等號與算式的概念

第二章 文獻探討

根據本研究之研究動機與目的，研究者蒐集國內外關於等號算式及文 字題的相關研究，加以整理、分析。本章分成五節說明之，第一節為等號 與算式的概念，分別說明等號的意義與算式的意義；第二節為等號算式相 關研究，以不同階段學童對等號認知及學習情形劃分；第三節為等號與乘 法算式的關係，說明中年級學童的運思表徵及乘除互逆概念；第四節為文 字題相關研究，分別以未知數文字題類型、文字題解題錯誤類型以及計算 題與文字題類型相關研究敘述之。

第一節 等號與算式的概念

本節分為等號的意義與算式的意義，分別敘述如下：

一、等號的意義

「＝」等號為最先使用在記錄解題活動中的算式符號，Behr 等人

（1976）與甯自強（1995）將等號分為「運算結果」與「等價關係」兩種 意義。第一種「運算結果」的意義，為用在算式記錄中的等號，非兩邊相 等的關係符號。此種意義由一年級學童可以理解 5＋3＝8，卻無法理解 8

＝5＋3 的現象可看出。第二種「等價關係」的意義，具備等號的反身性

（reflection）、對稱性（symmetry）和遞移性（transitivity）等三種性質，

舉例來說：1＝1、2＝2、3＝3 的等式會在所有情況下成立為「反身性」；

若 2＋1＝3 成立，則 3＝2＋1 亦成立為「對稱性」；若 3＝2＋1 和 2＋1＝1

＋2 均成立，則 3＝1＋2 成立為「遞移性」。

8

「＝」等號在數學算式中亦普遍被使用，Wicks（n.d.）將等號的使用 方式與意義分為「數值上的相等」、「定義下的相等」、「情境下的相等」、「完 全相等」以及「理論的相等」等五種，敘述如下：

（一）數值上的相等（equal in value）

指出用「＝」連結兩邊相等的數值，例如： 4

（二）定義下的相等（equal by definition）

在「令

t 

5」或「令 ( ) 3

f x  x 

2」時，直接宣告一個變數 t 是特定量 5 或定義函數

f x 是 3

( )

x 

2。通常這些定義是不需要解釋和理由的，這和 第一種情況不同，乃直接在此定義 t 和 5 相等或 ( )

f x 和 3 x 

2相等。

（三）情境下的相等（equal by circumstance）

代數中的方程式常運用不同的變數，使變數符合方程式情境下數值相 等，例如：3

x   

2 5中的變數 x 需在

x  

1時符合 3

x   

2 5，在（

x  

1） 情境下使得等號兩邊的數值相等，此與定義下的相等不同。

（四）完全相等（equal identically）

對所有情況都適用且無論變數如何都成立，此說明「＝」等號兩邊是 一致性相等的，例如：算術基本性質（加法交換律 x

   y y x

，結合律 (

a      b

)

c a

(

b c

)，分配律 (

a b      

)

c a c b c

等）、周長或面積公式

（矩形面積＝長×寬）和函數 ( )

f x 是奇函數，在數學上無需證明的等式稱

兩邊全等或稱恆等式。

（五）理論的相等（equal in theory）

利用「＝」等號作假設情況下的理論相等，例如：方程式 2^x

 

1代數 練習中，無法找到符合此方程式條件的 x，所以我們不能說算式兩邊相等，

很多數學問題都是理論下數值的相同為理論上假設數值相等，但不一定有

9

解。

Molina、Castro 與 Castro (2009)針對等號在學校算術和代數上的意義 做了一些說明，等號在算術上的意義有「活動目標」、「運算」、「運算式的 過程」、「分解」四種；等號在代數上的意義有「相等的運算式」、「情況下 的相等」、「函數關係」、「指示相關」、「估計值」、「定義下的相等」、「任務 下的相等」七種，敘述如下：

等號在算術上的意義：

（一）活動目標（Proposal of an activity）

利用未完整的符號與相關數學式，將等號擺放在右邊，例如：16 : 3



； ( 1) 3 ( 5)

x x   x x  ，此提供學生計算或簡化。

（二）運算（Operator）（也可稱作等號的運算或算術形定義）

運用等號計算求出答案或簡化左邊的運算式，例如： 4 5 20

 

；

2 2

( 2) 3 4 2

x x   x  x  x

，此將等號詮釋成一種由左至右的運算符號。

（三）運算式的過程（Expression of an action）

透過等價對稱關係將運算式展開或簡化，在算式中加入運算符號使等 號左邊與右邊相等，例如：2

x  x x

(

 

2)

x

²



4

x

； 24 12 12

 

； 12 12

 

24。

（四）分解（Splitter）

學生利用等號進行分解步驟練習的意義，例如：

2 2 2

1 1 1

x   x  x    x x   x

；

f x

( )

 x

²

 f

²( )

x  x

⁴，在此步驟 之間是不相關的。

等號在代數上的意義：

（一）相等的運算式（Expression of equivalence）

10

當兩個數學情況相同時以等號作連結，此分成三種等式：

（1）數字的等式（Numerical equivalence）：用兩個算式表現相同的數 值，例如： 4 5

  

3 6； 3 (4 2) 3 6

   

；²3



12。

（2）符號的等式（Symbolic equivalence）：表示算式中任意變數符號 表示都相同，例如：

x

²



2

x  x x

(



2)； a b b a

  

。

（3）定義或概念的等式（Equivalence by definition or notation）：依據 定義連結兩個算術、概念或代數式，例：3 6

4



8為等值分數；

100cm＝1m；

a

¹

b ab



 。

（二）情況下的等式（Expression of a conditioned equivalence）

此屬於代數的意義，運用等號表示變數有答案或無解的等式，例如：

2 4 5 6

x  x  x 

。

（三）函數關係（Expression of a functional or dependence relation）

利用等號表示函數關係變數或參數，例如：

l  

2

r

；

y 

3

x 

2。

（四）指示相關（Indicator of a connection or correspondence）

運用非數字物件表示數字或數學式，例如：□□□ 3



； x 表示足球大 小，則腳踏車大小 3

 x 

5。

（五）估計值（Indicator of an estimate）

等號符號連結估計出來的值，例如：1

3



0.33。

（六）定義下的相等（Definition of a mathematical object）

等號被用來定義或指定為一個數學式，例如：當 a 是自然數時，

a

⁰



1； ( ) 2 3

f x  x 

。

（七）任務下的相等（Definition of a mathematical object）

等號被用來指定一數值的符號，例如：如果

x 

4，那麼

x

²



5是多少？

11

將 Wicks（n.d.）與 Molina 等人（2009）對等號的算術與代數意義分 開對照（表 2-1-1），發現 Molina 等人對等號算術意義的說明，與 Wick「數 值上相等」的內容細則目標、步驟相似；而在等號代數意義的說明上，Molina 等人與 Wick 相似的是「相等的運算式」、「狀況下的等式」、「函數關係」、

「定義下的相等」、「任務下的相等」，不同的是「指示相關」與「估計值」。

比較發現，雖然兩位學者所提出的等號意義有部分名稱不同，但對其內容 而言大致類似。Molina 等人則比 Wick 對等號的意義，採更細微具體的等 式步驟進行探討，這也許是 Molina 等人是以觀察學校中所出現的等號使用 行為有關。

表 2-1-1 等號的算術與代數意義對照表

Wicks（n.d.） Molina, Castro, & Castro（2009）

等號的算術意義 數值上的相等 活動目標 運算

運算式的過程 分解

等號的代數意義 被定義下的相等 情境下的相等 完全相等 理論的相等

相等的運算式 狀況下的等式 函數關係 指示相關 估計值

定義下的相等 任務下的相等

12

二、算式的意義

甯自強（1992）認為算式是一串特殊的人為指示信號。像數詞「ㄨˇ」， 從語音來看它是一個信號，意義在於使用此信號的人是否知道這就是正整 數概念五。如果使用者缺乏正整數概念五，縱使使用者說「ㄨˇ」，它的 語意也不是五。正整數啟蒙時，算式所包含的信號除了數字以外，就是

「＋」、「－」、「＝」等三個信號。學習算式概念時，亦是學習數字與三個 信號的語意，可知算式與符號概念密不可分。

另外，甯自強（1993b）提出算式是量的操作活動表徵。量的操作活 動是由運算符號的＋、－、＝以及運算後的數，依照符號的順序排列記錄 而成。於是，算式包含兩種成分：（1）活動前提量和活動後產生的新量；

（2）量的操作組織（即＋、－、＝以及數）。例如曉明原本有 15 元，媽 媽又給了他 28 元，他現在有 43 元。此例題的操作活動表徵為 15＋28=43，

其中 15 和 28 是兩個前提量，43 是活動後產生的新量，15、＋、28、＝、

和 43 為此活動量的操作組織。

甯自強（1993b）主張學習利用算式記錄量的操作活動，除了需要學 習各符號的語意，還要學習符號排列順序的語意。例如曉明原本有 15 元，

他現在有 43 元，因為媽媽又給他 28 元。此例題的操作表徵為 15＋28＝43，

利用算式記錄量的操作活動中，符號「＋」是使語意合而為一，按照題目 語意的排列順序，消去前提量在時間與空間中的間隔，把前提量和後敘述 量合在一起。「＝」的語意是相等，此符號排列順序的語意表示為，量的 操作活動結果與符號右邊的量相等。

蔣治邦（1994）認為使數學符號成為溝通與解題的工具，在設計課程 中必須分為三個階段，首先是符號初步意義的獲得，其次使符號算式成為 溝通的工具，最後才是符號成為解題的工具。也就是說，學生首先必須先 對加減法算式中的符號產生概念意義，接著在解題過程中用算式記錄下

13

來，以符號算式作為溝通的工具，最後才利用此算式來解題及找出答案。

算式的意義在於傳達人為的信號與量的操作活動表徵，若不瞭解算式 成分中符號的組成概念，算式便不具任何實質意義；相反的，若瞭解符號 的概念，但沒有運用算式來表徵量的操作活動，亦無法使數學符號成為解 題的工具，故在數學的解題活動中，符號概念與算式表徵缺一不可。

在文檔中 國小四年級學童等號概念於乘法算式與文字題列式之研究 (頁 17-23)