 律與代數等差原理排出可以變魔術的規律牌，觀察同學排牌歷程，瞭解學生是否實際投入教案 學習活動與對等差概念的理解。
5.實際演練：請同學分組演練兩套魔術，最後並請一位同學上台表演，隨時抽問學生，以檢測學 生的理解程度，並從中提醒表演魔術的一些細節。
6.準備結語與預告：最後簡單扼要地複習整個數學魔術教案活動的重點，邀請學生回饋今天所學 習到的東西，並透過反問確認學生的理解程度。再運用數學規律，教授如何最快排出有規律的 魔術道具牌。最後連結八年級之「等差數列」單元，讓同學覺知「等差數列」在魔術中的運用。
（二）教案核心概念
1.請同學動手做將普通的撲克牌變成有規律的魔術道具牌，在這悅趣化學習歷程中，同學運用所 得到的經驗去觀察分析等差數列，從中體會數列的數學規律，培養學生歸納推理的能力。
2.請同學分組演練魔術，讓同學運用等差數列與花色的規律，學習從上一張牌歸納推理出被抽的 牌，根據數量及代數知識、運用數量及代數技能、並藉由適當資訊，去描述、模擬、解釋與預 測各種現象（數量與代數素養），讓學生體會與運用規律做預測的經驗。
3.讓同學藉由兩套魔術的表演，跳脫學習數學刻板印象，從遊戲中學習，瞭解數學的不同面向，
體會悅趣化學習與傳遞歸納思考的數學文化。
（三）教案實施過程探究
這份教案有兩節課，雖然時間簡短，我們從學生上課反應、學習心得與回饋單做觀察與分 析。在現場教學觀察中，雖然大部分同學都能運用等差數列、花色差異與模數概念排出可以變 魔術的規律牌，但實際觀察仍有少數同學無法順利排出規律牌，經由一對一個別指導，引導其
發現排牌中的迷思與錯誤，最後也能完成撲克牌排序。回饋單兩個題目「這次教學活動是否有 助於你對等差數列單元概念的理解？」與「這次教學活動是否能引起你對等差數列單元的學習 興趣？」均獲得全班 26 人（100%）認同，學生的理解程度可由質性回饋意見瞭解，如同學陳述
「此次的活動讓我對等差數列有更加的認識，還學習到如何在生活中與活用。」、「發現數學更 多有趣的地方」、「這次活動有助於我對等差數列的了解並活用此觀念。」、與「用撲克牌改變我 對等差數列的計算思考。」等，由此可以發現所開發之悅趣化學習「數學魔術」教案教學的確可 以增進學生對於等差數列單元概念理解與學習興趣，培養學生歸納推理的能力，進而運用數學 規律，實際表演魔術。
（四）檢討與反思
根據整個教案實施情形和同學回饋單的反應可以看出，教學者與同學在課堂上的互動相當 熱絡，本份教案確實可以引起同學數學學習興趣，並提升等差數列單元概念的理解與學習興趣。
研究結果顯現所開發教案可以有效引發學生學習興趣，協助其瞭解教案之數學概念，最後運用 數量與代數素養理解活動背後之數學意涵。相同的教案，作者也在其他三所國中進行過實驗教 學，反應與回饋大都是正面的，可見運用數學規律展演魔術，確實有其教學成效。教育不是注 水入壺，而是點亮蠟燭。運用兩節課玩數學魔術的教案，或許一些教師有時間上考量，可能不 會採用，但教學有時「少即是多」，依據 TIMSS 調查，臺灣「數學教學吸引學生投入的程度」
數據百分比低於國際平均，我們理應轉變觀念，將數學教育提升到數學文化教育的層面，適時 利用玩中學提升學習興趣，引領學生數學文化經驗的累積，讓學生體驗數學的過程和樂趣。如 同一位同學回饋單中陳述「這是我第一次覺得數學這麼有趣，平常都覺得很困難，謝謝老師。」
顯現此開發悅趣化學習教案的價值。
二、「中國益智遊戲九連環」教案
九連環（Chinese ring）（圖 6）是一種中國古典的數學遊戲，這種傳統玩具在民間極為普及。
它包含著九個相同的圓環及一把「劍」柄，目的是把九個圓環全套上或卸下。因為「九連環」可 以透過實際操作，培養學習者觀察、探索、發現、分析、溝通、論證與問題解決之能力。搭配 10 年級之指數、數列、級數與遞迴關係。本教案學習目標為透過動手操作中國益智遊戲九連環，
分組合作觀察、紀錄與分析解九連環的技巧與策略，在這悅趣化學習歷程中，同學運用所得到 的經驗去體驗遞迴關係，從中體會九連環數學規律，利用指數、數列、級數等數學工具從而歸 納推理出代數遞迴式，進而提升其數量與代數素養。
圖 6 九連環
（一）教案內容
1.教學活動：教學者透過拿出中國益智遊戲九連環做出開場白詢問學生「有沒有玩過九連環？」
接著講演九連環歷史與示範操作九連環，讓同學瞭解九連環的兩個基本動作。
（1）下環：把環從劍柄上卸下的動作，也就是把環從劍柄脫下，再從上方通過劍柄中間卸 下。這一個動作除第1 環可隨時上、下劍柄外，其餘的環因為有別的環扣住，
所以都無法卸下。如果前面有一個鄰接的環已經套在劍柄上，且所有前面的環 僅有這個在劍柄上時，那麼只要把這一個環暫時移到劍柄頭前面，讓出劍柄頭 來，後一個環就可以從上而下通過劍柄中間卸下，之後再將前一環恢復原位就 完成下環動作。如圖7 第 1～3 環在柄下，第 4～6 環在柄上，第 4 環為柄上第 一個環，此時將第4 環暫時移到劍柄頭前面，讓出劍柄頭來，第 5 環就可以從 上而下通過劍柄中間卸下。
圖 7 第 5 環下環簡圖
（2）上環：就是把環套到劍柄上的動作，只要按照上法還原，把環從下向上通過劍柄中間 套在劍柄頭上即可。如圖8 第 1～3 環在柄下，第 4 環為柄上第一個環，此時 將第4 環暫時移到劍柄頭前面，讓出劍柄頭來，第 5 環就可以從下向上通過劍 柄中間套在劍柄頭上。