低年級數學課程現況與學童乘法學習困境

一、低年級數學課程現況

學生從小至大皆需學習數學，數學乃是九年一貫課程七大學習領域之一，並與其 他學習領域佔相同比例的授課時數，數學的視野與技術是國民的基本素養，也是終身 學習的利器（王亞萍，2003），更是國民教育的核心課程，故學生一進入國民小學開 始，便需接受數學的教育與訓練。當學習新的數學概念時，多數學生經常使用舊有的 數學經驗來統合成新的直覺或邏輯經驗。但多項研究報告顯示（王惠川、吳建志、邱 上真、詹士宜，1995；邵淑華， 1997；黃珊紋，2002；何信助、林怡如、廖年淼，

2004，數學是學生最感困擾的科目之ㄧ，學生常視數學學習為畏途，對數學學習缺乏 信心，排斥數學學習。

以國小教材而言，國小數學課程向來採螺旋式進行編排，目的就是希望學童能藉 由生活經驗與操作，察覺數、量、形的規律，進而理解數學知識與數學概念的意義，

用來解決生活上的問題。國小數學教學並不僅是培養學童基本運算能力，更重要的是 希望孩子透過數學學習過程培養分析思考和邏輯推理的能力，在生活情境中隨時應用 於問題解決。

教育部訂定九年一貫數學領域階段目標有五大主題，分別為第一階段：數、量、

形的概念；第二階段則能熟練非負整數四則與混合計算，培養流暢的數字感；在小學 畢業前，能熟練小數與分數的四則計算，能利用常用數量關係，解決日常生活的問題，

能認識簡單幾何形體的幾何性質，並理解其面積與體積公式，能報讀簡單的統計圖形 且理解其概念。

而這其中最基本的能力就是第一階段能掌握數、量、形的概念，在這階段中的乘 法能力發展，是銜接往後數學能力的基礎，乘法學習在國小二年級的本能力指標有(一) 瞭解倍的語言，利用倍來敘述乘法問題 (二) 能理解乘法的意義，使用×、＝做橫式

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紀錄與直式紀錄，並解決生活中的問題。(三) 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、

減與乘，不含併式)...等，詳如表 2-2。教育部藉此希望在國民小學學童在二年 級的階段能夠理解算數的重要核心概念─九九乘法，以利未來數學學習的基礎(教育 部，2008b)。

依據九年一貫數學領域課程綱要第一階段能力指標及低年級分年細目中與乘法相 關的指標整理如表 2-2（教育部，2008b）：

表 2–2

九年一貫數學領域課程綱要低年級階段乘法相關能力指標及分年細目

研究者整理自九年一貫數學領域課程綱要，2008，臺北：教育部

根據上表所示，九年一貫數學領域課程綱要中低年級階段乘法的能力指標有四條，

本研究所設計之實驗課程將採用 N-1-04 與 N-1-06 兩條，其對應之單元目標及轉化的 具體目標將在第三章研究設計與實施中詳細說明。

二、低年級學童乘法學習困境

依據課程標準，對於乘法，低年級的目標是要瞭解乘法的意義，並應用九九乘法 表解決生活中的問題，從課程綱要來看，乘法的引導開始於國民小學二年級，在數的

N-1-04 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。

1-n-07 能進行 2 個一數、5 個一數、10 個一數等活動。

2-n-06 能理解乘法的意義，使用×、＝做橫式紀錄與直式紀錄，並解決生活中的問 N-1-06 題。 能理解九九乘法。

2-n-08 能理解九九乘法。

N-1-07 能在具體情境中，解決加、減、乘之兩步驟問題(不含連乘)。

2-n-10 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、減與乘，不含併式)。

A-1-02 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律、乘法的交換律，並運用於簡 化計算。

2-a-03 能在具體情境中，認識乘法交換律。

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方面有倍的意義，在計算方面有二到九的基本乘法，能夠利用乘法表來計算結果以及 處理兩步驟的加、減、乘問題。以下針對國民小學低年級學童學習乘法時可能遭遇的 困難列點說明。

(一)乘法情境解題策略

在乘法單元當中有許多問題的情境，多位學者針對結構加以分析，如

Vergnaud(1983)以度量空間與維度關係提出觀點、Schwartz(1998)提出乘法的內含量 與外延量的乘法結構、Nesher(1988)根據邏輯命題結構觀點，分析乘法結構，以及 Greer(1992)依據乘法問題的情境將乘法結構分類，由於本研究對象為二年級學童，

考量年齡、生活經驗及理解能力之限制，將乘法問題依據情境模式呈現給學童，故研 究者參考 Greer(1992)的乘除法問題情境模式，將乘法問題分為以下四大類型，分別 列點說明：

1.等組型問題(equal groups)：是由含有相同個數之物體集合所構成的情境，整 個問題包含狀態、數量改變的大小、與最後獲得的結果。

例如：一隻狗有 4 條腿，那三隻狗總共有幾條腿？

2.比較型乘法：是一個集合和另一個集合的比較，常以 n 倍是多少？來描述情境。

例如：美羊羊的蘋果是喜羊羊的 2 倍，喜羊羊有 1 顆，請問美羊羊有幾顆？

3. 陣列型問題：陣列型問題又稱矩形面積，問題以方陣排列的方式呈現，例如：

排隊時，呈現 3 行 2 列之陣列，請問這樣有幾人？

4. 組合型問題：組合型問題又稱笛卡兒乘積，每一個序對都是由一個集合的每一 個元素與另一個集合的所有元素彼此順序的結合而成。例如 3 件不同的裙子，和 2 雙不同的鞋子，有幾種不同的搭配方法？

以上四種乘法問題類型，以等組型屬較簡單問題類型，因此所佔教材比例最多，

而較困難的的題型是組合型（林碧珍，1991；陳淑琳，2002；陳桂英，2005）。

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綜合上述學者觀點可以得知等組型屬較簡單問題類型，兒童乘法問題的解題策 略則是由直接表徵法至加法運算，再到乘法運算。本研究研究對象為教育部檢測之後 35%之需要加強補救之學生，因此，本研究主要採用等組型之乘法問題，而教學目標 之順序由具體操作、圖像表徵，最後才是符號表徵。

(二) 單位量的轉換問題

甯自強(1993)指出數原來是指單位「1」的倍數，透過印度─阿拉伯的記數系統 的協助所發展出來的運算算則，則將數重組成多單位的系統。事實上，加減運算算則 的進退位概念涉及了不同單位間的化聚，而這種單位間的化聚是乘法的活動。低年級 的兒童雖然能聚合由不同單位構成的數，但卻在混合使用時將它們互相混淆，而對於 低年級學童在學習乘法單元時的迷思概念，以下分述之：

1.單位轉換：乘法是單位量轉換的觀點，而不是特殊的累加活動。例如一隻青蛙四 條腿，兩隻青蛙有幾條腿？為例，可以用 4×2=8 的方式求解，其中題目問的幾條腿(4) 是每個單位內有 4 條腿，共有 2 個單位，屬於兩階層的思維。甯自強認為，從心理學 的觀點來看，乘法是單位量轉換的解題活動，而乘式則是解題活動紀錄的變更，每一 種不同的紀錄都代表著學童的不同認知發展。

2.「倍」的意義：在學習乘法之前，通常會藉由認識「倍」的活動，熟悉倍的語言 後才接著引入乘法活動與運算。當學童首次學習乘法算式時，需要強調乘法語意的認 識，音為低年級的學童尚未能完全掌握乘法的交換律原則(國立編譯館，2001)。以常 出現在低年級乘法單元的等組型問題為例：一隻青蛙有 4 條腿，五隻青蛙有幾條腿？

當學童將九九乘法紀錄算式時，不管是 4×5=20 或是 5×4=20，所計算出的答案都是 20。

但是從乘法算式的語意來看 4×5=20 的意思是「5 個 4」，也就是「4 有 5 個」，在倍的 語言上就是「4 的 5 倍」。倘若寫成 5×4=20 時，意思就變為「4 個 5」，也就是「5 有 4 個」，其意義解釋就是每隻青蛙有 5 條腿，有 4 隻青蛙，倍的語言就是「5 的 4 倍」。 可以得知，雖然 4×5=20 或是 5×4=20，雖然答案相同，但是在乘法的語意上是有所差

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別的。因此須要讓學童根據題意，透過倍的語言說出乘法的式子，並了解其倍的意義 是相當重要的。

數學中的「乘法」從低年級概念的建立，至中年級需能熟練自然數的四則混合計 算，而至高年級，則必須能熟練小數與分數的四則運算(教育部，2003)，此外，時間、

長度、面積、體積的計算亦需仰賴乘法的概念及運算能力，可見，在國小的課程中，

「乘法」是相當重要的概念與技能。因此，應於二年級乘法概念開始建立時，即打下 良好的基礎。