第二章 文獻探討
第二節 小數的意義及其相關研究
一、小數的意義
在教學時，我們常常會跟學童們說，因為整數不夠用，沒有辦法表示比 1 小 的數，所以才有了分數及小數。82 年國編版第六冊的教師手冊中，提到一位小數 為記錄十分之幾分量的另一種特殊型式，所以可以透過對十分之幾分量的認識，
來引導學童認識小數數詞的意義，並在單位分量(十分之一)的累積下，幫助學童 建立 0.1 到 0.9 一位小數數字的書寫方式和數詞序列，區分分數與小數兩種記法 的名稱。
82 年國編版第八冊的教學指引中提到，印度-阿拉伯記數系統是為十進位制 的記數系統，我們只要使用 0、1、2……、9 等十個符號，再加上逢十進一的原 則與位值概念，就可以將所有大小的數全都表現出來。而小數的記數系統則可以 說是整數記數系統的延伸，利用小數點來區隔整數部分和小數部分，記錄著 0.1 的個數，我們稱之為十分位，而十分位的位值是 0.1，是將「1」單位十等分的結 果，十分位右邊的位置，記錄著 0.01 的個數，我們稱之為百分位，而百分位的位 值是 0.01，是將「0.1」十等分的結果。
所以進入小數教學前，學童需先掌握整數記法的位值概念和分數的意義之 後，再透過分數概念引入小數的概念(周筱亭、黃敏晃，1992)。因此小數的學習 與分數密不可分，要理解小數的意義可以從兩個層面來著手：分數的「部分-整體」
關係與整數的位值概念(彭嘉妮，1998)。
(一)「部分-整體」關係
部分-整體是用來闡釋分數意義的一種類型，將一個整體進行等分割後，分數 是用來記錄被指定的部分與全部的關係，例如：
4
3表示一個整體被分成了 4 等分 後，集聚了其中 3 等分。當一個整體被等分成十等分、一百等分、一千等分等等 時，表示分量的分數則可用小數表徵，例如：0.1、0.01、0.001 等等。小數記法 中，以「.」─小數點分隔整數部分和小數部分，0.a 為一位小數，表示十分之幾 的分量；0.ab 為二位小數，表示百分之幾的分量，依此類推。(劉曼麗，1998)。
由此可知，要了解小數的意義，可從分數的等分割活動進行。
(二)整數的位值概念
「數」指的是單位「1」的倍數，學童學習利用多單位組織數概念，實際上 即是在學習印-阿記數系統的位值概念(甯平獻，1997c)。印-阿記數系統採用了 0~9 十個數字以及滿十進一的規則(劉曼麗，1998)。整數 2485 可用展開式表成：
2485=2×1000+4×100+8×10+5×1
展開式可以顯示每個數字所代表的數值，最右邊的位置是個位，對應的數字 5 表 示有 5 個一；緊鄰個位左邊的位置是十位，對應的數字 8 表示有 8 的十；緊鄰十 位左邊的位置是百位，對應的數字 4 表示有 4 個百；緊鄰百位左邊的位置是千位，
對應的數字 2 表示有 2 個千。每個數字所代表的數值由其對應的位置決定，左邊 位置單位為緊鄰的右邊位置單位的十倍。由整數記數系統延伸，將位值向右擴 展，而產生了小數符號，例如：小數 0.48 的展開式可表成：
0.48=4×0.1+8×0.01
其中，緊鄰小數點右邊的位置是十分位，數字 4 表示有 4 個 0.1，緊鄰十分位右 邊的位置是百分位，數字 8 表示有 8 個 0.01，0.1 為 0.01 的十倍。所以小數記數 系統承繼了整數記數系統的記數規則和十進結構。
綜合上述，小數的概念是由分數概念和整數概念的延伸以及統整而來的(Behr
& Post, 1988)。因此，我們可以藉由分數的意義來理解小數的意義，藉由整數的
記數系統來理解小數的符號系統，其中，關於小數符號系統的特性，可以分為以 下三個定理(Hiebert, 1992)：
(一)每一個數字的值是根據它所處的位置來決定，與整數系統是一樣的，小數中 每一個數字的位值是緊鄰的右邊的數字的位值的十倍，反之，則是緊鄰的左 邊的數字的位值的十分之一倍。
(二)小數中，每一個數字的值是表面價值和位值的乘積，每一個數字的值可以使 用十的冪次方來表示它的位值。以 13.05 為例，第一個數字 1，位值是 10，所 以它的數值是 1×101；第二個數字 3，位值是 1，所以數值為 3×100；第三個 數字 0，位值是 1/10，所以數值為 0×101；第四個數字 5，位值 1/100，所以 數值為 5×102。
(三)小數的數值是每一個數字的數值總和，以 13.05 為例，它的數值是 1×101+3×100+0×101+5×102。
Hiebert(1992)還指出，小數概念可以具體的分成三種小數知識，要能完整學 習好小數概念，頇具備這三種小數知識：
(一)記數系統的知識
瞭解有關小數形式的知識，包含小數符號的讀法、寫法、位值、位名以及單 位小數的化聚。
(二)運算規則的知識
瞭解運用運算規則能得到的知識，包含小數和分數的換算、小數的比大小、
小數的四則運算。
(三)數量表示的知識
瞭解小數所代表的數量，包含小數圖像表徵、單複名數的轉換。
Hiebert 十分強調「連結」的觀念，認為學童學習好小數的概念，頇將「記數 系統的知識」、「運算規則的知識」、「數量表示的知識」做好連結。但因為學童利 用太多時間於運算規則中，往往會使抽象的小數知識與真實世界脫離，所以在「運
算規則的知識」和「數量表示的知識」需加強連結。
資料來源： Analysis of Arithmetic for Mathematics Teaching (p.293), by J. Hiebert , 1992, Hillsdale, NJ:LEA.
二、小數的分類
小數分為有限小數和無限小數，其中無限小數又分為循環小數和不循環小數 (劉曼麗，1998)。因為小數可以說是分數的另一種表徵方式，當分數的分母為 10 的冪次方形式時，可以直接進行分數和小數的互換，例如：
10
2 =0.2，
100
53 =0.53。
若分母不為 10 的冪次方時，則分子除以分母，會產生兩種情形，一是有除盡，
例如：5
4=0.8，稱為有限小數；一是沒有除盡，例如：
3
1=0.6，為循環小數。小 數除了有限小數及循環小數外，還有一種不循環的無限小數，例如。綜合上述，
將小數分類如下圖：
純小數 有限小數 帶小數 小數 循環小數 無限小數
不循環的無限小數 圖 2-2-1 小數分類圖
在國小的學習階段中，小數的教材方面只包含有限小數，就有限小數討論如 下：
(一)純小數：指整數部分為零的小數。
1、一位純小數是記錄「十分之幾」分量的一種形式，例如：0.1~0.9。
2、二位純小數是記錄「百分之幾」分量的一種形式，例如：0.01~0.99。
(二)帶小數：指整數部分不為零的小數。
1、一位帶小數為記錄數個1和一位純小數的合成結果。
2、二位帶小數為記錄數個1和二位純小數的合成結果。
三、小數概念的認知發展
小數的學習除了要瞭解符號意義、運算規則外，還要能跟生活的經驗作結 合，因此在學習時要透過指示物的連結，才能達到真正小數概念的學習。Wearn and Hiebert(1988)認為小數的學習需要透過連結、發展、精緻與熟練、抽象等認知過 程，才能熟練小數符號的能力，將各階段認知過程介紹如下：
(一)連結過程
是指透過操作指示物後的結果，其中的指示物必頇是日常生活中的物質，例 如：錢幣、公制單位等，或是特殊設計的教具，例如丹尼積木。藉由操作指示物 連結小數符號的意義，並在操作的過程中了解符號的運算法則。
(二)發展過程
是指延伸指示物的操作結果，建立符號操作的程序性知識，例如：操作積木 的合成與分解，建立加、減法運算規則，發現對齊小數點的原因。
連結與發展過程需透過指示物的操作，從而瞭解小數符號的意義，並藉由觀 察，發展運算規則，對學童而言，要能瞭解指示物和符號之間以及操作活動與運 算法則之間的關係，是需要一段時間的調適。
(三)精緻與熟練過程
這個過程已脫離指示物的操作，並能在適當的情境中應用解題規則，藉由紙 符號的移動，加以熟練、記憶。這個過程開始展現學童的數學能力，進行有意義 的數學學習和思考。
(四)抽象過程
是指把符號與規則當作指示物，藉以獲得更抽象的符號系統。
小數概念的認知學習前兩個過程是發展小數概念的意義，後兩個過程則是熟 練運算規則，這四個認知過程的順序已成為教師設計小數教學活動的參考。學童 會有迷思概念常常是因為對概念的意義不夠瞭解，教師應藉由教學活動加以釐
清，使其有正確的小數基礎概念，對之後小數抽象概念的學習才有幫助。
資料來源：“Conceptual bases of arithmetics errors: The case of decimal fractions”, by Resnick et al., 1989, Journal for Research in Mathematics Education, 20, p12.
五、小數和分數的表徵轉換
小數和分數的轉換分成兩個部分，一是小數轉換為分數，二是分數轉換為小 數。
(一)小數轉換為分數
可以直接將小數轉換為分割數為 10 的冪次方分的分數，例如：0.53＝
100 53 。 (二)分數轉換為小數
當一單位量的等分割數為十或十進位結構時，分數與小數相連絡，所以此時 可以直接將分數轉換為小數，例如：
1000
468 ＝0.468。若分割數不為十或十進位結 構時，從數學教材中，發現是從分數為兩數相除的結果切入，將分數還原為兩數 相除，即可換算為小數，例如：
4
3＝3÷4＝0.75。
在小學教材中，分數分為真分數、假分數和帶分數，小數分為純小數和帶小 數，因此在分數和小數的轉換概念上，研究者將之區分為六種概念，分別是真分 數轉換為純小數、假分數轉換為帶小數、帶分數轉換為帶小數、純小數轉換為真 分數、帶小數轉換為假分數和帶小數轉換為帶分數。
六、小數概念的相關研究
比起整數概念，小數概念對於學童是屬於較抽象的概念，較容易產生迷思概 念(杜建台，1997；郭孟儒，2002；劉曼麗，2005)。因此，已有不少研究與小數 的概念相關。
杜建台(1997)以中、高年級的學童為研究樣本，以「寫小數」、「讀小數」、「小 數的意義」、「小數位值和位名」、「比較小數的大小」、「小數的十進結構」、「小數 的稠密性」、「小數與數線」等為研究主題，發現：
(一)學童在讀二位小數時較一位小數容易發生錯誤。
(二)學童較缺乏小數意義的概念。
(三)學童能夠正確寫出一位和二位小數。
(四)學童缺乏小數稠密性的概念。
(五)學童對於小數的十進結構概念較缺乏正確的理解。