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本研究由師資培育者及在職教師共同討論研發適用於十二年國教之數學史教材,關於「如 何開發配合十二年國教數學課綱內容之數學史教案?」之研究問題,從本研究中,我們發現可 以依照HPM 實作模型,並考慮 Fink(2003, 2005)所提的三大因素進行數學史教案的開發。也 就是在學習目標上,於C1思考單元主題在12 年課綱的學習重點及教科書之編排設計,於 C2搜 尋相關數學史料。在教學和學習活動設計上,教師於自我詮釋階段,設計數學史教案及學習工 作單,至於回饋及評量也就是教師進行教學後,可以從學生撰寫學習工作單的反應觀察,以及 課程實施學生學習意見表得知學生的學習成效。

至於如何編製數學史教案包含學習工作單等問題,經由研究我們也發現,首先可以由數學 普及讀物著手,讓設計者對主題發展脈絡先有通盤概略的認識,使整個教案安排有一個初步的 輪廓呈現。接著再進一步搜尋原典資料,增添數學史文本,讓教案更為精緻豐富。關於數學普 及讀物的選擇,除了中央研究院數學研究所於 2007 年向社會推薦的 76 本優良數學科普書籍

(https://www3.math.sinica.edu.tw/mrpc_jsp/book/about.jsp)之外,今年初臺灣數學史教育學會,

也將過去十三年間(2007 年-2020 年)國內所出版的數學普及書籍,選出值得「再向社會大眾推 薦」的作品(https://www.hpmsociety.tw/recommend2021),這些都可供參考。至於進一步數學史 料的搜尋,除了相關原典的文本補充,國內的《HPM 通訊》(http://math.ntnu.edu.tw/~horng)、臺 灣數學博物館(https://www.hpmsociety.tw/mtm)、臺大數學系網站(http://math.ntu.edu.tw),以及 國 際 上 的 日 本 算 額 網 站 (http://www.wasan.jp )、 英 國 St Andrews 大 學 數 學 系 網 站

( https://mathshistory.st-andrews.ac.uk ) 、 HPM 研 究 群 網 站 上 的 Newsletters

( http://www.clab.edc.uoc.gr/hpm/NewsLetters.htm ) 、 數 學 郵 票 網 站

(http://members.tripod.com/jeff560/index.html)等等,都是設計數學史教案的資源。

本研究所進行的數學史教案教學實作,除了教師觀察外,並藉由學習工作單以及學習意見 表等研究工具加以評鑑。如前所述,針對「托勒密定理與和角公式」教案,經過 166 位高二學 生的教學實驗及回饋問卷,有 83.7%的學生認為此課程能幫助他們了解和角公式的原理,實驗 教師也認為「在整個內容學習的過程,學生會比較理解直角三角形邊長(當斜邊=直徑=1 時)該 用正弦或餘弦來表示,這點對學生在用正餘弦表示邊長時會有幫助。」,至於學生也有諸如「能 理解到公式背後的原因,覺得很不錯。」、「我覺得了解這些公式導出的來龍去脈,讓我比較不 排斥去強記這些公式,因為理解以後,這些式子都變得有脈絡可尋。」等感想,顯示本份教案能 達成設計目標。至於「最大公因數」教案,在160 位國一學生中,有 66.3%的學生認為能幫助他 們學習如何求最大公因數的方法。針對「分數與十進位制小數」教案,依照前文提及以班上只 有 31%認為故事很有趣的此一實驗班級來看,同意這份學習工作單可以讓他們更了解此單元的 內容之學生也達62%。從上述研究結果發現,考量 HPM 實作模型,於數學史教案開始設計之前 先考慮數學單元學習目標,選取適合的數學史文本為素材,加以鋪排闡述並與現行教材銜接,

進而安排學習活動設計與檢測學習成效的策略,對於中小學生來說,都可以獲致正向的回應。

但是針對不同階段上的考量,在自我詮釋階段的數學史學習工作單的設計上,國小階段的 學生由於對生硬的知識或抽象的語意表達比較無法接受,注意力也較容易被分散,因此設計者 要傳達的概念內容需要經過故事性的包裝,盡量以活潑、有趣的方式呈現,引起學生興趣,也 可增加圖片以輔助文字的理解。

本研究所開發之教案皆為研究團隊考量十二年國教課綱,搜尋數學史料,直接與古文本對

話,完成教案開發進行實作。日後可以再加強探討國際學界上的相關研究,相信也會獲得不同 的啟發。至於教案預期的效益除了增進對課內知識的學習外,研究者反思之後亦可設計一套工 具,以檢測學生對於公式由來是否理解,和對歷史、人物、概念發展的認識程度,如此應更能掌 握數學史融入數學教學所發揮之成效。針對中學教學進度壓力問題,由於新課綱實施,各校可 以規劃彈性學習課程,有興趣的教師也可以利用此時段實施,應能更從容的設計一系列的數學 史相關課程進行教學。此外,本研究所設計之數學史教案授課時間均精簡為一節課就能完成,

如此現場教師便可以較不受教學時數的限制考量,方便進行數學史融入數學的教學。

至於國小部份的教案開發,研究者反思在學習工作單的設計上應該更為多樣靈活,增加圖 片和故事性劇情,引動學生的填寫意願,以生動活潑的呈現方式提高學生的學習動機。由於國 小中年級學生對於學習單的閱讀及書寫需要花費一些時間,因此文字量的安排也不宜過多。相 較於中學數學史教案,日後應將國小階段之素材更加以簡化也需關注生動趣味面向,才能使所 開發之素材真正能廣為教師所用,充實中小學各階段所需之數學史資料庫。

誌謝

本文之得以完成,主要來自科技部的專題研究計畫(計畫編號:MOST 105-2511-S-845-008-MY3)之部分研究成果,在此感謝科技部之補助,也謝謝期刊審查委員給予的寶貴意見。

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