第四章 研究結果
第三節 個案在乘法計算題之訪談結果
由未具備等號關係概念的學童於乘法計算題的解題情形，發現有部分 學童於計算題第一題表現運算結果解、多種解但於第三題只表現出關係 解，在第四題又再度表現為多種解；而在全部答對的問卷中，發現有 1 位 學童不使用多數學童所用的兩邊結果相等、代入答案或解方程式的方式運 算而是以代數解方式進行計算題的運算，故需進一步對這些學童進行個案 訪談探究其想法，以確定其解題情形。本節將這些選取的學童於計算題第 一題的解題表現為 4 名「運算結果解」（代碼 A～D）、2 名「多種解」（代 碼 E、F）、1 名「代數解」（代碼 G）學童進行深入的個案探討，本節依據 學童的回答情形進行個案分析：
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一、忽略算式中的數字，將等號視為運算結果
學童在進行計算題運算時，會忽略算式中某一邊的數字，將算式中其 餘兩數相乘積視為未知數的答案，再將未知數的答案與原本忽略的數字相 乘，使所有數字相乘為計算題的運算結果。
(一)任選兩數相乘的情形
學童 A 在解決等號乘法計算題時，忽略未知數前面與後面的算式，將 算式中任兩數相乘後的答案放進未知數中，再將未知數的答案與忽略的數 字相乘，使計算題運算出來的答案為全部數字相乘後的結果。
個案一
圖 4-3-1 學童 A 計算題一作答內容
師： 你這些圈起來的數字是什麼意思?（參考圖 4-3-1）
A 生：5 乘以 10 要等於 50 再乘以 2 等於 100。
師： 5 乘以 10 會等於 50 再乘以 2 會等於 100?
A 生：嗯! 算出來的數字要是 100。
師： 算出來的數字是 100?
A 生：嗯!
師： "□"會等於多少呢?
A 生：應該是 10、20 跟 50。
師： 10、20 跟 50? 嗯，你這裡是寫 10、20 跟 50?
A 生： 算法是 5(指著題目上的 5)乘以 2(指著題目上的 2)等於 10，然後 10 再乘以 10 等於 100。
師： 你這些數字是怎麼來的?
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A 生：我是先用 5 先乘以 10 等於 50；10 乘以 2 等於 20；5 乘以 2 等於 10。
師： 這些數字都可以放在"□"裡面?
A 生：對!
師： 全部的數字相乘之後...
A 生：都是 100。
師： 我有遇過小朋友，他把這兩數遮住了(遮住 5、2)，"□=10"你覺得他對嗎?
A 生：也是對的！
師： 是對的? 為什麼?
A 生：這邊是 10，10 乘以 2 等於 20，20 再乘以 5 等於 100。
師： 所以是可以的?
A 生：對!
師： 全部相乘之後一定要等於 100? "□"會等於這三個數字?
A 生：對!
師： 好，那我懂了。
學童 A 在等號乘法計算題的運算中，選擇等號前面 5、10 任一數字與 後面的數字 2 相乘後為未知數□中的答案。研究者得知後，利用其他學童 出現過的運算情形詢問學童 A 對與錯，讓學童 A 判斷並發表其對於其他 學童運算情形的看法，以觀察學童 A 是否存在其他運算想法。由學童 A 回答發現，學童 A 認為未知數□是算式中任兩個數相乘的結果，目的在於 使未知數□與剩下的數字相乘後，可以是算式中三個數字（5、10、2）相 乘的結果。
以上顯示學童 A 在等號乘法計算題中，會忽略前面與後面的數字運 算，用任兩個數相乘的結果進行解題，將等號視為數字相乘後的運算結果。
(二)由左至右相乘的情形
學童 B 面對等號乘法計算題時，忽略未知數後面的算式，將算式中等 號前面兩數相乘的答案放進未知數□中，再將未知數的答案與忽略的數字 相乘後，使計算題運算出來的答案為全部數字相乘後的結果。
53 個案二
圖 4-3-2 學童 B 計算題一作答內容
師： 這些圈出來和寫出來的數字是什麼意思?（參考圖 4-3-2）
B 生：10 乘以 5 等於 50。
師： 10 乘以 5 等於 50? 那 5 是什麼意思?(指寫在其他上的 5) B 生：它乘過的這個(指出自己算式中的 5)
師： 乘出來會等於 50? 框框等於多少?
B 生：50 呀!
師： 為什麼框框等於 50?
B 生：因為 10 乘以 5 等於 50 阿。
師： 10 在哪裡?
B 生：題目裡面的 10。
師： 5 呢?
B 生：5 是這個 5(指出題目的 5)
師： 好! 框框等於 50，因為這裡乘以 5 所以它寫 5? (指出寫在其他上的 5) B 生：對。
師： 有小朋友把這兩數字遮住了，框框等於 10，你覺得他對嗎?
B 生：不對。
師： 喔? 為什麼不對?
B 生：乘出來沒有等於 50。
師： 乘出來沒有等於 50? 誰乘以誰沒有等於 50?
B 生：10 乘以 2 沒有等於 50。
師： 有小朋友把題目改了，覺得 5 乘以 10 乘以 2 等於框框，框框等於 100，你覺得 對嗎?
B 生：對阿，50 乘以 2 等於 100 阿。
師： 50 乘以 2 要等於 100，框框要等於 100? 可以的?
B 生：沒有，框框要等於 50。
師： 框框要等於 50? 不可以等於 100?
B 生：對! 然後再填在框框裡。
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師： 有小朋友把這個遮住了(遮住 5)，框框等於 5，你覺得他對嗎?
B 生：不對!
師： 為什麼不對?
B 生：5 乘以 2 也沒有等於 50。
師： 喔! 他不對，框框不可以等於 5?
B 生：嗯!
由學童 B 的運算式發現，學童 B 忽略算式後面「×2」的數字運算，將
「5×10」的運算結果放進未知數□中。研究者亦運用其他學童的運算情形 詢問學童 B 對與錯，讓學童 B 判斷與發表其對於其他學童的運算看法，以 深入瞭解學童 B 的運算原因，發現其將等號視為由左至右相乘的運算結 果，忽略算式後面的數字，使得未知數□只有一種結果的情形，此與學童 A 任選兩數相乘的運算使未知數□有多種結果的情形略有不同。
研究者發現學童 B 亦出現由左至右相乘的運算方式，將未知數□答案
（50）再與被忽略的算式（×2）進行乘法運算，使算式結果為全部數字相 乘的總合（100），將等號算式視為所有數字相乘的總合。
顯示學童 B 因以左至右相乘的運算方式，忽略未知數□後面的數字，
讓未知數呈現只有唯一解的答案，並使等號算式為全部數字相乘的結果。
此情形在個案學童 D 中亦出現了相同解釋，但由於訪談中學童 D 對九九 乘法還不夠熟悉，呈現的錯誤計算太多使得其表現沒有學童 B 明顯可討論 故沒有在此深入提及，但仍可發現此情形並不只出現於單一個案結果。
（三）暸解關係意義的情形
學童 C 原先將等號視為數字的運算結果，訪談過程中，學童透過多次 代入數個等號為運算結果的答案以及回顧問答的方式產生反思，進而發現 等號關係意義。
55 個案三
圖 4-3-3 學童 C 計算題一作答內容
師： 這題你的 25 怎麼算出來的? （參考圖 4-3-3）
C 生：10 乘以 2 加 5。
師： 10 乘以 2 加 5?
C 生：(搖頭)不行。
師： 框框裡面的數是多少?
C 生：20。
師： 為什麼是 20?
C 生：咦?應該是 50。
師： 為什麼是 50?
C 生：10 乘以 5 等於 50。
師： 有小朋友把 5 跟 2 乘起來，框框可以等於 10 嗎?
C 生：不對，沒有這兩個算不出來!(指出 2、5) 師： 如果說框框等於 5 可以嗎?
C 生：可以。
師： 為什麼可以?
C 生：5 乘以 2 等於 10。
師： 框框可以等於 100 嗎?
C 生：不行！
師： 為什麼不行?
C 生：這裡沒有答案。
師： 哪裡沒有答案?
C 生：5 乘以 10 不等於 100。
師： 框框可不可以等於 25? 不行?
C 生：不行!
師： 還是...可以?
C 生：咦? 可以。25 乘以 2 等於 50。
師： 25 乘以 2 等於 50，然後勒?
56 C 生：5 乘以 10 等於 25 乘以 2，可以。
由訪談結果發現，學童 C 一開始圈出的「25」是自湊答案的結果。透 過研究者進一步詢問，學童 C 陸續將數字（50、10、5、100、25）嘗試放 入未知數□中，判定數字是否符合等號算式。學童 C 先忽略等號後面算式
（×2），再忽略等號前面算式（5×）分別同意 50 和 5 可以為未知數□的答 案，但不同意將兩邊算式同時忽略或全部數字進行相乘。研究者再一次詢 問「25」的結果時，學童 C 此時獲得等號關係意義，後續的訪談中，學童 C 皆以關係想法進行解題。
研究者認為學童 C 面對等號乘法計算題時，能由自湊答案至真正瞭解 關係意義的原因是，學童 C 在運算過程中不斷嘗試、不斷思考而得，當研 究者再次回顧關係結果（25）的答案時，便成為學童 C 再次檢視自己進而 獲得關係意義的關鍵。
綜合以上結果發現，等號關係概念尚未完整的學童會忽略等號算式的 某一邊數字，將其中一邊的運算結果放在等號的後面，視等號為運算結 果。這些視等號為運算結果的學童未知數答案呈現兩種情形，一種採忽略 等號前面與後面算式，任選兩個數進行相乘積，成為未知數的答案；一種 採忽略等號後面算式，將等號前面兩個數由左至右相乘結果，而成為未知 數的答案。此情形使將等號視為運算結果的學童，出現多種解與唯一結果 解的解題情形。
研究亦發現，可使學童在嘗試多次代入答案中，獲得等號關係的想 法。教學活動上，教師可以製造學童產生多次錯誤的情境，以及利用問題 再回顧的探討方式，有助於學童面對等號關係概念的獲得。
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二、受制於未知數的位置不同，產生不同的解題表現
在等號乘法計算題中，當未知數的位置不同時，學童出現由「運算結 果解」、「多種解」換為「關係解」的解題情形。
（一）多種解換為關係解的表現
當未知數位置在等號旁邊換成不在等號旁邊時，學童 E 認為未知數不 在等號旁邊的算式無法進行運算結果解與多種解的運算，只有關係解才可 以運算。
個案四
圖 4-3-4 學童 E 計算題一作答內容
師： 這些圈出來的數字怎麼來的，還有其他上的 5?（參考圖 4-3-4）
E 生：10 可以等於 10。
師： 可以把它放進框框裡?
E 生：嗯。
師： 25 呢?
E 生：25 就是 25 乘以 2 等於 50，然後 5 乘以 10，50，然後等於。
師： 50 呢?
E 生：5 乘以 10，50，所以這邊可以放 50，然後 50 等於 50，框框是 50。
師： 5 呢?
E 生：忘記了! 阿，5 乘以 2 等於 10，然後這邊 10 等於 10，框框是 5。
師： 好，OK!
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圖 4-3-5 學童 E 計算題三作答內容
師： 這一題為什麼不可以把它遮住?（遮住 6）（參考圖 4-3-5）
E 生：因為這邊是 3，沒有數字乘以 3 等於 2。
師： 因為沒有 3 乘以框框相乘等於 2 的，所以就沒圈了?
E 生：對!
師： 好，OK!
學童 E 在計算題第一題採用「多種解」的作答方式，由學童 E 回答得 知，其運算方式為忽略算式中的「×2」、「5×」、同時忽略「×2 和 5×」以及 兩邊相同的關係運算，使得計算第一題中未知數的答案呈現多種解答情 形，此表示學童 E 有部份等號為關係概念但不完全純熟。
對照學童 E 在計算題第三題的表現情形（如圖 4-3-5），學童 E 只呈現 等號為關係概念的解題方式，研究者詢問學童 E 的作答原因，學童 E 表示 無法接受等號後面不是數字的運算結果，所以只能選擇關係解才能求出答 案。
顯示學童 E 在未知數□位置不同情境下，會因為等號算式無法進行運 算結果解、多種解的運算，而選擇唯一可以運算的關係解情形。
顯示學童 E 在未知數□位置不同情境下，會因為等號算式無法進行運 算結果解、多種解的運算，而選擇唯一可以運算的關係解情形。