分數的意義及其相關研究

一、分數的意義

分數概念的起源於「分」，原本是用來解決不滿一個單位量的量的數值之問 題，是將原單位量經過等分割這個步驟後所得到的單位分量的重複(甯平獻，

1995；呂玉琴，2000)。Freudenthal(1983)則主張分數的起源為分割一物件的紀錄 和結果。Hunting(1986)則認為分數的最初概念是要將一個連續物細分。

在不同的運思階段，可以將分數的意義分為以下六點(李端明，2001)：

(一)部分-全體關係(連續量)：可以將分數表徵為一個連續的整體被等分割後，其

中幾部分與該整體的比較結果，與圖形中全部的一部分相容。例如 ： 黑色部分佔全部的四分之一。

(二)子集-集合關係(離散量)：即將分數表徵為一個集合被等分後，其中的幾組和 該集合相對比較後的一個關係。例如： 黑色的部分佔全部的四分 之ㄧ。

(三)除法中等分除的商：除法分成包含除和等分除兩種，如果我們以分數等分割 這個觀點來看的話，則除法中等分除的意義可以說是與分數相容，因此分數 在等分除的意義是一單位量被等分的歷程和結果。

(四)小數：小數可視為等分割數為十進位的一種表徵型態，當一單位量的等分割 數為十或與十進位結構連絡時，此時分數和小數相連絡，例如 1/10=0.1，1/100

＝0.01，1/1000＝0.001。

(五)數線上的一點：數線上的一點可以為整數、小數、有理數，所以數線上的一 點亦可以說是分數的一種型態。

(六)比與比值：將分數表徵成兩個連續量相比的結果，是全體和部分並置在同一 量中的比較，比值則是經由單位量的轉化將此關係數值化。

Dickson, Brown and Gibson(1984)對分數提出了五種解釋：

(一)部分/整體(sub-area of whole region)：用來表示一連續量經等分割的步驟後的 幾部分，通常會用面積來解釋其意義，但卻在表徵假分數以及帶分數的時候，

容易使學童造成誤解。

(二)子集合和全部集合間的比較(a comparison between a subset of discrete object and whole set)：用來表示一離散量經等分後的幾部分，和部分/整體的模式相 近，但在表徵假分數以及帶分數的時候，也是容易使學童造成誤解。

(三)兩個全數間數線上的一點(a point in number line which line at an intermediate point between two whole numbers)：若數線上區間的長度等於 1 時，則和部分/

整體的模式相似。但是若區間的長度大於 1 時，學童卻會受部分/整體的概念 所影響，而將區間的長度當作全部來處理，反而會造成錯誤。

(四)除法運算的結果(the result of a division operation )：是用以表示兩數相除的結 果，例如：35=

5

3。它也有一個重要的意義，就是在將分數轉換為小數的時

候，可以用來說明轉換時的算則之意義，例如：

5

3=35=0.6。

(五)二組集合或二組度量的大小比較之方法(a way of comparing the sizes of two sets of the objects or two measurements)：是用以表示兩個連續量或是兩個離散 量比較的一個結果，例如：丙有 7 元，丁有 3 元，丙是丁的幾倍？以分數表 示之。

林碧珍(1990)將分數定義為以下五種：

(一)部分-整體模式：意指全部區域中的部分區域，是以連續量為主，例如：面積、

體積和長度等。

(二)子集合-集合模式：意指集合中的部分集合，是以離散量為主。

(三)數線模式：意指數線上的一個數值。

(四)商模式：意指兩數相除的一個結果，例如：45=

5 4。

(五)比值模式：意指二個集合或二個度量相比後所得到的結果。

楊瑞智(2000)分析 82 年版國小數學教材的分數問題情境後，將分數的意義分 為以下十種：(一)部分/全部。(二)子集合/集合。(三)乘法運算元。(四)等值分數。

(五)整數相除的結果。(六)分數是一個數/數線上的一點。(七)平均。(八)當量。(九) 比例中的比、比值、比較量基準量、比例尺。(十)機率。

綜合上述，分數的意義，大部分皆包含了部分-全體、子集合-集合、兩數相 除的結果、數線上的一點和比這五種意義，其中提到了分數是利用「兩數相除的 結果」來和小數進行互換，本研究中分數轉換為小數的算則即是運用到這個意義。

二、分數詞的意義

除了要了解分數的意義外，教師如果要在教學上能確切的掌握學童分數概念 的學習狀況，則必頇了解學童對部分和全體的運思程度以及在不同階段時分數詞 的意義，可以將分數詞的意義分為：「分數的前置概念」、「起始單位分數」、「加 法性分數」、「巢狀分數」、「有理數」(甯平獻，1993，1997a，1997b；李端明，2001；

彭嘉妮，2007)。說明如下：

(一)分數的前置概念：學童具有數概念和分割活動，但是其數概念只是序列性合 成運思，還未能將子分割單位數值化，在這個階段的學童的分割活動為分散 與破裂活動，一離散量經由分散的活動未必公平，但也未必能窮盡；一連續 量經破裂活動，若是以撕裂的動作，則每一份不一定一樣大，一半對他們而 言，只是將東西分成兩部分，但並不代表是分為相等的兩等分。分數的前置 概念可以說是分數概念的前身。

(二)起始單位分數：學童已能將一單位量內嵌在全體做比較，但還沒有子分割單 位數值化的概念，例如：學童知道將一連續量等分成四份，每一份為 1/4，表 示學童已經能將子分割結果單位化，但若反過來問一份是 1/4，全部是多少？

學童則會回答 5，此時單向的部分-全體關係並不明確，會混淆。此時如果詢 問學童 1/4+1/4 是多少，會得到 2/8 這個答案。

(三)加法性分數：這時學童具有子分割運思，也具備單向的部分-全體運思時的分 數概念，因此對於 1/4+1/4 這個問題，能確實回答出 2/4 這個答案。因具備單 向的部分-全體概念，所以若每一份是 1/3，學童已能回答全部是 3 份。

(四)巢狀分數：學童具有雙向的部分-全體運思，而且也具有將子分割單位數值化 的分數概念，可以同時運思兩個分數，因此能理解等值分數和分數次序的比 較。雖然能理解等值分數，但缺乏共測單位的概念，所以這個階段的學童，

只能以等分割的概念來運思等值分數，例如 1/4 和 2/8，學童並無法藉由共測 單位 1/8 來運思並進行比較。

(五)有理數：有理數是巢狀分數的重組，表示學童不只具備巢狀分數的概念，還 能以分數作為測量單位。所以此時的學童已能用共測單位 1/12 來比較「2/4 和 6/12」是否為等值分數。由於此時的學童已能理解等值分數的關係，故稱 為有理數概念。

所以在分數的前置概念時，學童並未有等分割概念，只有數概念及能進行分 割活動；起始單位分數雖已具有等分割概念，但僅能對子分割結果單位化，無法 明確的了解部分-整體的關係，這是學童在一開始學習三年級分數時的可能經歷的 階段；加法性分數階段這時的學童具有子分割運思及單向的部分全體概念，所以 可以進行同分母的分數加減亦可以了解藉由一個分數及部分的量來得知全體的 量，依據 97 課綱，這是三年級的分數教學後的所應具備的能力；巢狀分數時期 學童具備了雙向部分-全體運思與子分割單位數值化概念，所以可以同時運思兩個 分數，並利用等分割概念來理解等值分數，但無法使用共測單位，根據 97 課綱，

這是四年級等值分數的教學後所應具備的能力；有理數階段比巢狀分數階段更進 一層，除了巢狀分數具備的能力外，已能使用共測單位分數理解等值分數，表示 亦具有最簡分數的概念，根據 97 課綱，這是六年級分數教學後所應具備的能力。

依照我國的數學課程，可發現分數教學是在整數教學之後，那整數與分數的 差別需進一步釐清，才能在教學上與整數有所區隔。表 2-1-1 自然數和分數之間 的差異，在符號表示和運算方面皆有差異。

表 2-1-1

資料來源： “The development of students’ understanding of the numerical value of fractions” by S. Stafylidou and S. Vosniadou, 2004, Learning and Instruction, 14, p.505.

四、分數概念的相關研究

在分數概念方面的研究，龐嘉芬(2001)以調查研究法，運用真分數的加減文 字題來探究國小高年級學童的分數概念和數學能力的表現，發現五年級受訪學童 在數學能力及分數概念的表現優於加減文字題或概念文字題，六年級受訪學童則 是分數概念不清楚或數學能力表現不佳。黃信源(2006)運用詮釋結構模式設計國 小分數概念教材，並透過 S-P 表分析法，觀察學童的學習狀況。發現詮釋結構模 式可以幫助教師掌握學生學習順序，透過 S-P 表分析法可以幫教師了解學生概念 不清的原因。葉乃丰(2007)以分數概念測驗為工具，並配合徑路搜尋法，藉以探 究國小三年級學童在教學前、後知識結構的變化，發現結果達顯著差異，且以等 分概念為核心概念。洪小凡(2008)針對國小四年級的學童，應用徑路搜尋的方法，

探討在不同表徵的方式下，學童分數概念解題的表現與其知識結構，發現以圖畫 題表現最佳。

在等值分數的研究方面，陳靜姿(1999)以國小四年級為研究對象，採用無參 數詴題反應理論為分析工具，藉以了解學童的分數概念以及解題的策略，發現國 小四年級的學童，其分數概念仍處於「分數概念的前身」以及「起始單位分數」。

陳雅芬(2003)針對五年級學童編製一份等值分數詴題，應用詴題關聯結構分析法 來進行分析，探究學童在等值分數概念的知識結構。鐘樹椽、江玄宏和林秋斌(2009) 採準實驗研究設計，目的是在探討行動合作學習對國小的學童在等值分數上的解 題表現和表徵能力之影響。彭聖淵(2010)以施以等值分數教學媒體教學法的班級 為實驗組，施以傳統講述法的班級為控制組，除了實驗組男學童與控制組男學童 達顯著差異，且實驗組男學童的學習成效優於控制組男學童之外，其餘皆無差 異。杜錦龍(2010)以後設認知為策略，讓學生在同化與調適的學習歷程中，能自 發性的以等值分數作為連接的橋樑，統整同分母和異分母分數加減的概念。

吳麗梅(2008)針對六年級學童，應用潛在類別分析，自編分數除以分數的詴

題作為研究的工具，用以了解學生在「分數除以分數」的解題表現，其中發現分

題作為研究的工具，用以了解學生在「分數除以分數」的解題表現，其中發現分