第二章 文獻探討
第二節 等號算式的相關研究
學童經歷從算術至代數的變革是個模糊卻必經的過程，尤其是在等號 算式問題中發現，學童解決等號問題時要運用關係想法常常是有困難的
（Kieran, 1981），本節將不同階段學童對於解決等號算式問題的認知與想 法，情形分別敘述如下：
一、幼稚園階段
Gelman 與 Gallistel（1986）針對 32 位三到五歲學齡前的學童進行計 數實驗，發現學童具備兩相異集合數數的能力，並且能比較 A、 B 兩集合 的數量關係。當學童遇到比較結果為「一樣的」情形，便會對應到「＝」
的符號，代表「 A數量＝ B 數量」。另外，此階段學童亦能合併兩集合，計 數兩集合合併後的總數，而對應「＝」的符號代表「 A 數量+ B 數量＝
（ A
B
）數量」。Falkner 等人（1999）觀察 24 位學齡前學童的教學實驗，發現學童面 對算式 4＋5＝□＋6 時，認為□要填入 9，無法連結到數學等號的表徵概 念。但在實體物操作情境下，學童利用一邊放置四個和五個方塊，另一邊 放置九個和六個方塊，發現兩邊數量不相同的情形，並說出要使兩邊數量 相同的方法。但是，當再連結到等號表徵算式 4＋5＝□＋6 時，學童仍認 為□應填入 9。對此，Falkner 等人認為幼稚園階段的學童很少有等號的經
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驗，縱使有也不甚完全，使得學童對等號不甚暸解，故建議教師於介紹數 字運算符號教學前，注意學童等號概念的瞭解，否則學童的等號錯誤表現 情形將會越來越嚴重。
幼稚園階段的學童能將「一樣的」與合併後產生的結果，對應到「＝」
的符號表示。但在 Falkner 的教學實驗中，學童面對「等號兩邊為加法算 式且含有一未知數」的題型，學童難以用「一樣的」對應到「＝」符號，
可見以此類題型能具體呈現出學童對「＝」的錯誤想法。
二、國小階段
Behr 等人（1976）訪談 9 位國小一、二、三及六年級學生，對於等號 算式與符號的闡釋，發現低年級學童面對「 3 3
」的等號算式時，將等號 看作是運算後所得的答案，會寫成「 0 3 3
」、「 3 3 0
」、或「 3 3 6
」 等形式，或將「 3 5
」寫成「 3 5 8
」或「 3 5 0
」等情形；三年級學 童則認為等號前面應該要有算式，等號是加法或減法運算後所得的結果，便將「 3 3
」的等號算式寫成「 3 0 3
」的形式；六年級亦有此現象，學童會將「 3 3
」寫成「 6 3 3
」或「 7 4 3
」等情形。再者，當學童 面對等號兩邊皆為加法算式「 2 3 3 2
」的題型時，會在算式後面加上 等號，以「 2 3 3 2
」表示答案，無法將此算式看作是相等關係的表 示式。此研究亦發現，學童不會因隨著年級的增長而對等號想法有所改 變，六年級學童仍認為等號是「執行某事的運算符號」。Behr、Erlwanger 和 Nichols（1980）進一步針對 7 位 6 至 7 歲的學童，
訪談學童對於符號算式的解釋，以等號加減法算式為例。發現學童認為
「 2 4
□」是有意義的，但此算式是一種加法的過程，算式並不等同於「6」。雖然學童可以判斷「 2 3 5
」和「2+3=7」的正確性，但看到「 2 4
□」時，他們會認為此指令是要把答案填進□中，將「＝」當成□的答案，
也就是「 2 4
□」的答案（做某事的結果）。在面對「□ 2 5
」的題型15
時，發現學童會將算式寫成「 5 2
□」或將＋與＝互寫成「□ 2 5
」，還會拒絕「 3 3
」、「 3 5
」的題型，將算式寫成「 3 5
□」、「 3 3 0
」、「 3 0 3
」或「 0 3 3
」，且認為等號兩邊不可以是不同的數字，而接 受「 2 3 3 2
」但不接受「 4 1 2 3
」的算式題型。Saenz-Ludlow 與 Walgamuth（1998）利用教學實驗的方法觀察一位老 師與 14 位三年級學童間的互動過程、蒐集問卷，瞭解學童對於等價與等 號概念的詮釋，發現學童一開始對等號的解釋是運算結果，但經過教師引 導後，學童可以接受兩量相等的意義，此原因可能是學童模仿過去經驗或 以前數學課本的解釋所造成影響。此發現學童對於等號為運算符號的解 釋，會受外在環境影響使其改變對於等號的看法。
Falkner 等人（1999）研究國小一到六年級 752 位學童對於等號算式的 情形，以加減法算式為例，發現在「8＋4=□＋5」的等號算式，有 60％學 童認為未知數□的答案是「12」，20％認為□是「17」，7％認為兩者都是。
此外，Falkner 等人再針對一、二年級 84 位學童，進行為期一年的討論以 釐清學童的等號概念，討論的題型有兩種：含未知數與不含未知數的等號 算式，讓學童判斷對與錯。發現在含未知數的等號算式中，學童能正確說 出的等號關係解釋。但不含未知數的等號算式中，面對「 7 3 4
」與「 7 4 15 4
」的算式時，部分學生提出 7 個方塊與 3＋4 個方塊的數量 是一樣的，但認為 7 3 4
順序寫反；面對「 8 2 10 4
」的算式時，某 些學童認為因為 8 2
等於 10，所以8 2 10 4
是對的，部分學童則認為 此算式不正確，8 2
等於 10，10 4
等於 14，10 和 14 不相等；另外，有 學生面對 8 8
的等式時，表示「沒錯，但是不能這樣寫」。Falkner 等人運 用討論的方式釐清學童對於等號意義的瞭解，同時強化其對於數學的運算 能力，隨著年級增長，將等量意義結合代數算式，為下一階段奠定數學學 習的基礎。16
Carpenter 等人（2003）觀察 145 位六年級學童面對等號算式的研究，
結果與 Falkner 等人（1999）類似。發現學童在「8+4=□+5」中，有 84%
學童認為「8+4=□+5」中□應該填入「12」，14%認為□答案為「17」，2%
認為□答案為「12 和 17」。進而以訪談方式瞭解學童對等號的解釋，發現 學童受計算機上面「＝」可以按出結果的影響，難以理解等號等價的意義，
認為等號為「執行結果」，限制了他們在學習算術和代數的基礎。
Oksuz（2007）以問卷調查法探究 50 位五、六年級學童對於等號的定 義和解釋，發現有 12.5%學童認為「答案應在等號右邊，而不是在左邊」、
20%認為「等號後面應該是答案」，且學童可以接受 6＋2＝5＋3 的算式題 型，此研究結果和 Behr 等人（1980）有所不同。研究發現，平均有 31%
學童認為 6+7=□+4，□的答案為 13，56%正確回答問題，可知學童在面 對有未知數的算式時，會增加學童的解題困難度。發現只有 8%的五年級 學童和 25%的六年級學童，能正確說出等號為關係符號，其餘 83%則將等 號當作為解決問題的符號，可知學童對於等號定義並不容易掌握。在等號 算式的溝通上，五、六年級學童在面對□＝17－8 的算式時，45%會回答
「空白＝17－8」，14％會轉換成文字回答「某數＝17－8」，可知面對等號 算式，只有少數學童能進行數學文字上的轉換與溝通。
陳嘉皇（2008）研究 342 位國小六年級學童的等號意義和解題表現，
發現學童認為等號為運算概念的約有七成，只有 14％認為等號為關係概 念；學童在判斷等號算式□＋35＝51 與□＋35＋6＝51＋6 中的□數值是 否相等時，近八成學童要將兩算式中的□數值算出來後，再進行判斷，只 有一成學童會採用等量公理判斷之。
謝闓如（2010）採問卷調查法，探究 364 位國小二至三年級學童對於 等號算式的想法，以加減法算式為例。此研究發現學童認為等號是運算後 的答案且算式中一定要有運算符號才行，使得學童面對「12+37=□+25」
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時，忽略「+25」只注意到「12+37=□」，或忽略「12+」只注意到「37=
□+25」；或將「 41 41
」改成「 41 0 41
」、「41－0=41」或「41×1＝41」或認為「 41 41
」是錯的等情形。此外，研究發現到與過去研究（Behr et al., 1980; Carpenter et al., 2003; Falkner et al., 1999）不同的結果，有些學童 面對等號算式的計算方向是由外往內，他們認為「□ 48 20
」或「□＝486－203」算式中，□的答案是「20 減 48」或「203 減 486」的結果，或 將題目改成「□＝20－48，□ 28
」等情形。謝闓如由這些研究發現中指 出，學童對於等號算式的想法和成人數學世界有很大的不同，學童對於等 號的理解不一定是由左而右的運算結果，亦可以由外向內的計算或改變符 號的位置，且大部分的學童還未具備等號等價關係的概念，建議教師在教 學時，多加注意學童對於等號的想法，提供各等式範例以增加學童在等號 為計算結果以外的經驗。姚如芬（2011）以教學實驗與訪談方式，探究 17 位國小低年級學童 對於等號的相關想法。發現學童面對「 3 2 ( ) 3
」和「 3 2 ( ) 4
」 兩類型有難度上的差異，可能是學童受制於補救教學影響使其對於加法交 換律的概念比較穩固，習慣於 a b b a
的類型表徵，而應用加法交換律 的思考進行解題，卻無法類推為等號左邊等於等號右邊的等價關係概念，所以影響兩類題型的答對率，可知學童會受到當下所學習的概念而影響到 面對等號算式的情形；研究亦發現學童於「 3 2 ( ) 4
」這類型的題目，不會因算式中的括號位置不同而影響到學童的答對率，其運用的例子有
「 ( ) b c d
」與「a
( ) c d
」兩類型。國小階段正式接觸到算式，此階段的學童可以很快速的寫下「＋」與
「＝」等運算符號，但仍對於等號沒有充分理解，常將「＝」看作是執行 結果「加起來等於多少」的符號，無法看作「與……相等」的關係符號，
使得學童遇到「等號兩邊為算式且含一未知數」的等號加減法算式題型
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時，容易產生錯誤。此階段學童亦會受到教師的教學及當下所學習到的概 念所干擾，而影響他們對於等號算式的理解。
三、國中階段
Herscovics 和 Kieran 採個案研究，針對 6 位十二到十四歲的學生，探 究學生對等式的解釋。研究發現，最初詢問學生面對等號兩邊皆為算式
「 2 6 4 3
」的等號意義時，學生會被等號是「代表答案」的想法侷限 住。當教師運用教學引導建立等量概念後，發現本來將算式「 4 3 6 1
」 改寫成「 4 3 7
」的學生，或把答案寫在中間（ 5 3 15 10 5
）的學 生，最後都能運用等式兩邊數值大小相等，而接受等號兩邊可以多重運算（例如：7 2 3 2 5 2 1 6
）的表徵方式，以及等號兩邊不同運算（例 如：2 6 10 2
）方式等例子，可知教師透過教學引導可以使學童擴展等 號的想法。（引自 Kieran, 1981）McNeil 和 Alibali（2005）調查 55 位國小、25 位國二、35 位大學生以 及 20 位大學畢業生對等號的暸解歷程，指出國小進入國中階段，並不是 所有學生都能夠輕易的將等號意義從運算結果轉換為等價關係，在轉換過 程當中，可能出現情況有三：第一，學生仍停留在運算結果的等號想法，
無法將等號概念轉換為等價關係。第二，當學生遇到無法用運算意義解釋 的情況時，會刺激其新的等號概念，使學生立即由運算結果轉變成等價關 係概念。第三，學生會依據不同的表徵式而對等號有不同的解釋，此轉換
無法將等號概念轉換為等價關係。第二，當學生遇到無法用運算意義解釋 的情況時，會刺激其新的等號概念，使學生立即由運算結果轉變成等價關 係概念。第三，學生會依據不同的表徵式而對等號有不同的解釋，此轉換