國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文
指導教授：謝闓如 教授
國小四年級學童等號概念於乘
法算式與文字題列式之研究
研究生：呂易純 撰
中華民國一○二年三月
謝 辭
論文終於完成了，首先要感謝指導教授謝闓如老師的悉心指導， 無論是在論文寫作上、研究方法與心靈的鼓舞老師總給我最大的鼓勵 與支持，讓我一一突破論文寫作的困難。 在寫作的歷程中，我覺得「研究」是一件很有趣的事情，但要寫 作成一本畢業論文對我真是一大突破，包含寫作的語句不夠通順、目 的表達不夠明確等等，常常仰賴著謝老師對我發出問題與耐心地指 導，才能使我漸漸發現自己的缺點進而有所改變，其中亦受惠於林原 宏主任、甯平獻老師與易正明老師的教導，導正我的觀念使得論文方 向更為明確。進行研究施測時，感謝好友佩雯、孟華為我撘起兩所中 區國小的橋樑，讓我順利完成施測得以撰寫論文，亦感謝虞祥、鈺欣、 莉淳、銘倫、禪維與家人們提供對於論文的寶貴評價與建議，讓我順 利進行學位口試。 在此由衷感謝於假日撥空前來指導我論文學位口試的張淑怡老 師、陳彥廷老師與謝老師，不僅讓我迅速學習成長亦使我的論文更臻 於完善。感謝前來協助我口試現場的好友婕婷、琳暐與于嫣以及過程 中為我鼓舞的好友們。 感謝這一路上陪伴我與支持我的人們，因為有你們才能使我走完 研究所這一階段的旅程，讓我得以茁壯進而迎向未來的挑戰，我會繼 續努力秉持初衷並且期待著未來的每一天。 謝謝大家 易純 謹誌 中華民國一○二年三月I
摘 要
本研究旨在探討國小四年級學童的等號概念及其在等號乘法算式與 文字題列式的表現情形，主要目的有四：（一）探討學童的等號概念於乘 法運算的整體表現，（二）探討未具備等號關係概念的學童於乘法計算題 與文字題列式的解題表現，（三）分析個案於乘法計算題的解題表現，（四） 分析個案於等號文字題的解題表現。本研究採質量並行的方式，先以自編 問卷試題進行資料蒐集，對象為兩所臺中市國小 273 位四年級學童，再以 「半結構性訪談（semi-structured interviews）」針對七位學童進行訪談，以 了解學童的解題方式，主要研究發現有： 一、學童在乘法計算題的答對率比文字題列式高。 二、學童於「等號兩邊乘法算式且含一未知數」的計算題裡，未知數不在 等號旁邊的題型比未知數在等號旁邊的題型表現佳。 三、過半的學童在等號乘法運算上有優異的表現。 四、未具備等號關係概念的學童在乘法計算題的解題表現，會受制於未知 數的位置不同，而在不同計算的題型中有不同的解題方式；學童在等 號文字題列式的表現略佳。 五、在乘法計算題的訪談中發現，個案會將等號視為運算結果，忽略部份 算式再進行運算，呈現運算結果解與多種解等情形。 六、在乘法文字題的訪談中發現，個案能利用文字題兩邊一樣多的關鍵字 順利解題並代入列式中判斷等價關係。 研究結果顯示國小四年級學童的等號概念，在乘法算式與文字題列式 中，學童會受到題目的呈現方式不同而有不同的解題表現，希望此議題能II 為國小教師的教學活動提供一些資訊。
III
The study of Fourth-Graders’ Concepts of Equal
Sign in Multiplication Principle and Problem Settings
Abstract
The purposes of this study were to investigate fourth-graders’ concepts of equal sign in multiplication sentences and in word problems. Both qualitative and quantitative methods were used in this study. The participants, 273 fourth-graders from two elementary schools in Taichung City, were given a paper-and-pencil test, which was constructed by the researcher. In addition, seven students were selected for the semi-structured interviews based on their responses on the test. The main results were as follows:
1. Students performed better on mathematics sentences than on word problems. 2. Students did better on problems such as “□ 3 2 6”, compared to
problems such as “ 2□= 6 3 ”, in multiplication sentences. 3. Overall, most students did well on both settings.
4. For those students who did not understand the concept of equal sign concept, they had different problem-solving strategies according to the orders of the unknowns. These students did better on word problem settings.
5. Based on the interview findings, those students, who considered equal sign only as an “operational” sign, might ignore some parts of the mathematics sentences, and provide more than one answer.
IV
the equal sign still could construct the correct equation with the corresponding word problems.
V
目 次
第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 4 第三節 研究範圍與限制... 5 第四節 名詞解釋 ... 5 第二章 文獻探討 ... 7 第一節 等號與算式的概念... 7 第二節 等號算式的相關研究... 13 第三節 等號與乘法算式的關係 ... 22 第四節 文字題的相關研究... 24 第三章 研究方法 ... 33 第一節 研究步驟 ... 33 第二節 研究對象 ... 36 第三節 研究工具 ... 37 第四節 資料處理與分析... 43 第四章 研究結果 ... 45 第一節 等號概念在乘法運算的整體情形 ... 45 第二節 未具備等號關係概念的學童解題表現 ... 48 第三節 個案在乘法計算題之訪談結果 ... 50 第四節 個案在乘法文字題之訪談結果 ... 65 第五章 結論與建議 ... 73 第一節 結果與討論 ... 73 第二節 建議 ... 78 參考文獻 ... 83VI 一、中文部份 ... 83 二、英文部分 ... 86 附 錄 ... 90 附錄一 學童在乘法計算題的解題情形 ... 90 附錄二 等號概念乘法運算問卷 ... 93 附錄三 施測說明 ... 94 附錄四 訪談逐字稿 ... 95
VII
表 次
表 2-1-1 等號的算術與代數意義對照表 ... 11 表 2-2-1 學生的解題策略（Knuth et al., 2006） ... 20 表 3-2-1 學校人數分布表 ... 36 表 3-3-1 問卷題型的概念與題數分布情況 ... 38 表 3-3-2 問卷修改情形 ... 41 表 3-4-1 學童的解題類型說明 ... 43 表 4-1-1 學童對於等號的敘述（n270） ... 46 表 4-1-2 乘法計算題與文字題表現（n270） ... 47 表 4-2-1 學童在計算題的解題情形（n51） ... 48 表 4-2-2 學童對文字題列式判斷的情形（n51） ... 49 表 4-4-1 個案學童於乘法計算題的解題情形 ... 72 表 4-4-2 個案學童於乘法文字題的解題情形 ... 72VIII
圖 次
圖 3-1-1 研究流程 ... 34 圖 4-3-1 學童 A 計算題一作答內容 ... 51 圖 4-3-2 學童 B 計算題一作答內容 ... 53 圖 4-3-3 學童 C 計算題一作答內容 ... 55 圖 4-3-4 學童 E 計算題一作答內容 ... 57 圖 4-3-5 學童 E 計算題三作答內容 ... 58 圖 4-3-6 學童 B 計算題三作答內容 ... 59 圖 4-3-7 學童 A 計算題三作答內容 ... 60 圖 4-3-8 學童 A 計算題四作答內容 ... 61 圖 4-3-9 學童 F 計算題三作答內容 ... 62 圖 4-3-10 學童 G 計算題一作答內容 ... 63 圖 4-4-1 學童 A 文字題一作答內容 ... 65 圖 4-4-2 學童 E 文字題一作答內容 ... 66 圖 4-4-3 學童 B 文字題二作答內容 ... 68 圖 4-4-4 學童 D 文字題二作答內容 ... 69 圖 4-4-5 學童 F 文字題四作答內容 ... 701
第一章 緒論
本研究旨在探討國小四年級學童的等號概念，在乘法算式與文字題列 式的表現情形，本章將針對研究動機、研究目的、研究範圍與限制及名詞 解釋逐一說明如下：第一節 研究動機
日常生活中，學童透過對事物的觀察與瞭解，進而找出事物的抽象邏 輯是認知發展中的一項重要基本概念（Inhelder & Piaget, 1958）。在數學領 域裡，學習代數的意義即是培養學童從具體到抽象的思維能力（Hacker, 2012）。Usiskin（1999）表示，如果不具備代數的知識，人們便會失去一 部分生活重心，容易在工作事業上做出錯誤的決定，亦會影響到人們無法 在許多領域（像是化學、物理學、經濟學、商學、心理學等）中產生想法， 將會失去某些工作的機會，可見代數的重要性不容忽視。在學習代數的過 程中，「等號」是代數學習的重要環節之一（Behr, Erlwanger, & Nichols, 1976），我國教育部（2003）公佈，九年一貫數學學習領域分年細目 1-a-01： 「能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義」，雖然新的教育部 （2008）課程綱要已將其刪除，但仍是要求學生應該在國小一年級就能掌 握等號的等價關係意義。目前針對國小階段學童面對等號的相關研究，發 現學童在等號是等價關係意義的理解上，並不能完全掌握（陳嘉皇，2008； 謝闓如，2010；Baroody & Ginsburg, 1982; Behr et al., 1976; Falkner, Levi, & Carpenter, 1999; McNeil & Alibali, 2005; Oksuz, 2007）。倘若國小階段學童對等號符號概念不甚瞭解，學童便無法正確運用等 號概念解決數學算式的問題，甚至會在未來代數學習上造成阻礙（Knuth,
2
Alibali, Hattikudur, McNeil & Stephens, 2008），故學童所認知的「＝」是一 個值得深入探討的問題，瞭解國小階段學童面對等號符號表徵的概念，亦 是解決國小學童數學學習中的重要問題之ㄧ。 數學學習的過程中，符號表徵是數學概念信息的傳達方式與解題的路 徑，以刺激學生對於數學的聯想活動（程希旺，2007）。使用數學符號即 是一種數學溝通的方法（Carey, 1992），數學溝通是將心中所想的概念，正 確地傳達給他人。教師或學生透過符號傳遞自己的概念，此時符號便是其 心智概念的代言人（陳澤民譯，1995）。發展學生數學學習的溝通能力更 是數學課程的目標之一（National Council of Teachers of Mathematice, 2000）。國民小學階段的數學學習，為了發展學生數學的溝通能力，利用 符號、記號、模型、圖形或其他數學語言，以清楚傳達量化、邏輯關係的 抽象化能力（教育部，2008）。但是當符號與概念無法結合時，學童便會 在數學溝通、解題上產生困難，甚至影響到學習成效。研究顯示，學生口 說「等於」、手寫「＝」符號，與其心裡所想完全不同（廖學專，2002）， 可知學生對於等號表徵的理解，會產生符號與概念無法連結的情形。 學生對等號符號與概念無法連結的情形，我們亦可以從國小階段的數 學算術中發現，許多的數學問題常常要求運算結果，像是 5 7 ( ) 。當學 童看到等號算式時，便將等號看作是「完成一件事的符號」，對於等號的 運算概念為單向、由左至右運算且緊接著運算結果的符號，缺乏等號的等 量概念。許多學者表示，多數學童在等號加減法算式的情境下，將「＝」 看作是運算結果的符號，解釋為「總和」或「全部放在一起」的意思，使 得學童在面對□ a b 、 a b 或 a b c d 的算式時，會將它改寫或忽 略算式中的某一個數字，再進行運算（陳嘉皇，2008；謝闓如，2010；Baroody & Ginsburg, 1982; Behr et al., 1976; Carpenter, Falkner, & Levei, 2003; Falkner et al., 1999; Kieran, 1981; Knuth et al., 2008; McNeil & Alibali, 2005;
3 Oksuz, 2007; Warren, 2004）。 教育部（2008）指出，國小階段學童能在具體生活情境中，認識等號 兩邊數量相等的意義，強調數學要與學生的生活做連結。即是學生能利用 自己原有的經驗去推論並解決數學問題，包含理解和解決日常生活中的問 題，以及在不熟悉解決方式的狀況下，為自己尋找出解決問題的途徑。而 此時，教師亦應協助學生感受生活情境與數學連結的過程，培養學生以數 學觀點觀察週遭事物的習慣，讓學生觀察問題中數學的意義與關係，養成 以數學方式學習，將問題符號表徵後再解決，提高應用數學知識的能力， 發展解題策略，加深數學概念的理解（教育部，2003），透過文字題型解 決生活中的具體情境問題，是國小學童學習數學的重要內容，也是獲得數 學概念的重要工具，以發展解決問題能力的重要途徑（Briars & Larkin, 1984）。 一般而言，學者、家長和教師有一致共識認為文字題可以作為考驗學 生的數學解題能力（黃家鳴，1997），但是文字題的解題歷程複雜，不僅 需要用到計算能力，還需要用到和題目有關的數學概念、語文理解等知 識，使得學生在處理具體文字題時，容易感到困惑與難解（林淑玲，1998； 黃家鳴 1997）。而語文閱讀能力是造成學生無法理解文字題題意的最大主 因（邱志賢、毛國楠，2001；陳立倫，1999；戴妏純，2009）。無法理解 題意，連帶著學生難以連結概念與解題經驗，甚至受到多餘資訊的贅字、 數字等關鍵字干擾，使其運用錯誤關鍵字解釋文字題（蔣治邦，1993；謝 毅興，1990）。此外國小數學教科書內容分析的結果，亦發現文字題的編 排方式雖符合學生的發展層次，但在文字題內容題型分佈廣泛的教科書 中，解題策略敘述卻較為簡略；相反的文字題內容題型較少變化的教科書 中，解題策略敘述卻較為詳盡，使得學生在文字題閱讀上產生困難（呂錘 卿、余毓珊、蘇淑紋，2011）。教學活動上，教師的教學重點也強調在解
4 題運算部分，對於理解文字題的題意上少花心思（黃家鳴，1997），導致 學生在解文字題的能力上比起解計算題的能力差（林美和，1987；林碧珍， 1990）。 近期有研究針對學童的等號概念在加減計算題與文字題的表現比較 中，發現具有等價關係概念的學童在計算題的表現上較文字情境題表現優 異，但是未具備等價關係概念的學童面對文字情境題時，卻有部分文字題 的表現較計算題優異的情形（楊絮媛，2010；謝闓如，2011），此與過去 認為文字題比計算題表現差的情形背道而馳，故未具備等價關係概念的學 童在等號計算題與文字題的表現值得更深入探討。 綜合以上對於國小階段學童面對等號的相關研究發現，針對等號概念 或等號計算題結合文字題的議題上，皆以加減法算式為主要探討介面。然 而隨著學童年級的增加，乘除問題的份量也隨之增多，中年級學童正是學 習乘除概念的關鍵階段（甯自強，1993a），卻尚未出現學童對於等號乘法 算式的相關研究。故本研究以國小四年級下學期的學童為對象，探討學童 的等號概念，在等號乘法計算題與文字題列式中的表現情形，並深入探討 未具備等號關係概念的學童解題想法，以提供等號在乘法運算表現的初步 研究。
第二節 研究目的
本研究主要目的為探討國小四年級學童的等號概念在乘法算式與文 字題列式的表現情形，並以半結構性訪談法，針對七位學童，深入探討其 表現：5 本研究的主要目的包含： 一、學童的等號概念於乘法運算的整體表現情形。 二、未具備等號關係概念的學童於乘法計算題與文字題列式的解題表現。 三、分析個案於乘法計算題的解題表現。 四、分析個案於乘法文字題的解題表現。
第三節 研究範圍與限制
本研究以 101 學年度臺中市國小四年級學童共 273 人作為研究對象， 旨在探討國小四年級學童等號概念，在乘法算式與文字題列式的表現。本 研究以問卷調查法進行資料蒐集，參考 Alibali、Knuth、Hattikudur、McNeil 和 Stephens（2007）及謝闓如（2011）的研究，發展出「等號概念乘法運 算問卷」，再以半結構性訪談方式深入探討學童的解題方式。 研究以書面問卷進行調查，僅能由問卷上的字面解釋作分析，學童在 閱讀題目時，可能會受到閱讀能力的影響，使得學童的解題表現會有所限 制，並只能依據書面分析後的資料，挑出部分學童進行半結構訪談，無法 代表全部學童的認知能力。再者，研究以臺中市四年級學童為研究範圍， 所得結果僅能反映該區學童等號概念於乘法運算的表現情形，能否推論到 其他地區學校，尚待考量。第四節 名詞解釋
本研究中使用的名詞解釋，旨在使表達更為明確，避免混淆，便於討 論，茲將界定如下：6
一、乘法算式
本研究所指的乘法算式為等號兩邊乘法算式且含一未知數的題型，乘 法算式以兩位數以內的乘法運算式為主。二、文字題列式
本研究所指的文字題列式乃出現在文字情境敘述後，以等號兩邊乘法 算式且含一未知數的形式，視為文字情境的文字題列式。三、國小四年級學童
本文中的國小四年級學童為位於中區 101 學年度就讀四年級下學期的 學生。四、未具備等號關係概念的學童
本研究認為若學童在計算題中尚未全部答對，表示其對於等號的等價 關係尚不熟悉，故將計算題沒有全部答對的學童，視為未具備等號關係概 念的學童。五、解題類型
本研究參考 Knuth、Stephens、McNeil 與 Alibali（2006）學生的解題 策略，亦針對在乘法計算題中沒有全部答對的學童解題情形進行分類，分 為運算結果解、錯解方程式、多種解、關係解、代數解等五類解題類型。7
第二章 文獻探討
根據本研究之研究動機與目的，研究者蒐集國內外關於等號算式及文 字題的相關研究，加以整理、分析。本章分成五節說明之，第一節為等號 與算式的概念，分別說明等號的意義與算式的意義；第二節為等號算式相 關研究，以不同階段學童對等號認知及學習情形劃分；第三節為等號與乘 法算式的關係，說明中年級學童的運思表徵及乘除互逆概念；第四節為文 字題相關研究，分別以未知數文字題類型、文字題解題錯誤類型以及計算 題與文字題類型相關研究敘述之。第一節 等號與算式的概念
本節分為等號的意義與算式的意義，分別敘述如下：一、等號的意義
「＝」等號為最先使用在記錄解題活動中的算式符號，Behr 等人 （1976）與甯自強（1995）將等號分為「運算結果」與「等價關係」兩種 意義。第一種「運算結果」的意義，為用在算式記錄中的等號，非兩邊相 等的關係符號。此種意義由一年級學童可以理解 5＋3＝8，卻無法理解 8 ＝5＋3 的現象可看出。第二種「等價關係」的意義，具備等號的反身性 （reflection）、對稱性（symmetry）和遞移性（transitivity）等三種性質， 舉例來說：1＝1、2＝2、3＝3 的等式會在所有情況下成立為「反身性」； 若 2＋1＝3 成立，則 3＝2＋1 亦成立為「對稱性」；若 3＝2＋1 和 2＋1＝1 ＋2 均成立，則 3＝1＋2 成立為「遞移性」。8 「＝」等號在數學算式中亦普遍被使用，Wicks（n.d.）將等號的使用 方式與意義分為「數值上的相等」、「定義下的相等」、「情境下的相等」、「完 全相等」以及「理論的相等」等五種，敘述如下： （一）數值上的相等（equal in value） 指出用「＝」連結兩邊相等的數值，例如：(4 3) 6 2 運算結果為 1 ， (3 5) 4 2 運算結果亦為 1 ，故可用「＝」連結兩算式記 4 (3 5) ( 3) 6 2 4 2 。 （二）定義下的相等（equal by definition） 在「令t5」或「令 ( ) 3f x x2」時，直接宣告一個變數 t 是特定量 5 或定義函數 f x 是 3( ) x2。通常這些定義是不需要解釋和理由的，這和 第一種情況不同，乃直接在此定義 t 和 5 相等或 ( )f x 和 3x2相等。 （三）情境下的相等（equal by circumstance） 代數中的方程式常運用不同的變數，使變數符合方程式情境下數值相 等，例如：3x 2 5中的變數 x 需在x 1時符合 3x 2 5，在（x 1） 情境下使得等號兩邊的數值相等，此與定義下的相等不同。 （四）完全相等（equal identically） 對所有情況都適用且無論變數如何都成立，此說明「＝」等號兩邊是 一致性相等的，例如：算術基本性質（加法交換律 x y y x，結合律 (a b) c a (b c)，分配律 (a b ) c a c b c等）、周長或面積公式 （矩形面積＝長×寬）和函數 ( )f x 是奇函數，在數學上無需證明的等式稱 兩邊全等或稱恆等式。 （五）理論的相等（equal in theory） 利用「＝」等號作假設情況下的理論相等，例如：方程式 2x 1代數 練習中，無法找到符合此方程式條件的 x，所以我們不能說算式兩邊相等， 很多數學問題都是理論下數值的相同為理論上假設數值相等，但不一定有
9 解。 Molina、Castro 與 Castro (2009)針對等號在學校算術和代數上的意義 做了一些說明，等號在算術上的意義有「活動目標」、「運算」、「運算式的 過程」、「分解」四種；等號在代數上的意義有「相等的運算式」、「情況下 的相等」、「函數關係」、「指示相關」、「估計值」、「定義下的相等」、「任務 下的相等」七種，敘述如下： 等號在算術上的意義： （一）活動目標（Proposal of an activity） 利用未完整的符號與相關數學式，將等號擺放在右邊，例如：16 : 3； ( 1) 3 ( 5) x x x x ，此提供學生計算或簡化。 （二）運算（Operator）（也可稱作等號的運算或算術形定義） 運用等號計算求出答案或簡化左邊的運算式，例如： 4 5 20 ； 2 2 ( 2) 3 4 2 x x x x x，此將等號詮釋成一種由左至右的運算符號。 （三）運算式的過程（Expression of an action） 透過等價對稱關係將運算式展開或簡化，在算式中加入運算符號使等 號左邊與右邊相等，例如： 2 2xx x( 2) x 4x； 24 12 12 ； 12 12 24。 （四）分解（Splitter） 學生利用等號進行分解步驟練習的意義，例如： 2 2 2 1 1 1 x x x x x x ； 2 2 4 ( ) ( ) f x x f x x ，在此步驟 之間是不相關的。 等號在代數上的意義： （一）相等的運算式（Expression of equivalence）
10 當兩個數學情況相同時以等號作連結，此分成三種等式： （1）數字的等式（Numerical equivalence）：用兩個算式表現相同的數 值，例如： 4 5 3 6； 3 (4 2) 3 6 ；2 3 12。 （2）符號的等式（Symbolic equivalence）：表示算式中任意變數符號 表示都相同，例如： 2 2 ( 2) x xx x ； a b b a 。
（3）定義或概念的等式（Equivalence by definition or notation）：依據 定義連結兩個算術、概念或代數式，例：3 6 4 8為等值分數； 100cm＝1m；a ab 1 b 。
（二）情況下的等式（Expression of a conditioned equivalence）
此屬於代數的意義，運用等號表示變數有答案或無解的等式，例如：
2
4 5 6 x x x 。
（三）函數關係（Expression of a functional or dependence relation） 利用等號表示函數關係變數或參數，例如：l 2 r；y3x2。 （四）指示相關（Indicator of a connection or correspondence）
運用非數字物件表示數字或數學式，例如：□□□ 3 ； x 表示足球大 小，則腳踏車大小 3 x5。
（五）估計值（Indicator of an estimate）
等號符號連結估計出來的值，例如：1 0.33 3 。
（六）定義下的相等（Definition of a mathematical object）
等號被用來定義或指定為一個數學式，例如：當 a 是自然數時， 0
1 a ； ( ) 2 3
f x x 。
（七）任務下的相等（Definition of a mathematical object）
11 將 Wicks（n.d.）與 Molina 等人（2009）對等號的算術與代數意義分 開對照（表 2-1-1），發現 Molina 等人對等號算術意義的說明，與 Wick「數 值上相等」的內容細則目標、步驟相似；而在等號代數意義的說明上，Molina 等人與 Wick 相似的是「相等的運算式」、「狀況下的等式」、「函數關係」、 「定義下的相等」、「任務下的相等」，不同的是「指示相關」與「估計值」。 比較發現，雖然兩位學者所提出的等號意義有部分名稱不同，但對其內容 而言大致類似。Molina 等人則比 Wick 對等號的意義，採更細微具體的等 式步驟進行探討，這也許是 Molina 等人是以觀察學校中所出現的等號使用 行為有關。 表 2-1-1 等號的算術與代數意義對照表
Wicks（n.d.） Molina, Castro, & Castro（2009） 等號的算術意義 數值上的相等 活動目標 運算 運算式的過程 分解 等號的代數意義 被定義下的相等 情境下的相等 完全相等 理論的相等 相等的運算式 狀況下的等式 函數關係 指示相關 估計值 定義下的相等 任務下的相等
12
二、算式的意義
甯自強（1992）認為算式是一串特殊的人為指示信號。像數詞「ㄨˇ」， 從語音來看它是一個信號，意義在於使用此信號的人是否知道這就是正整 數概念五。如果使用者缺乏正整數概念五，縱使使用者說「ㄨˇ」，它的 語意也不是五。正整數啟蒙時，算式所包含的信號除了數字以外，就是 「＋」、「－」、「＝」等三個信號。學習算式概念時，亦是學習數字與三個 信號的語意，可知算式與符號概念密不可分。 另外，甯自強（1993b）提出算式是量的操作活動表徵。量的操作活 動是由運算符號的＋、－、＝以及運算後的數，依照符號的順序排列記錄 而成。於是，算式包含兩種成分：（1）活動前提量和活動後產生的新量； （2）量的操作組織（即＋、－、＝以及數）。例如曉明原本有 15 元，媽 媽又給了他 28 元，他現在有 43 元。此例題的操作活動表徵為 15＋28=43， 其中 15 和 28 是兩個前提量，43 是活動後產生的新量，15、＋、28、＝、 和 43 為此活動量的操作組織。 甯自強（1993b）主張學習利用算式記錄量的操作活動，除了需要學 習各符號的語意，還要學習符號排列順序的語意。例如曉明原本有 15 元， 他現在有 43 元，因為媽媽又給他 28 元。此例題的操作表徵為 15＋28＝43， 利用算式記錄量的操作活動中，符號「＋」是使語意合而為一，按照題目 語意的排列順序，消去前提量在時間與空間中的間隔，把前提量和後敘述 量合在一起。「＝」的語意是相等，此符號排列順序的語意表示為，量的 操作活動結果與符號右邊的量相等。 蔣治邦（1994）認為使數學符號成為溝通與解題的工具，在設計課程 中必須分為三個階段，首先是符號初步意義的獲得，其次使符號算式成為 溝通的工具，最後才是符號成為解題的工具。也就是說，學生首先必須先 對加減法算式中的符號產生概念意義，接著在解題過程中用算式記錄下13 來，以符號算式作為溝通的工具，最後才利用此算式來解題及找出答案。 算式的意義在於傳達人為的信號與量的操作活動表徵，若不瞭解算式 成分中符號的組成概念，算式便不具任何實質意義；相反的，若瞭解符號 的概念，但沒有運用算式來表徵量的操作活動，亦無法使數學符號成為解 題的工具，故在數學的解題活動中，符號概念與算式表徵缺一不可。
第二節 等號算式的相關研究
學童經歷從算術至代數的變革是個模糊卻必經的過程，尤其是在等號 算式問題中發現，學童解決等號問題時要運用關係想法常常是有困難的 （Kieran, 1981），本節將不同階段學童對於解決等號算式問題的認知與想 法，情形分別敘述如下： 一、幼稚園階段 Gelman 與 Gallistel（1986）針對 32 位三到五歲學齡前的學童進行計 數實驗，發現學童具備兩相異集合數數的能力，並且能比較 A、 B 兩集合 的數量關係。當學童遇到比較結果為「一樣的」情形，便會對應到「＝」 的符號，代表「 A數量＝ B 數量」。另外，此階段學童亦能合併兩集合，計 數兩集合合併後的總數，而對應「＝」的符號代表「 A 數量+ B 數量＝ （ AB）數量」。 Falkner 等人（1999）觀察 24 位學齡前學童的教學實驗，發現學童面 對算式 4＋5＝□＋6 時，認為□要填入 9，無法連結到數學等號的表徵概 念。但在實體物操作情境下，學童利用一邊放置四個和五個方塊，另一邊 放置九個和六個方塊，發現兩邊數量不相同的情形，並說出要使兩邊數量 相同的方法。但是，當再連結到等號表徵算式 4＋5＝□＋6 時，學童仍認 為□應填入 9。對此，Falkner 等人認為幼稚園階段的學童很少有等號的經14 驗，縱使有也不甚完全，使得學童對等號不甚暸解，故建議教師於介紹數 字運算符號教學前，注意學童等號概念的瞭解，否則學童的等號錯誤表現 情形將會越來越嚴重。 幼稚園階段的學童能將「一樣的」與合併後產生的結果，對應到「＝」 的符號表示。但在 Falkner 的教學實驗中，學童面對「等號兩邊為加法算 式且含有一未知數」的題型，學童難以用「一樣的」對應到「＝」符號， 可見以此類題型能具體呈現出學童對「＝」的錯誤想法。 二、國小階段 Behr 等人（1976）訪談 9 位國小一、二、三及六年級學生，對於等號 算式與符號的闡釋，發現低年級學童面對「 3 3 」的等號算式時，將等號 看作是運算後所得的答案，會寫成「 0 3 3 」、「 3 3 0 」、或「 3 3 6 」 等形式，或將「 3 5 」寫成「 3 5 8 」或「 3 5 0 」等情形；三年級學 童則認為等號前面應該要有算式，等號是加法或減法運算後所得的結果， 便將「 3 3 」的等號算式寫成「 3 0 3 」的形式；六年級亦有此現象， 學童會將「 3 3 」寫成「 6 3 3 」或「 7 4 3 」等情形。再者，當學童 面對等號兩邊皆為加法算式「 2 3 3 2 」的題型時，會在算式後面加上 等號，以「 2 3 3 2 」表示答案，無法將此算式看作是相等關係的表 示式。此研究亦發現，學童不會因隨著年級的增長而對等號想法有所改 變，六年級學童仍認為等號是「執行某事的運算符號」。 Behr、Erlwanger 和 Nichols（1980）進一步針對 7 位 6 至 7 歲的學童， 訪談學童對於符號算式的解釋，以等號加減法算式為例。發現學童認為 「 2 4 □」是有意義的，但此算式是一種加法的過程，算式並不等同於 「6」。雖然學童可以判斷「 2 3 5 」和「2+3=7」的正確性，但看到「 2 4 □」時，他們會認為此指令是要把答案填進□中，將「＝」當成□的答案， 也就是「 2 4 □」的答案（做某事的結果）。在面對「□ 2 5 」的題型
15 時，發現學童會將算式寫成「 5 2 □」或將＋與＝互寫成「□ 2 5 」， 還會拒絕「 3 3 」、「 3 5 」的題型，將算式寫成「 3 5 □」、「 3 3 0 」、 「 3 0 3 」或「 0 3 3 」，且認為等號兩邊不可以是不同的數字，而接 受「 2 3 3 2 」但不接受「 4 1 2 3 」的算式題型。 Saenz-Ludlow 與 Walgamuth（1998）利用教學實驗的方法觀察一位老 師與 14 位三年級學童間的互動過程、蒐集問卷，瞭解學童對於等價與等 號概念的詮釋，發現學童一開始對等號的解釋是運算結果，但經過教師引 導後，學童可以接受兩量相等的意義，此原因可能是學童模仿過去經驗或 以前數學課本的解釋所造成影響。此發現學童對於等號為運算符號的解 釋，會受外在環境影響使其改變對於等號的看法。 Falkner 等人（1999）研究國小一到六年級 752 位學童對於等號算式的 情形，以加減法算式為例，發現在「8＋4=□＋5」的等號算式，有 60％學 童認為未知數□的答案是「12」，20％認為□是「17」，7％認為兩者都是。 此外，Falkner 等人再針對一、二年級 84 位學童，進行為期一年的討論以 釐清學童的等號概念，討論的題型有兩種：含未知數與不含未知數的等號 算式，讓學童判斷對與錯。發現在含未知數的等號算式中，學童能正確說 出的等號關係解釋。但不含未知數的等號算式中，面對「 7 3 4 」與 「 7 4 15 4 」的算式時，部分學生提出 7 個方塊與 3＋4 個方塊的數量 是一樣的，但認為 7 3 4 順序寫反；面對「 8 2 10 4 」的算式時，某 些學童認為因為 8 2 等於 10，所以8 2 10 4 是對的，部分學童則認為 此算式不正確，8 2 等於 10，10 4 等於 14，10 和 14 不相等；另外，有 學生面對 8 8 的等式時，表示「沒錯，但是不能這樣寫」。Falkner 等人運 用討論的方式釐清學童對於等號意義的瞭解，同時強化其對於數學的運算 能力，隨著年級增長，將等量意義結合代數算式，為下一階段奠定數學學 習的基礎。
16 Carpenter 等人（2003）觀察 145 位六年級學童面對等號算式的研究， 結果與 Falkner 等人（1999）類似。發現學童在「8+4=□+5」中，有 84% 學童認為「8+4=□+5」中□應該填入「12」，14%認為□答案為「17」，2% 認為□答案為「12 和 17」。進而以訪談方式瞭解學童對等號的解釋，發現 學童受計算機上面「＝」可以按出結果的影響，難以理解等號等價的意義， 認為等號為「執行結果」，限制了他們在學習算術和代數的基礎。 Oksuz（2007）以問卷調查法探究 50 位五、六年級學童對於等號的定 義和解釋，發現有 12.5%學童認為「答案應在等號右邊，而不是在左邊」、 20%認為「等號後面應該是答案」，且學童可以接受 6＋2＝5＋3 的算式題 型，此研究結果和 Behr 等人（1980）有所不同。研究發現，平均有 31% 學童認為 6+7=□+4，□的答案為 13，56%正確回答問題，可知學童在面 對有未知數的算式時，會增加學童的解題困難度。發現只有 8%的五年級 學童和 25%的六年級學童，能正確說出等號為關係符號，其餘 83%則將等 號當作為解決問題的符號，可知學童對於等號定義並不容易掌握。在等號 算式的溝通上，五、六年級學童在面對□＝17－8 的算式時，45%會回答 「空白＝17－8」，14％會轉換成文字回答「某數＝17－8」，可知面對等號 算式，只有少數學童能進行數學文字上的轉換與溝通。 陳嘉皇（2008）研究 342 位國小六年級學童的等號意義和解題表現， 發現學童認為等號為運算概念的約有七成，只有 14％認為等號為關係概 念；學童在判斷等號算式□＋35＝51 與□＋35＋6＝51＋6 中的□數值是 否相等時，近八成學童要將兩算式中的□數值算出來後，再進行判斷，只 有一成學童會採用等量公理判斷之。 謝闓如（2010）採問卷調查法，探究 364 位國小二至三年級學童對於 等號算式的想法，以加減法算式為例。此研究發現學童認為等號是運算後 的答案且算式中一定要有運算符號才行，使得學童面對「12+37=□+25」
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時，忽略「+25」只注意到「12+37=□」，或忽略「12+」只注意到「37= □+25」；或將「 41 41 」改成「 41 0 41 」、「41－0=41」或「41×1＝41」 或認為「 41 41 」是錯的等情形。此外，研究發現到與過去研究（Behr et al., 1980; Carpenter et al., 2003; Falkner et al., 1999）不同的結果，有些學童 面對等號算式的計算方向是由外往內，他們認為「□ 48 20 」或「□＝ 486－203」算式中，□的答案是「20 減 48」或「203 減 486」的結果，或 將題目改成「□＝20－48，□ 28 」等情形。謝闓如由這些研究發現中指 出，學童對於等號算式的想法和成人數學世界有很大的不同，學童對於等 號的理解不一定是由左而右的運算結果，亦可以由外向內的計算或改變符 號的位置，且大部分的學童還未具備等號等價關係的概念，建議教師在教 學時，多加注意學童對於等號的想法，提供各等式範例以增加學童在等號 為計算結果以外的經驗。 姚如芬（2011）以教學實驗與訪談方式，探究 17 位國小低年級學童 對於等號的相關想法。發現學童面對「 3 2 ( ) 3 」和「 3 2 ( ) 4 」 兩類型有難度上的差異，可能是學童受制於補救教學影響使其對於加法交 換律的概念比較穩固，習慣於 a b b a 的類型表徵，而應用加法交換律 的思考進行解題，卻無法類推為等號左邊等於等號右邊的等價關係概念， 所以影響兩類題型的答對率，可知學童會受到當下所學習的概念而影響到 面對等號算式的情形；研究亦發現學童於「 3 2 ( ) 4 」這類型的題目， 不會因算式中的括號位置不同而影響到學童的答對率，其運用的例子有 「 ( ) b c d 」與「a( ) c d」兩類型。 國小階段正式接觸到算式，此階段的學童可以很快速的寫下「＋」與 「＝」等運算符號，但仍對於等號沒有充分理解，常將「＝」看作是執行 結果「加起來等於多少」的符號，無法看作「與……相等」的關係符號， 使得學童遇到「等號兩邊為算式且含一未知數」的等號加減法算式題型
18 時，容易產生錯誤。此階段學童亦會受到教師的教學及當下所學習到的概 念所干擾，而影響他們對於等號算式的理解。 三、國中階段 Herscovics 和 Kieran 採個案研究，針對 6 位十二到十四歲的學生，探 究學生對等式的解釋。研究發現，最初詢問學生面對等號兩邊皆為算式 「 2 6 4 3 」的等號意義時，學生會被等號是「代表答案」的想法侷限 住。當教師運用教學引導建立等量概念後，發現本來將算式「 4 3 6 1 」 改寫成「 4 3 7 」的學生，或把答案寫在中間（ 5 3 15 10 5 ）的學 生，最後都能運用等式兩邊數值大小相等，而接受等號兩邊可以多重運算 （例如：7 2 3 2 5 2 1 6 ）的表徵方式，以及等號兩邊不同運算（例 如：2 6 10 2 ）方式等例子，可知教師透過教學引導可以使學童擴展等 號的想法。（引自 Kieran, 1981） McNeil 和 Alibali（2005）調查 55 位國小、25 位國二、35 位大學生以 及 20 位大學畢業生對等號的暸解歷程，指出國小進入國中階段，並不是 所有學生都能夠輕易的將等號意義從運算結果轉換為等價關係，在轉換過 程當中，可能出現情況有三：第一，學生仍停留在運算結果的等號想法， 無法將等號概念轉換為等價關係。第二，當學生遇到無法用運算意義解釋 的情況時，會刺激其新的等號概念，使學生立即由運算結果轉變成等價關 係概念。第三，學生會依據不同的表徵式而對等號有不同的解釋，此轉換 過程並非立即的，而是當學童面臨無法以運算意義解釋的時，會先將等號 看作是關係意義的符號，才漸漸意識到等號是兩邊相等、等量的符號；可 知學生會在保有等號為結果意義時，在特殊情形下，將等號看作是等價關 係的符號，漸漸的發現等號兩邊相等及等量的涵義。 Knuth、Alibali、McNeil、Weinberg 和 Stephens（2005）以蒐集資料的 方式觀察 373 位六到八年級學生對於等號概念的瞭解，發現各年級不到一
19 半的學生認為等號是有關係意義的，而且年級越低具有關係概念的人越 少，各年級有約五成左右學生認為等號是運算意義，但隨著年級越低認為 等號為運算意義的人越多，六、七年級中認為等號為關係概念的人少於運 算概念，而八年級則各半。 Knuth 等人（2006）使用問題：（一）算式 3+4=7 中的「＝」符號名稱 為何？與（二）4m＋10=70，求 m 值。研究針對 177 名六到八年級國中學 生進行等號概念的研究。研究發現，學生回答「＝」是關係符號中，六年 級有 32％，七年級有 43％，八年級則有 31％；回答「＝」是運算符號， 六年級有 53％，七年級有 36％，八年級有 52％。顯示六到八年級中，七 年級具有等號關係概念者比例最多，六和八年級以等號運算概念為主，其 中八年級關係意義的人佔最少，運算意義最多。研究亦將各年級學生的解 題策略分為唯一解（answer only）、沒有回答/不知道（No response/ don’t know）、猜測與測試（guess and test）、解方程式（unwind）、代數解（algebra）、 其他（Other）等類，其中文獻只針對後面三種策略作出具體解釋（如表 2-2-1），發現回答等號是關係符號(等價關係)的八年級學生中，有 75％以 上的學生會利用代數策略（等號兩邊平衡對消的方法）解方程式；而回答 等號是運算符號（運算結果）的八年級生中，低於 20％的學生利用代數策 略解題。故 Knuth 等人認為學生對於等號的認知情形會影響其未來代數的 學習。
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表 2-2-1 學生的解題策略（Knuth et al., 2006） 解題策略 舉例說明（4m+10=70） 猜 測 與 測 試
（guess and test）
第一次運算 20×4=100（錯誤） 第二次運算 15×4=60，所以 m=15 解 方 程 式 （unwind） 70－10=60 60÷4=15，所以 m=15 代數解（algebra） 4m+10－10＝70－10 4 60 4m 4 ，m=15 Kunth 等人（2008）研究 375 位還沒學習解方程式的六到八年級學生 對於等號的想法以及其於方程式上的解題表現，發現具備關係概念的學 生，表現會比只有具備結果概念的學生好。Knuth 等人認為等價概念是學 習代數的一大關鍵，建議教學中應加強學童等量公理概念，使學生在代數 學習上更為順利。 Alibali 等人（2007）亦有類似於 Knuth 等人（2006）研究，利用問題： （一）算式 3 4 7 中的「＝」符號名稱為何？意義為何？（二）算式 2 n 15 9 31 9 中， n 的值相同嗎？請解釋你的想法。針對 81 位六年 級期初、七年級期初、八年級期初以及八年級期末四個時間的學生進行縱 向研究，發現六年級有 20%學生認為等號為關係概念、七年級有 35%、八 年級有 45%，八年級末有近六成的學生；認為等號為運算意義的六年級生 有 70%、七年級生有 55%、八年級生有三成、八年級期末亦有三成的學生。 顯示出中年級生對於等號概念的理解，會隨著年級增加而有逐漸趨向關係 意義的情形，此與 Falkner 等人（1999）研究國小階段學童的情形有所不 同。另外，可以正確回答代數問題的六年級生有五成、七年級生有 65%、 八年級生約有七成、八年級期末學生則超過 75%。故 Alibali 等人認為，具
21 有等號為關係概念的學生，在代數問題的表現上較等號為運算概念的學生 佳。 在國內方面，較少有針對國中階段學生的等號概念相關研究，其中為 楊喻惟（2009）採問卷調查法研究 285 位國中學生對於等號意義的認知與 一元一次方程式的解題情形，發現各年級有一半以上的學生以「關係定義」 為等號意義的解釋，屬於「關係定義」的學生在一元一次方程式的解題表 現比屬於「運算定義」的學生佳，且有較多學生採用代數解題策略，使用 代數解題者亦有較高的答對率。 國中階段開始接觸到方程式，等號運算的概念較無法解釋在兩邊皆有 運算符號（如：3x 5 5x15）的情況，學生對於等號意義的解釋結果較 不一致，多數國外的研究結果發現，學生具備等號關係定義的人數比例會 隨著年齡增加而增高（Alibali et al., 2007; Knuth et al., 2005; McNeil et al., 2005），但 Knuth 等人（2006）針對六到八年級的研究結果，發現七年級 學生以等號關係解釋的人數比例最多，到八年級反而有下降趨勢。而具有 等號關係概念的學生，多採代數解題策略。 綜合以上所述，各階段的學生對等號概念有不同的看法，國小階段是 大量強調運算的時期，學生較缺乏對等號意義的廣泛了解，認為等號為「運 算結果」者為大部分，且過去針對國小階段的等號相關研究，皆以加減法 算式為探討等號概念的主要介面，直到國中階段陸續才有等號方程式、乘 法算式的研究，但也都是以國外的研究居多。故本研究欲以過去尚未出現 過的乘法介面，探討國小學童的等號概念在乘法算式之表現情形，進而以 個案訪談的方式瞭解學童的運算想法，彌補研究量化上之不足，以期觀察 出有別於往日的研究與發現。
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第三節 等號與乘法算式的關係
本研究主要以乘法算式為介面，探討中年級學童的等號概念，而當等 號與乘法算式連結後，可能會產生乘除互逆的情形，故在此提供中年級運 思表徵與乘除互逆概念，分別敘述如下：一、中年級運思表徵
國民小學數學課程數與計算部份的教材，以四階段運思方式的發展， 考量教學活動設計，甯自強（1993a）提出其發展順序為： (一) 合成運思（integration operation）：此運思將數個「1」合而為一，形 成一個集聚單位（例如「10」）。(二) 累進性合成運思（progressive integration operation）：此運思以使用一 個集聚單位（例如「10」）為基礎，繼續合成新的「1」，形成新的集 聚單位，像是以「10」為起點，繼續合成 3 個「1」，而形成「13」。 (三)部分－全體運思（part-whole operation）：此運思掌握「1」單位與以「1」 為元素所合成的集聚單位（例如「10」）間的部分－全體關係，明顯 的區分兩者的意義，當在混用兩種以上的被計數單位（例如「拾」、 「佰」、「仟」、……，各集聚單位皆與「壹」有明顯的部份－全體關 係），不致混淆意義，也可以將數個集聚單位和數個「壹」合而為一， 形成新的集聚單位，像是 3 個「拾」與 3 個「壹」，兩個 3 具有不同 的意義，而可以將「33」視為 3 個「拾」與 3 個「壹」合成的結果。 (四)測量運思（measurement operation）；此運思以掌握「壹」與集聚單位 （例如「拾」）間的部份－全體關係為基礎，進而能掌握集聚單位與 集聚單位的元素所合成的另一集聚單位（例如「10 個拾」或「佰」） 間的部份－全體關係，也就是同時掌握兩層次的部份－全體關係。
23 當學童發展部份－全體運思時，他可以清楚掌握加法交換律或加減互 逆關係；當學童發展測量運思後，便能清楚掌握乘法交換律，乘對加的分 配性質或乘除互逆關係，國小四年級學童正值部分－全體運思進入測量運 思的過度期，正逐漸發展乘除互逆的概念。
二、乘除互逆概念
所謂乘除互逆是指乘法問題與除法問題是可以互相轉換的，在乘法問 題或除法問題情境中，可以分別透過除法運算取消乘法問題，或透過乘法 運算來取消除法問題。以周筱亭、黃敏晃（2002）在國小數學教材分析中， 針對乘除互逆關係採用了單位量轉換活動的觀點為例：「有 7 盒肥皂，其 中每盒有 6 塊肥皂，合起來有 42 塊肥皂」中，乘法運算乃是將原有分界 狀態（6 盒裝一盒，共有 7 盒），把其中的分界取消（共 42 塊，不再有分 界）；而在除法運算中，乃用本來以「塊」來描述的肥皂，要求用「盒」 來描述，如「原有 42 塊肥皂，每 6 塊裝一盒，可以裝幾盒？」，將原來沒 有分界的狀態（42 塊），增加了分界（每 6 塊裝一盒，共有 7 盒）。此意義 在於將有分界狀態甲，經由乘法運算取消了分界，變成沒有分界的狀態 乙，而沒有分界的狀態乙，再經由除法運算增加了分界，又變成了有分界 的狀態甲，所以乘、除法互為逆運算，乃一個運算可以取消另一個運算的 影響。 李光榮（1997）則指出，利用乘法取消除法，必須以合成性巢狀數概 念為基礎；而利用除法來取消乘法則必須在合成性巢狀保留概念後才有可 能。兒童乘除互逆的發展，自部分－全體運思期的合成性巢狀數概念開 始，到測量運思的測量數概念建構後才完成。 綜合以上所述，國小中年級學童「部分-全體」已發展完成，且正邁入 「測量運思」的過渡時期，正是學習乘除概念的關鍵階段。故本研究欲將24 等號與乘法算式作適度的連結，探討國小中年級學童在簡單的乘法算式 中，等號概念的表現情形。然而，中年級學童的乘除互逆發展尚未完全， 學童在乘法運算過程中，可能會受制於乘除互逆的概念而影響到等號概念 的結果。故本研究選取國小四年級下學期階段的學童，以減少乘除互逆概 念尚未完全的影響。
第四節 文字題的相關研究
文字題（word problem），又稱為應用問題或情境題，是利用文字敘述 的方式呈現題目的意義，通常以日常生活中的情境為主，希望學生運用所 學的數學知識，解決題目中所闡述的問題，以實際運用到日常生活情境當 中（尤彥喬，2004）。 由於本研究有針對學童的等號概念於乘法文字題列式的情形進行探 究，然而與等號文字題相關的文獻皆以加減法文字題情境為主，還未曾出 現等號乘法相關文獻，故以探究加減法文字題的相關研究為主，分別敘述 如下：一、未知數文字題類型
為使學童有效進行等號文字題解題，需要先瞭解等號文字題題型，再 觀察學童在文字題中的解題表現。等號文字題題型，主要是有比較量情 境，進行「含有一未知數的算式」列式後進行解題。 比較類文字題題目依照「未知數性質」分為三種題型： 1.「差異量未知」題型（小明有 5 元，小英有 3 元，問小明比小英多幾元？） 2.「被比較量未知」題型（小明有 5 元，小英比小明多 3 元，問小英有幾 元？） 3.「參照量未知」題型（小明有 5 元，小明比小英多 3 元，問小英有幾元？。）25 每一題型依語意分為「比多」和「比少」兩類。（翁嘉英，1988） 翁嘉英（1988）研究發現國小二、三年級學童認為最困難的是「參照 量未知」的題型，最容易的是「差異量未知」的題型。另外，在「被比較 量未知」的題型裡，「比多」比「比少」的問題造成較多的錯誤；在「參 照量未知」的題型，「比少」比「比多」的問題造成較多的錯誤。 呂玉琴（1997）採面談的方式探討 147 位國小一年級與 152 位國小二 年級學童解簡單加減文字題的表現，研究發現學童在各題的答對率分別在 58%和 72%以上，其中在改變類、合併類、比較題目類型中，以比較類參 照量未知的問題最難。此外，學童選擇運算符號的策略有：瞭解題意、比 對記憶中的相似題及解法、找關鍵字等。採用解題策略有：具體物策略、 數數策略、合成分解策略、混合策略等。產生錯誤的原因有：錯用關鍵字、 計算錯誤、看錯題目等。 莊松潔（2005）以訪談方式探討各 1 名二、五、七年級的學生，在具 體情境中未知數的概念及解題歷程，發現二年級學生只能列出未知數在左 邊的方程式，可知二年級生對等號的意義停留在算出答案階段，因此寫出 不對稱的等式；五年級學生已能列出兩邊均有未知數的等式，可知五年級 生對等號的意義已從算出答案過度到代表兩量相等，知道等號不具方向性 而是兩邊相等的概念，且學生能在兩步驟問題中，進行兩次逆運算求解， 但需要具體物的協助；七年級生能列出兩邊均有未知數的方程式且具備等 號為兩類量相等的概念，解題策略可以利用等量公理或移項法則。 鄭惠萍（2007）分析 455 名三年級學童在比較型加減文字題的解題表 現和錯誤類型。發現學童在文字問題轉譯中，主要困難點在於辨認解題目 標與辨認關係語句，問題整合的關鍵在於是否能正確判斷兩量集合的大小 關係，解題計畫及監控的表現上發現以標準算式填充題和含有減法運算符 號的算式答對率最高，解題執行的表現上，最容易的是「求差異量比少
26 型」，最難的是「求參照量比少型」。 謝佳伶（2008）採紙筆測驗探究 94 名國小三年級學童、105 名四年級 學童於未知數類型或語意關係對學童在比較類加減文字題表現影響及其 解題策略。發現中年級學童在二步驟比較類加減文字題中的解題表現以 「第二事件未知」及「被比較量未知」表現較佳，「第一事件未知」及「參 照量未知」的表現較差。除了「第二事件結果量未知」及「相同語意關係 參照量未知」的問題外，中年級學童的解題表現會隨著年級的增長而變 好。正確解題的學童多能掌握「關係語句」及「次要未知數」，並且會運 用「判斷集合的數量關係」、「求總差異量」、「運用未知數符號解題」等解 題策略。錯誤解題的學童則因受到文字表面訊息的影響，而使用「關鍵字 解題」、「以已知集合取代未知集合」、「嘗試法」、「時近策略」、「連結名稱 相關的集合」、「情意策略」、「轉換關係語句」等解題策略。
二、文字題解題錯誤類型
由上述未知數文字題類型得知，學童對於比較類文字題的解題較為困 難，要使學童有效進行文字題解題，應先對學童的文字題錯誤概念有所瞭 解。 本研究依照所蒐集的文獻，將學童對於文字題的錯誤類型，區分為無 法理解題意、產生錯誤的題目情境、受到多餘資訊與關鍵字策略的干擾分 別敘述如下。 （一）無法理解題意 學童在解加減法文字題的錯誤情形之一為問題轉譯，學童需要有正確 的語文及語意知識，將文字題問題正確轉譯、理解題意，否則學童的解題 正確性便會受題目敘述方式所影響（吳秀美，2011）。 陳立倫（1999）利用紙筆測驗的方式，研究 61 位國小二年級學童解27 數學文字題的認知歷程。發現學童在使用部份整體基模和解題策略時，不 完全了解問題的基模，有偏重使用策略忽視理解題意的現象；不同類型的 題目有順逆關係的差異，使得學童在表現上有所不同；文字題亦有固定性 的語句結構，使得學童會藉由部分訊息提取策略進行解題。此過程雖可以 減少理解題意所需要的時間，但卻造成學童忽略理解題意的重要性，甚至 對它產生漠視。 陳淑琳（2001）亦以紙筆測驗方式探究 263 位國小二年級學童，再以 個別訪談方式抽取 6 位學童個別訪談，探討學童乘法文字題的解題歷程。 研究發現，學童在閱讀題目上只是閱讀文字題中的表面字詞，沒有注意語 句的數學意義，只能依照題目中敘述形式來選擇解題目標。另外，學童在 解乘法文字題上最大的關鍵在問題轉譯，學童無法瞭解題意使其難以進行 解題活動。 邱志賢與毛國楠（2001）探討 12 位國小六年級學生在解未知數文字 題中時，產生的另類概念情形。發現學生會看錯或忽略一些重要關鍵字、 不習慣運用未知數的概念、在列式時無法分辨算式或是等式，閱讀時較無 法掌握重點，以至於無法掌握整個問題情境。 陳世杰（2004）採用問卷調查法抽取 660 名國小六年級學童，探討其 閱讀理解策略與數學文字題閱讀理解能力、數學文字題解題表現之關係。 發現國語文成就不錯的學童，其數學文字題閱讀理解和數學文字題解題表 現也比較好，學童在數學文字題閱讀理解、解題表現的優劣與其閱讀理解 策略的運用有關。 趙旼冠、楊憲明（2006）針對 83 名國小一、二年級學童，探討影響 數學障礙學生數學概念理解、推理能力及解題表現的因素。數學推理的能 力是指經由部分數學訊息（概念、原則）來合理推測未知數訊息的能力， 數學解題表現是採用加減運算概念以及符號記錄算式解決數學文字題的
28 能力，發現學童的閱讀理解能力是數學概念理解能力的主要因素。 戴妏純（2009）則以因素分析探討一年級 154 位學童在比較型文字題 上的表現，研究中發現不同加減類型但同樣算法的文字題中，對學童來說 會有不同的難度，像是題目一「妹妹有 10 元，哥哥又給妹妹 5 元，請問 妹妹現在有多少元？」，成功答題的學生再面對題目二「妹妹有 10 元，她 的錢比哥哥少 5 元，請問哥哥有多少元？」則會出現解題失敗的情形，雖 然兩題題目皆可以利用「10+5=15」進行解題，但是因為語言結構不同， 對學生來說就是不同的題目，故解決文字題所需的不只是問題所涉及的算 術運算，題意理解佔有重要的角色。 （二）產生錯誤的問題情境 解題者在第一次閱讀題目時會先回憶過去的解題經驗，第二次則開始 瀏覽資料，蒐集有關題目的解答與訊息。故解題者在解題時會先經過一道 轉換過程，將數學問題理解後，然後喚起解題者長期記憶中的相關訊息， 長期記憶中的訊息解題解碼後，才與數學問題訊息重新組合，再經解題者 計算階段，完成解題（引自陳立倫，1999）。回憶過去經驗的動作即為問 題情境之檢索，若此一環結產生錯誤，便使得學童無法正確有效解題。 古明峰（1998）以受試者內研究設計針對 282 位國小二年級學童，分 析加、減法文字題的語文知識對於學童面對問題難度的影響。結果發現語 文知識的語文結構、語意經驗、語意陳述會影響問題的難度，且這三個因 素有交互作用。表示問題難度除了受語意結構的影響外，還會受到問題的 語意經驗影響。語意經驗可分為具體述詞（如：蘋果）、不可具體述詞（如： 蜂蜜）及抽象述詞（如：溫度），問題難度並非完全由述詞經驗中的可數 或抽象與否所決定，而可能與學童對問題中述詞經驗的熟悉程度有關。 涂金堂（2007）運用相關研究法探究 36 位國小六年級學生在解數學 文字題時對文字題所形成的問題結構，與其數學解題表現兩者之間的關
29 係。發現在數學解題表現較差的學生對於文字題題目相似性的作業，會採 用「相似的表現結構」也就是學童會在解題時偏重於問題的表面特質而忽 略問題的結構特性，運用題目間具有情境相似的問題基模進行解題。 （三）接收多餘資訊的干擾 學童在解加減法文字題的錯誤類型情形中，出現解題計劃及監控的迷 思概念，主要是學童的策略性知識無法前後連貫，受到中間多餘的文字資 訊干擾，選擇錯誤的解題策略（吳秀美，2011）。 蔣治邦（1993）透過實驗探索 314 位國小三、四年級學童使用加減法 理解文字題題意的能力以及多餘資訊對學童的影響。發現學童在解題時， 會受到多餘資訊的干擾，多餘資訊的錯誤與多餘的數字資訊有關，只有當 學童真正的理解題意時，才能釐清哪些資訊是有用的，並且順利的提取適 當的資訊進而運算，否則，多餘的數字資訊會造成學童數字上選擇的困擾。 陳立倫（1999）以訪談方式探討 61 位國小二年級學童在面對有無多 餘資訊的文字題解題表現，發現學童在被比較量未知的文字問題上，解題 正確率是 65.70%，在被比較量未知的數字多餘資訊題上，解題正確率卻只 有 31.98%，差異高達 33.72%。在參照量未知的一般問題上，解題正確率 是 35.76%，但在參照量未知的數字多餘資訊題上，其解題正確率只有 16.28%，差異高達 19.48%，可知學童面對有多餘資訊的文字題時，正確率 有明顯降低的現象。 （四）受制於關鍵字策略的干擾 關鍵字策略即是將「比多」對應到加法，將「比少」對應到減法，固 定減法策略與固定加法策略，分別以減法或加法進行解題。學童對於問題 表徵較難以形成，只能運用問題局部線索（關鍵字）解題，此現象在「參 照量未知」題型特別顯著（翁嘉英，1988；謝毅興，1990）。 張景媛（1994）探究 55 名國中生在數學文字題上所產生的錯誤概念，
30 發現學生認為沒有數字的句子是無用的句子，憑著直覺或關鍵字作反應， 使用錯誤基模，不了解已知條件和未知條件的關係連結，有數字就作運 算；解代數方程式時，常出現移項的錯誤。 李麗君、陳玟樺（2010）採自編測驗探討 100 名六年級學生，解數學 文字比較題型表現及其差異，分析學生解題失敗可能原因及其解題策略。 發現學生在解一致性語言問題時，最多是計算錯誤，不一致問題則是運算 符號錯誤。面對加減運算題目時，較多採關鍵字策略，面對解乘除運算題 目時，則多採「×」乘號進行運算。
三、計算題與文字題
一般單純計算題與文字題要求不同，計算題所要求為僅建立在以數字 為主的外在算式程序，而文字題是則須將題目的文字訊息轉換成部分-整體 關係（Riely & Greeno, 1988），學童面對兩者題型有所差異，差異情形值得 深入探討。 吳心馨（2007）利用卷調查法針對 198 位國中二年級學生，比較學生 的估算於純數字計算題與文字情境題的差異性。發現學生對於純數字問題 的答對率是 45%；在情境問題中的答對率為 33%；兩者相差 12%，達顯著 差異，顯示學生在純數字題的表現優於情境題。 楊絮媛（2010）採自編問卷施測探討 165 位學童國小三年級的等號概 念在加減數字計算與文字題情境的差異情形。研究發現認為等號是等價關 係的學童與等號是運算結果的學童約各佔全部學童的一半，認為等號是等 價關係的學童在計算題、文字情境題表現上皆優於認為等號是運算結果的 學童，尤其在「等號兩邊為算式且含一未知數」的題型表現上更為明顯， 此顯示若學童具備等號是等價概念則較能順利解決此類型的題目。此外， 研究亦發現若學童具備等號的等價概念在計算題與文字題表現為計算題31 優於文字情境題，此結果與吳心馨（2007）研究相符；但若屬於等號是運 算結果的學童出現了文字情境題較計算題表現為佳的情形，推估文字情境 可能幫助此類學童解題。 謝闓如（2011）採問卷資料蒐集分析探討 829 位三年級學童的等號概 念於數學算式和文字情境的差異，問卷中的結果發現，在文字問題中平均 答對題數為 4.32 題而數字計算題平均答對題數為 2.27 題，可知學童以文 字問題表現較好；進一步分析擁有不同概念學童於文字題的答題情形，發 現具有等號運算和關係概念的學童相較只有關係或只有運算概念的學童 表現要好；進而了解各類型學童對於不同問題類型下的解題差異，發現數 字計算題中，屬於運算與關係概念兩者皆有的學童在 35 24 24 ( ) 和 25 32 ( ) 14 表 現 最 好 。 在 文 字 題 表 現 中 ， 屬 於 關 係 概 念 學 童 在 78 45 32 ( ) 和 25 31 ( ) 12 的文字題表現最好，其次為兩者概念 皆有的學童，此結果與數字計算題的結果不同。文字題方面發現雖然學童 能正確解答文字情境問題，但僅有不到六成的學童認為算式可以代表文字 題的情境，顯示學童可能會因為文字情境的描述而得到答案。 綜合以上所述可以看出，近年來已有諸多學者在「比較類文字情境題」 領域上投入心力，發現無法理解題意是學童面對文字題的最大障礙。文字 題與計算題的比較上，文字題表現大多比計算題表現差。但是只具備等號 運算概念的學童，在等號文字列式題型上出現比計算題表現好的情形，出 現此情形的未具備等號關係概念的學童想法，值得進一步深入探討。 國內外已有諸多學者針對「等號概念」進行研究，結果均顯示出大部 分國小學童對於等號只具有「運算結果」的概念，對於「等價關係」概念 尚未掌握，而此類研究在國小階段，皆著重在等號加減法算式情形探究， 未曾出現過等號乘法算式的研究。而等號加減法算式中，陸續也有學者進 行計算題與文字題合併的探究，但對於未具備等號概念的學童，在計算題
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與文字題表現差異的想法，尚未深入探究。故本研究以結合等號乘法算式 與文字題列式的方式，觀察學童的等號概念，並進一步探討未具備等號概 念的學童解題與想法，以提供等號於乘法運算上的資料，期望發現有別於 以往加減法算式的研究。
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第三章 研究方法
本研究旨在探討國小四年級整體學童與未具備等號關係概念的學童 於乘法算式與文字題列式的表現，並瞭解不同個案的解題方式。研究採取 質量並行的方式分為兩個階段進行，第一階段採用紙筆測驗，自行編製「等 號概念乘法運算」問卷，藉由國小四年級學童在此問卷的作答情形進行分 析。第二階段採「半結構性訪談」的方式，瞭解個案在計算題與文字題的 表現。 本章共分成研究步驟、研究對象、研究工具、資料處理等四節說明之。第一節 研究步驟
本節說明研究過程的詳細內容、時間以及相關資料分析。研究流程如 圖 3-1-1 所示，各階段說明如下：34 圖 3-1-1 研究流程 100 年 11 月 至 101 年 4 月 擬定研究計畫，確定研究問題 蒐 集 相 關文獻 等號概念 等號算式相關研究 算式概念 文字題相關研究 試題編制 等號概念的乘法運算 預試 正式施測 半 結 構 性訪談 撰 寫 研 究報告 101 年 4 月 至 101 年 6 月 資料分析 訂定訪談大綱 實證資料蒐集 施測資料分析、分類 訂定解題類型 選定訪談對象 訪談資料分析 建立訪談逐字稿 文 獻 探 討 101 年 6 月 至 101 年 10 月 等號意義和符號 的讀寫 等號乘法算式 計算題 等號乘法算式 文字題 等號與乘法算式的關係
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一、準備階段
此階段實施時間為 101 年 2 月至 4 月，進行研究計畫擬定，確定研究 問題後，多方蒐集相關文獻，選定與研究主題符合的文獻進行分析與探 討，以作為研究工具的指標與參考。 本研究參考謝闓如（2011）等號加減法算式與文字題列式的問卷內 容，修改成等號在乘法算式與文字題的問題情境作為本實證研究的主軸， 並向指導教授與數位現任國小教師請教與討論，更改問卷中不適當的題 意，使修正過後的問卷成為本研究的正式問卷。二、實施階段
此階段實施時間為 101 年 4 月至 6 月，以問卷調查作為蒐集資料的方 法、擬定訪談大綱，並於正式施測前進行預測。預測對象為臺中市某國小 四年級學童 28 人，預測結束後，針對問卷意思表達不清、有問題的題目 內容進行修正，修正後即為本研究正式問卷。正式測驗則以 273 位四年級 學童進行施測，測驗時間為 40 分鐘，施測結束後，無須批改，直接將問 卷全數收回。三、分析階段
此階段實施時間為 101 年 6 月，問卷回收後，研究者將問卷作詳細批 改並進行資料整理與分析。依據學童問卷解題情形，選出七位受試者進行 質性訪談，訪談時間約 20 分鐘。完整訪談後，將學童進行編碼並將其訪 談內容整理建立成逐字稿作為研究依據。 整個研究期間依據多方蒐集的相關文獻，選定與研究主題符合的文獻 進行分析與探討，作為研究工具的指標與參考。將受試者試題作答的解題36 情形、七位受試者訪談整理後的逐字稿作深入的分析，撰寫成本研究的研 究論文。
