• 沒有找到結果。

本研究開發了高中階段的「托勒密定理與和角公式」教案、國中階段的「最大公因數」教 案、國小階段的「分數與十進位制小數」教案,皆依照HPM 實作之模型進行。以「托勒密定理 與和角公式」教案的開發為例,一般教師教學都聚焦在C1循環,在單元擷取的過程,研究團隊 認為三角學及其相關公式的主題,往往是學生學習困難的單元,學生們對於許多三角公式的了 解和使用都有障礙,此時正是數學史融入數學教學的適當時機。在數學的發展歷程中,希臘天 文學家及數學家托勒密(Claudius Ptolemy)用數學捕捉星空的規律,其所發想的托勒密定理可 以說是三角學的結晶(蔡聰明,2003),因此研究者與研究團隊進行文本分析,進入C2循環尋找 相關史料,針對「托勒密定理與和角公式」教案,研究團隊首先藉由數學普及讀物《數學拾貝》

(蔡聰明,2003)中的相關章節,對托勒密定理脈絡有一個通盤概略的了解,接著直接搜尋數 學史文本,藉由網路資料(http://www.univie.ac.at/hwastro/rare/1515_ptolemae.htm),查閱托勒密 Almagest(1515 年版)著作,做更細緻的布置鋪排。在自我詮釋階段,研究團隊考量十二年國 教數學課綱以及相關數學史料,思索如何將數學史料轉化為教學素材,編製成教案後再進行於 教學。關於詳細教案內容及實施情況,研究者將於以下篇幅分別加以闡述。

一、「托勒密定理與和角公式」教案實施分析

三角學的發展源於人類的需求,現今高中階段所討論三角比的許多性質和公式,其實遠在 希臘時期就被發現並且使用。「托勒密定理與和角公式」教案的設計理念就是想回歸到三角學發 展的歷史脈絡,讓學生理解三角學的發展來自人類對於量天測地的需求,希望透過有脈絡意識 的問題設計,讓學生體會三角學的幾何面向。

研究團隊成員蒐集、研讀與討論相關的數學史文獻,希望透過學習工作單的設計和引導,

讓學生了解本單元。本份「托勒密定理與和角公式」教案的主要目標在於托勒密定理的性質與 證明,以及利用托勒密定理證明和角公式。在發展階段中,本教案在介紹和角公式的主題上,

就以托勒密的天文學為背景,闡述在編製弦表的需求下,自然而然會需要和角公式。接著教師 提問托勒密究竟如何解決這個問題,推導出和角公式?引動學生的好奇心,順勢介紹托勒密定

理,再延伸出和角公式事實上就是托勒密定理的應用。

此份學習工作單共設計六個問題。首先描述歷史脈絡,希臘的天文學家托勒密(西元前110 年到170 年),在西元150 年左右出版十三冊的數學文集,蒐集當時已知的數學與天文學知識,

成功地描述行星運動現象,鞏固了地心說。後來,這套書傳到阿拉伯,被阿拉伯人稱為《天文學 大成》(Almagest, The Great Treatise),又再傳回歐洲,直到文藝復興初期,托勒密的地心說都是 天文學的典範。當時的希臘人已經體認到,不管是天文學「測星」或幾何學「測地」都需要知道 各種圓心角所對應的弦長。問題一到問題三,是讓學生了解圓的弦長和圓心角、圓周角的彼此 對應關係,強化他們所學的三角函數定義和正弦定理的幾何意義,進而在弦表編製的目的下,

知道和角公式的必要性。

問題四則是托勒密定理的介紹,這個定理所需的知識是國中所學習的歐氏幾何,設計成閱 讀填空的形式,引導學生一步步完成填答,就能理解托勒密定理的證明。問題五和問題六就是 利用托勒密定理推導出和角sin(α+β)、cos(α+β),以及差角 sin(α–β)、cos(α–β),學習工 作單詳細內容請參閱附錄。

在課堂實施情形上,研究團隊依照班級學生特性,以兩種方式施行。第一種是問題一到問 題三,以課堂發問,學生回答,由於這些問題和前面單元相關,學生很快就回答出正確答案。問 題四關於托勒密定理的證明,由於設計成閱讀問題,學生只要能順著文章引導下來,都能了解 托勒密定理的內容和證明,因此本題是讓學生分組討論,再請學生上臺說明答案和解釋原因。

問題五由老師進行講解,帶領學生完成各小題的回答。問題六再由學生分組討論,並上台說明 答案和解釋原因。同時,教師在課堂全程使用電腦輔助圖形的呈現,讓學生能直接看到教師或 同學講解所指涉的圖形,能順利溝通,並且於過程中不需重新畫圖,節省時間,將本教學活動 控制於一節課完成。由於此六個問題都是有正確答案的選擇或填充題,教師在課後收回進行批 閱,由學生作答的狀況來看,都充份理解整個學習單的問題。學生也在之後的學習意見表寫下

「比起純粹背下公式,這樣的學習方式似乎更加有趣,也讓人有較深印象。」、「第一次知道可 以用別的定理證和角公式,引發我們思考。」、「比課本寫得更容易理解。」等回饋。

第二種教學方式是由於教師認為班級學生特性缺乏共同討論的氛圍,沒有採用較花時間的 分組討論方式,而是以個人自主學習以及回答問題的方式進行。在進入和角與差角公式單元的 第一節課,教師以此份學習工作單代替課本教材進行教學與學習。於上課時,教師先說明學習 工作單的學習目的及脈絡,接著以加分為誘因,每一個問題先讓學生自行閱讀與思考作答,接 著每個小題再讓全班學生進行搶答;配合平板教學,在每個問題的圖形之中填入答案,並在每 個問題回答完畢之後歸納此問題的目標與結論。

在實施的過程中,由於問題難度不高,又有加分的誘因,因此學生回答頗為踴躍,能自己

思考出問題的答案並進行回答,順利達成教學目標。藉由學習工作單的設計,讓學生練習在圖 形中以正弦與餘弦表示邊長,實驗教師認為這一點恰好是該校學生在傳統教學普遍不易學習的 地方。此外這份學習工作單利用幾何的方式讓學生學習和角公式與差角公式的證明,在教學過 程中,教師觀察到學生的參與度比往年要來得高,課後的反應回饋也都認為比較曉得三角函數 的作用,大都有正面的回饋。不過教師也反思以這樣的方式進行,完成整份學習工作單需要花 費比一節課還要多一點的時間,如果教學進度趕不上的話,會覺得時間不夠,但在下一年度的 課程中,實驗教師就以一節課的時間完成本份學習工作單的教學。

此份教案將和角公式放在托勒密編製弦表的脈絡下,進而引出學習和角公式的必要性,以 及希臘數學家如何推導出和角公式。對於這樣的學習安排,學生普遍能夠接受,也認為能提昇 他們學習和角公式的意願,例如「我覺得這個課程很有趣,也幫助我更加了解和角公式。許多 人都認為公式要死背,但透過此課程,可以發現公式應是用推論並慢慢思考理解,而不是靠硬 記。」。針對此份學習工作單對和角公式課程的學習效果部分,學生大多給予正面的肯定,由學 生實地填寫的回饋也可發現,以這樣的方式進行和角與差角公式的課程內容,學生比較能由幾 何意義中體會公式的由來、公式的涵義與公式的學習目的,可以強化此單元的學習動機。實驗 教師也認為就進行期間同學的反應來看,由於問題難度不高,同學皆能自己思考出問題的答案 並進行回答,可順利達成教學目標。本份教案於台北市兩所高中實施,經過 166 位高二學生的 教學實驗及回饋問卷,有 83.7%的學生認為此課程能幫助他們了解和角公式的原理,由於學習 工作單讓學生必須藉由閱讀,實際參與推導過程理解公式,也有 75.9%的學生認為此課程能提 升他們思考與分析的能力(Su, Su, & Su, 2018)。

參與教學實驗的教師也表示,現行教材在三角學的「和差角公式」單元的課程設計,通常 都是以代數的操作為主,如果依課本內容進行教學,學生很容易失去興趣,認為只要把公式背 起來即可,而不管和角差角公式還有什麼意涵,同時在學習的動機方面也需要靠教師個人補充。

藉由這份學習單,可以讓學生回到三角函數之所以誕生的脈絡(圓內接三角形與四邊形),利用 這樣的幾何圖形讓學生實地「看到」正弦與餘弦對應的線段,以及從圖形中理解在和角公式與 差角公式中正弦與餘弦的關係。同時教案引用的托勒密定理以及問題設計的難度,並不會造成 學生的學習負擔,可以在實施過程中輕易地達成本單元的教學目標,學生也有另一種學習體驗。

另一位教師也觀察到實施這份學習工作單時,因為跟以往的學習經驗不同,感覺學生比較有參 與感,能融入在教學活動中,有些學生可以明顯發現認真在思考學習。不過教師也認為如果有 更充分的時間學生會學習得更完整,因為進度壓力,無法挪出太多時間有點可惜。

二、「最大公因數」教案實施分析

本研究團隊成員針對國中數學主題,蒐集、研讀與討論相關的數學史文獻,藉由《九章算

術及其劉徽注研究》(李繼閔,1998)的參考以及《九章算術》原典的資料剪裁,完成「最大公 因數」國中數學史素材的開發及相關教案設計。在國中一年級的數學教科書中,編入了利用標 準分解式和短除法兩種方法求出給定兩數的最大公因數。「最大公因數」教案主要是介紹第三種 求最大公因數的方法,也就是中國算書《九章算術》中的「更相減損法」。

「最大公因數」教案的教學目標是(一)介紹《九章算術》中的「更相減損法」,一種求最 大公因數的做法。(二)讓學生能認識《九章算術》,並透過「更相減損法」的例子,讓學生對於 最大公因數的性質有更多的認識。

關於學習工作單的布置,問題一首先讓學生利用標準分解式和短除法求18 與 10 的最大公 因數,接著進行下面活動:

(1)準備一張長 18 公分,寬 10 公分的長方形紙片,將短的一邊對摺到長邊,使得邊緣對齊,

摺出一個最大的正方形。

(2)將多餘的長方形紙片用剪刀剪下(或用尺撕下)。

(3)對剪下(或撕下)的長方形紙片重覆步驟(2),直到剩下的紙片為正方形為止。

然後教師讓學生思考此活動所獲得的結果與問題一的關聯。

接著教師介紹中國古算書《九章算術》,本書成書大約在西漢末年,內容分成方田、栗米、

衰分、少廣、商功、均輸、盈不足,方程、勾股等九章,共246 個問題。由於《九章算術》是許 多中國古代數學問題的源頭,吸引許多數學家深入研究,並且以術文統率應用問題的體例成為 後來數學著作的典範,這使得《九章算術》深刻影響後來中國數學的發展(李繼閔,1998)。《九 章算術》一書中曾介紹求最大公因數的方法,安排於學習工作單之問題三。

為了讓學生評鑑文本內容,學習工作單接著詢問學生是否贊成劉徽的說法,並請他們說出 理由。問題四是讓學生分別利用標準分解式、短除法及更相減損法三種不同的方法,求 (180, 126) =?接著請學生比較這三種方法,挑出最喜歡的一種作法,並說明理由。

本教案於國中實作,實驗教師對於「教案說明是否清楚?」以及「教案是否易於教學實施?」

等問題,都表示「很同意」之評價。至於「教案是否符合教學目標?」、「教案是否幫助學生理解 教材單元中的教學概念?」、「學習工作單問題陳述是否清晰易懂?」、「是否能經學習工作單達 成教案設計教學目標?」,以及「學習工作單是否幫助學生了解數學的歷史文化面向?」等問題,

實驗教師也都給予「同意」的回應。

此外,針對課堂實作,實驗教師也給了一些心得及建議。關於問題二,實驗教師觀察班上 有將近一半的學生,是先填完所有空格才開始動手操作,先動手操作的學生,後來也幾乎都是 直接就學習單上所給的圖形來填答。實驗教師認為「似乎對學生而言,這樣的『具體操作』沒有 絕對的必要性?」,也因此,實驗教師建議改為直接在學習單上給學生空白圖形,然後讓學生進