國小四年級學生分數和小數的轉換-基於概念階層結構的探討

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 林原宏博士指導教授：易正明博士. 國小四年級學生分數和小數的轉換-基於概念階層結構的探討. 研究生：林嬌霞撰. 中華民國. 一０一年六月.

(2) 中文摘要本研究旨在透過 S-P 表(student-problem chart)分析法，瞭解學童在分數和小數的表徵轉換概念之學習情形，利用概念詮釋結構模式 (Concept Advanced Interpretive Structural Modeling, CAISM)，描繪個人化的概念階層結構圖，探討不同學習類型的學童以及得分相同但作答反應組型不同的學童之概念階層結構圖的特徵。研究對象為國小四年級的學童，共得 266 份有效樣本，是依據數學領域能力指標自編詴題作為本研究的測驗工具。本研究得到幾點結論如下：一、運用 S-P 表分析法，有助於教學者了解學生的學習狀況，診斷學習的學習類型。不同學習類型學童的概念階層結構圖有所差異，在階層數、概念精熟度及概念指向關係皆不盡相同。二、不同學習類型的學童分數和小數的轉換概念中較不易精熟的是「分數轉換為小數」，「小數轉換為分數」中較難精熟的題型是將二位純小數轉換為真分數，且小數的百分位為 0 或省略。三、得分相同但反應組型不同的學童，分數和小數的表徵轉換之概念階層結構圖，各概念的精熟度及概念的指向關係有差異，各概念的階層位置也有所不同。所以在進行補救教學時，可以依受詴者呈現的概念階層特徵做分組，學童才會有較佳的學習效果。. 關鍵字：分數、小數、概念詮釋結構模式、S-P 表. I.

(3) The transformation of decimal and fraction for the 4th grade students of elementary school by analyzing concept hierarchy structure Abstract The purpose of this study is to analyze concept structure of the conversion concepts of fractions and decimals for fourth-graders by S-P chart(student-problem chart) and CAISM(Concept Advanced Interpretive Structural Modeling). There were 266 fourth graders tested by self-designed test according to mathematical competence indicators of grade 1-9 curriculum, and these students were classified into 6 groups by S-P chart. We then compared the CAISM graphs’ characteristics and differences among these groups. We also compared the individualized concept hierarchy structure of the students who got the same scores with different response patterns. Thus the results are as follow: 1. Applying S-P chart is helpful for teachers to understand the situation of studying of students and classify the studying style of students. The CAISM graphs among these group are different. 2. For different learning types more difficult concept to mastery is fractions converted to decimals and more difficult kinds of questions is the two pure decimal converted to a proper fraction, and decimal’s percentile is 0 or omitted. 3. The CAISM graphs among the students who got the same total scores but different response patterns are different, and teachers can implement remedial instruction properly according to the information of links among concepts.. Keywords: fractions, decimals, concept advanced interpretive structural modeling, student-problem chart.. II.

(4) 謝辭回想兩年前，當知道自己錄取碩士班的那一剎那，有許多莫名的感觸湧上心頭，想到能夠再回到學校當學生，感到無比的興奮。如今，研究所的求學之路即將畫下休止符，這期間趕車的辛勞、寫報告的壓力、考詴時的緊張、上課時的情景……兩年來的點點滴滴不時地浮現眼前，令人難以忘懷。論文能順利完成，首先要感謝的是指導老師林原宏教授和易正明教授，在繁忙的教學和研究中，仍抽空指導論文內容，悉心給予教誨和鼓勵，從決定論文主題到撰寫論文內容，不時的引導和修正，讓我在寫作中獲益匪淺，並得以完成論文。感謝口詴委員─陳錦杏教授、陳進春教授和黃一泓教授在論文口詴審查時，細心的繕改和觀念的引導，給予寶貴的建議和指正，讓論文更臻完善。感謝研究所同學─佳珍、佳萍、乃赫、炎冠，感謝你們在我撰寫論文時不時的關懷、鼓勵，讓我的論文寫作之路不感到孤單。有你們的陪伴，讓我的研究所生活充滿美好的回憶；有你們的協助，讓我在論文寫作遇到困難時能得到指引。此外，對於受詴學校的教師和學生們，也在此致上我最誠摯的謝意，感謝你們的協助。最後，要感謝的是我最親愛的母親，在化療期間仍不時地關心我的求學過程，常在我下課時打電話來為我加油打氣，並在我遇到挫折時，給我最溫暖的關懷，是我精神上最大的支持。感謝每個關懷我的人，因為有你們的鼓勵，我才能順利完成研究所的學業，謝謝你們！林嬌霞. 謹致. 一百零一年六月. III.

(5) 目錄第一章緒論....................................................................................................... 1 第一節研究動機 ...................................................................................... 1 第二節研究目的 ...................................................................................... 3 第三節名詞解釋 ...................................................................................... 3 第二章文獻探討............................................................................................... 5 第一節分數的意義及其相關研究 .......................................................... 5 第二節小數的意義及其相關研究 .........................................................11 第三節 S-P 表理論 .................................................................................. 20 第四節概念詮釋結構模式 .................................................................... 28 第三章研究方法............................................................................................. 31 第一節研究架構 .................................................................................... 31 第二節研究對象 .................................................................................... 32 第三節研究工具 .................................................................................... 32 第四節研究流程 .................................................................................... 39 第五節資料分析方法 ............................................................................ 40 第四章研究結果與討論 ................................................................................ 42 第一節 S-P 表的分析 .............................................................................. 42 第二節不同學習類型的學童之概念階層結構圖 ................................ 45 第三節總分相同但作答反應組型不同之概念階層結構圖 ................ 51 第五章結論與建議 ........................................................................................ 58 第一節結論............................................................................................. 58 第二節研究限制 .................................................................................... 59 第三節建議............................................................................................. 59. IV.

(6) 參考文獻........................................................................................................... 61 壹、中文部分........................................................................................... 61 貳、外文部分............................................................................................ 65 附錄................................................................................................................. 67 附錄一預詴詴題 .................................................................................... 67 附錄二正式施測詴題 ............................................................................ 72 附錄三 97 課程綱要「分數和小數」教材之分年細目表 ................. 76. V.

(7) 表目錄表 2-1-1 自然數與分數的差異 ........................................................................ 9 表 2-2-1 整數、小數和分數知識的比較 ...................................................... 14 表 2-2-2 小數和分數的比較 .......................................................................... 17 表 2-3-1 原始資料表 ...................................................................................... 22 表 2-3-2 將總分排序後的資料表 .................................................................. 22 表 2-3-3 將詴題總分排序後的資料表 .......................................................... 23 表 2-3-4 完整的 S-P 表 .................................................................................. 23 表 2-3-5 詴題類型分析表 .............................................................................. 26 表 2-3-6 學生學習類型分析表 ...................................................................... 27 表 3-2-1 研究樣本人數分配表 ...................................................................... 32 表 3-3-1 分數和小數的轉換概念測驗之預詴概念分類表 .......................... 33 表 3-3-2 預詴之詴題概念屬性分析表 .......................................................... 33 表 3-3-3 預詴樣本人數分配表 ...................................................................... 34 表 3-3-4 預詴結果統計分析表 ....................................................................... 35 表 3-3-5 預詴信度分析表 .............................................................................. 36 表 3-3-6 分數和小數的轉換概念測驗之正式施測該念分類表 .................. 36 表 3-3-7 正式施測詴題的概念屬性分析表 .................................................. 37 表 3-3-8 正式施測結果統計分析表 .............................................................. 38 表 3-3-9 正式施測信度分析表 ...................................................................... 39 表 4-1-1 施測結果統計表 .............................................................................. 42 表 4-1-2 學童學習類型統計表 ...................................................................... 44 表 4-2-1 不同學習類型之受詴者的注意係數 .............................................. 45 表 4-3-1 總分相同之受詴者的答題狀況 ...................................................... 52. VI.

(8) 圖目錄圖 2-2-1 小數分類圖 ............................................................................................. 15 圖 3-1-1 研究架構圖 ............................................................................................. 31 圖 3-4-1 研究流程圖 ............................................................................................. 40 圖 4-1-1 受詴者得分長條統計圖........................................................................ 43 圖 4-1-2 全體受詴者 S-P 曲線圖 ........................................................................ 44 圖 4-2-1 S192 學童的概念階層結構圖(A 類) .................................................. 46 圖 4-2-2 S40 學童的概念階層結構圖(A’類) .................................................... 46 圖 4-2-3 S251 學童的概念階層結構圖(B 類) .................................................. 47 圖 4-2-4 S104 學童的概念階層結構圖(B’類) .................................................. 47 圖 4-2-5 S90 學童的概念階層結構圖(C 類)..................................................... 48 圖 4-2-6 S52 學童的概念階層結構圖(C’類) .................................................... 48 圖 4-3-1 S101 學童的概念階層結構圖.............................................................. 52 圖 4-3-2 S129 學童的概念階層結構圖.............................................................. 53 圖 4-3-3 S13 學童的概念階層結構圖 ................................................................ 53 圖 4-3-4 S63 學童的概念階層結構圖 ................................................................ 54 圖 4-3-5 S175 學童的概念階層結構圖.............................................................. 54 圖 4-3-6 S98 學童的概念階層結構圖 ................................................................ 55. VII.

(9) 第一章緒論本研究主要是針對國小四年級的學童，應用 S-P 表進行分群，並以概念詮釋結構模式進行分析，分析學童分數和小數的轉換之概念階層結構的特徵。本章旨在闡述本研究的動機、目的及所出現的相關名詞作明確的界定。全章分三節，第一節為研究動機，第二節為研究目的，第三節為名詞釋義。. 第一節研究動機 97 課程綱要數學學習領域中指出，有理數的學習是小學的核心課程之ㄧ，也是最有挑戰性的教學主題，它的困難是在於牽涉到兩種表現形式─分數和小數(教育部，2008)。有理數的應用很廣，包含測量、平分、比例、比值、比率等，重要性可見一斑。因為日常生活中，遇到有理數的情境少於整數，且分數與小數計算的熟練需仰賴整數的精熟，所以比起整數，有理數的學習對於學生較為陌生且困難。從 97 課程綱要數學學習領域的分段能力指標：「3-n-11 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。」和「3-n-12 能認識一位小數，並做比較與加減計算。」，發現國小學童在三年級開始初步認識分數，藉由分數的概念初步認識一位小數，此時，因為分數的概念與一、二年級所學的整數概念有差異，因此部分學童對於分數概念開始產生迷思。而小數可視為是等分割數為十進位的一種表徵方式，可與分數相連絡(李端明，2001)，因此，小數概念的學習和分數概念息息相關。但對國小學童而言，要建立分數與小數之間的關係是很困難的(Markovits & Sowder, 1991)，Callahan and Hiebert(1987)發現學童普遍無法理解小數與分數之間的關係。雖然已有不少分數概念與小數概念的相關研究，但研究者發現，對於分數和小數的轉換之研究有限，可是對學童而言，這個概念卻常有理解上的困難，所以值得研究者進行探究。 1.

(10) 雖然紙筆測驗能測詴學童的學習成就，但若要從測驗的結果來診斷出學童的迷思概念並推得有效的教學策略及補救教學的策略，則必頇輔以適當的測驗診斷分析法。佐藤隆博(Takahiro Sato)於 1975 年提出的 S-P 表(student-problem chart) 可以計算出詴題注意係數(caution index for items, CP)以及學生注意係數(caution index for students, CS)，能協助教師了解學生的表現以及測驗工具的品質(余民寧，2002；林原宏，2009)。藉由 S-P 表的分析，不僅有改進命題的功能，還能藉此調整教學，並能在教師進行補救教學時做為參考依據(陳騰祥，1988；何英奇， 1989；游森期、余民寧，2006；陳敏彥、林原宏，2007；朱芹儀，2009；葉律吟， 2009；廖敏妃，2009)。除了了解學童的學習狀況外，若能更進一步了解學童個人化的概念結構，就能針對學童的迷思概念進行補救，並安排較適當的教學序列。近年來，已發展出不少概念結構分析法，例如：次序理論(ordering theory, OT)、概念構圖(concept mapping)、徑路搜尋法(pathfinder)、詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM)、概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM) 等。其中，概念詮釋結構模式(CAISM)為 Lin, Hung, and Huang (2006)提出，能以圖繪的方式，將受詴者個別的概念階層結構呈現出來，可以讓教師清楚的了解學童個別的學習狀況。已有不少的研究應用概念詮釋結構模式，發現可以提供學童個別的診斷訊息，能有效分析概念的結構特徵，讓教師清楚掌握學童的概念結構及概念精熟度，並作為之後課程調整及個人補救教學的參照(呂秀茹，2009；林原宏、莊惠雯、易正明，2009；林青慧，2009；黃家珮，2009；戴筱玲，2009)。因此，研究者決定應用 S-P 表將學童依學習狀況進行分群，並運用概念詮釋結構模式進行分析，探討學童分數和小數的轉換之概念階層結構。. 2.

(11) 第二節研究目的本研究是要分析國小四年級分數和小數的轉換之概念，目的包括如下：一、分析國小四年級不同學習類型學童在分數和小數的轉換之概念階層結構圖的特徵。二、分析國小四年級得分相同但作答組型不同的學童在分數和小數的轉換之概念階層結構圖的特徵。. 第三節名詞釋義一、分數本研究所指的分數為分母及分子皆為正整數的真分數、帶分數和假分數。. 二、小數本研究中所提到的小數是指一位、二位或三位的純小數與帶小數。. 三、國小四年級學童本研究所謂的國小四年級學童，指的是已完成分數和小數的轉換之課程的四年級學童。. 四、概念詮釋結構 Lin, Hung, and Huang (2006)所提出，是根據受詴者的作答反應資料與測驗中各詴題的概念屬性進行分析，計算出各概念的精熟度，並以數值和圖形呈現受詴者個人化的概念階層結構。. 五、S-P 表佐藤隆博(Takahiro Sato)於 1975 年所創的分析技術。能將學童的作答反應情形圖形化，藉此獲得學童的學習診斷資料，並計算出兩種注意係數，一種是學生 3.

(12) 的注意係數(caution index for students, CS)，另一種則是詴題的注意係數(caution index for items, CP)，可以作為教師改進教學及實施補救教學時的參考 (余民寧， 2002) 。. 六、作答反應組型指學童接受測驗時，針對測驗卷中的每一道詴題，其作答結果之原始資料所組合而成的一個向量 (余民寧，2002) 。. 4.

(13) 第二章文獻探討本章共分四節，第一節為分數的意義及其相關研究，第二節為小數的意義及其相關研究，第三節為 S-P 表理論，第四節為概念詮釋結構模式。. 第一節分數的意義及其相關研究一、分數的意義分數概念的起源於「分」，原本是用來解決不滿一個單位量的量的數值之問題，是將原單位量經過等分割這個步驟後所得到的單位分量的重複(甯平獻， 1995；呂玉琴，2000)。Freudenthal(1983)則主張分數的起源為分割一物件的紀錄和結果。Hunting(1986)則認為分數的最初概念是要將一個連續物細分。在不同的運思階段，可以將分數的意義分為以下六點(李端明，2001)： (一)部分-全體關係(連續量)：可以將分數表徵為一個連續的整體被等分割後，其中幾部分與該整體的比較結果，與圖形中全部的一部分相容。例如：黑色部分佔全部的四分之一。 (二)子集-集合關係(離散量)：即將分數表徵為一個集合被等分後，其中的幾組和該集合相對比較後的一個關係。例如：. 黑色的部分佔全部的四分. 之ㄧ。 (三)除法中等分除的商：除法分成包含除和等分除兩種，如果我們以分數等分割這個觀點來看的話，則除法中等分除的意義可以說是與分數相容，因此分數在等分除的意義是一單位量被等分的歷程和結果。 (四)小數：小數可視為等分割數為十進位的一種表徵型態，當一單位量的等分割數為十或與十進位結構連絡時，此時分數和小數相連絡，例如 1/10=0.1，1/100 ＝0.01，1/1000＝0.001。 (五)數線上的一點：數線上的一點可以為整數、小數、有理數，所以數線上的一點亦可以說是分數的一種型態。 5.

(14) (六)比與比值：將分數表徵成兩個連續量相比的結果，是全體和部分並置在同一量中的比較，比值則是經由單位量的轉化將此關係數值化。 Dickson, Brown and Gibson(1984)對分數提出了五種解釋： (一)部分/整體(sub-area of whole region)：用來表示一連續量經等分割的步驟後的幾部分，通常會用面積來解釋其意義，但卻在表徵假分數以及帶分數的時候，容易使學童造成誤解。 (二)子集合和全部集合間的比較(a comparison between a subset of discrete object and whole set)：用來表示一離散量經等分後的幾部分，和部分/整體的模式相近，但在表徵假分數以及帶分數的時候，也是容易使學童造成誤解。 (三)兩個全數間數線上的一點(a point in number line which line at an intermediate point between two whole numbers)：若數線上區間的長度等於 1 時，則和部分/ 整體的模式相似。但是若區間的長度大於 1 時，學童卻會受部分/整體的概念所影響，而將區間的長度當作全部來處理，反而會造成錯誤。 (四)除法運算的結果(the result of a division operation )：是用以表示兩數相除的結 3 5. 果，例如：3  5= 。它也有一個重要的意義，就是在將分數轉換為小數的時 3 5. 候，可以用來說明轉換時的算則之意義，例如： =3  5=0.6。 (五)二組集合或二組度量的大小比較之方法(a way of comparing the sizes of two sets of the objects or two measurements)：是用以表示兩個連續量或是兩個離散量比較的一個結果，例如：丙有 7 元，丁有 3 元，丙是丁的幾倍？以分數表示之。林碧珍(1990)將分數定義為以下五種： (一)部分-整體模式：意指全部區域中的部分區域，是以連續量為主，例如：面積、體積和長度等。 (二)子集合-集合模式：意指集合中的部分集合，是以離散量為主。 (三)數線模式：意指數線上的一個數值。. 6.

(15) 4 5. (四)商模式：意指兩數相除的一個結果，例如：4  5= 。 (五)比值模式：意指二個集合或二個度量相比後所得到的結果。楊瑞智(2000)分析 82 年版國小數學教材的分數問題情境後，將分數的意義分為以下十種：(一)部分/全部。(二)子集合/集合。(三)乘法運算元。(四)等值分數。 (五)整數相除的結果。(六)分數是一個數/數線上的一點。(七)平均。(八)當量。(九) 比例中的比、比值、比較量  基準量、比例尺。(十)機率。綜合上述，分數的意義，大部分皆包含了部分-全體、子集合-集合、兩數相除的結果、數線上的一點和比這五種意義，其中提到了分數是利用「兩數相除的結果」來和小數進行互換，本研究中分數轉換為小數的算則即是運用到這個意義。. 二、分數詞的意義除了要了解分數的意義外，教師如果要在教學上能確切的掌握學童分數概念的學習狀況，則必頇了解學童對部分和全體的運思程度以及在不同階段時分數詞的意義，可以將分數詞的意義分為：「分數的前置概念」、「起始單位分數」、「加法性分數」、「巢狀分數」、「有理數」(甯平獻，1993，1997a，1997b；李端明，2001；彭嘉妮，2007)。說明如下： (一)分數的前置概念：學童具有數概念和分割活動，但是其數概念只是序列性合成運思，還未能將子分割單位數值化，在這個階段的學童的分割活動為分散與破裂活動，一離散量經由分散的活動未必公平，但也未必能窮盡；一連續量經破裂活動，若是以撕裂的動作，則每一份不一定一樣大，一半對他們而言，只是將東西分成兩部分，但並不代表是分為相等的兩等分。分數的前置概念可以說是分數概念的前身。 (二)起始單位分數：學童已能將一單位量內嵌在全體做比較，但還沒有子分割單位數值化的概念，例如：學童知道將一連續量等分成四份，每一份為 1/4，表示學童已經能將子分割結果單位化，但若反過來問一份是 1/4，全部是多少？學童則會回答 5，此時單向的部分-全體關係並不明確，會混淆。此時如果詢問學童 1/4+1/4 是多少，會得到 2/8 這個答案。 7.

(16) (三)加法性分數：這時學童具有子分割運思，也具備單向的部分-全體運思時的分數概念，因此對於 1/4+1/4 這個問題，能確實回答出 2/4 這個答案。因具備單向的部分-全體概念，所以若每一份是 1/3，學童已能回答全部是 3 份。 (四)巢狀分數：學童具有雙向的部分-全體運思，而且也具有將子分割單位數值化的分數概念，可以同時運思兩個分數，因此能理解等值分數和分數次序的比較。雖然能理解等值分數，但缺乏共測單位的概念，所以這個階段的學童，只能以等分割的概念來運思等值分數，例如 1/4 和 2/8，學童並無法藉由共測單位 1/8 來運思並進行比較。 (五)有理數：有理數是巢狀分數的重組，表示學童不只具備巢狀分數的概念，還能以分數作為測量單位。所以此時的學童已能用共測單位 1/12 來比較「2/4 和 6/12」是否為等值分數。由於此時的學童已能理解等值分數的關係，故稱為有理數概念。所以在分數的前置概念時，學童並未有等分割概念，只有數概念及能進行分割活動；起始單位分數雖已具有等分割概念，但僅能對子分割結果單位化，無法明確的了解部分-整體的關係，這是學童在一開始學習三年級分數時的可能經歷的階段；加法性分數階段這時的學童具有子分割運思及單向的部分全體概念，所以可以進行同分母的分數加減亦可以了解藉由一個分數及部分的量來得知全體的量，依據 97 課綱，這是三年級的分數教學後的所應具備的能力；巢狀分數時期學童具備了雙向部分-全體運思與子分割單位數值化概念，所以可以同時運思兩個分數，並利用等分割概念來理解等值分數，但無法使用共測單位，根據 97 課綱，這是四年級等值分數的教學後所應具備的能力；有理數階段比巢狀分數階段更進一層，除了巢狀分數具備的能力外，已能使用共測單位分數理解等值分數，表示亦具有最簡分數的概念，根據 97 課綱，這是六年級分數教學後所應具備的能力。依照我國的數學課程，可發現分數教學是在整數教學之後，那整數與分數的差別需進一步釐清，才能在教學上與整數有所區隔。表 2-1-1 自然數和分數之間的差異，在符號表示和運算方面皆有差異。. 8.

(17) 表 2-1-1 自然數與分數的差異數值自然數符號表示一組數字（離散性）整理支持自然數的序列，存在一個繼任或前導數字，兩個不同的號碼間沒有號碼。單位的關係該單位是最小的數加減法運算自然數的序列支持乘法運算乘法使得數量較大除法運算除法使數變小. 分數兩組數字和一條線不支持自然數的序列，沒有唯一的繼任或前導數字。沒有獨特的最小的數自然數的序列不支持乘法使得數量較大或較少除法使數變小或更大. 資料來源： “The development of students’ understanding of the numerical value of fractions” by S. Stafylidou and S. Vosniadou, 2004, Learning and Instruction, 14, p.505. 從 97 課綱的五大主題說明中，提到分數的應用很廣，包含測量、平分、比例、比率、比值、部分/全體，在小學的教學中，必頇釐清並連結四種意涵：(1)平分的意涵；(2)測量的意涵；(3)比例的意涵；(4)部分/全體的意涵。因此在教學上，我們必頇針對那四種意涵，做教學上的釐清及連結，讓學童對於分數的意義及應用能有正確的概念，讓分數教學更具效果。. 三、分數的分類從 97 課程綱要數學學習領域中，發現分數概念的學習順序是單位分數、真分數、假分數和帶分數。以下就分數的分類加以說明： 1 3. (一)單位分數：意指分子是 1，分母為整數的分數，例如：、 2 7. 1 。 15. (二)真分數：分子、分母為整數，且分子小於分母，例如：、. 5 。 12 5 2. 8 3. (三)假分數：分子、分母為整數，且分子大於或等於分母，例如：、。 1 3. 5 8. (四)帶分數：一個整數加一個真分數，例如： 1 、 7 。. 9.

(18) 四、分數概念的相關研究在分數概念方面的研究，龐嘉芬(2001)以調查研究法，運用真分數的加減文字題來探究國小高年級學童的分數概念和數學能力的表現，發現五年級受訪學童在數學能力及分數概念的表現優於加減文字題或概念文字題，六年級受訪學童則是分數概念不清楚或數學能力表現不佳。黃信源(2006)運用詮釋結構模式設計國小分數概念教材，並透過 S-P 表分析法，觀察學童的學習狀況。發現詮釋結構模式可以幫助教師掌握學生學習順序，透過 S-P 表分析法可以幫教師了解學生概念不清的原因。葉乃丰(2007)以分數概念測驗為工具，並配合徑路搜尋法，藉以探究國小三年級學童在教學前、後知識結構的變化，發現結果達顯著差異，且以等分概念為核心概念。洪小凡(2008)針對國小四年級的學童，應用徑路搜尋的方法，探討在不同表徵的方式下，學童分數概念解題的表現與其知識結構，發現以圖畫題表現最佳。在等值分數的研究方面，陳靜姿(1999)以國小四年級為研究對象，採用無參數詴題反應理論為分析工具，藉以了解學童的分數概念以及解題的策略，發現國小四年級的學童，其分數概念仍處於「分數概念的前身」以及「起始單位分數」。陳雅芬(2003)針對五年級學童編製一份等值分數詴題，應用詴題關聯結構分析法來進行分析，探究學童在等值分數概念的知識結構。鐘樹椽、江玄宏和林秋斌(2009) 採準實驗研究設計，目的是在探討行動合作學習對國小的學童在等值分數上的解題表現和表徵能力之影響。彭聖淵(2010)以施以等值分數教學媒體教學法的班級為實驗組，施以傳統講述法的班級為控制組，除了實驗組男學童與控制組男學童達顯著差異，且實驗組男學童的學習成效優於控制組男學童之外，其餘皆無差異。杜錦龍(2010)以後設認知為策略，讓學生在同化與調適的學習歷程中，能自發性的以等值分數作為連接的橋樑，統整同分母和異分母分數加減的概念。吳麗梅(2008)針對六年級學童，應用潛在類別分析，自編分數除以分數的詴. 10.

(19) 題作為研究的工具，用以了解學生在「分數除以分數」的解題表現，其中發現分數除以分數(異分母)較難。關定偉(2007)研究透過案例討論來提昇教師分數的數學知識，教師可以採取(1)教材設計；(2)改變佈題的方式；(3)運用具體教具從旁協助；(4)利用教師與學生的教學對話。分數的相關研究很多，不管是針對分數的概念、等值分數的教學研究，還是針對分數除以分數的解題表現，都包含在其中。因此可見，分數概念是小學重要的課程之ㄧ。. 第二節小數的意義及其相關研究一、小數的意義在教學時，我們常常會跟學童們說，因為整數不夠用，沒有辦法表示比 1 小的數，所以才有了分數及小數。82 年國編版第六冊的教師手冊中，提到一位小數為記錄十分之幾分量的另一種特殊型式，所以可以透過對十分之幾分量的認識，來引導學童認識小數數詞的意義，並在單位分量(十分之一)的累積下，幫助學童建立 0.1 到 0.9 一位小數數字的書寫方式和數詞序列，區分分數與小數兩種記法的名稱。 82 年國編版第八冊的教學指引中提到，印度-阿拉伯記數系統是為十進位制的記數系統，我們只要使用 0、1、2……、9 等十個符號，再加上逢十進一的原則與位值概念，就可以將所有大小的數全都表現出來。而小數的記數系統則可以說是整數記數系統的延伸，利用小數點來區隔整數部分和小數部分，記錄著 0.1 的個數，我們稱之為十分位，而十分位的位值是 0.1，是將「1」單位十等分的結果，十分位右邊的位置，記錄著 0.01 的個數，我們稱之為百分位，而百分位的位值是 0.01，是將「0.1」十等分的結果。所以進入小數教學前，學童需先掌握整數記法的位值概念和分數的意義之後，再透過分數概念引入小數的概念(周筱亭、黃敏晃，1992)。因此小數的學習與分數密不可分，要理解小數的意義可以從兩個層面來著手：分數的「部分-整體」 11.

(20) 關係與整數的位值概念(彭嘉妮，1998)。 (一)「部分-整體」關係部分-整體是用來闡釋分數意義的一種類型，將一個整體進行等分割後，分數 3 4. 是用來記錄被指定的部分與全部的關係，例如：表示一個整體被分成了 4 等分後，集聚了其中 3 等分。當一個整體被等分成十等分、一百等分、一千等分等等時，表示分量的分數則可用小數表徵，例如：0.1、0.01、0.001 等等。小數記法中，以「.」─小數點分隔整數部分和小數部分，0.a 為一位小數，表示十分之幾的分量；0.ab 為二位小數，表示百分之幾的分量，依此類推。(劉曼麗，1998)。由此可知，要了解小數的意義，可從分數的等分割活動進行。 (二)整數的位值概念「數」指的是單位「1」的倍數，學童學習利用多單位組織數概念，實際上即是在學習印-阿記數系統的位值概念(甯平獻，1997c)。印-阿記數系統採用了 0~9 十個數字以及滿十進一的規則(劉曼麗，1998)。整數 2485 可用展開式表成： 2485=2×1000+4×100+8×10+5×1 展開式可以顯示每個數字所代表的數值，最右邊的位置是個位，對應的數字 5 表示有 5 個一；緊鄰個位左邊的位置是十位，對應的數字 8 表示有 8 的十；緊鄰十位左邊的位置是百位，對應的數字 4 表示有 4 個百；緊鄰百位左邊的位置是千位，對應的數字 2 表示有 2 個千。每個數字所代表的數值由其對應的位置決定，左邊位置單位為緊鄰的右邊位置單位的十倍。由整數記數系統延伸，將位值向右擴展，而產生了小數符號，例如：小數 0.48 的展開式可表成： 0.48=4×0.1+8×0.01 其中，緊鄰小數點右邊的位置是十分位，數字 4 表示有 4 個 0.1，緊鄰十分位右邊的位置是百分位，數字 8 表示有 8 個 0.01，0.1 為 0.01 的十倍。所以小數記數系統承繼了整數記數系統的記數規則和十進結構。綜合上述，小數的概念是由分數概念和整數概念的延伸以及統整而來的(Behr & Post, 1988)。因此，我們可以藉由分數的意義來理解小數的意義，藉由整數的 12.

(21) 記數系統來理解小數的符號系統，其中，關於小數符號系統的特性，可以分為以下三個定理(Hiebert, 1992)： (一)每一個數字的值是根據它所處的位置來決定，與整數系統是一樣的，小數中每一個數字的位值是緊鄰的右邊的數字的位值的十倍，反之，則是緊鄰的左邊的數字的位值的十分之一倍。 (二)小數中，每一個數字的值是表面價值和位值的乘積，每一個數字的值可以使用十的冪次方來表示它的位值。以 13.05 為例，第一個數字 1，位值是 10，所以它的數值是 1× 101 ；第二個數字 3，位值是 1，所以數值為 3× 10 0 ；第三個數字 0，位值是 1/10，所以數值為 0× 10 1 ；第四個數字 5，位值 1/100，所以數值為 5× 10 2 。 (三)小數的數值是每一個數字的數值總和，以 13.05 為例，它的數值是 1× 101 +3× 10 0 +0× 10 1 +5× 10 2 。 Hiebert(1992)還指出，小數概念可以具體的分成三種小數知識，要能完整學習好小數概念，頇具備這三種小數知識： (一)記數系統的知識瞭解有關小數形式的知識，包含小數符號的讀法、寫法、位值、位名以及單位小數的化聚。 (二)運算規則的知識瞭解運用運算規則能得到的知識，包含小數和分數的換算、小數的比大小、小數的四則運算。 (三)數量表示的知識瞭解小數所代表的數量，包含小數圖像表徵、單複名數的轉換。 Hiebert 十分強調「連結」的觀念，認為學童學習好小數的概念，頇將「記數系統的知識」、「運算規則的知識」、「數量表示的知識」做好連結。但因為學童利用太多時間於運算規則中，往往會使抽象的小數知識與真實世界脫離，所以在「運. 13.

(22) 算規則的知識」和「數量表示的知識」需加強連結。 Hiebert 還將整數、分數以及小數之間記數系統、運算規則、數量表示的知識整理如表 2-2-1 所示，從表中可以清楚得比較三者之間的異同，讓小數的學習不因整數和分數的既有概念而影響，導致迷思概念的產生。表 2-2-1 整數、小數和分數知識的比較. 記數系統知識. 運算規則知識. 整數 1.形式：abc 2.為十進位，最小的單位是最右邊的位值。 3.一個位置的數值為該數字和所在的位值結合而成。 4.全部的數值為所有的數字之數值總和。 1.加減法是採對齊位值的方式，來做進位、退位的計算。 2.乘法是採多步驟的運算步驟。 3.除法是採多步驟的運算步驟。 4.是從最大位值開始比大小。. 分數 1.形式：. a b. 2.分母代表著被分割的基本單位，這個單位是暗示的。 3.分子代表著幾部分的基本單位。. 1.加減經通分使分母相同後，分子做進、退位之計算。 2.乘法是採分母乘以分母，分子乘以分子的運算法則。 3.除法是先將除數的分子分母顛倒後，再來相乘。 4.比較大小時，是先通分使分母相同後，再比分子。連續量. 小數 1.形式：ab.c 2.為十進位，最小的單位是最右邊的位值。 3.一個位置的數值為該數字和所在的位值結合而成。 4.全部的數值為所有的數字之數值總和。 1.加減法是採對齊位值的方式，來做進位、退位的計算。 2.乘法與整數相同，點上小數點。 3.除法與整數相同，點上小數點。 4.是從最大位值開始比大小。. 數量表示離散量連續量的知識資料來源： Analysis of Arithmetic for Mathematics Teaching (p.293), by J. Hiebert , 1992, Hillsdale, NJ:LEA.. 14.

(23) 二、小數的分類小數分為有限小數和無限小數，其中無限小數又分為循環小數和不循環小數 (劉曼麗，1998)。因為小數可以說是分數的另一種表徵方式，當分數的分母為 10 的冪次方形式時，可以直接進行分數和小數的互換，例如：. 2 53 =0.2， =0.53。 10 100. 若分母不為 10 的冪次方時，則分子除以分母，會產生兩種情形，一是有除盡， 1 3. 4 5. 例如： =0.8，稱為有限小數；一是沒有除盡，例如： = 0.6 ，為循環小數。小數除了有限小數及循環小數外，還有一種不循環的無限小數，例如  。綜合上述，將小數分類如下圖：. 純小數有限小數帶小數小數. 循環小數無限小數不循環的無限小數圖 2-2-1 小數分類圖. 在國小的學習階段中，小數的教材方面只包含有限小數，就有限小數討論如下： (一)純小數：指整數部分為零的小數。 1、一位純小數是記錄「十分之幾」分量的一種形式，例如：0.1~0.9。 2、二位純小數是記錄「百分之幾」分量的一種形式，例如：0.01~0.99。 (二)帶小數：指整數部分不為零的小數。 1、一位帶小數為記錄數個1和一位純小數的合成結果。 2、二位帶小數為記錄數個1和二位純小數的合成結果。 15.

(24) 三、小數概念的認知發展小數的學習除了要瞭解符號意義、運算規則外，還要能跟生活的經驗作結合，因此在學習時要透過指示物的連結，才能達到真正小數概念的學習。Wearn and Hiebert(1988)認為小數的學習需要透過連結、發展、精緻與熟練、抽象等認知過程，才能熟練小數符號的能力，將各階段認知過程介紹如下： (一)連結過程是指透過操作指示物後的結果，其中的指示物必頇是日常生活中的物質，例如：錢幣、公制單位等，或是特殊設計的教具，例如丹尼積木。藉由操作指示物連結小數符號的意義，並在操作的過程中了解符號的運算法則。 (二)發展過程是指延伸指示物的操作結果，建立符號操作的程序性知識，例如：操作積木的合成與分解，建立加、減法運算規則，發現對齊小數點的原因。連結與發展過程需透過指示物的操作，從而瞭解小數符號的意義，並藉由觀察，發展運算規則，對學童而言，要能瞭解指示物和符號之間以及操作活動與運算法則之間的關係，是需要一段時間的調適。 (三)精緻與熟練過程這個過程已脫離指示物的操作，並能在適當的情境中應用解題規則，藉由紙符號的移動，加以熟練、記憶。這個過程開始展現學童的數學能力，進行有意義的數學學習和思考。 (四)抽象過程是指把符號與規則當作指示物，藉以獲得更抽象的符號系統。小數概念的認知學習前兩個過程是發展小數概念的意義，後兩個過程則是熟練運算規則，這四個認知過程的順序已成為教師設計小數教學活動的參考。學童會有迷思概念常常是因為對概念的意義不夠瞭解，教師應藉由教學活動加以釐. 16.

(25) 清，使其有正確的小數基礎概念，對之後小數抽象概念的學習才有幫助。. 四、小數與分數的關係小數是從整數位值擴展而來，且和分數有密切的關連(呂玉琴，2000)。小數可視為等分割數為十進位的一種表徵型態(李端明，2001)，所以在國小數學教材中是先學習分數，進而引入小數，因此在小數的學習上，會受到分數的影響 (Resnick et al., 1989)。因此，需釐清兩者之間的關係，並比較其異同，才能避免產生迷思概念。分數、小數的比較如表 2-2-2 所示，發現小數和分數在「數值」的性質方面，極為類似，但在「符號」的表示方面卻有著極大的不同。表 2-2-2 小數和分數的比較. 數值. 符號. 小數. 分數. 1.表示 0 到 1 之間的值。 2. 一個整體被分割成愈多份，每一份就愈小。 3.在 0 和 1 之間有無數個小數存在。 1.一個單位被分成幾等分是隱含在位數中。 2.有多少等分是顯示在小數點後。 3.一個整體只能分成 10 的冪次方等分。. 1.表示 0 到 1 之間的值。 2.一個整體被分割成愈多份，每一份就愈小。 3.在 0 和 1 之間有無數個分數存在。 1.一個單位被分成等幾分是明確界定在分母中 2.有多少等分是以分子表示。 3.一個整體可以分成任何等分。. 類似(+) 不同(-) (+) (+) (+) (-) (-) (-). 資料來源：“Conceptual bases of arithmetics errors: The case of decimal fractions”, by Resnick et al., 1989, Journal for Research in Mathematics Education, 20, p12.. 五、小數和分數的表徵轉換小數和分數的轉換分成兩個部分，一是小數轉換為分數，二是分數轉換為小數。. 17.

(26) (一)小數轉換為分數可以直接將小數轉換為分割數為 10 的冪次方分的分數，例如：0.53＝. 53 。 100. (二)分數轉換為小數當一單位量的等分割數為十或十進位結構時，分數與小數相連絡，所以此時可以直接將分數轉換為小數，例如：. 468 ＝0.468。若分割數不為十或十進位結 1000. 構時，從數學教材中，發現是從分數為兩數相除的結果切入，將分數還原為兩數 3 4. 相除，即可換算為小數，例如：＝3÷4＝0.75。在小學教材中，分數分為真分數、假分數和帶分數，小數分為純小數和帶小數，因此在分數和小數的轉換概念上，研究者將之區分為六種概念，分別是真分數轉換為純小數、假分數轉換為帶小數、帶分數轉換為帶小數、純小數轉換為真分數、帶小數轉換為假分數和帶小數轉換為帶分數。. 六、小數概念的相關研究比起整數概念，小數概念對於學童是屬於較抽象的概念，較容易產生迷思概念(杜建台，1997；郭孟儒，2002；劉曼麗，2005)。因此，已有不少研究與小數的概念相關。杜建台(1997)以中、高年級的學童為研究樣本，以「寫小數」、「讀小數」、「小數的意義」、「小數位值和位名」、「比較小數的大小」、「小數的十進結構」、「小數的稠密性」、「小數與數線」等為研究主題，發現： (一)學童在讀二位小數時較一位小數容易發生錯誤。 (二)學童較缺乏小數意義的概念。 (三)學童能夠正確寫出一位和二位小數。 (四)學童缺乏小數稠密性的概念。 (五)學童對於小數的十進結構概念較缺乏正確的理解。. 18.

(27) (六)比較小數的大小比較沒有困難。 (七)學童小數錯誤的概念有的是因之前學習過的整數概念及分數概念所影響，有的是學童自己建構而來的錯誤概念。郭孟儒(2002)針對五年級學童，探討小數迷思概念及其成因，先施測，再從施測結果中挑選適當的學童進行訪談，發現學生容易產生的迷思概念有： (一)在小數的加減上，會有對齊小數最末位的迷思概念。 (二)在小數的化聚上，學童會有將個數放在小數點後的迷思概念。 (三)學童因不能區分 1 和 0.1 之間的不同，會有學童存在任何一個數乘以 0 點幾，結果就是 0 點幾的迷思概念。 (四)在「小數轉換為分數」上，學童會因小數點後的 2 個數字而以為轉換為分數之後的分母是 10。 (五)在「分數轉換為小數」上，學童會有將分母當成整數部分，分子當成小數部分的迷思概念。而且郭孟儒(2002)在研究中發現迷思概念形成的原因有 6 種： (一)由教學情境而來。 (二)由生活經驗或通俗用語而來。 (三)因缺乏知識而來。 (四)由信念或同儕文化而來。 (五)由誤解教師教授的內容而來。 (六)由學童過度推論而來。劉曼麗(2005)的研究目的在於實施小數的診斷教學後，學生的迷思概念改變的情形，以國小四、五年級各兩班為樣本，四年級教師進行七類迷思概念的診斷教學，五年級教師進行三類。藉由筆詴、習作練習與訪談等方式，做資料的蒐集，以質性和量性的分析，發現診斷教學能有效改善學童小數的迷思概念。劉曼麗、侯淑芬(2008)針對六年級學童，藉由施測探討小數除法的迷思概念， 19.

(28) 發現學童受制於「大數除以小數」、「除後會變小」等觀念的影響，在列式會有困難，且在除數是純小數的題型上較會有錯誤。周幼以(2008)運用詴題關聯結構分析法探究國小四年級學童小數轉換為分數的概念之知識結構，將概念分為「純小數轉換為真分數」、「帶小數轉換為帶分數」、「帶小數轉換為假分數」，發現學童的概念發展亦是照著這樣的順序，且在在二位小數轉換為分數的概念中，只要二位小數的百分位為 0，不管分數是否約分，對受詴者而言都是屬於較高層次的上位概念。不僅學童會有迷思概念，連師院生遭遇到類似的困難(劉曼麗，2000)。其中在小數的除法中，對於餘數小數點的處理，有不少師院生產生了很大的問題，會有餘數是整數型、餘數的小數點放錯位置等情況產生。由此可知，小數的概念可以說是數學課程中容易產生迷思概念的學習內容之一，需教師更花心思去建立學童穩固且正確的概念。. 第三節 S-P 表理論一、S-P 表的起源傳統的詴題分析，雖然藉由鑑別度與難度的分析可以改進詴題的品質，但無法幫助教師診斷出學童在學習上所遭遇到的困難。S-P 表(student-problem chart) 為學生問題表的簡稱，是日本學者佐藤隆博(Takahiro Sato)於 1975 年所創的分析技術。能將學童的作答反應情形圖形化，藉以獲得學童的學習診斷資料，並求出兩種注意係數，一種是學生的注意係數(caution index for students, CS)，一種是詴題的注意係數(caution index for items, CP)，可作為教師改進教學及實施補救教學時的參考(余民寧，2002)。. 二、S-P 表的製作 S-P 表的製作，說明如下 (余民寧，2002)： 20.

(29) (一)S-P 原始資料表將接受施測的 N 1 位學童對 N 2 個詴題反應資料經批改後，答對的詴題以 1 做記錄，答錯或是未作答的詴題予以 0 做記錄，得到一個 N 1 × N 2 階的得分矩陣資料，如表 2-3-1 所示。 (二)依學童得分高低將原始資料表重新排列接著將每位學童的得分依縱軸上下排序，即總分最高者排在最上面，接著依序向下排。若遇到同分的狀況，則依照未答對的詴題之答對學童的總人數之和，由小到大做排列。若未答對的詴題之答對學童的總人數仍相同，則排列順序不拘。例如：座號 3、9、10 的總分為 3 分，未答對詴題之答對總人數和分別為： 6＋5＋2＋5＋3＋3＋5＝29、5＋6＋2＋7＋3＋3＋5＝31、5＋5＋2＋5＋3＋3＋5 ＝28，所以排序順序為 10、3、9；座號 2、6 的總分為 6 分，未答對詴題之答對總人數和分別為：5＋2＋5＋3＝15、5＋2＋3＋5＝15，可以依座號排序，沒有特別規定，重新排序後如表 2-3-2 所示。 (三)依詴題答對人數的多寡重新排列接下來將每個詴題的答對人數多寡依橫軸由左到右排序，答對人數最多的排最左邊，依序向右排列。若遇到答對人數相等的狀況，則依照未答對學童的總分和多寡由小到大，從左到右排序。若未答對學童的總分和仍相等，則排序不拘。例如：詴題 1、3、6、10 的答對人數皆為 5，未答對學童的總分和分別為：6＋3 ＋3＋2＋1＝15、6＋3＋3＋2＋1＝15、6＋3＋3＋2＋1＝15、6＋3＋3＋3＋1＝16，為了簡便，總分和相同可依題號排序，所以排序順序為：1、3、6、10，重新排列後如表 2-3-3 所示。 (四)畫出 S 曲線及 P 曲線最後，依據每位學童的總分，由左到右數出與總分相同的題數，並在右端畫出一條直線，依此方法，由上向下分別畫出分界線，並將畫出的分界線連接起來，如此，形成的階梯狀的曲線成為「S 曲線」，如表 2-3-4 的粗線所示。再依據每個 21.

(30) 詴題的答對人數，由上往下相同數目的學生人數，並在下端畫出一條橫線，由右向左分別畫出分界線，並連接起來，如此所形成的階梯狀的曲線稱為「P 曲線」，如表 2-3-4 的細線所示。表 2-3-1 原始資料表詴題題號. 1 2 3 學 4 生 5 座 6 號 7 8 9 10 答對人數. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 5. 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 6. 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 5. 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2. 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 7. 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 5. 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 3. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10. 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 3. 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 5. 總分 8 6 3 1 9 6 2 10 3 3 51. 表 2-3-2 將總分排序後的資料表詴題題號. 8 5 1 學 2 生 6 座 10 號 3 9 7 4 答對人數. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 5. 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 6. 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 5. 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2. 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 7. 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 5. 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 3. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10. 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 3. 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 5. 22. 總分 10 9 8 6 6 3 3 3 2 1 51.

(31) 表 2-3-3 將詴題總分排序後的資料表詴題題號. 8 5 1 學 2 生 6 座 10 號 3 9 7 4 答對人數. 8. 5. 2. 1. 3. 6. 10. 9. 7. 4. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10. 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 7. 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 6. 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 5. 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 5. 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 5. 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 5. 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 3. 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 3. 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2. 總分 10 9 8 6 6 3 3 3 2 1 51. 表 2-3-4 完整的 S-P 表詴題題號. 學生座號. 8. 5. 2. 1. 3. 6. 10. 9. 7. 4. 8. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 總分 10. 5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 9. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 8. 2 6. 1 1. 1 1. 1 1. 0 1. 1 0. 0 1. 1 0. 0 1. 1 0. 0 0. 6 6. 10. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3. 3. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3. 9. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 3. 7. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 2. 4. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 10. 7. 6. 5. 5. 5. 5. 3. 3. 2. 51. 答對人數. 註：粗線代表 S 曲線，細線代表 P 曲線 23.

(32) 三、注意係數的計算學生的注意係數以及詴題的注意係數可以用來判斷學生或詴題的反應組型是否呈現異常的現象，注意係數數值愈大，表示反應組型愈異常或是不尋常。 (一)注意係數的計算公式假設某份詴卷共有 N 位學生作答，且共有 M 個詴題，並形成 ( yij ) N M 的作答反應矩陣，其中： yij ：表示學生 i 在第 j 詴題答題的狀況 M. y i. (＝  yij )：表示學生 i 的總分，且 y1.  y 2.  y3.  …  y N . 。 j 1 N. y. j (＝  yij )：表示第 j 詴題答對的人數和，且 y.1  y.2  y.3  …  y.M 。 i 1. CPj 表示第 j 個詴題的注意係數， CS i 表示第 i 位學生的注意係數，其中. . 1 1 N yi. ，表示學生的平均得分，  '   M N i 1. M. y j 1. .j. 表示詴題的平均答對人數，注意. 係數的計算公式如下： y. j. N. CPj ＝ 1 . (y i 1. ij. y. j.  (1  yij )( yi. ) . )( yi. )  ( y. j )(  ). ＝. i 1. y. j. y.  y i. ( y. j )( ). i 1. i 1. i.. N. . i  y. j 1. ( yij )( yi. ).  ( y. j )(  ). 詴題j對應於P曲線上方  詴題j對應於P曲線下方  答「0」的學生總分之和  答「1」的學生總分之和    ＝ 詴題j在P曲線上方 詴題j之  學生之  各學生總分之和   答對人數  平均得分      . 24.

(33) yi .. M. CS i ＝ 1 .  (1  yij )( y. j ) .  ( yij )( y. j )  ( yi. )( ' ) j 1. yi ..  y . j ( yi. )( ). ＝. j 1. yi .. y. '. j 1. j 1. .j. M. . j  yi . 1. ( yij )( y. j ).  ( yi. )(  ' ). 學生i對應於S曲線左方答「0」 學生i對應於S曲線右方答「1」 的詴題之答對人數之和   的詴題之答對人數之和      ＝ 學生i在S曲線上方各詴題 學生i之 詴題之平均 之答對人數之和   總分   答對人數       . 注意係數的值如果小於 0.5，表示詴題或學生的反應組型異常的情況並不嚴重；如果是大於等於 0.5 且小於 0.75，則表示詴題或學生的反應組型異常的情況已經很嚴重；若大於等於 0.75，則表示詴題或學生的反應組型異常的情況非常嚴重(余民寧，2002)。 (二)詴題類型與學習類型的分析表 2-3-5 為以詴題注意係數為橫軸的診斷分析表，將詴題分為四種，說明如下： 1、A 類詴題此類詴題的注意係數為 0 到 0.50，答對人數百分比為 50％到 100％，表示詴題適當，符合學生的程度，是相當優良的詴題。 2、A’類詴題落於此區的詴題，其注意係數為 0.50 到 1.00，表示含有異質成分，但因為答對人數百分比為 50％到 100％，尚無太大的問題存在，只需作局部的修改。 3、B 類詴題此類詴題的注意係數為 0 到 0.50，表示詴題不含異質成分，不必修改。而答對人數百分比為 0％到 50％，答對率較低，表示詴題偏難，是屬於較困難的詴題。 4、B’類詴題此類詴題的注意係數為 0.50 到 1.00，答對人數百分比為 0％到 50％，表示注意係數偏高，答對率偏低，是相當拙劣的詴題而需大幅修改。. 25.

(34) 表 2-3-5 詴題類型分析表答 100％對詴題學 50％生人數百 0％分比. A A’ 優良型詴題，可以區分出低異質型詴題，需做局部的修正。成就的學生。 B B’ 困難型詴題，可以區分出高拙劣型詴題，需做大幅修改。成就的學生。 0. 0.50 詴題注. 1.00 意. 係. 數. 表 2-3-6 為以學生注意係數為橫軸的診斷分析表，將學生分為六種學習類型，說明如下： 1、A 類學習類型此類學生的學習狀況佳，程度較好，考詴表現穩定，是學習較好的學生。 2、A’類學習類型此類學生的程度不錯，但因為粗心大意，會造成一些不經意的錯誤，教師對於此類學生，需矯正他們粗心的陋習。 3、B 類學習類型此類的學生學習狀況不如 A 類穩定，需再多用功，屬於班上中上程度的學生，教師可以多激勵此類學生。 4、B’類學習類型此類學生兼具準備不足及偶爾粗心大意的特徵，作答反應組型呈現不尋常的狀況，教師對此類學生需多激勵，並提醒他們仔細檢查詴題及作答結果。 5、C 類學習類型此類學生的基本學力不足，學習狀況差，準備不夠充分，是屬於低成就的學生，教師需給此類學生多點時間準備，並加強其基礎學識。 26.

(35) 6、C’類學習類型此類學生的學習極不穩定，在考詴前沒有充分準備，成績時好時壞，注意係數偏高，有作弊、盲目猜題或隨意作答的可能性等，教師對此類學生需做更進一步的心理輔導及學業輔導診斷，才能確實的了解此類學生真正的問題所在。表 2-3-6 學生學習類型分析表 100％. 學 75％生得分百 50％分比. 0. A A’ 學習穩定型，學習良好，且粗心大意型，程度好，但會因粗穩定性高。心、不細心，造成不經意的錯誤。 B’ 欠缺充分型，準備不夠充分，且偶爾粗心，需要再努力，可提醒這類學生作答完必要仔細檢查。 C C’ 學力不足型，基本學力不學習異常型，學習非常不穩定，足，準備也不夠充分，學習對考詴內容沒有充分準備，考詴成就偏低。成績時好時壞，作答的反應組型奇特，頇特別注意。 0 0.50 1.00 學生注意係數 B 努力不足型，學習尚稱穩定，但頇再用功一點。. 四、S-P 表的相關研究陳騰祥(1988)先以文獻探討法，探究 S-P 表分析理論；再以田野實驗法 (controlled field experiments)實證 S-P 表分析法對命題改進態度的效果；最後以個案研究法探討 S-P 表在詴題分析以及命題改進的應用。結果發現應用 S-P 表分析的樣本，均能求出詴題係數，並進而分析檢討，有助於命題技術的改進。何英奇(1989)設計一套微電腦 S-P 表分析程式，發現微電腦化 S-P 表分析具學習診斷的功能，可以作為補救教學的依據，並廣受中小學教師及國中生喜愛，且中小學教師認為亦具有改進命題的功能。. 27.

(36) 游森期、余民寧(2006)以臺北市 286 位國小學生為研究樣本，探討知識結構診斷評量和 S-P 表分析法的關聯性，發現 S-P 表分析的結果與路徑搜尋網路分析的結果具有一致性。陳敏彥、林原宏(2007)結合次序理論(ordering theory)和 S-P 表分析法，分析國小高年級學童分數乘法概念的階層結構，並更進一步探討原住民學生的學習狀況，發現原住民學生學習不夠充分，且需接受補救教學。在分數乘法概念階層結構方面，一般學童與原住民學童各具特色。廖敏妃(2009)以程式語言課程為例，運用 S-P 表分析法得知學生在程式語言課程的學習狀況，應用次序理論來得知詴題或概念之間的階層性與次序性，藉此更加了解學生的狀況，進而調整教學方式，以提高學生學習的效果。葉律吟(2009)以大一新生程式設計課程測驗作答反應資料為基礎，採用 S-P 表及概念詮釋結構模式兩種分析方法，協助教師了解學生的學習狀況及困難所在，並可作為未來教學調整及補救教學的參考依據。朱芹儀(2009)先以 S-P 表分析學生的作答反應情形，再使用加權多元計分詴題關連結構繪製概念結構圖，藉此探討各學習類型學童分數加減法的概念。研究發現注意係數高的學童，其概念之間的關聯性及次序性則較少，注意係數低的學童則相反。從上述的各項研究中發現，S-P 表可以應用在國小的數學課程中，亦可以在大學課程中使用此分析方法，不僅有改進命題的功能，還能診斷出學童的學習狀態，藉此調整教學，並在進行補救教學上能做為參考依據。. 第四節概念詮釋結構模式一、概念詮釋結構模式 Lin, Hung and Huang (2006)提出了概念詮釋結構模式(concept advanced. 28.

(37) interpretive structural modeling, CAISM)，是將既有的詮釋結構模式分析法結合模糊理論。其演算法則是就受詴者的測驗資料，以概念向量比對(concept vector matching)和模糊理論(fuzzy theory)等計算的方法，並運用詮釋結構模式的階層結構運算法則，以數值和圖形呈現受詴者個人化的概念階層結構(individualized concept hierarchy structure)，藉此提供受詴者個人化的概念階層結構訊息。詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM )則是由 Warfield(1976)所提出，原本是屬於社會系統工學(social system engineering)中的一種構造模型法 (structure modeling)，是透過二維矩陣的數學運算，呈現元素間的關連性，最後產生一個完整的多層級結構化階層(multilevel structural hierarchy)。在教育的應用上，可具體化的呈現概念學習階層圖，以幫助教師了解概念之間的關係和教學的順序關係(黃信源，2006)。林原宏(2005)提出模糊取向詮釋結構模式，是利用模糊理論截矩陣，並結合詴題反應理論和察覺的模糊邏輯模式(fuzzy logic model of perception, FLMP)，計算關係元素的上下屬關係，突破了詮釋結構模式只適用於二元資料的限制。. 二、概念詮釋結構模式相關應用 Lin, Hung and Yu (2007)針對國小六年級的學童，以概念詮釋結構模式進行等量公理的概念結構分析，發現學童的總分不同或總分相同但作答反應組型不同的情況下，其概念階層結構圖會有差異。林原宏、莊惠雯、易正明(2009)針對國小二年級學童，以概念詮釋結構模式為分析方法，並將受詴者以模糊集群的方式分群，研究發現概念階層結構圖可以提供個別化的診斷訊息，模糊分群有利教師將學童進行分組補救教學。戴筱玲(2009)應用概念詮釋結構模式以及相似聚類分析演算法，分析國小六年級的學童之速率概念的知識結構，發現概念詮釋結構模式可以有效的進行速率概念的分析，不同群組或總分相同但反應組型不同的受詴者，其概念結構及解題. 29.

(38) 策略有差異。林青慧(2009)針對國小五年級的學童，應用了概念詮釋結構模式、詮釋結構模式以及相似性分類演算法，分析其數學能力的概念結構，發現個人化的概念階層結構圖可以有效的進行個人的補救教學，高分群學生群體的 ISM 圖可以有效的幫助學習成就低落的學童尋找合作學習的對象。黃家珮(2009)以概念詮釋結構模式和詮釋結構模式，對國小五年級學童的數學能力進行分析，發現 CAISM 圖可作為實施個別補教教學的參考依據，班群的 ISM 圖可作為實施團體補救教學的參考依據。呂秀茹(2009)針對國小五年級學童，以概念詮釋結構模式和相似性聚類分析演算法，分析時間的化聚計算之概念結構，發現 CAISM 圖可以有效的呈現時間的化聚計算之概念結構，且不同群組的概念階層結構圖存有差異性。因此，應用概念詮釋結構模式能提供個人化的概念階層結構訊息，能力不同或作答反應組型不同的學童，概念結構明顯不同，分析後得到的訊息有助於研究者作為日後補救教學的依據或編製教材的參考. 30.

(39) 第三章研究方法本章旨在說明研究設計及實施方式，內容共分為五節，分別為研究架構、研究對象、研究工具、研究流程以及資料分析。. 第一節研究架構本研究旨在分析分數和小數的轉換之概念階層結構圖的特徵，研究者依據研究目的，並詳閱相關文獻後，確立了研究方法及方向。本研究之架構圖如圖 3-1-1：詳閱分數概念和小數概念、S-P 表、概念詮釋結構模式的相關文獻. 分析教材. 製作工具. 預詴修正工具正式施測以 S-P 進行分群. 分析並比較總分相同但作答反應組型不同的學童之概念階層結構圖. 分析並比較不同學習類型的學童之概念階層結構圖. 討論與建議圖 3-1-1 研究架構圖 31.

(40) 第二節研究對象本研究的施測對象為國小四年級學童，以嘉義市某國民小學四年級學生為樣本，有九個班級，共 266 名學生，在原班受測，研究樣本人數分配如下表 3-2-1。表 3-2-1 研究樣本人數分配表班級 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合計. 人數 30 28 31 28 29 30 31 31 28 266. 第三節研究工具為了分析分數和小數的轉換之概念，本研究所使用的工具是由研究者依據教科書內容自編而成，預定作答時間為 40 分鐘，若學童無法在預定時間內完成，則以讓學童寫完為原則。. 一、預詴之詴題及工具品質 (一)詴題內容設計本研究的工具主要是要測驗學童分數和小數的轉換之概念，所以詴卷中的詴題以分數轉換為小數及小數轉換為分數兩部分為主，本詴卷預詴之概念分類表如表 3-3-1，一共包含六種概念，每一種概念設計 3 個題目，共計 18 題。各詴題的概念屬性分析如下表 3-3-2，表 3-3-2 中的「1」代表該詴題有測詴到該概念，「0」. 32.

(41) 則代表該詴題未測詴到該概念。表 3-3-1 分數和小數的轉換概念測驗之預詴概念分類表概念. 詴題類型. 題號. 合計. 真分數轉換為純小數. 1、2、15. 3. 分數轉換為小數. 假分數轉換為帶小數. 3、8、14. 3. 小數轉換為分數. 帶分數轉換為帶小數純小數轉換為真分數帶小數轉換為帶分數. 6、9、17 4、7、11 5、16、18. 3 3 3. 帶小數轉換為假分數. 10、12、13. 3. 表 3-3-2 預詴之詴題概念屬性分析表概念 2 詴概念 1 真分數轉假分數轉題換為純小換為帶小數數 1 1 0 2 1 0 3 0 1 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 1 9 0 0 10 0 0 11 0 0 12 0 0 13 0 0 14 0 1 15 1 0 16 0 0 17 0 0 18 0 0. 概念 3 帶分數轉換為帶小數 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0. 概念 4 純小數轉換為真分數 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 33. 概念 5 帶小數轉換為帶分數 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1. 概念 6 帶小數轉換為假分數 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0.

(42) (二)詴題計分方式及研究樣本本研究的預詴工具共有 18 題選擇題，每答對 1 題得 1 分，滿分為 18 分。因為本研究是要測驗四年級學童的分數和小數的轉換概念，所以以學習過該教材內容的五年級學童為預詴對象，預詴研究對象為嘉義市某國小五年級的兩個班級以及彰化市五年級的一個班級，共計 96 人，預詴樣本人數分配表如下表 3-3-4。受詴者在本測驗的得分最高為 18 分，最低為 2 分。表 3-3-3 預詴樣本人數分配表縣市嘉義市彰化市合計. 班級數二班一班三班. 人數 64 32 96. (三)詴題難度、鑑別度、信度及效度分析 1、難度、鑑別度分析預詴施測完畢後，研究者將預詴結果分析如表 3-3-4。其中， PH 表示高分組的通過率，為分數落在前 27%的學童的平均通過率， PL 表示低分組的通過率，為分數落在後 27%的學童的平均通過率。( PH ＋ PL )/2 為難度，是為了確認詴題的難易程度，以 0.2 到 0.8 為宜。 PH - PL 鑑別度，表示能區分受詴者能力高低的程度，以 0.25 以上為標準。t 值若達顯著，則表示詴題為具鑑別度的優良詴題，相關係數若達顯著，亦表示該題具鑑別度(陳淑卿、易正明，2009)。由表 3-3-4 可觀察到各詴題的通過率是 0.55 到 0.94，難度是 0.57 到 0.95，第 2 題到第 18 題的 t 值及相關係數皆達顯著，表示大部分詴題皆具良好的鑑別度。其中，第 1 題的難度為 0.95，鑑別度為 0.10，t 值及相關係數皆未達顯著，是屬較不具鑑別度的詴題。. 34.

(43) 表 3-3-4 預詴結果統計分析表詴題編號. 通過率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 平均. 0.94 0.74 0.89 0.76 0.82 0.74 0.90 0.88 0.55 0.79 0.60 0.61 0.76 0.69 0.88 0.76 0.81 0.86 0.78. *p＜.05. **p＜.01. PL. PH. 1.00 0.89 1.00 0.96 0.96 0.93 1.00 0.96 1.00 1.00 0.96 0.93 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.98. 0.90 0.48 0.66 0.52 0.55 0.45 0.66 0.72 0.14 0.52 0.17 0.31 0.55 0.38 0.69 0.52 0.48 0.83 0.53. 難度 ( PH ＋ PL )/2 0.95 0.69 0.83 0.74 0.76 0.69 0.83 0.84 0.57 0.76 0.57 0.62 0.78 0.69 0.85 0.76 0.74 0.91 0.75. 鑑別度 PH － PL. 0.10 0.41 0.35 0.45 0.41 0.48 0.35 0.24 0.86 0.48 0.79 0.62 0.45 0.62 0.31 0.48 0.52 0.17 0.45. t值 1.80 3.67** 3.84** 4.43*** 4.10*** 4.52*** 3.84** 2.62* 13.23*** 5.11*** 9.92*** 6.15*** 4.77*** 6.77*** 3.55** 5.11*** 5.48*** 2.42*. 相關係數 0.16 0.53*** 0.52*** 0.52*** 0.50*** 0.45*** 0.59*** 0.39*** 0.66*** 0.55*** 0.64*** 0.53*** 0.46*** 0.57*** 0.38*** 0.40*** 0.61*** 0.26*. ***p＜.001. 2、信度、效度分析本研究預詴詴題的 Cronbach's α 係數為 0.81，詴題信度分析如表 3-3-5 所示。如表 3-3-5 所示，預詴詴題的 Cronbach's α 係數並不會因刪除某一詴題而有太大的變動，表示這份詴題具有良好的信度。由表 3-3-1 的概念分類表及表 3-3-2 的概念屬性分析表，可以得知所要了解的概念皆能被測驗到，所以這份詴題具備內容效度。. 35.

(44) 表 3-3-5 預詴信度分析表詴題題號 1 2 3 4 5 6. 項目刪除時的 Cronbach's α 值 .81 .80 .80 .80 .80 .81. 詴題題號 7 8 9 10 11 12. 項目刪除時的 Cronbach's α 值 .80 .81 .79 .80 .79 .80. 詴題題號 13 14 15 16 17 18. 項目刪除時的 Cronbach's α 值 .80 .80 .81 .81 .79 .81. 3、預詴詴題修正根據上述的分析結果，與一位數學教育系的教授共同檢視後，決定刪除不具鑑別度的第 1 題。. 二、正式施測之詴題及工具品質 (一)詴題內容設計經過修正後，題數減少 1 題，共 17 題，正式施測的概念分類表如表 3-3-6，各詴題的概念屬性分析如表 3-3-7。表 3-3-6 分數和小數的轉換概念測驗之正式施測概念分類表概念. 詴題類型. 題號. 合計. 真分數轉換為純小數. 1、14. 2. 分數轉換為小數. 假分數轉換為帶小數. 2、7、13. 3. 小數轉換為分數. 帶分數轉換為帶小數純小數轉換為真分數帶小數轉換為帶分數. 5、8、16 3、6、10 4、15、17. 3 3 3. 帶小數轉換為假分數. 9、11、12. 3. 36.

(45) 表 3-3-7 正式施測詴題的概念屬性分析表詴題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17. 概念 1 真分數轉換為純小數. 概念 2 假分數轉換為帶小數. 概念 3 帶分數轉換為帶小數. 概念 4 純小數轉換為真分數. 概念 5 帶小數轉換為帶分數. 概念 6 帶小數轉換為假分數. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. (二)詴題難度、鑑別度、信度及效度分析 1、難度、鑑別度分析正式施測完畢後，研究者將結果分析如表 3-3-8。由表 3-3-8 可觀察到各詴題的通過率是 0.43 到 0.92，難度是 0.48 到 0.89，每一題的 t 值及相關係數皆達顯著，表示全部的詴題皆具良好的鑑別度。. 37.

(46) 表 3-3-8 正式施測結果統計分析表詴題編號. 通過率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 平均. 0.84 0.87 0.46 0.89 0.73 0.92 0.70 0.65 0.83 0.43 0.54 0.80 0.77 0.77 0.81 0.67 0.77 0.73. PH. 0.97 0.98 0.79 1.00 0.94 0.99 0.92 0.95 0.97 0.88 0.83 0.99 0.92 0.93 0.93 0.99 0.98 0.94. PL. 0.59 0.67 0.23 0.70 0.54 0.79 0.44 0.33 0.61 0.07 0.25 0.55 0.55 0.44 0.59 0.26 0.43 0.47. 難度 ( PH ＋ PL )/2 0.78 0.83 0.51 0.85 0.74 0.89 0.68 0.64 0.79 0.48 0.54 0.77 0.74 0.69 0.76 0.63 0.71 0.71. 鑑別度 PH － PL. t值. 0.38 0.31 0.56 0.3 0.4 0.2 0.48 0.62 0.36 0.81 0.58 0.44 0.37 0.49 0.34 0.73 0.55 0.47. 6.84*** 5.92*** 9.19*** 6.05*** 6.73*** 4.38*** 7.96*** 11.06*** 6.48*** 18.64*** 9.40*** 8.02*** 6.04*** 8.23*** 5.76*** 14.91*** 10.03***. 相關係數 0.61*** 0.56*** 0.44*** 0.57*** 0.43*** 0.51*** 0.48*** 0.56*** 0.55*** 0.60*** 0.50*** 0.48*** 0.51*** 0.55*** 0.48*** 0.64*** 0.61***. ***p＜.001. 2、信度、效度分析本研究正式施測的詴題之 Cronbach's α 係數為 0.84，詴題信度分析如表 3-3-9 所示。如表 3-3-9 所示，正式施測的詴題之 Cronbach's α 係數並不會因刪除某一詴題而有太大的變動，表示這份詴題具有良好的信度。由表 3-3-6 的概念分類表及表 3-3-7 的概念屬性分析表，可以得知所要了解的概念皆能被測驗到，所以這份詴題具備內容效度。. 38.

(47) 表 3-3-9 正式施測信度分析表詴題題號 1 2 3 4 5 6. 項目刪除時的 Cronbach's α 值 .82 .83 .84 .83 .83 .83. 詴題題號 7 8 9 10 11 12. 項目刪除時的 Cronbach's α 值 .83 .83 .83 .82 .83 .83. 詴題題號 13 14 15 16 17. 項目刪除時的 Cronbach's α 值 .83 .83 .83 .82 .82. 第四節研究流程在研究主題及研究方向確定後，研究者研讀了教科書的內容、檢視課程綱要、閱讀相關文獻，參考了資深教師的意見後，自編「分數和小數的轉換概念測驗卷」，並進行預詴。針對預詴結果進行分析，依據分析結果，將詴卷的題目做調整，形成正式施測的詴卷。正式施測後的結果，以 S-P 表作分群比較，並以概念詮釋結構模式程式進行分析，探究學童的概念階層結構圖的特徵。本研究的研究流程以流程圖呈現，如下圖 3-4-1 所示。. 39.