一、數學文化的內涵
早期具體提出數學文化（mathematical culture）概念的當屬數學家懷爾德（Raymond Wilder, 1896-1982）。他於1950 年的國際數學家大會中以「數學的文化基底」（cultural basis of mathematics）
為題發表演講，闡述數學文化的內涵和重要性。懷爾德（Wilder, 1950）強調，唯有認識數學的 文化基底，才能對數學本質有更深的理解。只是「文化」一詞極端抽象，從任何單一學術領域解
讀都難以一窺堂奧。論述數學文化的內涵至少可以從以下三個視角出發。
（一）人類學視角
從人類學解讀數學發展本質的第一人非懷爾德莫屬。身為一位職業數學家，懷爾德（Wilder, 1968）不是從數學知識的結構或數學思維的過程談數學文化，也不是從數學歷史演變的角度談 數學文化，而是從人類學的觀點。他指出，假設一位數學史家A 君生於公元 1200 年代的中國，
他（她）記載的內容不外乎數字計算和解方程，不會談類似古希臘的幾何學，因為當時中國數 學偏重計算之學，並沒有幾何論證的風氣。同樣地，若A 君成長於公元 200 年的希臘，他（她）
所寫的數學史必定涵蓋歐幾里得幾何學，而甚少著墨於代數，甚至數字計算。不過若A 君是當 代歷史學家，他（她）撰寫的內容必定同時包含幾何和代數，因為當今這兩者都是數學的一部 份。從這一段敘述可以看出懷爾德深信人類文化脈絡對知識發展有著關鍵性的地位，學術的發 展很明顯受當時文化的制約。懷爾德（Wilder, 1968）更明確指出，只有在強大的環境壓力和內 部壓力作用下，才能有效改變數學演變的進程，例如當孕育知識所在地區的宿主文化（host culture）
有重大改變，或是數學知識本身面臨危機時，數學演變的路徑才會產生明顯的改變。例如，古 代的中國和中世紀的歐洲，其宿主文化的狀態穩定或停滯，而導致數學發展缺乏突破。相對的，
二戰前後大量歐洲數學家移居美國，引發美國數學研究的重大進展。對懷爾德來說，從人類文 化學檢視數學發展本質的好處是，某些對整個社會的文化演變中不十分明顯也沒有重大意義的 形式和過程，對數學而言可能就變得相當重要。值得注意的是，懷爾德十分強調數學歷史（history）
和數學演變（evolution）的不同，例如「馬的歷史」和「馬的演變」就是不同的概念，數學演變 的概念接近於相當於生物演化的概念。
懷爾德於1981 年進一步闡述數學和人類社會的文化演變之間的關係（Wilder, 1981）。他指 出，歷史紀錄發生的事件是一種特殊化（particularizing）的過程，而演變則是一種一般化
（generalizing）的過程。演變重視引發變化的作用張力（如遺傳張力、環境外部張力和知識內部 張力），以文化演變的觀點看待歷史經常會獲得新的認識。在此我們以微積分和非歐幾何來理解 懷爾德的論點。從數學知識來看，十七世紀微分的誕生是為了計算行星瞬間速率和切線斜率，
但從文化角度來看，是為了回應十六世紀哥白尼的《天體運行論》對整個科學界所產生的外部 環境張力。另一方面，非歐幾何的出現並沒有因為任何外部張力，而是源於數學家長期對歐幾 里德平行公設存疑所累積的內部張力。
（二）歷史和社會視角
克萊恩的《西方文化中的數學》（Kline, 1954）表明了數學是整個人類主文化中的一種次文 化，但他更大的企圖在於揭示數學是「西方文明中一個主要的文化推動力量」（a major cultural
force in Western civilization, p. ix）。這種聽起來似乎不可思議的企圖當然會引來批評，不過克萊 恩認為這是由於長期以來大眾對於數學本質錯誤的認知所致。他主張數學雖然是一個知識體，
但不包含真理（truths）。科學確實在追求物理世界的真理，而數學只是扮演烽火台的角色，指引 科學到達它的目的。推進數學發展的動力除回應社會所需的問題外，最重要的就是對美的追尋
（over and above all other drives to create is the search for beauty, p. 5），這些論點都顛覆一般人對 數學的認知。
在克萊恩眼中數學知識發展背後的原因難以個別區分開來，舉凡實用的、科學的、美感的 和哲學等等的因素都型塑出今日所見到的數學，所以數學不僅僅是一種思維方式、一種藝術，
或一種語言。數學能滿足自然科學家、社會科學家、邏輯學家、藝術家、音樂家、甚至神學家的 需求，所以克萊恩在《西方文化中的數學》一書中談論數學如何與哲學、宗教、天文學、繪畫、
音樂、建築、文學等領域互動，尤其是牛頓所引發的論戰。詩人波普（Alexander Pope, 1688-1744）
曾寫下讚頌牛頓的雋永名句：「自然和自然的法則隱藏在黑夜之中。上帝說：讓牛頓去吧，於是 一切變得光明。」法國哲學家伏爾泰（1694-1778）和情人合著的《牛頓哲學的原理》（Elements
of the Philosophy of Newton）一書的扉頁是一幅銅版畫，正是描寫牛頓所引來的智慧之光，用此
表達對牛頓最崇高的敬意。不過十八世紀英國詩人畫家布雷克（William Blake, 1757-1827）在其 畫作中將牛頓描繪成一位身體肌肉如幾何般僵硬，只知用圓規屈身埋首於測量的科學家，卻完 全無視於背後巨石上發散出有如彩虹般的燦爛光輝。這是在諷刺牛頓的稜鏡實驗將太陽光析離 成多彩顏色的組成，破壞文人對彩虹的想像，所以這幅畫是對牛頓在光學研究的諷刺與鄙視，
布雷克並指稱推理是惡魔，而牛頓是最高級的祭司。可見在西方文化中，對待科學的態度並不 如我們想像般全然是理性的，其中充滿許多智識文化的衝突與妥協。
（三）哲學的視角
1980 年之前由於受到實證主義思想的影響，數學哲學的研究偏向形式邏輯，強調數學知識 結構之嚴謹與絕對性。數學哲學界約莫從1980 年代開始重視數學的經驗性，其中的代表作有二，
一是拉卡托斯（Imre Lakatos, 1922-1974）的《證明與反駁》（Proofs and Refutations）（Lakatos, 1976），另一是克萊恩的《數學：確定性的失落》（Mathematics: The loss of certainty）（Kline, 1982）。 1960 年代英國數學家拉卡托斯眼見當時英國大數學家哈第（Godfrey Hardy, 1877-1947）主張的 數學形式主義（formalism）蔚為數學哲學的主流，因此開始改寫他的博士論文成為《證明與反 駁》一書。書中採蘇格拉底辯證方式，藉由師生交叉辯詰與對話探究多面體的「點（V）、邊（E）、 面（F）」關係式，也就是歐拉多面體公式 VE+F=2。全書展現出一個數學概念如何“琢磨”
（polishing）的歷程。拉卡托斯強調「思想實驗」（thought experiment）與「準實驗」（quasi-experiment），以突顯數學方法論中「觀察特例猜想規律建構反例修正猜想提出證明」
的精髓。克萊恩在《數學：確定性的失落》一書中直陳“數學的發展歷程其實很不邏輯”，其中 包含錯誤的證明、推理的疏漏、概念的認知錯誤等等，這番論述顛覆一般人對數學的印象。事 實上，克萊恩的論斷有其歷史依據，許多數學概念的產生不是根據理性的邏輯推理，甚至有些 時候數學家具有「反智」傾向，只為固守信念而不願接受邏輯上並不矛盾的新概念。例如畢達 哥拉斯堅持宇宙間只存在正整數和由正整數所形成的比例數（q/p），也就是有理數，類似 2這 種無理數是不存在的。往後一千多年的數學主流思想一直堅持畢氏的想法，直到十六世紀文藝 復興時期才接受根號運算，但仍拒絕 1的存在（雖然運算中會使用到它），再等到十七世紀的 笛卡爾才承認 1是一個數字，不過他還是不太願意大方承認它是個真實的數（real number），
而是個想像的數（imaginary number），中文翻譯以縹緲的「虛數」稱之。
我們可以發現無論是克萊恩或是拉卡托斯，都是從數學家的思維歷程出發，而不是以最後 的知識結構做為探究數學本質的依歸，也就是如赫許（Ruben Hersh）所說，數學哲學的工作應 該聚焦於“職業數學家的工作哲學”（working philosophy of professional mathematicians）（Hersh, 1997, p. 31）。在此基礎之上，數學哲學出現兩派相關的主張，分別是拉卡托斯的經驗主義觀
（empiricist view）（Lakatos, 1978）和厄尼斯特的可謬主義觀（fallibilist view）（Ernest, 1991），
這兩種觀點強調數學的經驗性，不強調（但不是否定）數學的絕對性，反而著重數學知識的動 態過程，主張數學知識不是先驗的（a priori），也不必然擁有絕對的真理性（absolute validity）。
反而，它是可以調整的，永遠對於修正持開放態度，表明出一種數學知識建構的文化。
從以上三種關於數學文化的論述我們可以發現，不同視角對於數學文化的闡述都有其基本 立場。人類學視角以類似生物演化的觀點探究決定數學知識演變的各種張力；歷史與社會視角 著重數學如何與其他學科的互動進而引發自身的發展；哲學視角則從職業數學家的工作哲學理 解數學知識如何建構。三種視角有不同程度的交集，也彼此互補。若以觀察尺度區分，人類學 視角偏向宏觀，比較不探究個別事件等細節，而是注重演變趨勢。哲學視角偏向微觀，關心數 學概念的發生、建構與辯證過程，甚少觸及外部環境變化對數學知識的影響；而歷史與社會視 角約莫居中，依據歷史走向和社會需求觀察數學知識發展的大方向，但必要時也談論個別事件 與細節。這三種知識觀（或稱認識觀，epistemological view）對數學教育也產生重大影響，1990 年代科學教育與數學教育之所以引入根基建構主義（radical constructivism）和社會建構主義
（social constructivism），也與此三大數學文化思潮密切相關。