結果與討論

綜合本研究的第四章分析，本節分別就「等號概念乘法運算的整體情 形」、「未具備等號關係概念的學童解題表現」、「個案於等號乘法計算題的 訪談結果」、「個案於等號乘法文字題的訪談結果」提出以下四項結果與討 論。

一、等號概念乘法運算的整體情形

全體學童在等號意義和符號讀寫的表現上，受到年級越高使得擁有等 號關係概念的學童越多；在計算題與文字題列式的表現上，計算題目中學 童出現受制於未知數位置不同而影響計算題的答對率，且在計算題的表現 上比文字題列式的表現較為優異。

（一）等號意義和符號讀寫的表現

研究結果顯示學童在等號意義中，選擇「把答案算出來」與「所有數 字的運算結果」分別佔 69.3%和 77.0%；選擇「某一邊的東西和另一邊的 東西相等」和「兩個數量相等」分別佔 72.2%和 77.4%，此結果發現認為

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「＝」具有運算意義與關係意義的學童超過七成。

對照過去相關文獻，楊絮媛（2010）的研究結果國小三年級學童對等 號解釋為運算意義與關係意義約各佔全部的一半，謝闓如（2011）則發現 具有等號關係概念的學童約有六成。而本研究發現擁有關係意義的學童占 了七成以上，造成此結果差異的原因，推估是對象不同而有所差異，學童 可能會因年級越高，促使擁有等號關係概念的學童越多，此推論亦與 Knuth 等人（2005）發現略同。

（二）等號乘法計算題與文字題的表現

在等號乘法計算題與文字題表現中，學童於計算題答對率近九成，於 文字情境題答對率則達七成以上，可知學童面對計算題情境比文字題情境 容易。另外發現計算題第三題（□×3＝2×6）與第四題（2×4＝4×□）較計 算題第一題（5×10＝□×2）與第二題（2×□＝6×3）表現要好，造成此結 果的差異，主要是未知數□在等號「＝」旁邊的題型，對學童解題的困難 度比較高；相反的，未知數□不在等號「＝」旁邊的題型，解題困難度比 較低。

計算題優於文字題的表現，與吳心馨（2007）的研究，國中二年級學 生在純數字題的表現上較情境題的表現優異，情形略同。本研究有七成以 上受試學童擁有等號為等價關係概念，且呈現計算題型優於文字題型的表 現，此與楊絮媛（2010）的研究，發現認為等號是等價關係的學童，在數 字計算題的表現優於文字情境題的表現，情形相符合。另外發現學童受制 於未知數位置不同，對其解題的困難度有些許差異，然而目前尚未有相關 的研究發現。

二、未具備等號關係概念的學童解題表現

未具備等號概念的學童在計算題的解題表現中，會受制於等號算式中

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未知數的位置不同，而有不同的解題表現，使得在解未知數不在等號旁邊 的算式題型，學童多出現關係解的情形；而此類學童在文字題列式的表現 上，出現比計算題表現較好的情形。

（一）計算題的解題表現

計算題解題表現的結果顯示，計算題第一題到第四題（5×10＝□×2、

2×□＝6×3、□×3＝2×6、2×4＝4×□），學童使用「運算結果解」與「多種 解」人數有減少的情形，「關係解」計算題人數有呈現遞增情形。

此研究結果可知未具備等號關係概念的學童，在等號乘法計算題表現 上，計算題型一、二的表現情形，以「運算結果解」與「多種解」的學童 占多數。在題型三、四的的表現情形，以「關係解」的學童佔多數。造成 此結果，主要是學童在面對未知數□在「＝」符號的旁邊時，較容易產生

「運算結果」的想法；相反的，學童在面對未知數□不在「＝」符號的旁 邊時，較容易產生「等量關係」的想法，此結果與本研究結果一，學童在 等號計算題中三、四題比第一、二題表現較好，情形相對應。

（二）判斷文字題列式的表現

未具備等號關係概念的學童在文字題列式的表現，判斷出文字題可以 關係列式的學童，佔此類學童近五成，此顯示未具備等號關係概念的學童 在文字題情境中的表現比計算題出現關係解的表現略好。

此研究結果顯示，未具備等號概念的學童可能可以藉由對文字情境題 的瞭解，獲得等號關係概念。與過去研究中楊絮媛（2010）與謝闓如（2011）

發現，屬於運算結果解的學童，利用等號加減法中的文字情境題，有助於 學童對等號相等情境的了解，情形相符合。

三、等號乘法計算題的個案訪談結果

在計算題的訪談中發現，個案在乘法計算題情境下，會忽略算式中的

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數字，將等號看作是運算結果，且呈現有兩種運算結果的情形，亦有學童 因未知數位置不同，產生關係解、不同運算方式或變換符號等想法與作 法；而一位具有等號關係概念的學童在乘法計算題情境中，找出算式中的 倍數關係，而出現代數解的解題情形。

（一）忽略算式中的數字，將等號視為運算結果。

個案學童會忽略等號算式中的某一邊數字，將另一邊的運算結果放在 等號的後面，將等號視為運算結果。將等號視為運算結果的學童，在運算 未知數的答案上呈現兩種情形，一種採算式中的任兩數相乘，一種採算式 中等號前面的兩數由左至右直接相乘，使得同樣是將等號視為運算結果的 學童，出現多種解與運算結果解的解題表現情形。

學童將「＝」看作是運算結果的符號，會忽略算式中某一個數字再進 行運算的發現與過去等號加減法算式的研究（Baroody& Ginsburg, 1982;

Behr et al., 1976; Falkner et al., 1999; Kieran, 1981; Knuth, et al., 2008；陳嘉 皇，2008；謝闓如，2010），情形相符。

（二）受制於未知數位置不同，產生不同的解題表現。

未知數在不同位置時，學童出現兩種情形。第一種情形，個案學童出 現由「多解」和「結果解」換為「關係解」的解題方式。學童會出現此作 法，是當未知數□不在等號「＝」符號旁邊時，運算解題上產生無法運用

「運算結果」計算的困難，而改利用「等量關係解」進行解題；第二種情 形，學童認為問題有誤需要進行修正，修正後恰好呈現關係解的情形，但 其實學童仍將等號視為運算結果。

學童在此產生的第一種情形與 McNeil 和 Alibali（2005）的研究，當 學生遇到無法用運算意義解釋時，會刺激其等號概念，使學生立即由運算 結果換成等價關係概念，情況相似。此情形亦應證了本研究結果二中，未 具備等號概念學童的計算題解題想法。

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（三）受制於未知數位置與自製想法，產生不一致的運算順序。

等號關係概念尚未完整的個案在面對等號乘法算式時，會有不一致的 運算方式，乃受制於未知數呈現位置不同與自訂算法的影響，而產生由左 至右與由右至左的運算方式，甚至將算式中的乘號改為除號的情形。

學童產生的運算順序與謝闓如（2010）在等號加減法算式的研究，學 童出現由外而內（即是本研究的由右至左運算）的運算情形略同。其中在 加減法算式中，學童出現加號變減號的情形，而本研究亦發現個案學童在 乘法算式中，也有將乘號改為除號的情形。

（四）找出算式中的倍數關係，呈現代數關係解。

本研究結果發現，呈現代數解的個案學童，找出等號的某一邊是另一 邊的倍數關係，得知未知數與另一數亦有相同的倍數關係，成功求得未知 數的答案，呈現代數關係解的情形，此情形尚未出現在等號加減法算式的 相關文獻中。

四、等號乘法文字題的個案訪談結果

在文字題的訪談中發現，個案能利用文字題的描述關係與關鍵字，而 正確找出題意中的未知數答案，再代入文字題列式中，正確的判斷出列式 的等價關係，部分個案在文字情境中的表現比計算題更容易。但仍有個案 受到閱讀能力與題意上的干擾，運用誤解、錯誤想法解釋題意，或直接忽 略題意，以錯誤的答案對照判斷列式的等價關係，並非以正確的想法進行 判斷。

（一）正確運用文字情境找出未知數，再代入文字題列式中進行判斷 個案透過文字題中的關鍵字（一樣多），找出文字題中未知數的答案，

進而判斷出文字題列式中的等價關係。學童藉由對文字情境題的理解，有 助於其進入兩量相等的問題情境，此情形與楊絮媛（2010）、謝闓如（2011）

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的研究相似。

（二）誤解或錯解情境中未知數的答案，再對照列式中的答案進行判斷 學童受文字題題意或部分關鍵字的干擾，運用錯誤的答案進行對照，

判斷文字題列式中的等價關係，實際上並非以正確想法進行解題。此情形 與過去研究（陳立倫，1999；邱志賢、毛國楠，2001）中，發現學生會看 錯或忽略一些重要的關鍵字、不習慣運用未知數的概念、列式時無法分辨 算式或是等式，情形相符。

綜合以上結果，學童的等號概念在乘法算式與文字題列式的表現情 形，與過去等號加減法算式與文字題列式的研究，情形大多是相同的。但 例外的是，在等號乘法計算題的表現中，未具備等號關係概念的學童與部 分個案，都有受制於未知數位置不同，而影響到學童面對乘法計算題的作 答方式，亦額外出現了一位運用等號兩邊倍數關係進行解題的學童，這些 發現是過去研究中尚未提及的，可給予未來量化研究作更進一步驗證與探 討。