希臘的天文學家托勒密（西元前110 年到 170 年），在西元150 年左右出版十三冊的數學文 集，蒐集當時已知的數學與天文學知識，成功地描述行星運動現象，鞏固了地心說。後來，這 套書傳到阿拉伯，被阿拉伯人稱為《Almagest》（The Great Treatise，天文學大成），又再傳回 歐洲，一直到文藝復興初期，托勒密的地心說都是天文學的典範。
當時的希臘人已經知道：想要天文學「測星」或幾何學「測地」都需要知道各種圓心角 所 對應的弦長。
【問題一】如圖一，若已知圓半徑R，圓心角BOC，則 (1) 弦長BC _________ (用R與 表示)
(2) 弦長BC _________ (用R與 A 表示)
托勒密在《Almagest》的第一冊編製了一個圓心角從0開始，以0.5為間隔變化到180的 弦表。他的弦長編製工作是由正多邊形開始，先求出圓心角分別為120（正三角形）、90（正 四邊形）、60(正六邊形)以及72（正五邊形）和36（正十邊形）的弦長。然而，他想計算其 他角度的弦長，還需要解決幾個問題，其中，包含下列兩個問題。
【問題二】已知弦長AB與BC，如何求弦長AC？ 這個問題我們可以看成：
如圖二，在圓直徑 2R1的圓上，作直徑BD，再連AD，CD。 若弦AB與BC所對應的圓周角分別為 , ，請選出下列問題的 正確選項。
(1)弦長AB？ (A)sin (B)cos (C)sin (D)cos
(2)弦長BC ？ (A)sin (B)cos (C)sin (D)cos
(3)弦長AC (A)sin( ) (B)cos( ) (C)sin( ) (D)cos( )
A R
B
C O θ
圖 一
A
B
C
O
圖 二
α β D
【問題三】 如圖三，已知弦長AB與AC，如何求弦長BC？ 這個問題我們可以看成：
如圖三，在圓直徑 2R1的圓上，作直徑AD，再連BD，CD。 若弦AC與AB所對應的圓周角分別為 , ，請選出下列問題 的正確選項。
(1)弦長AC？ (A)sin (B)cos (C)sin (D)cos
(2)弦長AB？ (A)sin (B)cos (C)sin (D)cos
(3) 弦 長 BC (A) sin( ) (B) cos( ) (C) sin( ) (D)cos( )
由此可知，用現代的數學符號，這兩個問題等價為已知sin，sin ，欲求sin( )和 sin( )。托勒密利用一個重要的幾何定理─托勒密定理─解決上述問題，一起來看看他是如 何解決的！
【托勒密定理】
如圖四，設四邊形ABCD為圓內接四邊形，則兩條對角線長的乘 積等於兩對邊長乘積的和。
即AB CD BCAD ACBD
這個定理為何正確？請耐心閱讀下面的說明，跟著提示，將空格填入答案，就能知道原因 囉！
【問題四】托勒密定理的證明
如圖五，在BD上取一點 P 使得BAP DAC 因為 ∠ABP =_______
因此，△ABP〜______
AB AC
CD AB CD AC ……①
圖(1) P
A
B
C D O
圖五
O
D
C B
A
圖四
A
B
C
O
圖 三
α β
D
在圖六中，因為 ∠PAD =_______
且∠ADP =_______
因此，△APD〜△ABC AD AC
BC AD BC AC ……② 將①②可得
CD
AB AD BC
好了，既然知道托勒密定理，接著就利用來推導和角公式吧！
【問題五】托勒密定理與和角公式(1)
(1)如圖七，給定O為圓心，直徑AB為1 的圓，
請用sin , cos ,sin , cos ,sin( ), cos( )標出下列線段長。
ADBE__________；BD AE__________；
CD__________；CE__________；
AC __________；BC__________。
(2) 觀察圖七中圓內接四邊形AECD，由托勒密(Ptolemy)定理，得
_____ _____
AC DE AD AE sin( ) 1
__________________________________
(3) 觀察圖七中圓內接四邊形BCDE，利用托勒密(Ptolemy)定理，得
_____ _____
BD CE BC BE cos cos
__________________________________
cos( )
__________________________________
圖(2) P
A
B
C D O
圖六
A B
C D
O
E
圖七
【問題六】托勒密定理與和角公式(2)
(1)如圖八，給定O為圓心，直徑AB為1 的圓，
請 用 sin , cos ,sin , cos ,sin( ), cos( )標出下列線段長。
ADBE__________；
BD AE__________；
AC __________；BC__________；
CD__________；CE__________。
(2) 觀察圖八中圓內接四邊形ABCD，由托勒密（Ptolemy）定理，得
_____ _____
AC BD AB AD cos sin
__________________________________
sin( )
__________________________________
(3) 觀察圖八中圓內接四邊形AEBC，由托勒密（Ptolemy）定理，得
_____ _____
AB CE AE AC 1 cos( )
__________________________________
托勒密解決了最基本的求弦長的問題（見問題一與問題二），配合著其他定理，他最後編製 完成從0開始，以0.5為間隔變化到180的弦表。這個表展現了古希臘時期的數學文明，標幟 著歐幾里得之後數學的再一次高峰，尤其在幾何學、代數學，以及三角學。
圖八
通訊作者：陳東賢，e-mail：chents@ncut.edu.tw 收稿：2021 年 1 月 25 日；
接受刊登：2021 年 4 月 9 日。
陳東賢（2021）。
發展悅趣化數學文化教案以培養數量與代數素養之探究。
臺灣數學教育期刊，8（1），55-78。
doi: 10.6278/tjme.202104_8(1).003
發展悅趣化數學文化教案以培養數量與代數素養之探究
陳東賢
國立勤益科技大學基礎通識教育中心
本研究以十二年國民基本教育數學領域課程綱要為藍本，發展悅趣化數學文化教案以培養具備 歸納推理能力的數量與代數素養。分別對臺灣國中生與高中生施以「撲克牌數學魔術」與「中 國益智遊戲九連環」教案，並探究與反思所開發之悅趣化學習方式的兩個數量與代數素養教案 的活動實施歷程。研究結果發現幾乎所有同學都認同所參與教學活動，活動有助於培養學生歸 納推理能力與提升數量與代數素養。運用玩中學魔術對很多同學是很新鮮的經驗，藉由結合八 年級數列單元的觀念，讓同學體會數學的妙用，確實增進學生對於等差數列單元概念理解與學 習興趣，培養學生歸納推理的能力，進而運用數學規律，實際表演魔術。高中生可以藉由操作 九連環遊戲培養觀察、探索、發現、分析與溝通能力，連結十年級指數、數列、級數與遞迴關係 等單元，惟有些同學在數學表徵的敘述上出錯，研究顯示做更深入的抽象代數思維對十二年級 高中生仍有其困難性。
關鍵詞：代數教案、悅趣化學習、數量與代數素養、數學文化、數學魔術
Corresponding author：Tung-Shyan Chen，e-mail：chents@ncut.edu.tw Received：25 January 2021;
Accepted：9 April 2021.
Chen, T. S. (2021).
An exploratory study on developing game-based mathematical culture lesson plans for cultivating quantitative and algebraic literacy.
Taiwan Journal of Mathematics Education, 8(1), 55-78.
doi: 10.6278/tjme.202104_8(1).003